Från det imaginära till normala familjer Analytiska konvergenser Linnea Widman Vt 2010 Examensarbete 1, 15 hp Kandidatexamen i matematik, 180 hp Institutionen för matematik och matematisk statistik
ÖÒ Ø Ñ ÒÖ Ø ÐÐ ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ò ÐÝØ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ä ÒÒ Ï Ñ Ò ÍÑ ÍÒ Ú Ö Ø Ø ÍÑ À Ò Ð Ö Ò Ö ÐÐ ØÖ Ñ
Ë ÑÑ Ò ØØÒ Ò Á ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ ÒÒ Ø ØØ ÒØ Ð ÓÐ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú Ö Ú Ú Ø ØØ Ö ÒÖ¹ Ñ Ö Ô Ò Ö Öº Ð Ò ÒÒ Ø ÙÖ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ò ØØ Ø ÓÑÚÒ ÐÐ Öº Î Ø ØØ Ö Ó Ô Ú Ö Ö Ñ Ò Ñ ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ú º Ð ¹ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Öº ËÐÙØÐ Ò ÓÑÑ Ö Ú ØØ Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ñ Ð Ö Ó ÓÑÑ Ö Ò Ô ÐÓ ÐØ ÖÒ Ú ÓÒ¹ Ø ÒÙ Ø Ø ÖÞ Ð» ÓÐ ÅÓÒØ Ð Ó ÊÙÒ Ø Öº Î ÓÑÑ Ö Ö Ú Ò Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ ØÓÖØ Ð Ø ÒØÐ Ò Ò Ð Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Öº Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ñ Ò Ú Ö Ü ÑÔ Ð º½ Ó ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ º¾ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò Ø Ò Ú Ö ÐÐغ
ØÖ Ø Ì Ö ÔÓÖØ Û ÐÐ Ö ÓÙÖ Ö ÒØ ØÝÔ Ó ÓÒÚ Ö Ò º Ì ØÝÔ ¹ Ö Ö ÔÓ ÒØÛ ÐÓ Ð ÙÒ ÓÖÑÐÝ ÙÒ ÓÖÑÐÝ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò º Ì Ö ÒØ ÓÒÚ Ö Ò Ö ÜÔÐÓÖ Ò Û Ý Ó ÓÛ Ø Ý Ö Ð Ø ØÓ ÓØ Öº Ò ÐÐÝ Ø Ö ÔÓÖØ Û ÐÐ Ð Ó ÒÚ Ø Ø ÓÛ Ø ÔÔÐ ØÓ ÒÓÖÑ Ð Ñ¹ Ð Ò Ø Ø ÓÖ Ó ÖÞ Ð» ÓÐ ÅÓÒØ Ð Ò ÊÙÒ º Ï Û ÐÐ Ö Ü ÑÔÐ Ó ÓÛ ÛÖÓÒ Ø Ö ÐÐÝ Ò Ó ÓÖ ÔÓ ÒØÛ ÓÒÚ Ö ÒØ ÕÙ Ò º Ì Ý Ó Ù Ù ÐÐÝ ÒÓØ Ú Ð Ñ Ø Ø Ø Ò ÐÝØ ÙØ ÖÓÑ ÓØ Ü ÑÔÐ º½ Ò ÓÖÓÐÐ ÖÝ º¾ Û Û ÐÐ Ø Ø Ø Ý Ú ÙÒØ ÓÒ Ø Ø Ò Ø Ö Ò ÐÝØ ÐÑÓ Ø Ú ÖÝÛ Ö º
ÁÒÒ ÐÐ ½ ÁÒÐ Ò Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º½ ËÝ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ÖÙÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º½ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö º º º º º º º º º ½ º½ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º¾ ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½
ÙÖ Ö ½ ÁÒÖ Ö Ôº Ö Ò ÔÙÒ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ÌÝÔ Ø ÔÓÐÝ ÓÒØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º A ØØ B º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ö Ô Ø Ú Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò º º º ½½ ÈÙÒ ØÚ Ñ Ò Ð ÓÖÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ÎÖ ÓÒÚ Ö Ò Ö º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ Ü ÑÔ Ð ÖÒ Ú ÓÒ ÖØ Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾¼
½ ÁÒÐ Ò Ò Ø Ö ÔÔ Ó Ø Ö ÓÑ ÒÚÒ ÒÒ ÙÔÔ Ø Ö Ð Ö ÙÔÔ Ø¹ Ò Ñ Ò Ö Ò ÒØÖ Ö ÒÒ Ò Ö Ö Ò Ð Ø Ú Ö Ö ÐÙØ Ø ÓÑ Ò Ú Ö Ú ÒØÖ º ½º½ ËÝ Ø ËÝ Ø Ø Ñ ÒÒ ÙÔÔ Ø Ö ØØ Ö Ð Ö Ó Ö Ú ÓÐ ØÝÔ Ö Ú ÓÒ¹ Ú Ö Ò Ö Ö Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Î Ó ØØ Ò Ú Ñ Ò Ò Ð Ö Ò ÒØ Ú ÒØÐ Ø ÓÑ Ñ Ò Ò ØÖÓº Ú Óѹ Ñ Ö ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ÙÖ ØÓÖØ Ð Ø ÒØÐ Ò Ò Ð Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Öº Ö ÒÓÖÑ ÐØ ÒØ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ñ Ò Ú Ö Ü ÑÔ Ð º½ Ó ÃÓÖÓÐ Ö ÙÑ º¾ ØØ Ö Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò Ø Ò Ú Ö ÐÐغ ½º¾ À ØÓÖ ÃÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ó ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØÓ Ò ÔÐ Ø ØÓÖ Ò ÒÓÑ Ô Ö¹ Ø ÐÐ ÒØ Ö Ø ÓÒ ØÑÑÒ Ò Ò Ú ÐÓ Ö ØÑ Ò Ö Ò Ø Ú Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÒ ÓÖÑ Ú Ð Ò Ò Ó Ð Ò Ò Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ø ÓÒ Ö Ñ Ö ÐÐ Ó ¹ ÒØ Öº Ø ØÓ Ò Ö Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ð Ò ÒÒ Ø Ñ ³ Ð Ñ ÖØ ÓÑ Ö Ø ØÑÑ ØÚ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ó Õ Ñ Ö ÒØ Ð ÖÒ dp = N dx M dy, dq = M dx + N dyº ØØ ÓÑÑ Ö ØØ Ö ÙÐØ Ö Ú Ú Ò Ö ÐÐ Ö Ö Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹ Ú Ø ÓÒ Ö Ë Ø ¾º Ú ØØ Ö N Ó M dp Ó dq ÓÑ ÖÑ Ö p y = q x, p x = q y º ½º½µ Ø Ú Ö ÒØ ÖÖÒ ÙÒ Ö Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÓÑ Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ÓÑ Ø ÐÐ ÐÙØ Ø Ò ØØ Ø Ú Ö Ò ÚÒ Ø ØØ ÒÚÒ ÙØÚ Ø Ð Ý Ø Ñº ØØ ÙØÚ Ò Ò ÖÒ Ñ Ø Ö Ñ ÐÔ Ú Ò Ø ÓÒ Ö Ô ØØ Ö ØØ ØØ Ñ Ò ØØ Ö Ð ÒÐ ÓÑ Ø Ö Ô ÒØ Ú ØØ ØÙ ÐÐ Ö Ð ÖÒ Ó Ò Ô ÖÒ Ö Ú Ö º Ø Ú Ö Ó ÒÒÙ Ø Ö Ö Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÓÑ Ñ Ò Ð Ò Ò Ò Ú Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Ö ØØ ÙÒÒ Ð Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ù Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ú Ö Ñ Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ØØ ÙØØÖÝ Ö Ú Ö ØÖÓØ Ò ÙÖ Ò Ø Ú Ø Ðº Ê Ò ÒÒ Ò Ø Ú Ö Ñ Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ÙØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ø ØØ ÒØ Ð Ò Öº Ø Ö Ñ Ò Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ò ax = b Ö x Ö Ò Ó Ò Ú Ö ÐÒ Ó a Ó b ÐØ Ð ÐÐ ÖÒ ÒÓÐк Ð Ø Ð Ò Ñ Ø ÙØÚ ØØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ø Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Òº Ö Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑ Øº ܺ x 2 = 2 Ú Ð Ò Ö Ò ÓÒ Ð Ò Ò ½
