Förändingsastigeter oc derivator. Dagens Teori Som en inledning till begreppet derivata, ska vi är diskutera genomsnittlig förändingsastiget. Utan att veta vad som änt mellan två givna tider t oc t 2 kan vi läsa av temperaturen, beloppet, astigeten, eller folkmängden för de två tidpunkterna oc för f(t ) oc f(t 2 ), för att sedan bilda den genomsnittliga förändingsastigeten genom f(t 2 ) f(t ) t 2 t y 2 y t 2 t y x Figur.: Om funktionen ar ett oroligt förlopp säger egentligen den genomsnittliga förändringsastigeten ganska lite. I figuren ar vi: för punkterna ( 4, 0) oc (3.5, 5.6) y x 5.6 0 3.5 ( 4) 5.6 7.5 6.875 Men för punkterna ( 4, 0) oc (3, 0). Vi ändrar alltså endast det andra x-värdet med 0.5. y x 0 0 3 ( 4) 0 7 0
2 Förändingsastigeter oc derivator Ganska stor skillnad eller ur. Annat resultat får vi ju mer funktionen liknar en rät linje. Om y beror av x så är den genomsnittliga förändringsastigeten Förändringskvoten y x förändingen över ett intervall intervallets längd.2 Lösta problem Övning. (304). Kl 0 : 20 avläste Emma bilens vägmätare till 85 32 km oc kl 2 : 35 till 85 582 km. Beräkna Emmas genomsnittliga astiget. När vi nu ska bestämma astigeten, vilken storet ska vi då använda: km/tim, m/s eller m/min? Vi bestämmer oss för den vanligaste då det gäller att framföra bilar. Emma ar kört 85582 8532 26 km. Hon startade 0 : 20 oc kom fram 2 : 35. Hon beövde alltså 2 timmar oc 5 minuter, eller 2.25 timmar, för att nå målet. Vi kan nu bestämma den genomsnittliga astigeten till 26 2.25 6 Svar: 6 km/tim Man måste förstås fråga sig var on framförde sitt fordon. För inte var det väl i Sverige? Övning.2 (305). Grafen visar den vägsträcka s m som ett föremål rört sig på tiden t s. Bestäm förändringen s i m från t 0.5 till t 2 3.5. Frågeställaren är vänlig oc markerar gällande punkter på graferna. För båda graferna är t t 2 t 3.5 0.5 2. Återstår att från grafen läsa av s oc s 2. I a) får vi s 5 m oc s 2 40 m som ger s s 2 s 40 5 25 m. I får vi s 35 m oc 2 5 m som ger s s 2 s 5 35 20 m Det gäller alltså att se upp med ordningen i subtraktionen oc inte bli frustrerad då resultatet blir negativt
.2 Lösta problem 3 Övning.3 (Ej med) För funktionen y f(x) vet man att f(8) 38 oc att f(2) 52. a) Bestäm ändringen i x, det vill säga x Bestäm ändringen i y, det vill säga y c) Bestäm den genomsnittliga förändringsastigeten y x d) Tolka vad ditt värde i c) betyder om y är ur många kg en x år gammal pojke väger. a) x x 2 x 2 8 4 y y 2 y 52 38 4 c) y x 4 4 3.5 d) Pojken ökar i genomsnitt sin vikt med 3.5 kg/år Efter en snabb slagning på internet kan man konstatera att en normal 8-åring ska väga kring 27 kg oc en normal 2-åring 40 kg. I vår uppgift ar vi alltså att göra med