Transformmetoder. Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur

Relevanta dokument
Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

TEN2, ( 3 hp), betygsskala A/B/C/D/E/Fx/F. TEN2 omfattar Laplace-, Fourier- och z-transformer samt Fourierserier

Kursinformation och studiehandledning, Matematik III - Differentialekvationer, komplexa tal och transformteori, Lp III 2016.

Lösningsförslag, Tentamen, Differentialekvationer och transformer II, del 2, för CTFYS2 och CMEDT3, SF1629, den 9 juni 2011, kl.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1202/2 Diff och Trans 2 del 2, för F och T.

Lösningsförslag till tentamen i SF1683, Differentialekvationer och Transformmetoder (del 2) 4 april < f,g >=

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

5B1147 Envariabelanalys, 5 poäng, för E1 ht 2006.

Flervariabelanalys. Undervisning Undervisning sker i form av föreläsningar (39 st) och lektioner (20 st).

Lösningar till tentamen i Transformmetoder okt 2007

Kursinformation, TNIU19 Matematisk grundkurs fo r byggnadsingenjo rer, 6 hp

Linjär algebra och geometri 1

Matematik och statistik NV1, 10 poäng

FYSA21 Teori, höstterminen 2013 Naturvetenskapliga tankeverktyg

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 10 januari 2017 kl. 14:00-19:00. a+bx e x 2 dx

Rita även upp grafen till Fourierseriens summa på intervallet [ 2π, 3π], samt ange summans värde i punkterna π, 0, π, 2π. (5) S(t) = c n e int,

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Linjär algebra och geometri 1

Linjär algebra och geometri I

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Milo Viviani MVE500, TKSAM-2

Matematik 2 för media, hösten 2001

MVE500, TKSAM Avgör om talserierna är konvergenta eller divergenta (fullständig motivering krävs). (6p) 2 n. n n (a) n 2.

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 11-14, 16/11-28/

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Lösningsförslag till tentamen i SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 8 januari 2018

Kursinformation och studiehandledning, M0038M Matematik I Differentialkalkyl, Lp I 2013.

ENDIMENSIONELL ANALYS FÖR C OCH D HT 2018, DELKURS B1, 8 HP

1. (4p) Para ihop följande ekvationer med deras riktingsfält. 1. y = 2 + x y 2. y = 2y + x 2 e 2x 3. y = e x + 2y 4. y = 2 sin(x) y

Transformteori. Programkurs 6 hp Transform Theory TATA80 Gäller från: 2017 VT. Fastställd av. Fastställandedatum

Kursinformation i Partikeldynamik för M (TMME08)

Kursinformation. Kurslitteratur: H. Anton och C. Rorres: Elementary Linear Algebra, 10:e upplagan. Wiley 2011 (betecknas A nedan).

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

Extra övningsuppgifter i Fourieranalys, 2012/13

Spektrala Transformer

Studiehandledning M0038M Matematik I Differentialkalkyl Lp 1, 2016

Ht Läsanvisningar till Hilbertrum och partiella differentialekvationer. Del 1. Ur Anton, Rorres; Elementary Linear Algebra

ENVARIABELANALYS FÖR F OCH Q HT 2012, 10 HP

Kursinformation och studiehandledning, M0038M Matematik I Differentialkalkyl, Lp I 2012.

Tentamen SF1633, Differentialekvationer I, den 23 oktober 2017 kl

Signal- och bildbehandling TSBB03

SF1635, Signaler och system I

4. Uppgifter från gamla tentor (inte ett officiellt urval) 6

Del I. Modul 1. Betrakta differentialekvationen

= y(0) för vilka lim y(t) är ändligt.

SF1625 Envariabelanalys

Program för System och transformer ht07 lp2

TATA 57/TATA80 18 augusti Lösningar 1) Lösning 1: Z-transformering av ekvationen (med hänsyn tagen till begynnelsevillkoren) ger.

PROV I MATEMATIK Transformmetoder 1MA april 2011

SF 1625 Envariabelanalys, 7.5 hp, för M1 ht 2008.

