kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor.

Relevanta dokument
3, 6, 9, 12, 15, 18. 1, 2, 4, 8, 16, 32 Nu är stunden inne, då vill vill summera talen i en talföljd

MÖNSTER OCH TALFÖLJDER

52 = Vi kan nu teckna hur mycket pengar han har, just när han har satt in sina 280 kr den tredje måndagen

KOKBOKEN. Håkan Strömberg KTH STH

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 15, H15

Matematik CD för TB = 5 +

1. Inledning, som visar att man inte skall tro på allt man ser. Betrakta denna följd av tal, där varje tal är dubbelt så stort som närmast föregående

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter Ö , Ö1.25, Ö1.55, Ö1.59

a = a a a a a a ± ± ± ±500

SF1625 Envariabelanalys

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

y y 1 = k(x x 1 ) f(x) = 3 x

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

Övningshäfte 2: Induktion och rekursion

Föreläsning 5: Summor (forts) och induktionsbevis

TATM79: Föreläsning 2 Absolutbelopp, summor och binomialkoefficienter

STYRANDE SATSER. 1) Skriv ett program som räknar ut hur många år du har till pensionen. Vi räknar här med att man pensioneras det år man fyller 65 år.

Övningshäfte 1: Induktion, rekursion och summor

Kan du det här? Geometrisk summa och linjär optimering

Moment 6.1, 6.2 Viktiga exempel Övningsuppgifter T6.1-T6.6

Vi ska titta närmare på några potensfunktioner och skaffa oss en idé om hur deras kurvor ser ut. Vi har tidigare sett grafen till f(x) = 1 x.

x+2y 3z = 7 x+ay+11z = 17 2x y+z = 2

Algebra, exponentialekvationer och logaritmer

Talmängder. Målet med första föreläsningen:

Andragradsekvationer. + px + q = 0. = 3x 7 7 3x + 7 = 0. q = 7

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter I Ö5.1b, Ö5.2b, Ö5.3b, Ö5.6, Ö5.7, Ö5.11a

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

x+2y+3z = 14 x 3y+z = 2 3x+2y 4z = 5

Gamla tentemensuppgifter

polynomfunktioner potensfunktioner exponentialfunktioner

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 1.1

TENTAMEN. HF1002, 6H3120, 6H3117 Diskret Matematik. Skrivtid 8:15-13:15. Måndag 8 juni Tentamen består av 4 sidor.

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Linjära ekvationssystem

f (x) = 8x 3 3x Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativ, som till exempel g(x) = x h (x) = n x n 1

Övning log, algebra, potenser med mera

2+t = 4+s t = 2+s 2 t = s

I. Akilles och sköldpaddan - en introduktion till

Om konvergens av serier

KOKBOKEN 1. Håkan Strömberg KTH STH

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 24 oktober 2013 kl Svar och lösningsförslag. z 11. w 3. Lösning. De Moivres formel ger att

P03. (A) Visa, att om en aritmetisk serie med differensen d har a som första och b som sista term, så är seriens summa b + a 2.

Matematisk kommunikation för Π Problemsamling

Tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, onsdagen den 20 augusti 2014, kl

Akilles och sköldpaddan - en introduktion till

2+6+3x = 11 y+4+15 = z = 15. x 2. { 3x1 +4x 2 = 19 2x 1 +2x 2 = 10 B =

Ma C - Tek Exponentialekvationer, potensekvationer, logaritmlagar. Uppgift nr 10 Skriv lg4 + lg8 som en logaritm

ARITMETIK 3. Stockholms universitet Matematiska institutionen Avd matematik Torbjörn Tambour

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

Euler-Mac Laurins summationsformel och Bernoulliska polynom

Planering för kurs C i Matematik

lim 1 x 2 lim lim x x2 = lim

1 Talteori. Det här kapitlet inleder vi med att ta

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

MS-A409 Grundkurs i diskret matematik Appendix, del I

Lösningar och kommentarer till Övningstenta 1

Kapitel 2. Grundläggande sannolikhetslära

Ekvationslösning genom substitution, rotekvationer

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Lösning av tentamensskrivning i Diskret Matematik för CINTE och CMETE, SF1610, tisdagen den 27 maj 2014, kl

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Sidor i boken Figur 1: Sträckor

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

Matematiska uppgifter

Den räta linjens ekvation

Tentamen i Envariabelanalys 2

Sidor i boken V.L = 8 H.L. 2+6 = 8 V.L. = H.L.