en något överviktig pojke Övning.4 (307). Ett föremål faller fritt på månen. Fallsträckan s m kan då beräknas med s 0.8t 2, där t är tiden i sekunder. Bestäm a) fallsträckan från t 2.3 till t 2.7 medelastigeten i detta intervall. Här ar vi värden på t oc t 2 men inga värden på s oc s 2. Istället ar vi en formel som kan ge oss dessa värden. Vi får s 0.8 2.3 2 4.232 oc s 2 0.8 2.7 2 5.832 a) fallsträckan blir s 2 s 5.832 4.232.6 m. medelastigeten blir s 2 s 5.832 4.232 4 m/s t 2 t 2.7 2.3 0 x
4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.5 (308). Grafen visar den sträcka s m som ett föremål flyttat sig på tiden t s. Bestäm föremålets medelastiget i intervallet från t 2.0 till t 2 5.0. Punkterna finns utsatta i grafen som vi kan bestämma koordinaterna för (t, s ) (2, 30) oc (t 2, s 2 ) (5, 50). Vi vet direkt ur vi ska antera dessa data, eller ur? s 2 s 50 30 t 2 t 5 2 20 3 6.7m/s Övning.6 (309). Tabellen visar ur en epidemi brer ut sig. Tid x veckor 0 2 4 6 8 0 Antal sjuka y 54 708 3904 3998 2476 Beräkna oc tolka den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x i intervallet a) från x 2 till x 4 från x 0 till x 8 c) från x 8 till x 0 s står för antalet sjuka oc t för antalet veckor. a) s 2 s 708 54 827 t 2 t 4 2 Antalet insjuknade ökade under dessa två veckor med 827 patienter/vecka s 2 s 3998 827 t 2 t 8 0 c) Antalet insjuknade ökade under dessa åtta veckor med 500 patienter/vecka. s 2 s 2476 3998 76 t 2 t 0 8 Skönt, nu verkar kulmen a nåtts! Antalet sjuka under dessa två veckor ar minskat med 76 patienter/vecka Övning.7 (30). SMHI meddelar att dygnsmedeltemperaturen ökat med i genomsnitt 5 C månad från januari till juli. Skissa två olika grafer som beskriver ur temperaturen kan a varierat under våren.
.2 Lösta problem 5 0 J F M A M J J -0 Det är bara att konstatera att det kan se ut lite ur som elst, så länge Medeltemp Juli Medeltemp Januari 5 6 Övning.8 Nästan(3)I tabellen nedan ser du ar många kronor man måste betala i skatt för en viss månadslön Månadslön 900-900 90-9200 920-9300 930-9400 940-9500 950-9600 960-9700 970-9800 980-9900 990-20000 Skatt 6852 6909 6966 7023 7080 737 794 725 7308 7365 a Hur många procent i skatt betalar den som ar en en månadslön på 9500 kr? b Samma fråga för den som tjänar 950 kr/månaden. c Hur mycket, i kronor, får den beålla som ar månadslönen 900 oc får 00 kr i påökt? c Bestäm marginalskatten i procent mellan inkomsten 9800 oc 9900. a) Den som tjänar 9500 betalar 7080 i skatt. 00 7080 36.3% 9500 Den som tjänar 950 betalar 737 i skatt. 00 737 36.6% 950 krona mer i lön ger 56 kronor mindre i plånboken. Den orättvisa man kan tycka finns är rättas till i samband med att den slutliga skatten beräknas året därpå.
