Moment 4.2.7 Viktiga exempel 4.17, 4.18, 4.19, 7.20, 4.22, 4.23 Handräkning 4.17, 4.18, 4.19, 4.21, 4.24, 4.54 Datorräkning Figur 1: fig 6 Skalärprodukt Först fastslår vi att två vektorer i planet eller i rummet har en mellanliggande vinkel θ i intervallet 0 θ π. Definition 1. Skalärprodukten. Om u och v är två vektorer i planet eller i rummet och vinkeln mellan u och v är θ så definierar vi skalärprodukten u v genom u v = u v cosθ Figur 2: Skalärprodukten u v är ett tal som beror på vektorernas längd och på vinkeln mellan dem. Exempel 1. I planet finns vektorerna v = (1,1) och u = (2,0). Vinkeln θ = π/4 framgår av figur 2. Detta leder till att skalärprodukten v u = ( 1 2 +1 2 )( 2 2 +0 2 )(1/ 2) = 2 Håkan Strömberg 1 KTH Syd
Sats 1. Specialfall av skalärprodukten. Då vinkeln mellan u och v är π/2 = 90 är u v = 0, eftersom cosπ/2 = 0. u och v sägs vara ortogonala. Då vinkeln mellan v och u är 0 är v u = v u Vad är egentligen skalärprodukten? Vi ska nu härleda en formel som uttrycker skalärprodukten av två vektorer v = (v 1,v 2,v 3 ) och u = (u 1,u 2,u 3 ), med en formel som endast beror av vektorernas komponenter. Figur 2 visar vektorerna med den mellanliggande vinkeln θ. Med hjälp av cosinusteoremet kan vi teckna längden av vektorn PQ som PQ 2 = u 2 + v 2 2 u v cosθ Eftersom PQ = u v kan vi skriva om formeln ovan som u v = u v cosθ = 1 2 Med hjälp av formeln för vektorns längd få vi ( u 2 + v 2 u v 2) (1) u 2 = u 2 1 +u2 2 +u2 3 v 2 = v 2 1 +v2 2 +v2 3 u v 2 = (u 1 v 1 ) 2 +(u 2 v 2 ) 2 +(u 3 v 3 ) 2 Dessa formler insatta i 1 ger efter förenkling u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3. Då u = (u 1,u 2 ) och v = (v 1,v 2 ) är två vektorer i planet blir motsvarande uttryck för skalärprodukten u v = u 1 v 1 +u 2 v 2. Sats 2. Uttryck för skalärprodukten. Skalärprodukten u v för två vektorer i planet kan skrivas: u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 Skalärprodukten u v för två vektorer i rummet kan skrivas: u v = u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3. Sats 3. Vinkeln mellan två vektorer. När u v kan beräknas med hjälp av vektorernas komponenter kan vinkeln θ, mellan vektorerna beräknas med hjälp av följande uttryck cosθ = u v u v (2) Håkan Strömberg 2 KTH Syd
Exempel 2. Bestäm vinkeln mellan vektorerna u = (1, 0, 4) och v = (0, 2, 3). u v = 1 0+0 ( 2)+4 3 = 12 u = 1 2 +0 2 +4 2 = 17 v = 0 2 +( 2) 2 +3 2 = 13 Med hjälp av (2) får vi så till slut θ = arccos 12 17 13 Figur 3: Vektorn w delas upp i två komposanter, u och v Projektioner Det är vanligt att man vill dela upp en vektor w i komposanter, som inbördes är vinkelräta. I figur 3 ser vi hur w projicerats vinkelrätt mot a och b och hur komposanterna u och v bestämts. Vektorerna u och v bestäms analytiskt med hjälp av följande formler: Sats 4. u och v ges av u = w a a 2 a v = w b b 2 b u = w a a v = w b b Exempel 3. Beräkna arean av den triangel vars hörn ligger i punkterna P 1 = (1,3,1), P 2 = (2, 1,0) och P 3 = (0,4,2). Låt P 0 vara en godtycklig punkt på linjen L som går genom P 1 och P 2. Ekvationen P 1 P 2 P 0 P 3 = 0 gör att P 0 P 3 blir höjd i triangeln. Håkan Strömberg 3 KTH Syd