Ö x ÓÑ Ø ÐÐ Ö Ö Ø ÓÒ ÐÐ Ø Ð Ò Ú Ö Ñ Ò Ø Ö Ò ØÚÙÒ Ò ØØ ÙØ ÚÖØ Ø Ð Ý Ø Ñ ØØ Ø Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö ÐÐ Ø Ð Òº ØØ ÐÔØ Ó ÒØ ÒÖ Ú ÓÑÑ Ö Ø ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ö ÓÑ x 2 = 1 Ú Ö Ø Ò Ú Ò ÓØ Ö ÐÐØ Ø Ð Ð Ö Ö Ò Ø ÚØ ÒÒ Ö Ú Ò ÓÒ Ö ÐÐ Ð Ò Ò º Ò Ò Ò ÓÑÑ Ö Ñ Ò Ø ÐÐ Ò Ø Ò ØØ Ú Ñ Ø ÙØÚ ÚÖØ Ø Ð Ý Ø Ñ Ó Ñ Ò ÚÐ Ö ØØ Ö ØØ ÒÓÑ ØØ Ò Ö ÝÑ ÓÐ Ò i ÓÑ Ò Ö ÓÑ i 2 = 1º Ø ÓÑÑ Ö ØØ ÐÐ Ö Ø Ñ ÒÖ Ø Ð Ø ÓÑ Ò ÔÑ Ò Ð ÖÒ ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ñ Ò Ô ÙØØÖÝ Ñ Ô Ó Ò ØØ Ú Ö Ø Ú Ó ÓÚ Ö Ð º Ø Ú Ö ÐÚ Ú Ö Ø ÖØ ÓÑ ½ ÐÐ ÙØØÖÝ ÓÑ ÒÚÓÐÚ Ö ÖÓØ Ò ÙÖ Ò Ø Ú Ø Ð Ö Ñ ÒÖ Ó ØÓ ÓÑ ÓÐ Ð º Î Ö ÖÑ Ò Ö Ò Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Òº Î Ú ÐÐ Ð Ø ÐÐ ØØ Ú ÒÐ Ø Ö ÐÐØ Ø Ð Ø ÐÐ i Ú Ð Ø ÖÚ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ò ai bi i a + bi Óº ºÚº Ö a Ó b Ö Ö ÐÐ Ø Ðº Î Ò Ö ÖÑ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ Ö ÓÖÑ Ò a + bi Ö a Ó b Ö Ò Ö Ö ÐÐ Ø Ð Ö a ÐÐ Ö Ð Ð Ò Ê z Ó b Ö Ò Ñ ÒÖ Ð Ò ÁÑ z Ñ Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ó Ö Ô Ð ÐÐ Ø Ö Ù ØÖ Ø ÓÒ Ó Ú ÓÒ Ö Ú Ó (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i (a + bi)(a bi) = a 2 + b 2 º (a + bi) (c + di) = (a c) + (b d)i a + bi c + di = ( ) ac + bd c 2 + d 2 + ( ) bc ad c 2 + d 2 i Ö c + di Ö ÐØ ÖÒ 0 + 0iº Î Ö Ú Ò Ö ØØ Ö ÙÐØ Ø Ø Ð Ö Ô ÓÖÑ Ò a + biº ÒÓÑ ÒÒ ÙØÚ Ò Ò Ú Ø Ð Ý Ø Ñ Ø Ö Ú ÒÙ ÓÖØ Ø Ñ Ð Ø ØØ Ð Ú Ö Ú Ö Ø Ú Ø ÓÒ Ô ÓÖÑ Ò ax 2 + bx + c = 0 Ó Ú Ò ÒÙ ÙØ ØØ Ø ÐÐ Ò Ø ÓÖ ÓÑ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ê Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ì ÖØ Ð Ö Ò Ñ Ö Ð Ø ØÖ ¹ Ó Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ö Ô ÑÑ ÓÖÑ ÓÑ ÚÖ Ò Ö Ö Ú Ø ÓÒ Ñ Ò Ø ØÓ ÝØØ ÖÐ Ö Ò Ø Ò ¾¼¼ Ö ÒÒ Ò ÖÐ Ö Ö Ù ½ ¹½ µ ÐÝ Ú ØØ Ò Ð Ò Ò Ü Ø Ö Ö Ö Ò Ò Ö ÐÐ Ú Ø ÓÒ Ò Ú ÑØ Ö Ö Ó Ú Ò Ö º À Ò ÓÖ ØØ Ò Ú Ò Ð Ò ½ ÒÓÑ ØØ Ô Ø ØØ Ò Ú Ø ÓÒ Ô ÓÖÑ Ò f(x) = x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 1 x + a 0 = 0 Ö n Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ ÐØ Ð Ó a j Ö Ö ÐÐ ÐÐ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÒÒ Ø Ñ Ò Ø ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ð α = c + di ØØ f(α) = 0º Ø Ú Ö ³ Ð Ñ ÖØ ÓÑ Ú Ö ½º½µ ØØ p Ó q Ö Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð ÖÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ñ Ò ÙÐ Ö Ú ÙÖ Ñ Ò Ò ¾
ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ Ö Ò Ò Ö ÐÐ ÒØ Ö Ðº ÙÐ Ö ÓÖ ØØ ÒÓÑ ØØ ÒØ Ð ÖØ Ð Ö ÖÒ ½ Ö Ñ Ø ÐÐ Ò ÓÖØ Ò ½ Ñ Ò Ö ÒØ ÔÙ Ð Ö ÖÖÒ ½ º ÙÐ Ö Ú Ö ÒØ Ò Ñ ÓÑ ØØ ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö ØØ ØÙ Ö ÒØ Ö Ð Ö ÙØ Ò Ø ÓÖ Ú Ò Ä ÔÐ ÓÑ Ö Ñ ØØ ÔÙ Ð Ö Ò ÖØ Ð Ö Ö Ò ½ ¾ Ó ÐÙØ ¼ Ö Ò Ö ½ ½¾º À Ò Ò ØØ Ø Ú Ö Ò ÓÑ ÙÐÐ Ö Ò Ö ØØ Ò Ð Ú ÔÙ Ð Ö ÒÒ Ò ÙÐ Ö º Ñ Ò Ö Ò Ô Ëغ È Ø Ö ÙÖ Ñ Ò Ñ Ö ½ Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ÙÐ Ö ÖØ Ð Ö Ó Ð Ø Ð Ú Ø º Ú Ò ÓÑ ÙÐ Ö ³ Ð Ñ ÖØ Ó Ä ÔÐ ÖÓ Ñ ØÓÖ Ð ÙØÚ Ð Ò¹ Ò Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ò ÒÒ Ø ÖÒ Ò Ò Ö Ö Ú Ö º Ö ØØ ÙÒÒ ÒÚÒ Ò Ñ ØÓ Ö Ú Ö ØÚÙÒ Ò ØØ Ô Ö Ö Ò Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð Ò f(x + iy)º Ò Ú Ò ÐÐ ØÖ ÐÐ Ø ÐÐ ÑÓ ÒÖ ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ º Ä ÔÐ Ö Ú ÙØØÖÝ Ð Ò Ò Ó ½ ½¾ ØØ Ú¹ Ò ÖÒ Ö ÐÐ Ø ÐÐ Ñ ÒÖ Ø Ð Ò ØÖ Ø ÓÑ Ò ÙÖ Ø Ñ ØÓ Ñ Ò ÓÑ Ñ Ò ÒÚÒ Ö Ñ ØÓ Ò Ñ Ö Ø Ø ÓÑÑ Ö Ñ Ò ÐÐØ ØØ ÙÒ¹ Ò Ú Ò ÙÔÔÒ Ö ÙÐØ Øº À Ò Ò ØØ Ø Ú Ö Ú Ø Ø ØØ Ú Ö Ö Ö ÙÐØ Ø Ò ÒÖ Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÆÖ Ú ÒÙ Ö Ò Ð Ö ØÓÐ Ò Ò Ú Ö Ú Ú Ò Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò¹ Ò ÓÑ Ò Ö ÔÖ ÒØ Ö Ø ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ø z = x+yi ÔÐ Ò Øº ØØ ÓÖ Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ú Ð Ò ÒÒ Ø Ò ÒÓÖ Ô Ö Ï Ð ½ ¹ ½ ½ µ Û Þ Ö Ò Â Ò¹ÊÓ ÖØ Ö Ò ½ ¹½ ¾¾µ Ó Ù º ÂÓ Ò Ï ÐÐ Ó Ö Ò ½ ØØ ØØ Ö Ð Ô Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ñ Ò Ò Ò Ò Ø ÖÖ Ö ÔÓÒ Ô ØØ º ÆÖ Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ó Ð Ö ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ ÓÑ Ð Ú Ø ÒØÙ Ø Ú Ö ÓÒ Ñ Ò Ø Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò Ñ Ö ØÝ Ð º ÅÒ ØÒ Ø Ö Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ò ÓÑ ÔÙÒ Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ð Ò ÒÒ Ø ÓØ ÅÓ ÚÖ ÙÐ Ö Ó Î Ò ÖÑÓÒ Ú Ð Ø Ð Ö ÖÒ ØØ Ú Ö ØØ Ð x n 1 = 0 ØÒ Ø Ô Ð Ò Ò ÖÒ Ö cos 2kπ n + isin2kπ n ÓÑ ÖÒ Ò Ò Ö Ð ÙÒ Ò ÔÓÐÝ ÓÒº ÙÐ Ö Ö ØØ x Ó y Ñ x + iy ÓÑ Ò Ò Ö ØØ ØØ Ò ÔÐÓØØ ÙÔÔ ÔÓÐÖ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ r Ó θº Ê Ò Ô ½ ¼¼¹Ø Ð Ø ÙÒ Ñ Ò ÐÐØ Ö Ø ÙØ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ÓÑ ÓÓÖ Ò Ø Ö ÔÐ Ò Ø Ñ Ò Ñ Ò ÙÒ Ó ÒØ ÒØ Ö x Ó y Ö Øº Ï Ð Ö Ú ½ Ò ÖØ Ð ÓÑ Ò Ð Ö ÔÖ ÒØ Ø ÓÒ Ò Ó ÓÔ Ö Ø ÓÒ ÖÒ Ñ Ú ØÓÖ¹ Ö ÓÑ Ú ÔÖ Ò Ô ÐÖ Ó º Ò ÔÙ Ð Ö Ö Ò ½ Ú ÃÙÒ Ð Ñ Ò ÒÑ Ö Ñ Ò Ò Ó ÑÖ Ø Ö Ø ÐÐ Ñ Ò ÔÙ Ð Ö Ò Ö Ò Ú Ö ØØÒ Ò ½ º Ø ØÓ ÐÐØ Ò Ø Ò ½¼¼ Ö Ô ÖÙÒ Ú ÔÖ Ø Ö ØØ Ï Ð Ö Ø ÙÐÐ Ð ÙÔÔÑÖ ÑÑ Øº Ú Ò Ö Ò Ö Ø Ô Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò ½ ¼ Ò Ð Ø Ò Ó ÓÑ Ò Ò Ð Ø Ò ÒÓÖÐÙÒ ØÓÐ Ò Ò Ö Ò ØÒ Ö ÖÓØ Ø ÓÒ Ö Ñ 90 ÖÙÒØ ÓÖ Ó º À Ò Ú Ó ÙÖ Ñ Ò Ò Ö Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ö ÓÑÔÐ Ü
Ø Ð ÓÑ ØÖ Ø Ó ÙÖ Ñ Ò ÙÒ ÒÚÒ Ö ØØ Ú Ø Ö ÒÓÑ ØÖ ÓÒÓÑ ØÖ ÓÑ ØÖ Ó Ð Ö º À Ò Ó ÓÖ ØØ ÒØ Ð ÔÝØ Ö ÓÑ Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ñ Ò ÐÙØÒ Ò Ú Ò ÚÐ Ø Ð Ø Ò Øº Ö Ù Ø Ö ÑÓØ ØØÖ ØØ Ö Ö Ò ØÓÐ Ò Ò Ö Ò Ö Ú Ò Ú Ð Ö Ò ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ø ÓÖ ÒÚÒ Ú ØØ º À Ò ÖÙØ ØØ Ö Ð Ò ÒÒ Ø Ò ØÖ Ö Ø Ú ½ ½ ½ Ó ½ ½ µ Ò ½¹ ½ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ø ÖØ Ò ÔÐ Ò Ø Ó ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Òº À Ò Ö Ò ½ ½ Ø Ø Ø ÐÐ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÖ Ò Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ú Ò ÓÑ Ò ½ ¾ Ö ØØ Ö Ú ØØ Ò ÒÒ Ñ Ø Ý Ò Ú 1 Ö Ò º À Ò Ó Ú Ö ÓÑÑ Ø Ø Ö Ò Ü Ö Ò Ö ÒÖ Ò Ö Ú Ö Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº Ò ÓÑ ØÖ ØÓÐ Ò Ò Ò Ú Ú a + bi Ö Ñ Ò Ö Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ó Ö Ú¹ Ö ÙØ ÖÒ ØØ Ò ÓÑ ØÖ Ø ÓÒ Ò Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø ÓÒ Ò Ú Óѹ ÔÐ Ü Ø Ðº À Ò Ø Ö Ú Ò ÙÔÔ Ø ÓÖ Ò ÓÑ Ö Ù Ö Ó Ö Ö ÒÚÒ Ø ÖÑ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ð ØÐÐ Ø Ö Ñ ÒÖ Ø Ð Ó i ØÐÐ Ø Ö 1º Ø Ú Ö Ó Ï ÐÐ Ñ ÊÓÛ Ò À Ñ ÐØÓÒ ÓÑ ØÓ Ø Ø Ø Ø ½ Ó ÒØ Ö x + iy Ñ ÓÓÖ Ò Ø Ö Ó Ö Ú Ò Ö Ø Ð Ö ÓÖѺ Å Ò ÓÑ Ñ Ò ÙÔÔØ Ø Ò ÓÒØ Ò Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ù