6 Förändingsastigeter oc derivator c) 900 6852 2248 att jämföra med 9200 6909 229. Det blir alltså 229 2248 43 kr över d) Vi ska beräkna marginalskatten i procent för en person som tjänar 9800 oc får lönen öjd till 9900 7308 725 00 9900 9800 00 57 00 57% Svar: Marginalskatten i detta intervall är 57%. 0 x Övning.9 (36). Figuren visar en nyårsrakets öjd y m som funktion av tiden x s. Ange två punkter på grafen så att den genomsnittliga förändringsastigeten y y är cirka a) 35 m/s 30 m/s c) 0 m/s d) Beskriv resultaten i a) till c) med ord Som alltid när man läser i ett diagram andlar det om ungefärliga värden. a) sekund efter start är öjden cirka 35 m, som ger den genomsnittliga förändringsastigeten 35 0 0 35 m/s. Efter 6 sekunder befinner sig raketen på öjden 60 m. Två sekunder senare, efter 8 s slår den i marken. Vi får då 0 60 8 6 30 m/s. c) Grafen är av allt att döma symmetrisk kring x 4. Mellan vilka två punkter som elst, som ligger på ömse sidor om x 4 måste då förändringsastigeten vara 0, till exempel 60 60 6 2 0 m/s Övning.0 Nästan (32). Låt N(t) vara antalet bakterier i en bakteriekultur efter t. Beräkna den genomsnittliga tillväxtastigeten från t.5 till t 2.0 om a) N(t) 00 +.6t 4 N(t) 500 + 250t + 5t 2 a) Vi använder oss av den givna funktionen oc beräknar N(.5) 08. oc N(2.0) 25.6 oc får N(2.0) N(.5) 35 bakterier/ 2.0.5
.2 Lösta problem 7 En blygsam tillväxt! Som ovan, men nu med en annan funktion som ger N(.5) 908.75 oc N(2.0) 2060 oc får N(2.0) N(.5) 302.5 bakterier/ 2.0.5 Övning. (34). Temperaturen i en ugn f(t) C ändras med tiden t enligt f(t) t 3 6t + 20 Beräkna oc tolka ändringskvoten f(6) f() 6 Vi beräknar temperaturerna efter timme respektive 6 timmar med jälp av den givna funktionen. Sedan kan vi beräkna ändringskvoten, det vill säga med ur många grader ugnsvärmen stiger per timme under detta tidsintervall. f() 5 C oc f(6) 200 C som ger f(6) f() 6 200 5 5 37 grader/timme Man kan förstås undra vad det är för ugn. Vid starten är temperaturen f(0) 20 C oc en timma senare ar temperaturen sjunkit till f() 5 C. Efter ett dygn f(24) 3700 C Övning.2 (33). Sant eller falskt? Beräknar vi ändringskvoten för en linjär funktion får vi alltid samma resultat, oavsett vilket intervall vi tar Ja, så är det förstås. När vi nu talar om räta linjer, ur brukar vi då beteckna ändringskvoten? Jo, med bokstaven k. Linjens k-värde är detsamma som ändringskvoten. Övning.3 (37). Hastigeten v(t) m/s för en sportbil ges av formeln v(t) 3.3t 0.44t 2, där t är tiden i sekunder oc 0 t 5. Beräkna oc tolka a) v(5) v(6) v(4) 2 a) v(5) 55.5 m/s ger svar på vilken fart bilen ar efter 5 sekunder. Efter 5 sekunder är förresten farten 55.5 3600 000 99.8 km/. Efter 5 sekunder gäller det att ålla i ratten för då är farten upp i 362 km/! v(6) v(4) 8.9 m/s 2 2 ger svar på medelaccelerationen mellan 4 oc 6 sekunder.