Sannolikhet och statistik 1MS005

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206). Webbaserad kurs i differentialekvationer I, SF1656.

Linjär algebra och geometri I

MVE500, TKSAM-2. (c) a 1 = 1, a n+1 = 4 a n för n 1

Signal- och Bildbehandling FÖRELÄSNING 4. Multiplikationsteoremet. Derivatateoremet

BEGREPPSMÄSSIGA PROBLEM

Signal- och bildbehandling TSBB03, TSBB14

SF1646, Analys i era variabler, 6 hp, för I1, läsåret

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

ENDIMENSIONELL ANALYS FÖR C OCH D HT 2016, DELKURS B1, 8 HP

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2019

TATM79 Matematisk grundkurs, 6hp Kurs-PM ht 2015

Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012

TNA004 Analys II, 6 hp för ED, KTS och MT Kursinformation VT Sixten Nilsson,

ENDIMENSIONELL ANALYS FÖR C, D OCH N HT 2014, DELKURS A1, 5 HP

LUNDS UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Magnus Aspenberg ENDIMENSIONELL ANALYS FÖR I OCH L HT 2012, DELKURS B1, 8 HP

Partiella differentialekvationer och randvärdesproblem Separabla PDE Klassiska ekvationer och randvärdesproblem

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

ENDIMENSIONELL ANALYS FÖR C, D OCH BI HT 2015, DELKURS B1, 8 HP

SF 1625 Envariabelanalys, 7.5 hp, för M1 ht 2009.

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Endimensionell analys B2 BiLV

y(0) = e + C e 1 = 1

Matematik 4 för basår, 8 högskolepoäng Föreläsnings- och lektionsplanering

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

TATA79 Inledande matematisk analys (6hp)

TSIU61: Reglerteknik. Matematiska modeller Laplacetransformen. Gustaf Hendeby.

Laplace, Fourier och resten varför alla dessa transformer?

Tentamen ssy080 Transformer, Signaler och System, D3

Signal- och bildbehandling TSBB14

MA2047 Algebra och diskret matematik

SF1646, Analys i flera variabler, 6 hp, för CBIOT1 och CKEMV1, VT 2009.

KURSPROGRAM MODELLERING AV DYNAMISKA SYSTEM, 5hp, period 4

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

KURSPLANERING 5B1138 REELL ANALYS II, VT06

Tentamen, SF1629, Differentialekvationer och Transformer II (del 2) 11 april 2017 kl. 8:00-13:00

Tentamen i TMA 982 Linjära System och Transformer VV-salar, 27 aug 2013, kl

1RT490 Reglerteknik I 5hp Tentamen: Del A Tid: Torsdag 15 december 2016, kl

Signal- och bildbehandling TSBB03

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

Tillämpad transformteori

TNSL05, Optimering, Modellering och Planering 6 hp, HT2-2011

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Kursinformation och studiehandledning, M0043M Matematik II Integralkalkyl och linjär algebra, Lp II 2016.

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Kan vi beskriva ett system utan någon fysikalisk kännedom om systemet?

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

MVE500, TKSAM Avgör om följande serier är divergenta eller konvergenta. Om konvergent, beräkna summan. (6p) ( 1) n x 2n+1 (a)

} + t { z t -1 - z t (16-8)t t = 4. d dt. (5 + t) da dt. {(5 + t)a} = 4(5 + t) + A = 4(5 + t),

Transkript:

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Transformmetoder Kurslitteratur: Styf/Sollervall, Transformteori för ingenjörer, 3:e upplagan, Studentlitteratur AB. Kontakt: Föreläsare och kursansvarig: Robert Algervik e-post: robert.algervik@math.uu.se Rum: Å14232 (Hus 1, våning 4, strax norr om postfacken) Telefon: 018-471 34 89 Lektionsledare för EI2 och MasFE1: Denis Gaidashev e-post: denis.gaydashev@math.uu.se Lektionsledare för F2.A och gylärarfy3: Linnéa Gyllingberg e-post: linnea.gyllingberg@math.uu.se Lektionsledare för F2.B: Hannah Dyrssen e-post: hannah.dyrssen@math.uu.se Lektionsledare för F2.C och IT3 (2 lektionsgrupper): Alejandro Castro e-post: alejandro.castro@math.uu.se Projekt: I kursen ingår även ett projekt på 1 hp. Projektansvarig för samtliga program är Sinchan Biswas. e-post: sinchan.biswas@angstrom.uu.se Kurshemsida och registrering: Kursmaterial kommer nnas tillgängligt via studentportalen. Registrering sker på egen hand. Detaljerad information om hur detta går till åternns på www.math.uu.se/student. Undervisning: Undervisning sker i form av 20 föreläsningar och 10 lektioner. Vid föreläsningarna introduceras samt exemplieras teori och begrepp, medan lektionerna uteslutande ägnas åt problemlösning (se nedan). 1

Tidsplan: Nedan följer en preliminär planering. Ändringar kan förekomma! Föreläsning 1. Introduktion: komplexa exponentialfunktionen, komplexvärda funktioner av en reell variabel, Eulers formler. Fourierserier: komplex form. Avsnitt i boken: 1.1, 3.13.5 Föreläsning 2. Fourierserier: trigonometrisk och amplitud-fasvinkelform. Avsnitt i boken: 3.5 (ej punktvis konvergens på s. 62), 3.8 Föreläsning 3. Fourierserier: punktvis konvergens och konvergenshastighet. Avsnitt i boken: 3.5 (om punktvis konvergens, se även exemplen) Föreläsning 4. Fourierserier: Parsevals formel, räkning med Fourierserier. Avsnitt i boken: 3.6, 3.7 Föreläsning 5. Fouriertransformen: denition och exempel. Avsnitt i boken: 4.2 Föreläsning 6. Fouriertransformen: inversa Fouriertransformen och faltning. Avsnitt i boken: Föreläsning 7. Fouriertransformen: Plancherels formel, något om LTI-system. Avsnitt i boken: 4.1 (kursivt) Föreläsning 8. Laplacetransformen: denition och enkla egenskaper. Avsnitt i boken: 1.2, 1.3 Föreläsning 9. Laplacetransformen: invers Laplacetransformation av rationella funktioner. Avsnitt i boken: 1.4 Föreläsning 10. Laplacetransformen: faltning, begynnelse och slutvärdessatserna. Avsnitt i boken: 1.8 (begynnelse och slutvärdessatserna nns ej med i boken) Föreläsning 11. LTI-system: impulssvar, överföringsfunktion, stabilitet och kausalitet. Avsnitt i boken: 1.6 Föreläsning 12. Variabelseparation: värmeledningsekvationen. Avsnitt i boken: 5.3 Föreläsning 13. Variabelseparation: vågekvationen. Avsnitt i boken: 5.4. 2

Föreläsning 14. Variabelseparation: exempel på inhomogena och andra fall. Avsnitt i boken: Föreläsning 15. Z-transformen: denition och egenskaper. Avsnitt i boken: 2.2 Föreläsning 16. Z-transformen: lösning av dierensekvationer. Avsnitt i boken: 2.1, 2.2 Föreläsning 17. LTI-system: diskreta fallet. Avsnitt i boken: 2.3 Föreläsning 18. Repetition/reserv. Föreläsning 19. Repetition. Föreläsning 20. Repetition. Examination: Examinationen sker i form av en skriftlig tentamen som äger rum fredagen den 23 oktober 2015. Tentamen innehåller 8 uppgifter där vardera uppgift kan ge maximalt 5 poäng. Betyg 3 motsvarar 18-24 poäng, betyg 4 motsvarar 25-31 poäng och betyg 5 motsvarar 32 poäng eller mer. Till ordinarie tentamenstillfälle nns en möjlighet att erhålla maximalt 2 bonuspoäng genom att lösa ett antal kryssproblem inför lektionerna (se nedan). 3