Ö Ò ÙÔÔØ Ø Øº Ë Ò Ú Ø ÐÐ ØØ Ø Ú Ö Ö ÒÚÒØ Ú Ø Ú Ð Ø ÓÖ ØØ Ò Ò ÖÝ ÖØ Ú Ö Ò Ö ÙÐØ Øº Î Ö ÖÑ Ò Ö ÖÙÒ Ø ÐÐ ØØ ÙØÚ Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö ÓÑÔÐ Ü Ø Ð» ÙÒ Ø ÓÒ Öº Î Ð Ø Ð Ò ÒÒ Ø ÓÖ Ú Ù Ó ÈÓ ÓÒ Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ø ØØ Ô ÒØ Ö ÐØ ÓÖ Ò ÐÐ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÁÒ Ò Ú Ñ ÔÙ Ð Ö Ó Ò ÓÒ Ø ÖÖ ÖØ Ð ÓÑ ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ º Ø Ú Ö ØÐÐ Ø Ð Ò ÒÒ Ø Ö Ò Ù Ù Ø Ò¹ÄÓÙ Ù Ý ½ ¹½ µ ÓÑ ÖÙÒ ÒÒ Ø ÓÖ Ó Ò Ð Ú ØØ Ú Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Öº ¾ ¾º½ ÖÙÒ ÖÙÒ Ð Ò Ö ÔÔ Î Ö Ñ ØØ ÒÓÑ Ò Ö ÖÙÒ Ð Ò ØÓÔÓÐÓ Ò Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ñ ØØ Ö Ú ÓÐ Ö ÔÔ Ö Ò ÑÒ Sº Î ÐÐ Ö ÑÒ Ò Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÓÑ Ø Ö Ö z z 0 < ρ Ö ρ Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö ÐÐØ Ø Ð Ö Ò Ö ÙÐÖ ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ò z 0 º Ò ØÖ Ú ÐÐ ÔÙÒ Ø Ö ÒÙØ Ö ÐÒ Ñ Ö ρ ÖÙÒØ z 0 º Ò ÑÒ S Ö ÔÔ Ò ÓÑ Ú Ö z S Ö Ò ÒÖ ÔÙÒ Øº Ö z 0 S Ö Ò ÒÖ ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ S ÓÑ Ø ÒÒ Ò Ö ÙÐÖ ÔÔ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Ò ÐÐ ÖÒ {z C z z0 < r} = B(z 0,r) ÓÑ Ö Ò ÐÑÒ Ú Sº Ü ÑÔ Ð Ô ÔÔÒ ÑÒ Ö Ö {ρ 1 < z z 0 < ρ 2 }
S ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ò ÔÙÒ Ø ÙÖ ½ ÁÐÐÙ ØÖ Ø ÓÒ Ú Ú Ò ÒÖ ¹ Ö Ô Ø Ú Ö Ò ÔÙÒ Ø Öº { z 5 > 4} {ÁÑ z > 0} Ó {2 < Ê z < 4}º ØØ S Ö ÔÔ Ò Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ ØØ ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø C \ S Ö ÐÙØ Øº ÅÒ Ò S Ö ÐÙØ Ò ÓÑ ÐÐ Ö Ò ÔÙÒ Ø Ö ÒÒ Ñ º Ö z 0 C Ö Ò Ö Ò ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ S ÓÑ Ú Ö ÓÑ ÚÒ Ò B(z 0,r) ÒÒ ÐÐ Ö ÔÙÒ Ø Ö ÙÖ S Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ø Ø ÐÐ Sº Á ÙÖ ½ Ö Ú Ò Ð Ú Ö ÙÖ ØØ Ò Ùغ ÇÑ Ú Ö Ò ÑÒ Ú ÔÙÒ Ø Ö z ÓÑ Ø Ö Ö ÓÐ Ø Ò z z 0 ρ ρ > 0 Ö Ò Ò ÐÙØ Ò ÑÒ Ó ÐÐ Ö Ò ÐÙØ Ò Ö Ð Ú Ò ÒÒ ÐÐ Ö Ö Ò z z 0 = ρº ÇÑ Ö Ú Ö z 1 S, z 2 S C Ò ÑÑ Ò Ò Ñ ØØ ÔÓÐÝ ÓÒØ ÐØ S ÐÐ S Ú µ ÑÑ Ò Ò Ò ÙÖ ¾º Ò ÔÔ Ò ÑÑ Ò Ò Ò ÑÒ ÐÐ Ö ØØ ÓÑÖ º z 1 z 2 ÙÖ ¾ ÌÝÔ Ø ÔÓÐÝ ÓÒØ ÆÖ Ñ Ò Ö Ò ÑÒ ÓÑ ÙÖ Ö Ñ Ò ØØ ÑÒ Ò A B Ö ØØ B ÓÑ A B Ú Ö Ò ÐÐÑÒ Ò Ø ÓÒ Ò Òº Q Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔ Ð ØØ Rº Ò Ø ÓÒ ¾º½º ÅÒ ØØ Ò ÒÒ Ò ÑÒ Ò ÑÒ A B C Ö ØØ B ÓÑ Ö Ú Ö z 0 B ÒÒ Ò Ð {z n } A º º lim n z n = z 0 º ÙÖ A ØØ B Ò ÑÒ ÔÙÒ Ø Ö Ú S Ö ÖÒ ÓÑ Ø Ü Ø Ö Ö ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ö ÐÐØ Ø Ð R ØØ z < R Ö ÐÐ z Sº S Ö ÐÐØ ÖÒ ÓÑ S Ð Ö Ò ÓÒ ÖÒ º Ò ÑÒ ÓÑ Ö ÖÒ C Ö Ó ÖÒ º ÇÑ Ú Ö Ò ÑÒ ÓÑ Ö ÐÙØ Ò Ó ÖÒ Ö Ú Ò ÓÑÔ Ø ÑÒ º
Î Ú Ö Ú Ò Ò Ð Ö Ð Ö Ö ÚÖ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ó Ö Ö Ñ ØØ Ø ØØ Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ú Ö Ú Ö Ò º Ò Ø ÓÒ ¾º¾º C¹ Ö Ú Ö Ö ÇÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú z 0 Ö f C¹ Ö Ú Ö Ö z 0 ÓÑ f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z 0 z Ü Ø Ö Öº ÖÒ ÚÖ Ø ÐÐ Ö Ö Ú Ø Ò Ú f z 0 º Ö z Ö Ú ØØ Ò Ò ÒÖÑ ÒÓÐÐ ÖÒ Ö ÚÒ Ø Ö ÙØ Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ Ó Úº Ø Ö ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ø Ðº Å Ò Ö ØØ Ö Ú Ø Ò Ü Ø Ö Ñ Ø ÖÒ ÚÖ Ø ÒÖÑ ØØ ÙÒ Ø Ø Ð f (z 0 ) Ó ÖÓ Ò ÙÖ z 0º ÇÑ Ú Ö Ò C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ö ÔÙÒ ØÚ Ò Ö ÓÑ ÓÚ Ò Ö Ñ Ò ØØ Ò Ö Ò ÐÝØ Ò ÔÔ Ò ÑÒ Dº Î Ò Ö Ú Ô ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ó Ö Ò ÐÝØ ¾º½½º Ë Ñ Ò Ø Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð Ö Ö Ú ÖÒ Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Öº Î Ð Ø Ú Ò Ø Ö Ö ØØ ØØ Ð Ò ÒÒ Ø ³ Ð Ñ ÖØ ØÙ Ö ÙÒ Ö ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ó ÓÑ Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ x Ó y Ö ÔÖ ÒØ Ö Ö Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ Ð ÖÒ Ò ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒº Î Ö Ø Ö ÒÑÒØ ØØ ÙÐ Ö Ú ÙÖ Ñ Ò ÒÚÒ ÓÑÔÐ Ü Ø Ð Ö ØØ ÙØÚÖ Ö Ò Ö ÐÐ ÒØ Ö Ðº Ø Ö Ó Ð Ò ÒÒ Ø Ø Ö Ù Ý ÓÑ Ø Ö ÔØ Ø Öº À Ò ØÙ Ö ØØ ÙÒ Ö Ö Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ñ Ò Ò Ú Ð Ö ÜÔÐ Ø ÙÖ Ø ÓÑÔÐ Ü ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Òº Ø Ú Ö Ö Ø Ò Ò Ö Ö Ø Ò Ñ Ò ÙÖ Ò ÖÒ Ö ÐÐ Ø ÐÐ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô Ú Ø ÓÒ Öº Ë Ø ¾º º Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ ¹Êµ Ú Ø ÓÒ Ö ÒØ ØØ f Ö C¹ Ö Ú Ö Ö z 0 º ÐÐ Ö f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y)µ Ú º u x = v y u y = v x f f(z 0 + z) f(z 0 ) (z 0 ) = lim z 0 z = lim z 0 = { z = x + i y} = u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) x + i y + i(v (x 0 + x,y 0 + y) v (x 0,y 0 )) x + i y + ¾º½µ ¾º¾µ
ÆÖ z 0 Ø Ö Ò Ö ÐÐ Ü ÐÒ Ð Ö z = x Ú Ð Ø Ö y = 0µ f (z 0 ) = u x (x 0,y 0 ) + i v x (x 0,yo)º ÆÖ z 0 Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ Ð Ø z = i y ÓÑ Ö x = 0µ f (z 0 ) = 1 i u y (x 0,y 0 ) + i 1 v i y (x 0,y 0 )º Î Ö ÐÐØ u x + i v x = i u y + v y º Ê ÐÐ Ð Ò ÑÓØ Ú Ö Ò Ö ÐÐ Ó Ñ ÒÖ ÑÓØ Ñ ÒÖ Ö ÖÑ u x = v y Ó v x = u y º Ú Ò Ø ÓÑÚÒ ÐÐ Ö Ú ÓÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ö Ú Ö Ö Ó Ú Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ ¾º½µ Ó ¾º¾µ Ò ÓÑ ÚÒ Ò U Ø ÐÐ z 0 Ö Ú Ò C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒº Î Ö f(z 0 + z) f(z 0 ) z = = u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) + x + i y + i (v (x 0 + x,y 0 + y) v (x 0,y 0 )) x + i y Ö z 0 = x 0 + iy 0 Ó z = x + i yº Ö z Ø ÐÐÖ Ð Ø Ð Ø Ò ØØ Ö Ò z Ð Ö ÐØ U Ö Ú ØØ Ò Ø Ö Ú Ø ÓÒ Ò Ö ÚÐ Ò Ö Ó Ò ÖÑ Ö Ú u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 ) = ÖÒ Ñ ÐÚÖ Ø Ò R Ö Ú ØØ = (u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y)) + + (u(x 0,y 0 + y) u(x 0,y 0 )) u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y) = x u x (x,y 0 + y) Ö Ò ÓØ Ø Ð x ÓÑ Ð Ö Ñ ÐÐ Ò x 0 Ó x 0 + xº ÃÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖÒ (x 0,y 0 ) Ö u x (x,y 0 + y) = u x (x 0,y 0 ) + ε 1 Ö ε 1 0 x x 0 Ó y 0 Ô ÐÐØ z 0µº ØØ Ñ Ö ØØ ( ) u u(x 0 + x,y 0 + y) u(x 0,y 0 + y) = x x (x 0,y 0 ) + ε 1