Talmängder N = {0,1,2,3,...} C = {a+bi : a,b R}

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid

Block 1 - Mängder och tal

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

Block 1 - Mängder och tal

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

Den räta linjens ekvation

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Lösningsförslag till Tentamen i 5B1118 Diskret matematik 5p 22 augusti, 2001

DE FYRA RÄKNESÄTTEN (SID. 11) MA1C: AVRUNDNING

Lennart Carleson. KTH och Uppsala universitet

5B1147. Envariabelanalys. MATLAB Laboration. Laboration 1. Gränsvärden och Summor

Exponentialfunktioner och logaritmer

Övningshäfte 2: Komplexa tal

Övningstenta 6. d b = 389. c d a b = 1319 b a

inte följa någon enkel eller fiffig princip, vad man nu skulle mena med det. All right, men

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Vi tolkar det som att beloppet just vid denna tidpunkt stiger med 459 kr/år, alltså en sorts hastighet. Vi granskar graferna till b(x) och b (x)

DEL I. Matematiska Institutionen KTH

Matematik C (MA1203)

Moment Viktiga exempel 4.37, 4.38, 4.39 Övningsuppgifter 4.52, P 0 P = t v OP och OP 0 är ortsvektorer för punkterna P och P 0, så

Lösningar och kommentarer till uppgifter i 2.3

Arbeta vidare med Junior 2010

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Repetitionsuppgifter inför Matematik 1. Matematiska institutionen Linköpings universitet 2013

Kontroll 13. Uppgift 1. Uppgift 2. Uppgift 3. Uppgift 4. Uppgift 5. Uppgift 6. Uppgift 7

Föreläsning 3: Ekvationer och olikheter

Matematiska uppgifter

Transkript:

Turen har kommit till geometriska talföljder och summan av en geometrisk talföljd. Talföljden 1,, 4, 8, 16, 3,... är ett exempel på en geometrisk talföljd. Utmärkande för en geometrisk talföljd är att kvoten mellan två på varandra följande tal i en talföljd är konstant alltid lika stor. Kvoten, till vilken vi använder beteckningen k, är i exemplet ovan k = därför att bland andra 1 = 4 = 3 16 = 104 1 = De två sista talen finns med längre fram i talföljden än vad som här visas, eller? Vi använder, som tidigare, a med ett index (ordningsnummer) för att beteckna enskilda tal i följden a 1, a, a 3...a n 1, a n, a n+1,... Det är alltså kvoten mellan två på varandra följande tal som ger k k = a 3 a = a n+1 a n Kvoten k behöver inte vara ett heltal. Vilken är kvoten i denna talföljd? 1, 1 3, 1 9, 1 7, 1 81,... Jo den är k = a 1 3 = a 1 1 = 1 3 Samma resultat får vi då vi tar två andra tal k = a a 4 = 1 81 1 7 = 7 81 = 1 3 Man kan konstruera en formel som direkt ger det n:e talet. Vi utgår i nästa exempel från talföljden:, 4 3, 8 9, 16 7, 3 81,... Håkan Strömberg 1 KTH Syd

Först måste vi bestämma kvoten k k = 4 3 = 4 6 = 3 Det finns oändligt många geometriska talföljder med k =. Här är en annan: 3 1, 3, 4 9, 8 7, 16 81,... Alltså måste vi ha mer information i vår kommande formel för att få rätt talföljd. Speciellt är det första talet a 1 olika i de båda talföljderna. Om vi känner a 1 och k kan vi bestämma a = a 1 k. Känner vi a kan vi bestämma a 3 = a k. Det betyder att om vi är tålmodiga så kan vi ta reda på vilket tal som helst i talföljden med denna metod. Men observera att eftersom a 3 = a k och a = a 1 k, så måste a 3 = a 1 k k. Nu kan vi ställa upp formeln Vi testar på den senaste talföljden ovan och vill där ha reda på det 6:e talet. Vi får ( ) 6 1 a 6 = 1 = 3 3 = 3 43 Samma resultat som vi får, om vi utgår från a och multiplicerar med k Den här formeln lägger vi så på minnet: a 6 = a k = 16 81 = 3 43 Nu över till summan av talen i en geometrisk talföljd. Vi återvänder till den inledande talföljden och vill bestämma summan 1 + + 4 + 8 + 16 + 3 Summan är bildad av ett ändligt antal tal. När vi beräknade aritmetiska summor var detta nödvändigt, men för geometriska summor är detta inte nödvändigt då k < 1. Mer om detta senare i ditt matematiska liv. Vi kan skriva om talen i denna summa till s a = 0 + 1 + + 3 + 4 + Vi skapar nu en summa s b, där alla elementen multipliceras med kvoten k, som här är k =. Vi får s b = 0 + 1 + + 3 + 4 + = 1 + + 3 + 4 + + 6 Håkan Strömberg KTH Syd