Vi kommer så småningom att beräkna arean med A = b h/2. Linjen L s ekvation är lätt att bestämma. För varje värde på t får vi en ny punkt på linjen. L = (1,3,1) +((2, 1,0) (1,3,1))t = (1,3,1) +(1, 4, 1)t = (1+t,3 4t,1 t) För ett visst värde på t får vi den sökta punkten P 0. Det är detta t vi ska ta reda på P 3 P 0 = (0,4,2) (1+t,3 4t,1 t) = ( 1 t,1+4t,1+t) Vi har nu två vektorer P 2 P 1 = (2, 1,0) (1,3,1) = (1, 4, 1) och P 3 P 0 = ( 1 t,1+ 4t,1+t). Dessa ska vara vinkelräta mot varandra vilket är samma sak som att ( 1 t,1+4t,1+t) (1, 4, 1) = 0 Enligt definitionen för skalärprodukten får vi nu ( 1 t,1+4t,1+t) (1, 4, 1) = 0 ( 1 t) 4(1+4t) (1+t) = 0 6 18t = 0 t = 1 3 Nu känner vi t = 1 3 och kan bestämma punkten ( ( P 0 = 1+ 1 ) (,3 4 1 ) (,1 1 )) ( 2 = 3 3 3 3, 13 3, 4 ) 3 och sedan vektorn ( 2 P 3 P 0 = (0,4,2) 3, 13 3, 4 ) ( = 2 3 3, 1 3, 2 ) 3 Återstår att ta reda på P 3 P 0 och P 2 P 1 med hjälp av avståndsformeln innan vi till sist kan bestämma arean. P 2 P 1 = 1 2 +( 4) 2 +( 1) 2 = 18 P 3 P 0 = ( 2 3 )2 +( 1 3 )2 +( 2 3 )2 = 1 A = 18 1 2 = 3 2 2 Exempel 4. Bestäm den ortogonala projektionen av v = (1,4, 3) på vektorn u = (1,3,2). Vi kallar den sökta vektorn w Vi använder formeln från ovan w = v u (1,4, 3) (1,3,2) u = u 2 1 2 +3 2 +2 2 (1,3,2) = 1 2 (1,3,2) = ( 1 2, 3 ) 2,1 Håkan Strömberg 4 KTH Syd
Exempel 5. P 1 = ( 3,4) och P 2 = (2,1). P 2 P 1 = (2,1) ( 3,4) = (5, 3) har givit oss en riktningsvektor. Vi kan nu som svar skriva ekvationen på parameterform som (x, y) = (2,1) +t(5, 3). Chansen är dock liten att det överensstämmer med facit. Men det gjorde det faktiskt tur! Vi påminner att det finns oändligt många sätt att uttrycka linjens ekvation. När vi nu ska skriva linjen på parameterfri form utgår vi från parameterformen ovan och får x = 2+5t y = 1 3t och löser ut t i båda ekvationerna och får t = x 2 5 och till slut x 2 5 t = 1 y 3 = 1 y 3 Fast vi är ju sedan gammalt mer vana vid att skriva linjens ekvation på denna form y = 3 5 x+ 11 5 Exempel 6. Bestäm linjen ekvation på parameterfri form. { { x = 2t x = 1+2t a) b) c) y = 4t y = 3 4t { x = 2 y = 4t a) Vi har { x = 2t y = 4t Vi löser ut t ur de båda ekvationerna och sätter dem lika x 2 = y eller x = 2y 4 b) Här får vi c) Försök förstå varför linjens ekvation blir x 1 = y 3 2 4 y = 2x+5 x = 2 Exempel 7. Bestäm ekvationen för linjen 3x+6y = 5 på parameterform. Linjens ekvation är given 3x + 2y = 6, som också kan skrivas 3x = 6 2y. Vi inför en parameter t och får genom t = 3x = 6 2y, t = 3x respektive t = 6 2y. Återstår att lösa ut x respektive y. x = 0+t 1 3 y = 3 t 1 2 ( 1 ) 3, 1 2 är visserligen en riktningsvektor men det är inget som hindrar att vi skriver 6 ( 1 3 2), 1 = (2, 3), allt för att få ett trevligare uttryck { x = 0+2t y = 3 3t och nu stämmer vårt förslag med facit Håkan Strömberg 5 KTH Syd