È ÑÑ ØØ Ö Ö Ø Ö Ò ÝÖ Ú Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÙÐØ Ø ÓÑ Ñ Ö ØØ f(z 0 + z) f(z 0 ) x ( u x + ε 1 + i v x + iε ) ( ) 3 + y u y + ε 2 + i v y + iε 4 = z x + i y ÔÙÒ Ø Ò (x 0,y 0 ) Ó ε i 0 z 0º ÇÚ Ò Ø Ò ÙØØÖÝ ÒÓÑ ÒÚÒ Ò Ò Ú ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ¾º½µ Ó ¾º¾µ ÓÑ x ( A u x + ) ( i v x + i y u x + ) {}}{ i v x x(ε 1 + iε 3 ) + y(ε 2 + iε 4 ) + x + i y x + i y Ú ÖÒ ØÖ Ò ÐÓÐ Ø Ò Ö A x + i y x x + i y ε 1 + iε 3 + y x + i y ε 2 + iε 4 ε 1 + iε 3 + ε 2 + iε 4 A Ö Ú ØØ 0 z 0 Ó Ö ÖÒ ÚÖ Ø x+i y f(z 0 + z) f(z 0 ) lim = u z 0 z x (x 0,y 0 ) + i v x (x 0,y 0 ) Ó ÖÑ Ö Ú ØØ f (z 0 ) Ü Ø Ö Öº ÖÒ ØØ Ò Ú ØØ f z = f f x = i y º Ò Ò Ö ÓÑ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö ØØ Ò ÑÒ Ø ÖÒ Ö ÓÖ ÖÒ Ö Ê Ñ ÒÒ ½ ¾ ¹½ µ ÓÑ Ñ Ò ØÖÓÖ Ö ÙØ Ø Ö Ò Ú ¾½ Ö Ð Ö ½ Ó Ö ÙÑ ÒØ Ö Ö Ø ½ ½º ËÓÑ Ú Ö ØØ Ó Ô ØØØ Ø Ö Ò z 0 ÚÐ Ø Ö Ò Ö ÐÐ Ü ÐÒ ÓÑ Ø Ö Ò Ñ ÒÖ Ü ÐÒº ØØ Ñ Ö ØØ ÐÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ö Ú Ö Ö Ó ÖÑ Ò ÐÝØ Ú Ð Ø Ú ÓÑÑ Ö Ø ÐÐ Ò Ö º Î Ö Ö Ö ÑÓØ Ö Ø Ñ ØØ ÓÒ Ø Ø Ö ØØ ÓÑ Ø Ö ÐÐ ÐÐ Ø Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ØØ Ø Ö Ú Ö Ø ÖÑÚ Ó Ö Ð Ò Ö ÙÐØ Øº ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º Î Ö ÓÑÔÐ ÜØ ÔÓÐÝÒÓÑ p(z) = a 0 +a 1 z+...+a n z n C(z) Ö Ò ÐÝØ C Ó Ö Ú Ø Ò Ú p (z) = a 1 +2a 2 z+...+na n z n 1 C(z)º Ú º Ð Ö ÖÒ ØØ d dz zn = nz n 1 Ó Ö Ò Ö Ð ÖÒ Ö f Ó g Ö¹ ÒØ Ö Ö z (af + bg) (z) = af (z) + bg (z) (cf) (z) = cf (z) Ö Ò ÓÒ ÓÒ Ø ÒØ cº Î ÒÙ Ø ØØ ÒÖÑ Ö Ô ÓÐ Ò ÐÝØ Ó Ò ÐÝØ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ö Ó Ö Ö Ñ Ò ÐÝØ º Ü ÑÔ Ð ¾º º Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ë ÐÚ Ð ÖØ Ö f(z) = z Ò ÐÝØ Ó Ú Ò Ò Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö ÙÔÔ Ý Ô ÓÖÑ Ò ÓÑ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º º
Î Ö Ú Ò ØØ f = 1 z Ö Ò ÐÝØ {z z 0} Ó f(z) = e z ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ð Cº Ö Ò Ò Ö Ö Ú ÖÒ Ò Ø ÓÒ Ò Ú Ò ÓÑÔÐ Ü ÜÔÓÒ ÒØ Ð Ò ØØ f(z) = e x cos y + ie x sinyº Ô ÖØ ÐÐ Ö Ú ØÓÖ Ð Ö u x = ex v cos y y = ex u cos y y = ex sin y Ó v x = ex sinyº ÖÒ Ú Ø ÓÒ ÖÒ ¾º½µ Ó ¾º¾µ Ö Ú ØØ ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ÐÐ Ö Ö Ú Ö ÔÙÒ Ø ÔÐ Ò Ø Ó Ú Ö Ö Ú Ø Ò f (z) = e x cos y + ie x sin y = e z ÓÑ ÖÚÒØ Øº Ü ÑÔ Ð ¾º º ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ Ö Ò ÐÝØ z Ö Ò ÐÝØ Ø Ö ÓÑ Ð Ø ØØ Ò ÓÑÔÐ Ü Ö Ú Ø Ò Ú z ØØ ÙÒ Ø ÚÖ Ò ÓÒ ÔÙÒ Ø z Ö ÐÐØ Ö ÒØ Ö Ö Ó ÖÑ Ò ÐÝØ º ØØ Ö Ú Ú Ò ÖÒ ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö Ë Ø ¾º Ö u(x,y) = x Ó v(x,y) = yº Î Ö Ð Ò u v x = 1 y Ò Ö ÐÐ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Øº Å Ò Ö ØØ Ø ÐÐ Ð Ú Ò ÙØ u Ú Ð Ø ØÑÑ Ö 1 1º Im(z) Ö Ò ÐÝØ Ú Ð Ø Ú Ö ÖÒ ØØ f (z 0 + z) f(z 0 ) z = Im (z 0 + z) Im(z 0 ) z = 1 u y = v x = Im( z) º z = 0º Ö x = v y ÇÑ z 0 ÙØ Ø Ö Ö ÐÐ Ü ÐÒ 0 x = 0 Ó ÓÑ z 0 ÙØ Ø Ö Ñ ÒÖ Ü ÐÒ 1 y i y = iº Î Ö ÐÐØ Ð ÚÖ Ò Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÖÑ Ö Ú Ö Ö ÐÐ Ö Ò ÐÝØ º ¾º¾ ËÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö Î ÒÙ Ø ØØ Ð Ø Ô Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Öº Ö ØØ Ú Ö Ú Ú Ø Ú Ò ÓÒØÙÖ Ö Ó Ø ØØ Ö Ð Ô Ò Ò Ø ÓÒ Ö ÒÒ º Ò Ø ÓÒ ¾º º Ò ÙÖÚ γ Ö Ò ÓÒØÙÖ ÓÑ γ Ö Ò Ð γ 1, γ 2,..., γ n Ú ÐØ ÙÖÚÓÖ ØØ Ò ÔÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ γ i Ö ÝÒÒ Ð ÔÙÒ Ø Ø ÐÐ γ i+1 1 i < nº Ö Ò ÙÖÚ Ö ÚÖ ÑÒ Ò Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ z(t) = x(t) + iy(t) ÖÒ [a,b] R Ø ÐÐ C Ú Ö Ú Ò ÙÖÚ Ö ÐØ ÓÑ z(t) Ö Ö Ú Ö Ö Ó ½¹½ Ô [a,b] Ó z(t) 0º Ü ÑÔ Ð Ô ÓÒØÙÖ Ö Ö Ú ÙÖ º ÙÖ Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ Ö Ô Ø Ú Ò ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖº Ù Ý ÓÑ Ø Ø Ò Ö Ö Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ Ò ÒØ Ö Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Òº Å Ò ÓÑ Ø Ö ÒÑÒØ ÓÑ Ù ÓÑ Ô Ò ÓØ Ñ ØØ Ò Ú ½ ¼¼¹Ø Ð Ø Ù Ö Ò ÓÑÑ Ø Ô Ø Ñ Ò
ÔÙ Ð Ö Ø ØØ º Î Ð Ø Ú Ò ÐÐ Ö ØØ ÐÐ Ò ØØ Ö Ú Ø ÐÐ Ö Ö Ð ½ ½½ Ö Ú ØØ Ò ÓÑÑ Ø Ö Ñ Ø ÐÐ ØØ Ó ØØ Ò ØØ Ú ÖØ Ú ÓÑ Ò ÙÐÐ Ú Ú ØØ ÐÑÔÐ Ø Ø ÐÐ ÐÐ Ø ÓÑ Ó Ð Ö º Ù Ý Ö Ö Ú Ò Ò Ö Ò Ö Ö Ò ½ ÓÑ Ñ Ò ØÓÖ ÖØ Ð ÓÑÔÐ Ü ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ö Ò Ö Ð Ø Ö Ö Ò ÒØ Ö Ð Ú f(z) = u+iv ÖÙÒØ Ò ÙÖÚ ÓÑ ÖÒ Ö Ò Ö Ñ Ò ÒØ Ö Ð Ú Ö Ö Òº ØØ Ö Ö u Ó v ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú x Ó y Ó ( u x v y ) ( u y + v ) x dx dy = dx dy = u dy + u dx + v dx v dyº Î Ö Ö ØØ Ù Ð ÒØ Ö Ð ÖÒ Ö Ú Ö Ö Ò Ó Ò Ð ÒØ Ö Ð ÖÒ Ö Ú Ö Ò ÖÒ ÙÖÚ Òº ËÓÑ Ú Ö Ò Ò Ö ÙÐØ Ö Ö Ø Ñ ÐÔ Ú Ù Ý¹Ê Ñ ÒÒ Ú Ø ÓÒ Ö ØØ f(z) = 0 Ó Ù Ý ÝØØ ÖÐ Ö ØØ Ú Ö Ò ÖÙÒ Ø ØØ ÒØ Ö Ð Ò Ö Ó ÖÓ Ò Ú Ú Òº Ï Ö ØÖ ÓÑ Ó Ó ÖÓ Ò Ö Ñ Ø ÐÐ ÒÒ Ø ½ ¾º Å Ò Ú Ø ÒØ ÐÐ Ö ÓÑ Ù Ý Ò Ø Ö Ö ÖÒ Ö Ò³ Ö Ø ÖÒ ½ ¾ Ñ Ò Ø ÒÒ Ø ÓÑ Ô Ö ÑÓØ ØØ º ËÓÑ Ú Ö Ò Ò ÒÚÒ Ö Ú Ó Ú Ö Ò³ Ë Ø Ú Ø Ö Ù Ý ÁÒØ Ö Ð Ø º Ë Ø ¾º º Ù Ý ÁÒØ Ö Ð Ø ÄØ D Ú Ö ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ Ò ÐÝØ Ó f ÓÒØ Ò¹ Ù ÖÐ Dº ÇÑ Γ Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ D Ö f (z) dz = 0º Ú º f (z) dz = (u + iv) ( dx + idy) = Γ Γ = udx v dy + i v dx + udy = Γ Γ ( = v x u ) dxdy + i y D ÒÐ Ø Ö Ò³ Ë Ø Ó ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö ¾º º Γ D ( u x v ) dxdy = 0 y ÖÒ Ù Ý Ë Ø Ò Ú ÖÐ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÓÑ ÖÒ Ö Ò ÒÖ Ù Ý ÐÚ Ú Ò ÙØ ÓÑ f(z) = 1 2π π π zf(z) z z dx Ö z Ö ÓÒ Ù Ø Ø Ø ÐÐ z Ñ Ò ÓÑ Ú ÒÙ Ö ÓÑ Ð Ò Ø º ½¼