Summan s b blir då k = gånger så stor som s a, s a = s b, som är samma sak som s a = s b s a. Detta betyder att om vi drar summan s a från summan s b så får vi s a. Till handling: s a = s b s a = ( 1 + + 3 + 4 + + 6 ) ( 0 + 1 + + 3 + 4 + ) = 6 0 = 64 1 = 63 Just därför att vi valde k = blev räkningarna speciellt enkla. Vi tar ett nytt exempel med k = 4 4 + 16 + 64 Detta är en ganska kort men dock en geometrisk summa (serie). Vi konstaterar att Vi kallar summan s a och skriver om den k = 16 4 = 4 s a = 4 1 + 4 + 4 3 Vi bildar en summa till, där varje term är k = 4 gånger större. s b = 4 4 1 + 4 4 + 4 4 3 = 4 + 4 3 + 4 4 Då s b = 4 s a, bildar vi summan genom 3s a = s b s a. 3s a = s b s a = 4 + 4 3 + 4 4 (4 1 + 4 + 4 3 ) = 4 + 4 3 + 4 4 (4 1 + 4 + 4 3 ) = 4 4 4 1 = 6 4 = Vilket ger s a = = 84. Nu är det dags att presentera den generella formeln, som 3 man kan visa på motsvarande sätt s n = a 1(k n 1) k 1 1 Skriv de första talen till den geometriska talföljden. Vilken är den konstanta kvoten k? a n = 6 n 1 Vi sätter i tur och ordning in n = 1... och får 6, 1, 4, 48, 96 Håkan Strömberg 3 KTH Syd

Ange det 10:e talet i den geometriska talföljden där första talet är 00 och kvoten 1 3 Vi använder direkt formeln som ger 3 Beräkna summan a 10 = 00 ( ) 10 1 1 = 00 3 19683 0.01016 n k=0 för n = 3...6 och upptäck ett mönster som alla programmerare måste känna till. De 4 summorna vi ska bestämma, klarar vi utan att använda, någon formel Det eftersökta mönstret är att k 1 + + 4 = 7 1 + + 4 + 8 = 1 1 + + 4 + 8 + 16 = 31 1 + + 4 + 8 + 16 + 3 = 63 n k = n+1 1 k=0 4 Beräkna summan av 10 tal i den geometriska talföljd, som startar med 1000 och där k = 1.07 Nu är det dags för formeln s 10 = 1000(1.0710 1) = 13816 1.07 1 Nu är frågan: Vad har vi räknat ut? Finns det någon praktisk tolkning? s 10 = 1000 + 1000 1.07 + 1000 1.07 +...1000 1.07 9 Varje nyårsafton, i 10 år, sätter jag in 1000 kr på banken. Efter den andra nyårsafton har jag 000 kr plus 7% ränta av de 1000 kr som stått inne i ett år, alltså 070 kr. Nästa nyårsafton har jag först och främst 3000, därtill kommer först räntan på de 1000 kr som varit innestående i ett år, det vill säga 70 kr och sedan räntan på beloppet 1000 kr som funnits på kontot i två år 1000, som är 144.90. Totalt har jag vid den tredje nyårsaftonen 3000+70+144.90 = 314.90 på banken. Eller varför inte se det så här: Den sista termen 1000 1.07 9 motsvarar den första 1000-lappen som jag satt in för 9 år seden och den första termen motsvarar den 1000-lapp som jag satt in idag (sista nyårsafton), som ännu inte hunnit ge någon ränta. Mer om detta i nästa föreläsning. Håkan Strömberg 4 KTH Syd