Mål: För godkänt betyg på kursen skall studenten kunna: ˆ redogöra för följande transformers denitioner och egenskaper: laplacetransformen, z-transformen, fouriertransformen; ˆ tillämpa transformregler för att beräkna enkla funktioners transformer, och kunna använda tabeller för att beräkna inversa transformer; ˆ beräkna periodiska funktioners fourierkoecienter samt känna till något kriterium för fourierseriens punktvisa konvergens; ˆ använda Parsevals och Plancherels satser; ˆ formulera viktigare resultat och satser inom kursens område; ˆ använda transformer för att lösa dierential- och dierensekvationer; ˆ använda transformmetoder inom något av utbildningsprogrammets tillämpningsområden och i detta sammanhang kunna genomföra och presentera ett mindre projekt. 4

Lektionsanvisningar, kryssproblem och bonuspoäng Nedan följer en uppsättning rekommenderade problem att lösa, eller åtminstone tänka igenom, inför motsvarande lektion. Försök att åtminstone bekanta dig med ett par problem i varje avsnitt inför lektionen. Vid varje lektion, utom den sista, ägnar vi ca 20 minuter till att i smågrupper diskutera de två kryssproblem som ges till motsvarande lektion (se nedan). Till lektionen skall man ta med prydligt skrivna lösningar till kryssproblemen. Lektionsledaren tittar till hur diskussionen går i grupperna. Efter diskussionen skall alla lösningar lämnas in med namn till lektionsledaren som bedömmer lösningarna och lämnar tillbaka dem nästföljande lektion. De lösningar som är korrekta och välskrivna ges ett kryss. Om man vid kursens slut har 9 kryss respektive 14 kryss får man 1, respektive 2 bonuspoäng till ordinarie tenta. Inför lektion 1. Testproblem kap. 3: 1ac, 2ab, 6, 8, 9, 10, 11 1. Ange Fourierserien på trigonometrisk form för (a) f(t) = sin(2t); (b) g(t) = sin 2 t; (c) h(t) = cos 3 t. OBS: Man behöver inte beräkna några integraler för att lösa uppgiften! 2. Funktionen f har period 2π och ges av f(t) = e t då t < π. Bestäm Fourierserien för f på (a) komplex form. (b) trigonometrisk form. Ledning: använd resultatet i (a) för att lösa (b). Inför lektion 2. Testproblem kap. 3: 12abc, 14ac (ange både den reella och den komplexa formen i uppgift 14), 15ac, 22abc, 23ac, 24, 16abc Övningar kap. 3: 1, 5, 8, (alla på både reell och komplex form), 11, 12, 16, 19 1. Ange sinusserien för f(t) = cos t, 0 < t < π. 2. Låt f vara den 2-periodiska funktion som denieras av t om 0 t 1 f(t) = 0 om 1 < t < 0. 5

(a) Bestäm Fourierserien för f på trigonometrisk form. (b) Använd resultatet i (a) för att beräkna serien k=0 1 (2k + 1) 2. Inför lektion 3. Övningar kap. 4: 1, 2, 3, 5, Extra övningar: 1. Beräkna Fouriertransformen av följande funktioner: (a) f(t) = t om t < 1 och f(t) = 0 för övrigt; (b) f(t) = 1 t om t < 1 och f(t) = 0 för övrigt. 2. Låt f vara som i 1 (b). Beräkna Fouriertransformen av f direkt från denitionen. 3. Bestäm Fouriertransformen av av f(t) = te t2 /2. 4. Antag att f har Fouriertransformen ˆf(ω) = e ω4. Ange Fouriertransformen av e it f(2t + 1). 1. Bestäm Fouriertransformen av f(t) = e (t2 +4t)/2. 2. Bestäm Fouriertransformen av (a) (b) f(t) = g(t) = 1 t 2 + 8t + 25, t + 4 (t 2 + 8t + 25) 2. Inför lektion 4. Övningar kap. 4: 7, 9 Extra övningar: 1. Beräkna Fouriertransformen av (a) 1 1 + 9t 2, (b) e it 1 + 9t 2, (c) sin t 1 + 9t 2. 6