Ë Ø ¾º º Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ÄØ D Ú Ö Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò Ö z 0 D Ó f Ö Ò ÐÝØ Dº ÇÑ Γ Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ D ÓÑ Ö ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö Ó z 0 Ö ÓÑ ÐÙØ Ò Ú Γ ÐÐ Ö f(z 0 ) = 1 2πi Γ f(z) z z 0 dzº Ú º Î Ö ØØ f(z)/(z z 0 ) Ö Ò ÐÝØ Ú Ö ÐÐØ D ÖÙØÓÑ z 0 º ÖÑ Ò ÒØ Ö Ð Ò Ú Ö Γ Ö Ò Ú Ö ÒØ Ö Ð Ò Ö Ò Ð Ø Ò ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö Ö Ð C r = {z z z0 = r} ÓÑ ÐÙØ Ò Ú Γ ÒÐ Ø ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ó Ú ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò ÙÖ º Γ Γ C r r z 0 C r r z 0 ÙÖ Î Ò ÒÚÒ Ó Ú ÓÖÑ Ø ÓÒ Ñ ØÓ Ò Ø ÐÐ ÚÒ Ø Ö ÐÐ Ö Ú ¹ ØÓÖ Ò ÐÝ Ñ ØÓ Ò Ø ÐÐ Ö Ö ØØ ÝØ ÙØ Γ ÑÓØ C r ÚÖ ÒØ Ö Ðº Î Ö ÖÑ 1 f(z) dz = { Ù Ý Ë Ø ¾º C r ÓÑ ÓÚ Ò} = 2πi Γ z z 0 = 1 f(z) dz = {f(z) = f(z 0 ) + f(z) f(z 0 )} 2πi C r z z 0 = 1 f(z 0 ) dz + 1 f(z) f(z 0 ) dz 2πi C r z z 0 2πi C }{{} r z z 0 }{{} f(z 0 ) A f(z) f(z 0 ) z z 0 = 1 r f(z) f(z 0) 2πr 1 r max z C r f(z) f(z 0 ) = 1 r M r A 1 2π l(c }{{ r) 1 } r M r = M r 0, r 0 ØÝ f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Î Ö ÐÐØ ØØ A = 0 A ÖÓÖ Ú r ½½
Á ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ö Ú ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Öº ØØ ÐÐ Ö ÒØ Ö ÐÐ Ò ÐÝ Ú Ð Ø Ú Ö Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ò { x 2 x > 0 g(x) = 2 x dx = x 2 x < 0º g(x) Ö Ú Ö Ú Ö Ò Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÖ Ó Ñ Ò ÒØ Ö Ú Ö Ö Òº Ö ØØ ØØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö ÒÖ Ò Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ø Ö Ú z D Ö D Ö Ò ÔÔ Ò ÑÒ Ó f Ö Ò ÐÝØ Dº Î ÚÐ Ö Ò Ò ÔÔ Ò Ö Ð Ú D ÓÑ Ö Ò ÐÑÒ Ø ÐÐ D Ó ÙÖÚ Ò Γ = {ζ ζ z = r} D º Î Ò ÚÐ ÚÖ ÐÑÒ Ô ØØ Ú ØÝ D Ö Ò ÔÔ Ò ÑÒ º ÖÒ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ¾º Ö Ú ØØ G(z) = Γ f(z) = 1 2πi ζ f(ζ) ζ z dζº g(ζ) ζ z dζ Ö Ö Ú Ø Ò g(ζ) G (z) = Γ (ζ z) 2 dζ Ö Ú ØØ f(z) Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö Ñ Ö Ú Ø Ò f (n) (z) = n! f(ζ) 2πi Γ (ζ z) ÖÒ ØØ Ò Ú ÖÐ ÅÓÖ Ö Ë Ø ¾º½¼º (n+1) dζº Ë Ø ¾º½¼º ÅÓÖ Ö ÇÑ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ D Ó ÓÑ f(z)dz = 0 Ö ÐÐ ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ Ö Γ Dº Ö Ò ÐÝØ Dº Γ Ú º ÄØ D Ú Ö ØØ ÓÑÖ Ö f(z) Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º ÄØ Ú Ö ÐÙØÒ ÓÒØÙÖ ÒØ Ö Ð Ö Ú Ö ÒÓÐк Ì Ò ÔÙÒ Ø z 0 D Ñ Ò ÓÑ ÚÒ Ò ÖÙÒØ z 0 Ó ÓÒ ØÖÙ Ö ÒØ Ö Ð Ò Ú F(z) = z z 0 f(z)dzº ÖÒ ÓÚ Ò Ö Ú ØØ f Ö ÔÖ Ñ Ø Ú ÙÒ Ø ÓÒ F º F Ö ÐÐØ Ò ÐÝØ F Ö Ú Ö Öº ÖÒ ÓÚ Ò Ö Ú Ú Ò ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ò Ò Ö Ú Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Öº ÐÐØ F = f Ö Ò ÐÝØ º Ì Ö Ô ØÓ Ú ØØ ÓÑ Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö C¹ Ö Ú Ö Ö ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ò Ú Ò ¹Ê³ Ú Ø ÓÒ Ö Ó Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º ÆÖ Ø ÐÐ Ö Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò Ò Ú Ö Ø È ÖÖ ¹ ÐÔ ÓÒ Ä ÙÖ ÒØ ½ ½ ¹½ µ ÓÑ Ú ØØ ½ Ò ÔÙ Ð Ö Ò Ð Ð Ö ÙÐØ Ø ÓÑ ØØ º Ð Ò ÒÒ Ø Ò ÙØÚ Ò Ò Ú Ì ÝÐÓÖ Ö Ò Ø ÐÐ Ä ÙÖ ÒØ Ö Ò f(z) = a n(z a) n º Ï Ö ØÖ Ú Ø Ö Ò ÓÑ Ø ½ ½ Ñ Ò Ú Ð ØØ ÒØ ÔÙ Ð Ö Øº Î ÒÙ Ú ØØ ÓÑ ÐÓÚ Ø ÚÖ Ø Ø Ö Ô Ø Ò ØØ ÓÐ ØØ Ò ØØ Ò Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ú Ð ÒØ º ½¾
Ë Ø ¾º½½º ÇÑ f Ö Ò ÓÑÔÐ ÜÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ð Ò Ú Ú Ð ÒØ ½º f Ö C¹ Ö Ú Ö Ö ¾º f ÙÔÔ ÝÐÐ Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö º f Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º Ú º C¹ Ö Ú Ö Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö Ú Ö ¹Ê Ú Ø ÓÒ Ö ¾º º ÖÒ ¹Ê Ú Ö Ú Ë Ø ¾º ÓÑ Ò ÒÚÒ Ö ØØ Ú Ë Ø ¾º ÓÑ Ú ÒÙ ÒÚÒ Ó Ö ØØ Ú ØØ Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð º Ò ÓÖÑÙÐ Ö Ò Ö Ì ÝÐÓÖ Ö ÙØÚ Ð Ò Ö ÒØ f Ò ÐÝØ z z 0 < Rº ÐÐ Ö f(z) = n=0 a n(z z 0 ) n Ö a n = f(n) (z 0 ) n! º ÇÑ Ú ÒÙ Ø Ö z Ñ z z 0 < R Ó ÐØ Ö C = {z z z0 = r} Ö z z 0 < r < R Ö Ú ÖÒ Ù Ý ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð Ë Ø ¾º f(z) = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi = 1 2πi = n=0 C C f(ζ) ζ z dζ = 1 2πi C f(ζ) (ζ z 0 )(1 z z 0 ζ z 0 ) dζ = f(ζ) C ζ z 0 n=0 (z z 0 ) n n=0 f (n)(z 0) n! (z z 0 ) n º f(ζ) ζ z 0 (z z 0 ) dζ = { } ØÝ z z 0 ζ z 0 < 1 = (z z 0 ) n dζ = {Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º º¾} = (ζ z 0 ) n f(ζ) dζ C (ζ z 0 ) n+1 }{{} 2πif (n) (z 0 )/n! Ö Ò Ø ÒØ Ö Ð Ò Ú ØØ f Ö ÓÒ Ð Ø Ö Ú Ö Ö Ñ Ö Ú Ø Ò f (n) (z) ÓÑ ÓÚ Òº Ö ØØ Ö ÐÒ Ð ÐÙØ Ò ÓÒ Ø Ø Ö Ö Ú ØØ Ò Ì Ý¹ ÐÓÖ Ö ØÖ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ó ÖÒ ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ ¾º Ö Ú ØØ Ú Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ö C¹ Ö Ú Ö Öº ØØ Ñ Ö ÓÑ Ú Ò Ø Ú Ò ØØ Ë Ø º ØØ Ú Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö C¹ Ö Ú Ö Öº ÃÓÒÚ Ö Ò ¹ Ñ Ð Ö Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö = º½ Ð Ö Ø ÒÒ ÓÐ ØÝÔ Ö Ú ÓÒÚ Ö Ò Ö Ö Ò Ð º Î Ö ÒÖÑ Ö Ö ¹ Ú Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö Ò Ö Ú Ñ Ó Ö Ö Ñ ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò ÓÑ Ú Ò Ð Ò ÐÐ Ö Ò Ð ÓÒÚ Ö Ò º ÄÒ Ö Ö Ñ Ú Ú Ò ØØ Ü ÑÔ Ð Ô ÒÒ ÓÒÚ Ö Ò º ½
