Lästal från förr i tiden Nedan presenteras ett antal problem som normalt leder till ekvationer av första graden. Inled din lösning med ett antagande. Teckna sedan ekvationen. Då ekvationen är korrekt uppställt är det normalt enkelt att lösa den. Jag har behållit den ursprungliga formuleringen för att på det sättet ge en känsla av hur din farfars far fick denna text presenterad. 1 (Realexamen vt 1907). En handlare har två sorters kaffe, den ena till 2 kr och 30 öre den andra till 1 kr och 60 öre per kilogram. Han vill av dessa göra en blandning, som väger 50 kg och som kan säljas för 1 kr 81 öre per kg. Huru mycket skall han för detta ändamål taga av vardera orten? 2 (Realexamen vt 1907) En person äger 12000 kr, av vilka 2000 kr är utlånade mot 4% ränta, 3500 kr mot 4.5% ränta och resten mot 5%. Hur många procents ränta har han i genomsnitt på sina pengar? 3 (Realexamen vt 1907) Gavelväggen av en lada har foremen av en rektangel med en därpå ställt liksidig triangel, vars sida är lika med ladans bredd. Rektangelns vågräta sida är 6 meter och den lodräta är 4 meter. Vad kostar målningen av denna vägg, då varje kvadratmeter kostar 35 öre? 4 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) Under 8 timmar drar en motorbåt 60 liter bensin. Hur långt räcker då 105 liter? 5 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) En husmor köpte 1 tjog ägg och betalade 6.50 kr. Hur stort var priset på 1 kg ägg, om man beräknar att det går 16 ägg på 1 kg? (1 tjog= 20 stycken, fick man inte givet i denna uppgift) 6 (Realexamen vt 1940) En affärsman har köpt ett parti tyg för 576 kr. Ena hälften säljer han med 25% vinst. Andra hälften säljer han för 336 kr och förtjänar därmed 2 kr per meter. Beräkna, dels hur mycket affärsmannen gav per meter i inköp, dels hur mycket han förtjänar på försäljningen av hela partiet. 7 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) Ett snälltåg avgick från A kl 18:00 och anlände enligt tidtabellen till en annan stad B kl 20:50. Avståndet mellan A och B längs järnvägen är 306 km.. När kan man beräkna, att det passerar station C, som ligger 198 km från A? Vi antar att tåget har samma fart hela tiden. 8 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) En duktig stenograf stenograferade vid ett prov 1040 stavelser på precis 13 2 minuter. Hur lång tid behövde hon för att stenografera 2000 stavelser? 9 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) Vid slutet av 1954 hade en person på sin bankbok, sedan räntan kapitaliserats, 3726.20 kr. Han satte då in 73.80 kr. Vid slutet av 1955 hade den insatta summan vuxit till 3952 kr. Vilken var räntesatsen detta år? 10 (Matematik för Realexamen, tryckt 1958) Adam, Bertil och Curt ska dela 470 kr, så att Adam får dubbelt så mycket som Curt, under det att Bertils andel ska vara 3 gånger Curts andel och 50 kr därtill. Hur mycket får var och en? Håkan Strömberg 1 KTH Syd Haninge