2. Låt f ha Fouriertransformen F (ω) = e ω sin ω. ω Bestäm f(0) och använd sedan detta för att beräkna integralen 0 e ω sin ω dω. ω 3. Låt f(t) = 1 t 2 för t < 1 och f(t) = 0 annars. Beräkna ˆf och använd resultatet för att beräkna integralerna sin t t cos t t 3 dt och (sin t t cos t) 2 dt. t 6 1. Bestäm Fouriertransformen till funktionen e t om t > 0, f(t) = e t om t < 0. Använd sedan resultatet till att beräkna integralen 2. Lös integralekvationen 0 x 2 (1 + x 2 ) 2 dx. f(t y)e y dy = 1 1 + t 2, t R. Inför lektion 5. Testproblem kap. 1: 2a, 3a, 4ac, 5ac, 6ac, 8abc, 9abc, Övningar kap. 1: 1abcdef, 2, 3 1. Beräkna L[te t cos t](s). 2. Låt f(t) = sin t för 0 t 2π, f(t) = 0 annars. Beräkna f(s). 7

Inför lektion 6. Testproblem kap. 1: 10abc, 11ab, 12ab, 13acef, 14abc, 15ace, 18ab Övningar kap. 1: 6, 7, 9 1. Ange f(t) om f(s) = s + 3 s 3 s. 2. Lös integralekvationen t y(t) + (t u)y(u) du = te t. 0 Inför lektion 7. Testproblem kap. 1: 17abc, 19abc, 20abc, 21abc, 22ab, 23ab, 25, 26, 27 Övningar kap. 5: 1, 2, 3 1. Ange en funktion f(t) som uppfyller f(0) = 0 och för t 0. t f (t) 3f(t) + 0 f(u)e t u du = e 2t, 2. Lös begynnelsevärdesproblemet x + y = e t, y y 2x = 0. t > 0 om x(0) = 1, x (0) = 0, y(0) = 1 och y (0) = 2. Inför lektion 8. Testproblem kap. 5: 9, 10, 11, 13 Övningar kap. 5: 8, 10, 11, 12, 15, 17, 18 8

1. Lös med hjälp av variabelseparationsmetoden u t = u xx, 0 < x < 1, t > 0; u(0, t) = 0, u(1, t) = 1, t > 0; u(x, 0) = 2x x 2, 0 < x < 1. 2. Lös med hjälp av variabelseparationsmetoden u xx = u tt, 0 < x < π, t > 0; u(0, t) = u(π, t) = 0, t > 0; u(x, 0) = sin x, 0 < x < π; u t (x, 0) = sin 3x, 0 < x < π. Inför lektion 9. Testproblem kap. 2: 4bcd, 5abcd, 6ab, 7a, 8abcd Övningar kap. 2: 1cd, 2abc, 5ab, 8abc, 9 1. Bestäm talföljden (a n ), n = 0, 1, 2,..., så att n 2 n k 1, n = 0, 1 a k = 0, n 2. k=0 2. Ange talföljderna (a n ) och (b n ), n = 0, 1, 2,, om a 0 = 1, b 0 = 4 och a n+1 + 2a n b n = 1, n = 0, 1, 2,.... b n+1 + 12a n 5b n = 3 Inför lektion 10. Repetition Svar till extraövningar Lektion 3: 1. a) ˆf(ω) = 2i (ω cos ω sin ω) för ω 0 och ˆf(0) = 0, b) ˆf(ω) = ω 2 4 sin 2 ( ω 2 ) för ω 0 och ˆf(0) = 1. 2. F(f )(ω) = 2i(1 cos ω)/ω för ω 0 och ω 2 f (0) = 0. 3. F(te t2 /2 )(ω) = iω 2πe ω2 /2, 4. 2 1 exp[i(ω 1)/2 ( ω 1 2 )4 ] Lektion 4: 1. a) πe ω /3 /3, b) πe ω 1 /3 /3, c) π(e ω 1 /3 e ω+1 /3 )/(6i), 2. integralen blir π/4, 3. ˆf(ω) = 4(sin ω ω cos ω)/ω 3, π/2 samt 2π/15. 9