Du vet att första talet i en geometrisk talföljd är och att kvoten är 3. Ta reda på vilket ordningsnummer n, talet 10688 har i denna följd. Vi utgår från formeln och fyller i det vi känner till och får följande ekvation: 10688 = 3 n 1 3 n 1 = 31441 lg 3 n 1 = lg31441 (n 1) lg3 = lg31441 n = lg31441 + 1 lg3 n = 13 Även om inte dosan får detta resultat exakt kan man ta reda på att (hur vet jag dock inte) 31441 = 3 1 Svar: n = 11 6 Beräkna den geometriska summan 000 + 000 1.1 + 000 1.1 +... + 000 1.1 7 Vad betyder summan om vi vill ge den en ekonomisk betydelse? a 1 = 000, k = 1.1 och n = 8. Vi får med summaformelns hjälp s 8 = 000(1.18 1) 1.1 1 = 87 Vi sätter in 000 kr på banken varje år till 10% ränta och har efter 7 år och 8 insättningar har vi 87 kr. 7 Vilka talföljder är geometriska a), 8, 11, 14, 17 b) 64, 48, 36, 7 c) 3, 40, 0, 6. d) 4,, 7, 10, 14 a), 8, 11, 14, 17 Nej b) 64, 48, 36, 7 Ja k = 3 4 c) 3, 40, 0, 6. Ja k = 4 d) 4,, 7, 10, 14 Nej Håkan Strömberg KTH Syd

8 I en geometrisk talföljd är kvoten k = 3 och a 4 = 79. Bestäm a 1 Vi använder formeln och får ekvationen ( ) 4 1 3 79 = a 1 a 1 = ( 79 3 3 ) a 1 = 79 8 7 a 1 = 16 9 Bestäm första talet i en geometrisk talföljd där a 7 = 916 och a 11 = 36196. Om vi sätter b 1 = a 7 och b = a 11 och går vidare med talföljden b får vi med hjälp av formeln b n = b 1 k n 1 ekvationen 36196 = 916 k 1 k 4 = 36196 916 k 4 = 81 k = ± 4 81 k 1 = 3 (k = 3) Återstår att bestämma a 1. Vi har nu k = 3, a 7 = 916 och n = 7. Med formelns hjälp får vi 916 = a 1 3 7 1 a 1 = 916 3 6 a 1 = 4 Svar: a 1 = 4 10 Beräkna 100 n=0 Summorna som åsyftas är ( ) n 4 och + 8 + 3 +... + 00 n=0 ( ) 100 4 ( ) n 4 Håkan Strömberg 6 KTH Syd

och De bestäms med hjälp av + 8 + 3 +... + s 101 = ( 1 ( ) 00 4 ( ) ) 101 4 (1 4 ) och Resultatet blir s 01 = ( 1 ( ) ) 01 4 (1 4 ) s 101 9.999999998370371189341113099 s 01 9.9999999999999999996680387449 1 Skriv de fem första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 3 och kvoten. Skriv de fyra första talen i den geometriska talföljden, där första talet är 3 och kvoten 1. 3 Beräkna det 3:e talet i en geometrisk talföljd där a 1 = 104 och k = 1 4 I en geometrisk talföljd är det första talet 31 och det 10:e talet 1643. Beräkna kvoten i den geometriska talföljden. Bestäm summan av de 10 första talen i den geometriska talföljden 1, 3 4, 9 16, 7 64, 81 6 6 Finns talet 106078 i den geometriska talföljden 7, 14, 8, 6, 11... 1 Genom att använda formeln gånger för n = 1... får vi 3, 1, 7, 37, 187 Håkan Strömberg 7 KTH Syd

Genom att använda formeln 4 gånger för n = 1...4 får vi = 3 3, 16, 8, 4 ( ) n 1 1 3 4 Med hjälp av formeln får vi ekvationen a 3 = 104 ( ) 3 1 1 = 6 1643 = 31 k 10 1 k 10 1 = 1643 31 k 9 = 1 k = 9 1 k = Kvoten är lätt att finna, k = 3, n = 10 och a 4 1 = 1, denna information smäller vi in i formeln s 10 = 1(1 ( 3 10) 4) 1 3 4 som ger s 10 3.8310 kan med lätthet avrundas till s 10 = 4 6 Med hjälp av formeln får vi ekvationen 106078 = 7 n 1 n 1 = 114 lg n 1 = lg114 (n 1) lg = lg114 n = lg114 + 1 lg n 14.8874 Svaret är NEJ, eftersom det krävs att ordningsnumret är ett heltal. Håkan Strömberg 8 KTH Syd