Lösningar 1 Det är alltså idag år sedan denna uppgift förekom i en realskoleskrivning i matematik. Man kan undra hur många ungdomar som på den tiden fick möjligheten att gå i realskola? Kanske färre än som idag doktorerar! Över till problemet. Antag: Handlaren tog x kg av den billigare sorten och 50 x kg av den dyrare. Vi kan då ställa upp följande ekvation 2.30x + 1.60(50 x) = 50 1.81 2.3x + 80 1.6x = 90.5 0.7x = 90.5 80 0.7x = 10.5 x = 10.5 0.7 x = 15 Svar: 15 kg av den billigare sorten och 50 15 = 35 kg av den dyrare. 2 På det första lånet får han 4 2000 = 80 i årlig ränta. På det andra får han 4.5 3500 = 157.50 På återstoden får han 5 (12000 2000 3500) = 325 Totalt får han in 80+157.50+325 = 562.50 kr i ränta. Vi antar nu att detta är x% av hela beloppet 12000 kr och får ekvationen: x 12000 = 562.50 Svar: Han får 75 16 % = 4.6875% ränta. x 12000 = 56250 x = 56250 12000 x = 75 16 3 Först bestämmer vi gavelväggens area. Den rektangulära delen har arean 4 6 = 24 m 2. Vi drar höjden i den liksidiga triangeln och antar att den är h meter. Halva liksidiga triangeln är rätvinklig. Hypotenusan är 6 meter (givet) och halva basen är på grund av symmetri 3 meter. Med hjälp av Pythagoras sats får vi nu: Håkan Strömberg 2 KTH Syd Haninge
Den liksidiga triangelns höjd h är h 2 + 3 2 = 6 2 h 2 = 36 9 h 2 = 27 h = 3 3 Vi kan nu bestämma triangelns area med hjälp av formeln A = bh 2 = 6 3 3 2 = 9 3 Den totala arean är då 24 + 9 3 m 2. Varje kvadratmeter kostar ju 35 öre att måla. Detta ger den totala kostnaden 0.35(24 + 9 3) 13.86 Svar: Det kostar 13.86 kr att måla väggen. 4 Förr i tiden talade man om något som kallades Regula de tri. Detta begrepp är sedan länge struket ur svenska matematik böcker. Man satt upp följande schema 60 liter 8 timmar 105 liter x timmar Man såg alltid till att x hamnade längst ned till höger i schemat. Sedan kunde man ställa upp ekvationen x = 8 105 60 x = 14 Som egentligen inte är någon ekvation eftersom x omedelbart blir fritt. Så här kan sättet att räkna beskrivas genom ett schema vilket ger ekvationen Svar på denna uppgift Svar: 14 timmar 5 Med samma schema får vi A B C x x = B C A 20 ägg 6.50 kr 16 ägg x kr Håkan Strömberg 3 KTH Syd Haninge
Detta ger x = 16 6.50 20 Svar: 5.20 kr x = 5.20 6 Hälften av partiet betalade han 576/2 = 288 kr för. 1.25 288 = 360 ger det belopp han sålde denna hälft för, som han tjänade 360 288 = 72 kr på. Den andra hälften sålde han för 336 kr och betalade 288 kr för, ger en vinst på 48 kr. Med 2 kr/meter i vinst betyder det att den andra hälften består av 24 meter. Det betyder att hela inköpet är på 2 24 = 48 meter. Han tjänade totalt 72 + 48 = 120 kr. Meterpriset vid inköp blir 576/48 = 12 kr/meter. 7 Tåget kör 306 km mellan tiden 18:00 och 20:50, lika med 170 minuter. Detta ger farten 306 170 km/min. Med hjälp av formeln V = S T 8 bestämmer vi tiden att färdas 198 km 306 170 = 198 t som ger tiden 198 170 t = = 110 306 Efter 110 minuter, eller klockan 19:50 når tåget C 1040 nedslag 13 2 minuter 2000 nedslag x minuter x = 13 2000 2 1040 x = 12.5 Svar: 12.5 minuter 9 Vi har den kända formeln ( Slutkapital = Startkapital 1 + räntesats ) Startkapitalet för året är 3726.20 + 73.80 = 3800 kr. Slutkapitalet är också känt, 3952. Vi kan då Håkan Strömberg 4 KTH Syd Haninge
med hjälp av den givna formeln bestämma räntesatsen r: ( 3952 = 3800 1 + r ) 3952 = 3800 + 3800r (3952 3800) = r 3800 r = 4 Svar: 4% 10 Adam, Bertil och Curt ska dela 470 kr, så att Adam får dubbelt så mycket som Curt, under det att Bertils andel ska vara 3 gånger Curts andel och 50 kr därtill. Hur mycket får var och en? Antag: Curt får x kr, Adam får 2x kr och Bertil får 3x + 50 kr. Detta ger oss ekvationen x + 2x + 3x + 50 = 470 Svar: Curt får 70 kr, Adam 140 kr och Bertil 260 kr. 6x = 470 50 x = 420 6 x = 70 Håkan Strömberg 5 KTH Syd Haninge