8 Förändingsastigeter oc derivator Övning.4 (38). En cylindrisk tank inneåller 20 000 liter vatten. Genom ett ål i tankens botten rinner vatten ut. Volymen V liter efter t min ges av formeln V(t) 20000 800t + 8t 2 a) När är tanken tom? Beräkna den genomsnittliga utströmningsastigeten i intervallet 8 t 22 c) Vad bör vi mena med utströmningsastigeten för t 20? d) I intervallet 0 t a är utströmningsastigeten 600 liter/min. Bestäm a. a) Genom att lösa V(t) 0 får vi svaret. Alltså andragradsekvationen 20000 800t + 8t 2 0 Ekvationen ar en dubbelrot x,2 50. Tanken är alltså tom efter 50 minuter. Vi bestämmer först V(8) 892 oc v(22) 6272 oc därefter den numera bekanta kvoten V(t 2 ) V(t ) 6272 892 480 t 2 t 22 8 Vi tolkar det som att inströmningsastigeten är 480 liter/min oc att utströmningsastigeten är 480 liter/min. c) Här ar vi bara en tidpunkt given! Om vi tar reda på V(9) oc V(2) oc bestämmer ändringskvoten, borde det fungera ganska bra för att ge utströmningsastigeten efter 20 sekunder. Vi får V(2) V(9) 480 2 9 Samma värde! Men om vi tar V(9.9) oc V(20.) V(20.) V(9.9) 20. 9.9 480 Samma igen! Nu gissar vi att utströmningsastigeten efter 20 minuter är 480 liter/min. Man vill ju se grafen! 20 000 5 000 0 000 5000 d) Kul! En ekvation. Vi utgår förstås från vår formel för ändringskvot V(a) V(0) a 600
.3 Kurvors lutning 9 Sen då? Vi ar ju V(t) 20000 800t + 8t2 oc då är V(a) 20000 800a + 8a2. V(0) 20000 Nu får vi 20000 800a + 8a2 20000 600 a som ger 800 + 8a 600 med lösningen a 25. 25 minuter efter att kranen öppnats är den genomsnittliga utströmningsastigeten 600 liter/min. Övning.5 (Ej med) För en funktion y f(x) vet man att f(a) c oc att den genomsnittliga förändringsastigeten av y med avseende på x är k i intervallet från x a till x b. Bestäm f(. Detta är en ren teoretisk uppgift. Inte ett enda tal är givet! Men vi ar vår formel för ändringskvoten att luta oss mot. f( c f( f(a) b a b a Vi vet nu att denna kvot ska vara lika med k oc får då ekvationen f( c k b a där vi löser ut f( oc får f( k(b a) + c Tänk på att något kan vara givet utan att man för den skull ar ett tal för denna storet. Här är k, a, b, c alla givna..3 Kurvors lutning y D B A C E x Övning.6 (Ej med) Bestäm ur diagrammet lutningen för linjestyckena AB, BC, CD oc DE.
Förändingsastigeter oc derivator 0 De 5 punkterna är A (0, 2), B (4, 4), C (6, 2), D (0, 5) oc E (, 2) 4 2 4 0 2 2 4 6 4 5 2 3 0 6 4 2 5 3 0 AB BC CD DE y D C A E F B x Övning.7 (324). Ange för A F den eller de punkter som ar a) c) d) positiv lutning negativ lutning lutningen noll störst lutning Tänk dig en tangent till kurvan i aktuell punkt. Tangenten är ju en rät linje. En rät linje ar ett k-värde. Avgör för punkterna ur tangenten lutar. Positiv lutning: C oc F Negativ lutning: A oc E Ingen lutning: B oc D Störst lutning: C Övning.8 (334). a) Vad menas med en kurvas medellutning i ett intervall? Vad menas med en kurvas lutning i en punkt? a) I ett intervall finns ett största oc ett minsta värde x2 oc x. Bestäm f(x2 ) oc f(x ) oc beräkna medellutningen med formeln f(x2 ) f(x x2 x
.3 Kurvors lutning Tangentens lutning Övning.9 (223). Beräkna medellutningen för kurvan y 4x x2 i intervallet x 2. y(2) 4 2 22 4 oc y() 4 2 3. Vi får nu medellutningen y(2) y() 2 Övning.20 (Ej med) Bestäm medellutningen i intervallet x 3 för kurvan a) y 2x y 2 x Samma sak två gånger till! a) 23 2 3 3 2 3 2 3 8 2 2 3 6 y 2 yx + B A(,2) x Övning.2 (330). Ange k-värdet för en linje genom A oc B om B ar x- koordinaten a) c) d) e) 2.5..0 Studera dina svar i a) till d). Vilken lutning tror du en tangent till kurvan i A bör a?