Exempel 8. Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna (0,1,5) och (2,2,1). Två punkter P 1 = (0,1,5) och P 2 = (2,2,1) är givna. En riktningsvektor r = (2,2,1) (0,1,5) = (2,1, 4) och vi kan direkt skriva linjens ekvation på parameterform (x,y,z) = (0,1,5) t(2,1, 4) Här är de fyra mest närliggande möjligheterna att ange linjens ekvation: (x,y,z) = P 1 +t(p 2 P 1 ) (x,y,z) = P 1 +t(p 1 P 2 ) (x,y,z) = P 2 +t(p 2 P 1 ) (x,y,z) = P 2 +t(p 1 P 2 ) 1 Vad behöver vi känna till för att ekvationen till en linje i rummet ska gå att bestämma? 2 Bestäm v u då v = (1,3,2) och u = (0,3, 2) 3 Bestäm vinkeln θ mellan vektorerna v = (1,3, 1) och u = ( 2,3,7) Läxa 1. 4.17 a) Läxa 2. 4.17 b) u v = (4,0, 2) (3,1, 1) = 12+0+2 = 14 v s = (3,1, 1) (1,4,1) = 3+4 1 = 6 Läxa 3. 4.17 c) w = 2 2 +1 2 +6 2 = 41 som ger ( ) 2 1 6 ^w =,, 41 41 41 Läxa 4. 4.17 d) v s = (3,1, 1) (1,4,1) = 3+4 1 = 6 och u = 4 2 +0 2 +( 2) 2 = 20 ger ( 4 0 0 ( v s)^u = 6,,, 6 ) 20 20 5 5 Läxa 5. 4.17 e) ) ( 2 24 =, 20 20 0, 12 ) ( 12 =, 20 20 5 ( u w) ( v s) = ((4,0, 2) (2,1,6)) ((3,1, 1) (1,4,1)) = (8+0 12) (3+4 1) = ( 4) 6 = 24 Läxa 6. 4.17 f) Vektorerna man här kallar i, j, k kallar vi normalt e x, e y, e z ( u i) v+( w s) k = ((4,0, 2) (1,0,0)) (3,1, 1)+((2,1,6) (1,4,1)) (0,0,1) = 4 (3,1, 1) +(2+4+6) (0,0,1) = (12,4, 4) +(0,0,12) = (12,4,8) Håkan Strömberg 6 KTH Syd
Läxa 7. 4.18 a) u = (4,0, 2) w = (2,1,6) u w = (4,0, 2) (2,1,6) = 8+0 12 = 4 u = 4 2 +0 2 +( 2) 2 = 20 w = 2 2 +1 2 +6 2 = 41 4 cosθ = 20 ( 41 ) 4 θ = arccos 98.0 20 41 Läxa 8. 4.18 b) v = (3,1, 1) s = (1,4,1) v s = (3,1, 1) (1,4,1) = 3+4 1 = 6 v = 3 2 +1 2 +( 1) 2 = 11 s = 1 2 +4 2 +1 2 = 18 6 cosθ = 11 ( 18 ) 4 θ = arccos 64.8 11 18 Läxa 9. 4.18 c) ((4,0, 2) +λ(0,0,1)) ((3,1, 1) λ(1,0,0)) = 0 (4,0, 2+λ) (2 λ,1, 1) = 0 4(2 λ)+0+( 1)(( 2)+λ) = 0 12 4λ+2 λ = 0 14 = 5λ λ = 14 5 Läxa 10. 4.18 d) ((2,1,6) +λ(1,0,0)) ((1,4,1) λ(1,0,0)) = 0 (2+λ,1,6) (1 λ,4,1) = 0 (2+λ)(1 λ)+4+6 = 0 2 2λ+λ λ 2 +10 = 0 λ 2 +λ+12 = 0 1 λ = 1 2 ± 4 + 48 4 λ 1 = 3 λ 2 = 4 Håkan Strömberg 7 KTH Syd
Läxa 11. 4.19 I boken (sid 251) hittar vi formeln (ingår egentligen inte i kursen). Eftersom work done = F a cosθ cosθ = work done F a så måste work done = F a Läxa 12. 4.21 F = ( 2, 1,3) P( 1,2,3) Q(1, 3,4) a = PQ = (1 ( 1), 3 2,4 3) = (2, 5,1) a F = (2, 5,1) ( 2, 1,3) = 4+5+3 = 4 a = (3,1,0) b = (t,0,1) cos45 = 1 2 (3,1,0) (t,0,1) 3 2 +1 2 +0 2 t 2 +0 2 +1 2 = 1 2 3t 10 t 2 +1 = 1 2 t 2 +1 = 3t 2 10 t 2 +1 = 9 2t2 10 Läxa 13. 4.24 t 2 = 5 4 5 t = ± 2 v = P 1 P 2 = (2,3,4) (1,2,3) = (1,1,1) u = P 3 P 4 = (2,3, 2) (1,0,2) = (1,3, 4) v u = (1,1,1) (1,3,4) = 0 Håkan Strömberg 8 KTH Syd