Ò Ø ÓÒ º½º ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò {f n (z)} ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô D ÑÓØ f(z) ÓÑ Ö Ú Ö z D ÐÐ Ö ØØ Ö Ú Ö ε > 0 Ü Ø Ö Ö ØØ N = N(z) ØØ f n (z) f(z) < ε Ö ÐÐ n > N(z)º Æ Ø ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö Ú Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º ÒÒ Ö Ø Ö ¹ Ö Ò ÔÙÒ ØÚ Ó Ú ØØ ÓÑ Ñ Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ø ØØ Ñ Ò Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò º Ö ÑÓØ ÓÑ Ñ Ò Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ø ÒØ ØØ Ñ Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Ú Ú Ñ Ò Ú Ø Ú Ö Ö Ø ÓÑ ØØ Ö ØÓÔ Ù ÖÑ ÒÒ ½ ¹½ ¾µ Ú Ö Ò Ö Ø Ñ Ø Ñ Ø ÖÒ ÓÑ ÒÚÒ ÓÒ ÔØ Ø Ñ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º À Ò Ú Ö Ï Ö ØÖ ÐÖ Ö Å Ò Ø Ö Ó ½ ¹ ¼ Ú Ö Ï Ö ØÖ Ò Ò Ô Ò Ö Ð Ò Ò Ö ÑÓ ¹ ÙÐÖ ÙÒ Ø ÓÒ Öº ØØ Ö Ò Ö ½ ½ Ö Ø Ï Ö ØÖ Ñ Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ö Ö Ò Ú Ò ÖØ Ð Ö ÓÑ Ð Ú ÔÙ Ð Ö Ö Ø ½ º À Ò Ú Ö Ó ÒØ Ò Ñ ÓÑ ÒØÖÓ Ù Ö ÒÒ ÓÒÚ Ö Ò È º ĺ Ë Ð Ó Ë Ö º º ËØÓ ÓÖ ÑÑ ÙÔÔØ Ø ½ Ó ÖÓ Ò Ú Ú Ö Ò Ö º Ö Ö Ø Ò ÔÚ Ö ÒØ ÙØÚ Ð Ò Ò ÒÑÒÚÖغ Ò Ø ÓÒ º¾º Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò {f n (z)} ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÑÓØ f(z) Ô D ÓÑ Ö ÐÐ ε > 0 Ü Ø Ö Ö N ØØ f n (z) f(z) < ε Ö ÐÐ n > N Ó Ö ÐÐ z Dº Ò Ø ÓÒ ÖÒ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º½ Ö ¹ Ô Ø Ú º¾ Ò ÓÑ ÚÐ Ø Ð º Î Ð Ø Ö ÓÖØ ØØ ÖÒ Ò Ö Ð Ò Ú Ñ º Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú ØØ N ÓÑÑ Ö Ö z Ú Ð Ø Ö ØØ ÑÑ N ÒÚÒ Ö ÐÐ zº Ö ÔÙÒ Ø Ú ÓÒÚ Ö Ò Ö Ú Ó ØØ N Ö ÖÓ Ô z Ú Ò ÐÐØ ÚÐ ØØ ÒÝØØ N Ö ØØ ÒÝØØ zº ÄÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ö Ò ÓÒÚ Ö Ò ÓÑ Ð Ö Ñ ÐÐ Ò ÔÙÒ ØÚ Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º ÇÑ Ú Ö Ò ØÓÑ ÑÒ X Ó Ò Ð f n Ú ÓÑÔÐ ÜÚÖ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ f n : X C Ö Ú ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò X ÓÑ Ú Ö ÔÙÒ Ø x X Ð Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ö Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Øº Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ØØ Ú Ú Ò Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ò º ÇÑ Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÐÑÒ Ö A 1,A 2,...,A k Ú X Ö Ú ØØ ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÑÒ Ö A 1 A 2... A k ÓÒÚ Ö Ö Ö Ó Ð ÓÖÑ Øº ÖÒ ØØ Ö Ú ØØ ÇÑ Ð Ò f n ÓÒÚ Ö Ö¹ Ö ÐÓ ÐØ Ð ÓÖÑ Ø X ÓÒÚ Ö Ö Ö Ò Ð ÓÖÑ Ø Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K Ú Xº ÇÑ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú X ÖÙ Ö Ñ Ò ØØ Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö ÓÑÔ Ø Xº ÖÒ ØØ Ò Ú Ò Ö ÝØØ ÖÐ Ö Ò ÓÖØ ÓÒÚ Ö Ò ÒÑÐ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò º ½
Ò Ø ÓÒ º º ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö {f n } Ô Ω ÓÒÚ Ö Ö Ö ÒÓÖÑ ÐØ Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(z) ÓÑ Ø Ö ÐÐ ε(k) > 0 Ó Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K Ω ÒÒ ØØ ÔÓ Ø ÚØ Ø Ð n 0 ØØ n n 0 Ó z K Ö f n (z) f(z) < ε(k)º Î Ö ÐÐØ ØØ ÓÑ Ò Ð ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú Ω ÓÒÚ Ö Ö Ö Ò Ú Ò ÒÓÖÑ Ðغ Î ÒÑÒ Ø Ö ØØ Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ò Ñ Ö ØØ Ú Ö ÔÙÒ ¹ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ó ÒÙ Ö Ø ØØ Ò Ð Ø Ò Ø º Ë Ø º º ÇÑ f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö Ö Ö f n Ú Ò ÔÙÒ ØÚ º Ú º Ø Ö ÐÚØ ÖÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ º Ø Ö ÓÑ f n ÓÒÚ Ö Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø ÒÒ Ö Ú Ö z D Ó Ö Ú Ö ε > 0 ØØ N ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ ÖÒ º½ Ó º¾º Î Ò ØØ ØØ N ÓÑ ÐÐ Ö Ö ØØ Ô ÐÐØ z Ó Ú ØØ Ú Ð Ø z Ú Ú ÐØ Ò Ú Ø ÑÑ Nº ËÓÑ Ö Ò Ô ØØØ ÐÐ Ö ØØ Ö ÙÐØ Ø Ó ÒØ Ø Ò Ö ÐРغ ÇÑ Ú Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ú Ö Ò ÐÐØ ÒØ ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ó Ú Ð Ø Ú Ö Ð Ò Ü ÑÔ Ð Rº Ü ÑÔ Ð º º f n (x) = x n ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0,1] [x n 0] Ö ÐÐ x < 1 Ó [1 n ] 1 Ú Ð Ø Ú Ö ÙÖ º f n (x) ÓÒÚ Ö Ö Ö ÐÐØ ÒØ Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ f(x) Ö Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ú Ò ÚÐ ÑÑ N Ö ÐÐ zº (1,1) f n (x) ÙÖ Ë Ñ Ø Ð Ö x x 2 Ø ÐÐ Ó Ñ x 10 ÒØ ÖÚ ÐÐ Ø [0,1] Ñ ÔÙÒ Ø Ö ÙØ ØØ Ö x = 0.7 Ö Ö Ô Ø Ú º ËÐÙØ Ø º Ä ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º È Ñ¹ Ñ ØØ ÓÑ Ú Ø Ú Ë Ø º Ò Ú Ú ØØ ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò º ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ó ÐÓ Ð Ð ¹ ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ô Ð Ò Ò ØØ ÓÑ Ö ØØ ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ñ Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ö Ú Ò ÖÒ Ò Ø ÓÒ ÖÒ º ½ Ú ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ó Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò Ô ÓÑÔ Ø ½
ÐÑÒ Ö Ú º ÒÓÖÑ Ð ÓÒÚ Ö Ò µ ØØ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ú Ö Ò Ö Ö ÑÓØ ÐÐ Ö Ø ÒØ ØØ Ñ Ö Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö Ò º Î Ö ÐÐØ ØØ ÓÐ Ñ Ò Ò Ò Ò ÙÖ º Ä ÓÖÑ ÓÒÚº ÈÙÒ ØÚ ÓÒÚº \ / \ / ÄÓ Ð Ð º ÓÒÚº / ÆÓÖÑ Ð ÓÒÚº ÙÖ Ë Ñ Ò Ø Ñ ÐÐ Ò ÚÖ ÓÐ ÓÒÚ Ö Ò Öº Î ÒÐ ØÚ ÒÖ Ú Ö ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ö ÓÑ Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ¹ Ö Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ö ÑÓØ Ö ÐÓ Ð Ð ÓÖÑ Ø Ó Ð ¹ ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ö ÓÑ Ö ÙÔÔ Ý Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÖÚ Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ò Ú Ð Ø Ú Ò Ò Ö Ð ÓÖÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ò º Ë Ø º º ÒØ ØØ f n (z) Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ D Ó ØØ f n (z) f(z) Ð ÓÖÑ Ø Dº Ö f ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ú º f(z 0 ) f(z 0 + w) = = f(z 0 ) f N (z 0 ) + f N (z 0 ) f N (z 0 + w) + f N (z 0 + w) f(z 0 + w) f(z 0 ) f N (z 0 ) + f N (z 0 ) f N (z 0 + w) + + f N (z 0 + w) f(z 0 + w) < ε ÓÑ z 0 (z 0 + w) = w < δ Ó Ö N Ú ÐØ ØØ f n (z) f(z) < ε/3 n N Ó Ò δ > 0 ØØ f N (z 0 ) f N (z 0 + w) < ε/3º ÐÐØ f Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ú Ö ÔÙÒ Ø Ô D ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒº ÇÑ Ú Ö Ö ÔÙÒ ØÚ ÓÒÚ Ö Ò Ú Ö Ø Ó ÒØ ÐÐ º Î Ð Ø Ú Ö ÚÖØ Ø Ö Ü ÑÔ Ð º Ö Ú Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ú Ö Ú ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Ö ØØ ÐÙØ Ö Ú Ø Ö Ë Ø ¾º½½ ÒÚÒ Ú Ó Ú ØØ ÓÑ Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ö Ú Ò ÖÒ ÙÒ ¹ Ø ÓÒ Ò C¹ Ö Ú Ö Öº Î ÒÙ Ö Ø ØØ º ½