2 Förändingsastigeter oc derivator A (, 2) oc f(x) x 2 + f(x) 2 x x f(x) a) 2 5 3.5 3.25 2.5 c). 2.2 2. d).0 2.020 2.0 För x-värden ännu närmare gissar vi att tangenten kommer att a k-värdet. Övning.22 (Ej med) Punkten (3, 9) ligger på kurvan y x 2. a) Bestäm k-värdet för sekanten genom punkterna (3, 9) oc ((3 + ), (3 + ) 2 ) Bestäm k-värdet för tangenten i punkten (3, 9) genom att låta närma sig 0. c) Ställ upp ekvationen för tangenten i punkten (3, 9). a) (3 + ) 2 9 3 + 3 9 + 6 + 2 9 (6 + 6 + När går mot 0, blir mindre oc mindre går 6 + mot 6. Man skriver lim är en förkortning av limes. lim 6 + 6 0 c) Resultatet av gränsvärdet betyder att tangentens k-värde är 6. När man ar en punkt (3, 9) oc k 6 kan man bestämma tangentens ekvation m-värdet får vi ur 9 6 3 + m m 9 oc linjens ekvation blir då y 6x 9. Övning.23 (Ej med) Bestäm en ekvation för tangenten till kurvan y x 2 i punkten ( 2, 4). Upprepning är pedagogikens moder. Vi ska alltså genomföra det vi gjorde i förra uppgiften. Dels ar vi punkten ( 2, 4) oc så skapar vi en virtuell punkt ( 2 +, ( 2 + ) 2 ). Så bestämmer vi ändringskvoten nu f(x 2 ) f(x ) ( 2)2 4 x 2 x 2 ( 2) 2 4 + 4 4 ( 4) 4 + lim 4 + 4 0 Tangenten ar alltså k 4. Vi ar en punkt oc k-värdet oc kan då först bestämma m genom 4 ( 4) ( 2) + m som ger m 4. Vi ar nu tangentens ekvation y 4x 4
.3 Kurvors lutning 3 Övning.24 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan till y 6x x 2 i punkten a) (0, 0) (4, 8) a) Vi ar en punkt, (0, 0) oc skapar en till (0 +, 6(0 + ) (0 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6 2 lim 0 0 lim (6 ) 6 0 Vi ar en punkt, (4, 8) oc skapar en till (4 +, 6(4 + ) (4 + ) 2 ). Ändringskvoten insatt i limes direkt ger 6(4 + ) (4 + ) 2 8 (2 + ) lim lim 2 0 4 + 4 0 Övning.25 (335). Skissa en egen kurva för vilket följande gäller: medellutningen 0 i intervallet 3 x 0 lutning i punkten (0, 0) lutning 0 i punkten (2, 2) lutning 2 i punkten (4, 0).0 0.5-3 -2-2 3 4-0.5 -.0 Jag ar fuskat lite med sådant vi inte lärt oss ännu. f(x) x4 47 3x3 76 9x2 76 + x Det finns oändligt många funktioner som uppfyller villkoren. Detta är en oc säkert inte den enklaste. Om man endast ska skissa en graf utan att ta reda på funktionen ritar man först ut tangenterna oc fyller i en passande graf.