Skalärprodukten för två vektorer v och u bestäms i Mathematica genom v.u. v={2,3,4}; u={3,1,0}; v.u ger utskriften 9. En triangel har sina hörn i punkterna A = (1, 1,2), B = (3,1,1) och C = (2, 3,2). Beräkna vinkeln A a={1,-1,2}; b={3,1,1}; c={2,-3,2}; ab=b-a ac:=c-a ArcCos[ab.ac/(Norm[ab]*Norm[ac,2])] Vi definierar de tre punkterna Vi beräknar de två vektorerna mellan vilka vi vill bestämma vinkeln. Så till sist använder vi den bekanta formeln. Funktionen Norm bestämmer vektorns längd. Svaret blir eller Genom π arccos ( 2 ) 5 15 ( arccos 2 ) 3 5 ArcCos[-2/(3*Sqrt[5])]*180/Pi//N får vi 107.346 Problem 1. Bland dessa vektorer finns några som är vinkelräta mot varandra vilka? a = (1, 2,0) b = (0,0,3) c = (2, 1,2) d = (3,3, 1) e = ( 1, 1,0) f = (2,1,0) g = ( 1,2,3) h = (1,2,3) Håkan Strömberg 9 KTH Syd
Svar 1. Från teorin vet vi att två vektorer u och v är ortogonala om u v = 0. Med hjälp av skrivsättet a.b beräknar man skalärprodukten i Mathematica. Vi måste här testa samtliga 28 kombinationer, som av utrymmesskäl inte finns med i listningen nedan. a={1,-2,0}; b={0,0,3}; c={2,-1,2}; d={3,3,-1}; e={-1,-1,0}; f={2,1,0}; g={-1,2,3}; h={1,2,3}; Följande par av ortogonala vektorer har återfunnits: a och b, a och f, b och e, b och f, d och g, f och g. Flera av dessa resultat ser man enkelt utan dator. Märk speciellt a, b och f, som alla är parvis vinkelräta. Vad kan man säga om a, e och f, som alla är vinkelräta mot b? Jo, att de ligger i samma plan. Det är fullt möjligt att med Mathematica, i ett slag, generera alla dessa kombinationer: alla={a,b,c,d,e,f,g,h} For[i=1,i<=7,i++, For[j=i+1,j<=8,j++, If[alla[[i]].alla[[j]]==0, Print[i," ",j] ] ] ] men det kanske vi får anledning att återkomma till. Problem 2. Bestäm x, så att vektorn u = (1, x, 2) blir vinkelrät mot v = (x, x, 1). Svar 2. Åter en uppgift där skalärprodukten löser problemet. Vilken ekvation ligger bakom u.v==0? u={1,x,2}; v={x,x,-1}; Solve[u.v==0,x] Eftersom ekvationen är av andra graden x 2 +x 2 = 0, finns det två lösningar, x = 2 och x = 1. Problem 3. Skriv en funktion som tar emot två vektorer i rummet, v och u och som returnerar vinkeln θ mellan dem. Svar 3. Vi ska skriva en funktion till formeln θ = arccos u v u v Håkan Strömberg 10 KTH Syd
vinkel[v1_,v2_]:=arccos[v1.v2/(norm[v1]*norm[v2])] v={1,1}; u={1,0}; vinkel[u,v] Vi vet redan att Testexemplet ger resultatet π/4. Problem 4. Sök två vektorer i planet, v = (v 1,v 2 ) och u = (u 1,u 2 ), som är sådana att vektorerna c 1 v+c 2 u och c 2 v c 1 u är vinkelräta för alla värden på c 1 och c 2 Svar 4. Utan att ha någon egentlig strategi för hur problemet ska lösas sätter vi igång med att teckna och beräkna uttrycket. Med hjälp av Expand tvingar vi programmet att utföra alla multiplikationer. Med Collect kan man samla termer med önskade faktorer och bryta ut dem. u={u1,u2}; v={v1,v2}; q1=(c1*u+c2*v).