Ë Ø º º Ò Ð ÓÖÑ Ø ÓÒÚ Ö ÒØ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ö Ò ¹ ÐÝØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒº Ú º Î Ú ÐÐ ÐÐØ Ú ØØ ÓÑ Ú Ö Ò Ð f n Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ Ò ÐØ ÑÑ Ò Ò Ò ÓÑÖ D Ö f n f Ð ÓÖÑ Ø Ö f Ò ÐÝØ Dº Î Ö Ö Ñ ØØ ÓÒ Ø Ø Ö ÖÒ Ë Ø º ØØ Ú Ö Ò ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ó ÐØ Ö γ Ú Ö Ò ÐÙØ Ò ÓÒØÙÖ Dº Ö Ú ÖÒ Ù Ý Ë Ø ØØ f n (z)dz = 0º º½µ γ Î Ö Ú Ò ØØ f(z)dz Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ô ÖÙÒ Ú Ð ÓÖÑ ÓÒÚ Ö¹ Ò Ø ÐÐ º½µ Ú Ð Ø Ö ØØ f(z)dz = 0º ÖÒ ÅÓÖ Ö Ë Ø ¾º½¼ Ö Ú Ò ØØ f(z) Ö Ò ÐÝØ º º¾ ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Á ØØ Ú Ò ØØ Ú Ö Ú Ú Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ó Ú ÓÑ ÐÐ Ö Ö º Î Ð Ò ÒÒ Ø Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ Ö Ó Ú Ö ÖÑ Ú Ø Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ ÐÓ ÐØ ÖÒ Ó Ú Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Öº Î ÓÑÑ Ö Ú Ò ØØ Ú ÖÞ Ð» ÓÐ Ë Ø º½ Ö ØØ ÙÒÒ Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º Î Ó Ö Ñ ØØ Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð º Ò Ø ÓÒ º º ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ò Ñ Ð F = {f k } Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ ÓÑÖ D C Ú Ö ÒÓÖÑ Ð D ÓÑ Ú Ö Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö F ÒØ Ò Ò Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ø ÐÐ Ò ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ f Ð ÓÖÑ Ø Ô Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú D ÐÐ Ö Ö Ò Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ Ô Ú Ö ÓÑÔ Ø ÐÑÒ º Ò Ø ÓÒ º º ÄÓ ÐØ ÖÒ Ò Ñ Ð F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ ÓÑ Ø Ö Ú Ö z 0 D ÒÒ Ò ÔÔ Ò ÓÑ ÚÒ Ò U ØØ {f(z) z U,f F} Ö Ò ÖÒ ÑÒ º Ü ÑÔ Ð º½¼º f(z) = 1 z 1 Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô D = { z < 1} Ñ M = 1 2 º Î Ö Ö ÑÓØ ÒØ ØØ f(z) Ö ÖÒ Ô Ð D Ò f(z) ÒØ ÙÖ ØÓÖ ÚÖ Ò ÓÑ Ð Ø 0 1 1 Ó 1 1 2 º Ò Ø ÓÒ º½½º Ä ÓÖÑ Ø ÖÒ ÇÑ Ú Ö ÓÑ Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ö F Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Ú Ö ÔÙÒ Ø Ö Uº ÐÐØ F Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ ÓÑ f n (z) M Ö Ò ÓØ M Ó Ö ÐÐ zº ½
Ü ÑÔ Ð º½¾º ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð Ö Ñ Ð Ò F Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ F = {f n (z) = z n z U,n = 1,2,3,...} Ö U Ö Ò ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ò Ø Ò z < 1 Ö Ú ØØ F Ö Ð ÓÖÑ Ø ÖÒ º Î Ð Ø Ö ØØ F Ö ÒÓÖÑ Ð Uº ÇÑ Ú ØÐÐ Ø Ø Ö U = z > 1 ÓÒÚ Ö Ö Ö {f n } Ð ÓÖÑ Ø Ø ÐÐ Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú U Ó ÖÑ Ö F ÒÓÖÑ Ð Ó ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒº Ü ÑÔ Ð º½ º Ò ÒÓÖÑ Ð Ñ Ð ÄØ F = {f n (z) = nz n = 1,2,3,...} Ò F Ú Ö ÒÓÖÑ Ð ØØ ÓÑÖ ÓÑ ÒÒ ÐÙØ Ö ÓÖ Óº f n (0) 0 Ñ Ò f n (z) n Ö z 0º Ò Ø ÓÒ º½ º Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Ö ØØ ÓÑÖ D R n Ñ Ð Ò Ú Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÑ Ø Ö Ú Ö ε > 0 ÒÒ ØØ δ > 0 ØØ ÒÖ z ω D Ø Ö Ö z ω < δ Ö F(z) F(ω) < ε Ö ÐÐ F Fº Ë Ø º½ º ÖÞ Ð» ÓÐ ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Dº Î Ö Ð F Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö ÓÑÑ F Ö Ú ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ó ÔÙÒ ØÚ ÖÒ º Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÔÙÒ ØÚ ÖÒ ÓÑ Ö Ú Ö z 0 Ω ÑÒ Ò {f(z 0 ) f F} Ö ÖÒ º Ë Ø º½ º ÅÓÒØ Ð ÄØ F Ú Ö Ò Ñ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Dº Î Ö Ð F Ö Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö ÓÑ F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ú º ÒÓÑ ØØ ÖÐ Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Ø Ó Ø ÐÐÑÔ ÖÞ Ð» ÓÐ Ö Ú ØØ Ú Ú ÅÓÒØ Ð Ë Ø º Ü Ö w 0 D Ó ÐØ U Ú Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ñ Ö r ÖÙÒØ w 0 ØØ f(w) M Ö ÐÐ w U Ó f Fº ÄØ Γ Ú Ö Ö ÐÒ Ñ Ö r 2 ÒØÖ Ö w 0 º Ö Ú Ö w ÒÓÑ r 4 Ú w 0 Ö Ù Ý³ ÁÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð ¾º f (w) f (w 0 ) = = 1 f(z) 2πi Γ z w dz 1 f(z) dz = 2πi Γ z w 0 = 1 ( ) f(z) 2πi Γ z w dz f(z) dz = Γ z w 0 = 1 ( f(z) 2πi Γ z w f(z) ) dz = z w 0 = 1 f(z)(z w 0 z + w) dz 2πi (z w)(z w 0 ) Γ ½
Î Ö f (w) f (w 0 ) = = 1 2π w w 0 1 2π w w 0 Γ f (z) (z w) (z w 0 ) dz f (z) (z w) (z w 0 ) dz f(z) M (z w) = r 4 Ó (z w 0) = r 2 Ö Γ f (w) f (w 0 ) 1 2π w w 0 l(γ)m 8 r 2 = (= ß Ö l(γ) Ö ÐÒ Ò Ú ΓÐ =) = 1 π w w 0 2πr 2 = 4 w w 0 M r 4M r 2 = f (w) f (w 0 ) 4M r w w 0 }{{} Ç ÖÓ Ò Úf Ö ÐÐ f F Î Ö ÖÑ Ú ÓÒØ ÒÙ Ø Øº Ñ Ð Ò F Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ ÒÐ Ø ÖÙØ ØØÒ Ò ÖÒ Ó ÖÑ Ó ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ò Ú Ø ÐÐÑÔ ÖÞ Ð» ÓÐ ÓÑ Ö ÅÓÒØ Ð Ø º Ü ÑÔ Ð º½ º ÅÓÒØ Ð Á Ü ÑÔ Ð º½¾ Ú ØØ F Ö ÒÓÖÑ Ðº ØØ Ö Ú Ú Ò ÖÒ ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ F Ö ÖÒ Ö ÅÓÒØ Ð ØØ Ø ÒÒ Ò Ð Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ó Ö ÖÑ ÒÓÖÑ Ðº ÇÑ Ú ÐØ Ö F = {z/j} j=1 Ô C Ü Ø Ö Ö Ø ØØ M ØØ z/j M Ö ÐÐ j,z Cº Ö ÑÓØ Ö Ú Ö Ú Ö Ü ÓÑÔ Ø ÐÑÒ K C ØØ Ø ÒÒ Ò ÓÒ Ø ÒØ M K ØØ z/j < M K Ö ÐÐ j,z K Ó Ú Ö ØØ ÅÓÒØ Ð Ë Ø ÐÐ Öº Î Ö ÐÐØ ØØ Ð Ò {z/j} 0 ÒÓÖÑ ÐØ Ô Cº Ë Ø º½ º ÊÙÒ ÄØ K Ú Ö Ò ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ú Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ñ ÑÑ Ò Ò¹ Ò ÓÑÔÐ Ñ ÒØ Ö f Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú Kº Ø ÒÒ Ò Ð Ú ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ f Ð ÓÖÑ Ø Ô Kº Î ÒÙ Ô ØØ Ü ÑÔ Ð Ô Ò Ð Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒ¹ Ú Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô Ð C Ñ Ò ÒØ Ð ÓÖÑ Øº Ü ÑÔÐ Ø Ö ÑØ Ø ÙÖ Ú ÓÒ ÖØ Ð ¾ º Ð Ò ÓÒÚ Ö Ö Ö Ó Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú º ÒÓÖÑ Ðص Ú C \ [0, ] Ñ Ò Ò ÓÒ ÓÑ ÚÒ Ò Ú ÓÖ Óº ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ð Ö ÒØ Ò ÐÝØ ÓÖ Ó Ö ÑÓØ Ô ØÓÖ Ð Ö Ú Cº ½