4 Förändingsastigeter oc derivator Övning.26 (Ej med) Ställ upp oc förenkla ändringskvoten för funktionen f(x) x 2 3, då x ändras från a till a +. f(x 2 ) f(x ) (a + )2 3 (a 2 3) (a + )2 3 (a 2 3) (2a + ) 2a+ x 2 x a + a Övning.27 (Ej med) Förenkla differenskvoten för a) f(x) 3x f(x) 5x 2 c) f(x) 6 4x d) f(x) x 2 3x + f(x + ) f(x) a) 3(x + ) 3x x + x 3 3 5(x + ) 2 5x 2 x + x 5(x2 + 2 + 2x) 5x 2 52 + 0x (5 + 0x) 0x + 5 c) 6 4(x + ) (6 4x) x + x 6 4x + 4 6 + 4x) x + x 4 4 d) (x + ) 2 3(x + ) + (x 2 3x + ) x + x 2x + 2 3 x + x x2 + 2x + 2 3x 3 + x 2 + 3x x + x (2x + 3) 2x 3 +
.3 Kurvors lutning 5 Övning.28 (Ej med) En kropp faller fritt. Efter t s ar kroppen fallit s m enligt s 5t 2 a) Bestäm med en ändringskvot ett ungefärligt värde på kroppens astiget efter 2.5 s genom att ) beräkna en ändringskvot där t 0.0 2) rita upp grafen med räknaren, zooma in oc läs av två punkter nära t 2.5 Bestäm exakt astigeten efter 2.5 s med jälp av differenskvoten f(2.5 + ) f(2.5) a) a2) 5(2.5 + 0.0) 2 5 2.5 2 2.5 2.5 5(2.5 + 0.0)2 5 2.5 2 2.5 2.5 25.0 80 60 40 20 Läser vi av i grafen får 5 3.5 2 5.5 2 3.5.5 25 f(2.5 + ) f(2.5) Vi genomför gränsövergången 5(2.5 + )2 5 2.5 2 2.5 + 2.5 (25 + 5 25 + 5 lim 25 + 5 25 0 Det är nog bara tur att vi får ett bättre värde (det exakta) i a2) än i a).
6 Förändingsastigeter oc derivator Övning.29 (Ej med) Vilken lutning ar kurvan y x 2 x i den punkt som ar x-koordinaten a? (a + ) 2 (a + ) (a 2 a) a + a a2 + 2a + 2 a a 2 + a + 2a + Ett lika enkelt gränsvärde lim 2a + 2a 0 Övning.30 (Ej med) En sekant med lutning 4 går genom punkterna A oc B på kurvan y x 2. Vilka koordinater ar punkten B om punkten A (, )? x oc y 2 y(x 2 ) x 2 x2 2 x 2 (x 2 )(x 2 + ) x 2 + (x 2 ) Vi får ekvationen x 2 + 4 som ger x 2 3. Då blir y 2 3 2 9. Om vi vill, kan vi nu bestämma sekantens ekvation. Vi ar en punkt (eller egentligen två) oc k 4. Vi bestämmer m genom ekvationen 4 + m oc får m 3 oc sekantens ekvation y 4x 3 Här en bild som visar vad vi åller på med: 5 0 5-2 - 2 3 4-5 -0 Övning.3 (236). Vilken lutning ar kurvan y x 3 där x 2? Här blir det lite extra jobbigt eftersom man ska beräkna ett uttryck liknande (a + 3. (x + ) 3 x 3 x + x x3 + 3x 2 + 3 2 x + 3 x 3 (3x2 + 3x + 2 ) 3x 2 + 3x + 2 Vi använder oss av limes oc får lim 0 3x2 + 3x + 2 3x 2
.3 Kurvors lutning 7 Inte förrän nu sätter vi in x 2 oc får lutningen 3 2 2 2. Vi ade förstås kunnat sätta in x 2 från början. Då får vi (2 + ) 3 2 3 2 + 2 23 + 3 2 2 + 3 2 2 + 3 2 3 (2 + 6 + 2 ) 2 + 6 + 2 oc lim 2 + 6 + 0 2 2 Övning.32 (Ej med) Visa att kurvorna y ax 2 oc y ax 2 + b ar samma lutning för alla värden på x. Funktionen y ax 2 ger a(x + ) 2 ax 2 x + x ax2 + 2ax + a 2 ax 2 (2ax + a 2ax + a Funktionen y ax 2 + b ger lim 2ax + a 2ax 0 a(x + ) 2 + b (ax 2 + x + x ax2 + 2ax + a 2 + b ax 2 b (2ax + a 2ax+a lim 2ax + a 2ax 0 Här är en bild över detta där a 3 oc b 2 2 0 8 6 4 2 -.0 Genom att lägga till en konstant b 2 skjuter vi bara grafen 2 eneter i öjdled. Detta påverkar inte lutningen os kurvan.