(c2*u-c1*v)//expand; Collect[q1,{c1,c2}] c 2 1 ( u 1v 1 u 2 v 2 )+c 2 2 (u 1v 1 +u 2 v 2 )+c 1 c 2 (u 2 1 +u2 2 v2 1 v2 2 ) För att detta uttryck ska kunna vara 0 för alla tänkbara värden på c 1 och c 2 krävs att { u1 v 1 +u 2 v 2 = 0 u 2 1 +u2 2 v2 1 v2 2 = 0 Två villkor och fyra obekanta. Vi bestämmer oss för att lösa ekvationssystemet med avseende på v 1 och v 2 e1=u1*v1+u2*v2; e2=u1^2+u2^2-v1^2-v2^2; Solve[{e1==0,e2==0},{v1,v2}] Det finns två lösningar: v 1 = u 2, v 2 = u 1 eller v 1 = u 2, v 2 = u 1 Vi avslutar med en test och ser att allt fungerar eftersom uttrycket blir 0. u={a,b}; v={-b,a}; (c1*u+c2*v).(c2*u-c1*v)//expand Problem 5. Skriv en funktion som tar emot en vektor, v och som returnerar en vektor w: Undersök w. w = 1 v v Svar 5. En vektor v, där v = 1, kallas en enhetsvektor. Denna typ av vektorer återkommer ofta i teorin. Håkan Strömberg 11 KTH Syd
v={v1,v2,v3}; w=1/norm[v]*v Norm[w]//Simplify w = v 1, v 2 1 +v2 2 +v2 3 v 2 v 2 1 +v2 2 +v2 3 v 3, v 2 1 +v2 2 +v2 = 1 3 Detta är alltså ett sätt att skapa enhetsvektorer genom att utgå från en godtycklig vektor v. Problem 6. Beräkna skalären k, så att längden hos vektorn w = k v blir k v = 4 då v = ( 1,2,5) Svar 6. Vektorn v har en viss längd. Genom k v = (kv 1,kv 2,kv 3 ), där k är en skalär får den nya vektorn k v längden k v. v={-1,2,5}; Solve[Norm[k*v]==4,k] Resultatet blir k = ±2 2/15. Problem 7. Endast ett av dessa villkor är sant för alla vektorer u och v vilket? u+ v u + v u+ v = u + v u+ v u + v Svar 7. Självfallet är det det första uttrycket u + v u + v, som alltid är sant. Vi ska försöka bevisa det. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; e1=norm[u+v]; e2=norm[u]+norm[v]; e2^2-e1^2//expand 2 u 2 1 +u2 2 +u2 3 v 2 1 +v2 2 +v2 3 2(u 1v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 ) 0 Eftersom båda sidor av den ursprungliga relationen är 0 behålls ordningen även efter kvadrering. Den första termen kan skrivas 2 u v och den andra 2( v u). Från definitionen av skalärprodukten framgår att u v ( v u) med likhet endast då cos θ = 1, då θ = 0 Problem 8. Skriv en funktion, som tar emot två vektorer, v och a, och returnerar en vektor, den ortogonala projektionen av v på a. Svar 8. Figur 4 visar vad som ska beräknas. Teorin hämtar vi från sidan 3 och kan därför direkt skriva in funktionen, som vi kallar proj. proj[v_,a_]:=v.a/norm[a]^2*a v={1,4,-3}; u={1,3,2}; w=proj[v,u] k=norm[w]/norm[u] Håkan Strömberg 12 KTH Syd
Figur 4: v projiceras på u. Projektionen betecknas med w. I testen vill vi ha reda på den ortogonala projektionen av v = (1,4, 3) på vektorn u = (1,3,2). Resultatet w = ( 1 2, 3 2,1) är precis hälften så lång som u. Problem 9. Skriv en funktion, som tar emot en vektor, v = (v 1,v 2,v 3 ) och som returnerar en vektor, u = (u 1,u 2,u 3 ), sådan att u = v och v u och u 3 = 0. Svar 9. Till en godtycklig vektor v finns förstås oändligt många vektor som är ortogonala mot v. Med fler villkor, förutom