Ü ÑÔ Ð º½ º ÄØ K n Ú Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ú ÔÙÒ Ø Ò {0} Ð Ò Ñ ÒØ Ø [1/n,n] Ó Ò ÓÑÔ Ø ÑÒ Ò S n = {z C z n Ó Ú ØÒ Ø (z, R+ ) 1/n}º Î Ö Ø ÚÒ ÓÑÖ Ø ÙÖ º ÄØ Ú Ö g n Ú Ö Ò Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ 0 1/n n ÙÖ Ø ÚÒ ÓÑÖ Øº ÓÑ Ö Ú ÒÒ Ö Ò ÓÑ ÚÒ Ò Ú S n Ó [1/n,n] ÓÑ Ö ÓÒ Ø ÒØ 1 Ò ÓÐÐ ÖÙÒØ {0}º p n Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ÊÙÒ ³ Ë Ø º½ ØØ p n (z) g n (z) < 1/n Ö ÐÐ z K n º Î Ö ÔÙÒ Ø Ø ÓÑÔÐ Ü ÔÐ Ò Ø Ø ÐÐ Ö K n Ö ÒÓ ØÓÖ nº ÐÐØ Ø ÔÙÒ ØÚ ÖÒ ÚÖ Ø lim n p n (z) Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÒÓÐÐ Ú Ö ÐÐØ ÙØÓÑ ÓÖ Ó Ö ÖÒ ÚÖ Ø Ö 1º ÖÒ ÓÒ ØÖÙ Ø ÓÒ Ò Ö ÓÒÚ Ö Ò Ò Ð ÓÖÑ Ô Ú Ö ÑÒ S n Ú Ð Ø Ö ØØ ÓÒÚ Ö Ò Ò Ö Ð ÓÖÑ Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú C\[0, ]º ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÒØ Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ ÓÖ Ó Ò Ð Ò {p n } ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ò ÓÒ ÓÑ ÚÒ Ò Ú {0} ÐÐ Ö ÒØ Ò ÒÖ Ò ÓÒ ÔÙÒ Ø Ô Ò ÔÓ Ø Ú Ö ÐÐ Ü ÐÒº ÇÑ Ú Ø Ö p n ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô Ò ÓÑ ÚÒ Ò U Ñ Ö r ÓÑ Ö ÒØÖ Ö Ò ÓØ x > 0 Ö Ò ÓØ n 2 r > 1/n Ó p n (z) < 1/2 Ô Uº È S n Ö Ú Ú Ò ØØ p n (z) < 1/n 1/2º Å Ò S n U ÒÒ ÐÙØ Ö Ö ÐÒ Ú Ö x ÖÙÒØ ÓÖ Óº Î Ð Ø ÑÔÐ Ö Ö ØØ p n (0) < 1/2 Ñ Ò p n (0) = 1 Ö ÐÐ n Ú Ð Ø Ö ØØ Ú Ö Ò ÑÓØ Ð º Ã Ò ÐÐØ Ú Ö Ò ÐÝØ ÐÐ Ö ÓÒÚ Ö Ö Ð ÓÖÑ Øº ËÐÙØ Ø º Î Ö ÐÐØ Ò Ð ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô C Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ú C \ R + Ó ÓÒÚ Ö Ö Ö ÑÓØ Ò ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò ÐÝØ ÙØ Ò Ö R + º Ö ØØ ÙÒÒ Ú Ò Ò Ö ÔÖÓÔÓ Ø ÓÒ Ú Ö Ú Ú Ø Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò ØØ Ó Ú Ò Ð Ø Ú Ö Ë Ø Öº Ð Ø Ò Ö Ú ÖÒ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ º Ö Ø Ø ØØ Ö Ú Ô Ú ÓÑ Ñ Ò Ñ Ò Ò Ø Ò Øغ Ò Ø ÓÒ º¾¼º E X ÐÐ Ò Ò Ø Ò ØØ ÓÑ Ø ÐÐ ÐÙØÒ Ò Ò E ÒØ ÒÒ ÐÐ Ö Ò ÓÒ ÔÔ Ò ÑÒ º ¾¼
Ë Ø º¾½º Ð Ø Ú Ö Ã Ø ÓÖ Ø Ò ÔÔ Ò ÑÒ U C Ò ÒØ Ö Ú ÓÑ Ò ÒÙÑÖ Ö Ö ÙÒ ÓÒ Ú Ò¹ Ò Ø Ò ØØ ÑÒ Ö º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾º ÄØ F Ú Ö Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ñ Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ô Ω Ø ÒÒ Ò Ñ Ü Ñ Ðµ ØØ ÔÔ Ò ÑÒ Ω 0 Ω ØØ Ö ØÖ Ø ÓÒ Ò Ú F Ø ÐÐ Ω 0 Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ º Ú º Ö Ú Ö z Ω ÐØ φ(z) Ú Ö Ò Ñ Ò Ø ÚÖ ÖÒ Ò Ò Ò Ö { f(z) f F}º Ö Kn = {z φ(z) n} Ö Ö Ð Ø ÚØ ÐÙØ Ò Ω Ú Ö f F Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ º Î Ö ÖÒ ØØ φ(z) Ö Ò Ð Ö Ú Ö z ØØ Ω = K n º ÖÒ Ð Ø Ò Ú Ö Ã Ø ÓÖ Ø º¾½ Ö Ú Ö Ú Ö ÔÔ Ò ÑÒ U Ω ØØ K n U Ö ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ö ØÓÖ nº Ö ÓÑ U K n Ö ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö ÙÐÐ U K n Ú Ö Ò Ò Ø Ò ØØ Ωº Å Ò n=1 Ò Ò Ø Ò ØØ {}}{ U K n = U Ω = U ØÝ K n = Ω Ú Ð Ø ÙÐÐ ÑÓØ Ö º U K n Ñ Ø ÐÐØ ÒÖ ÔÙÒ Ø Öº ÖÑ Ö ÙÒ ÓÒ Ò Ω 0 Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú K n Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº F Ö ÖÒ Ô Ú Ö ÑÒ Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø Ö Ú K n Ö F Ú Ò ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô Ω 0 º Î Ö Ú Ò ÑÓØ Ø Ò ØØ ÓÑ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ F Ö ÖÒ Ú n Ô Ò ÔÔ Ò ÑÒ U ØÖ U Ú ÒÖ ÔÙÒ Ø ÖÒ Ú K n Ó Ð Ö ÖÑ Ω 0 º Î ØÐÐ Ö Ó ÒÙ Ö Ò ÀÙÖ Ð Ò Ø Î Ö ØØ ÓÑ f ÓÒ¹ Ú Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ñ Ö ØØ ÒØ ØØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò Ö Ò ÐÝØ º Æ Ò Ú Ó Ú Ô ØØ ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò ÓÖØ Ö Ò ÐÐØ Ö Ò ÐÝØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ö Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ Ñ Ð Ú ÙÒ Ø ÓÒ Öº ÃÓÒÚ Ö Ò Ò Ò ÐÐØ ÒØ ÚÐ Ø Ð Ú Ð Ø Ö Ð Ø ÖÚÒ Ò º ÃÓÖÓÐÐ Ö ÙÑ º¾ º ÄØ f n Ú Ö Ò Ð Ú Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÑ ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ô ØØ ÓÑÖ Ω Cº Ö ÖÒ ÙÒ Ø ÓÒ Ò f Ò ÐÝØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº Ú º ÇÑ Ò Ð ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÓÒÚ Ö Ö Ö ÔÙÒ ØÚ Ö Ò Ú Ò ÔÙÒ ØÚ ÖÒ º ÈÖÓÔÓ Ø ÓÒ º¾¾ Ö ØØ {f n } Ö ÐÓ ÐØ ÖÒ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÑÒ Ω 0 Ó ÅÓÒØ Ð Ë Ø º½ Ö Ú Ö ØØ Ò Ð Ð ÓÒÚ Ö ¹ Ö Ö Ð ÓÖÑ Ø Ô ÓÑÔ Ø ÐÑÒ Ö Ø ÐÐ f Ô Ω 0 º Î Ö ÐÐØ ØØ f Ö Ò ÐÝØ Ô Ω 0 ÐÐØ Ô Ò ØØ ÔÔ Ò ÐÑÒ Ú Ωº ¾½
Ä ØØ Ö ØÙÖ ÖØ Ò Ò ½ ʺ ÓÙÖ ÒØ Àº ÊÓ Ò Ê Ú Ý Áº ËØ Û ÖØ Ï Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ð Ñ ÒØ ÖÝ ÔÔÖÓ ØÓ Á Ò Å Ø Ó Ë ÓÒ Ø ÓÒ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ ÁÒº Æ Û ÓÖ ½ ¾ à ÒÒ Ø Êº Ú ÓÒ ÈÓ ÒØÛ Ð Ñ Ø Ó Ò ÐÝØ ÙÒØ ÓÒ Âº ÄÓÒ¹ ÓÒ Å Ø º ËÓº ¾µ ¾¼¼ µ ½ ¹½ µ ÊÓ ÖØ º Ö Ò ËØ Ú Ò º ÃÖ ÒØÞ ÙÒØ ÓÒ Ì ÓÖÝ Ó ÇÒ ÓÑÔÐ Ü Î Ö Ð Ï Ð Ý Æ Û ÓÖ ½ Î ØÓÖ Âº à ØÞ À ØÓÖÝ Ó Å Ø Ñ Ø Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ Ë ÓÒ ¹ Ø ÓÒ ÓÒ¹Ï Ð Ý Ù Ø ÓÒ Ð ÈÙ Ð Ö ÁÒ ÍË ½ ź ÃÐ Ò Å Ø Ñ Ø Ð Ì ÓÙ Ø ÖÓÑ Ò ÒØ ØÓ ÅÓ ÖÒ Ì Ñ ÎÓй ÙÑ ¾ ÇÜ ÓÖ ÍÒ Ú Ö ØÝ ÈÖ Æ Û ÓÖ ½ ¾ ËØ Ú Ò º ÃÖ ÒØÞ ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Ì ÓÑ ØÖ Î ÛÔÓ ÒØ ½ ¼ Ö Ò ÅÓÖ Ò Ê Ð Ò ÐÝ Ñ Ö Ò Å Ø Ñ Ø Ð ËÓ ØÝ ÍË ¾¼¼ Ê Ò ÓÐ Ê ÑÑ ÖØ Ö Ù Ø Ì ÜØ Ò Å Ø Ñ Ø Ì ÓÖÝ Ó Óѹ ÔÐ Ü ÙÒØ ÓÒ ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ ÓÙÖØ ÓÖÖ Ø ÔÖ ÒØ Ò ½ ÊÙ Ò Ê Ð Ò ÓÑÐ Ü Ò ÐÝ Å Ö Û¹À ÐÐ Æ Û ÓÖ ½ ½¼ º º Ë º º ËÒ Ö ÙÒ Ñ ÒØ Ð Ó ÓÑÔÐ Ü Ò ÐÝ Û Ø Ô¹ ÔÐ Ø ÓÒ ØÓ Ò Ò Ö Ò Ò Ë Ò È Ö ÓÒ Ù Ø ÓÒ ÍÔÔ Ö Ë Ð Ê Ú Ö Æ Û Â Ö Ý ¾¼¼ ½½ ÂÓ Ð Äº Ë ÆÓÖÑ Ð Ñ Ð ËÔÖ Ò Ö¹Î ÖÐ Æ Û ÓÖ ½ ½¾ Á Ò ËØ Û ÖØ ÖÓÑ À Ö ØÓ ÁÒ Ò ØÝ Ù ØÓ ÌÓ Ý³ Å Ø Ñ Ø ½ ½ ÊÓ ÖØ Ëº ËØÖ ÖØÞ Ì Ï Ý Ó Ò ÐÝ ÂÓÒ Ò ÖØÐ ØØ ÈÙ Ð ¹ Ö ½ ¾¾