ortogonalitet som att den eftersökta vektorn u ska vara lika lång som v och att den tredje komponenten u 3 = 0 blir antalet villkor tillräckligt för att det bara ska finnas en vektor u, som uppfyller dem. Eller finns det flera trots allt? Vi söker alltså lösningen till ekvationssytemet { v 21 +v22 +v23 = u 2 1 +u2 2 v 1 u 1 +v 2 u 3 = 0 med avseende på u 1 och u 2. perp[v_]:=block[{u,u1,u2,r}, u={u1,u2,0}; r=solve[{norm[v]==norm[u],u.v==0},{u1,u2}]; {u1/.r[[1]],u2/.r[[1]],0} ] v={3,2,2}; u=perp[v] Funktionen har fått namnet perp en förkortning för det engelska ordet perpendicular, som betyder rätvinklig. Denna funktion består av ett Block, som i sin tur består av två delar. Först en lista med alla lokala variabler. Genom att deklarera de variabler, man använder inuti blocket, behöver man inte oroa sig för att globala variabler ska få oönskade värden. När ekvationen är löst levereras svaret som en lista. Vi önskar plocka ut rötterna ur listan och och placera resultatet på rätt plats i den vektor som funktionen ska returnera. Problem 10. Visa att påståendet: Punkterna P 1 = (3,0,2), P 2 = (4,3,0), P 3 (8,1, 1) är hörn i en rätvinklig triangel är sant. Vid vilken punkt ligger den räta vinkeln? Svar 10. De tre punkterna definieras varefter tre vektorer med samma riktning och längd som triangelns sidor kan räknas fram. Det är inte helt enkelt att direkt se vilken av de tre vektorerna som motsvarar hypotenusan. Håkan Strömberg 13 KTH Syd
p1={3,0,2}; p2={4,3,0}; p3={8,1,-1}; v1=p1-p2; v2=p1-p3; v3=p3-p2; Norm[v1]^2+Norm[v3]^2==Norm[v2]^2 v1.v3 Men efter ett par tester får man programmet att skriva True och därmed vet man att också att det är vinkeln mellan v1 och v3 som är rät, vilket bekräftas i sista satsen. Problem 11. Sambandet u v = u w, där u 0, är givet, betyder det att v = w? Svar 11. Genom att först beräkna u v u w kan vi finna tre vektorer som visar att v = w inte behöver vara uppfyllt. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; w={w1,w2,w3}; u.v-u.w Genom att betrakta detta uttryck får vi uppslag till hur vi ska välja de tre vektorerna u 1 (v 1 w 1 )+u 2 (v 2 w 2 )+u 3 (v 3 w 3 ) En uppsättning vektorer, som visar vårt påstående är: u = (0, 3, 5), v = (7, 2, 4) och w = (2, 2,4) Problem 12. Försök finna ett alternativt sätt att uttrycka u + v 2 + u v 2, endast med hjälp av u och v Svar 12. Vi definierar u och v och låter räkna fram det givna uttrycket u+ v 2 + u v 2 på komponetnivå. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; Norm[u+v]^2+Norm[u-v]^2//Simplify Vi få resultatet 2(u 2 1 +u2 2 +u2 3 +v2 1 +v2 2 +v2 3 ) och ser genast (?) att det kan skrivas 2( u 2 + v 2 ). Problem 13. Uttrycket u+ v 2 u v 2 4 kan, för godtyckliga vektorer i rummet, skrivas på ett betydligt enklare sätt vilket? Svar 13. Återigen startar vi med att bestämma det givna uttrycket på komponentnivå. u={u1,u2,u3}; v={v1,v2,v3}; (Norm[u+v]^2-Norm[u-v]^2)/4//Simplify Håkan Strömberg 14 KTH Syd
Resultatet u 1 v 1 +u 2 v 2 +u 3 v 3 kan skrivas som u v. Problem 14. Sök en vektor w, som är ortogonal mot både u = (3,2, 1) och v = (1, 1,3). Vad kan man säga om vinkeln mellan w och c 1 u + c 2 v för godtyckliga värden på c 1 och c 2? Svar 14. Skalärprodukten kommer till användning igen! Ekvationssystemet { u w = 0 v w = 0 Där w = (w 1,w 2,w 3 ) är den eftersökta vektorn. Eftersom ekvationssystemet har två ekvationer och tre obekanta låser vi fast w 3 = 1. Uppgiften går ju ut på att finna en vektor bland många! u={3,2,-1}; v={1,-1,3}; w={w1,w2,1}; Solve[{u.w==0,v.w==0},{w1,w2}] w={-1,2,1}; (c1*u+c2*v).w//simplify Ekvationen ger lösningen w 1 = 1 och w 2 = 2. När vi definierar denna vektor w = ( 1,2,1) och beräknar (c 1 u + c 2 v) w ser vi att skalärprodukten blir 0. Anledningen till detta är att alla vektorer som kan bildas med (c 1 u + c 2 v) ligger i samma plan och w är vinkelrät mot detta plan. Problem 15. Skriv en funktion som tar emot en vektor, v = (v 1,v 2,v 3 ), och som returnerar en lista, som innehåller vinklarna mellan v och de tre koordinataxlarna. Svar 15. Lösningen bygger på resultaten från förra uppgiften. vinkelvektor[v_]:=arccos[v/norm[v]]*180/pi//n u={1,1,0}; vinkelvektor[u] Testen ger en vektor med utseendet (45,45,90). Problem 16. Beräkna med hjälp av skalärprodukten vinklarna mellan mellan rymddiagonalen och en kant i en kub. Svar 16. Resultatet blir 54.736 vinkel[v1_,v2_]:=arccos[v1.v2/(norm[v1]*norm[v2])] u={1,1,1}; v={1,0,0}; vinkel[v,u]*180/pi//n Problem 17. Bestäm k, så att u+k v blir vinkelrät mot w. Då u = (1,3, 1), v = (0,2,4) och w = (2,1, 1). Svar 17. Ekvationen ger direkt svaret k = 3 Håkan Strömberg 15 KTH Syd
u={1,3,-1}; v={0,2,4}; w={2,1,-1}; Solve[(u+k*v).w==0,k] Problem 18. För vilket värde på k är vektorerna v = (k,2k,3k 2 ) och u = (1, 1,k) vinkelräta? Svar 18. Sambandet leder till en tredjegradsekvation med tre reella rötter. v={k,2k,3k^2}; u={1,-1,k}; Solve[v.u==0,k] Rötterna är k = 0, k = ± 1 3 Problem 19. För de två vektorerna v och u gäller sambandet v ( u v) u = 0. Vad kan man i övrigt säga om vektorerna, om man vet att u = 1? Svar 19. Först skapar vi en normerad vektor u. Tillsammans med en godtycklig vektor v visar det sig att uttrycket v ( u v) u = 0. v={v1,v2,v3}; u=1/sqrt[a^2+b^2+c^2]*{a,b,c}; w=v-(u.v)u; w.u//simplify Att u = 1, är ett tillräckligt, men inte nödvändigt villkor, för att sambandet ska gälla. Ett exempel är u = ( 5,1,1) och v = (1,2,3), då sambandet gäller men u 1 Svar till: Ett slag under första världskriget 451066 = 7 11 29 101. Den sista dagen i en månad är 28,29,30 eller 31. Här måste det alltså vara frågan om 29 och därmed den 29 februari. Året måste vara skottår. Första världskriget pågick mellan 1914 1919, med endast ett skottår, 1916. Officeren måste ha varit 2 11 = 22 år och lansen 7 fot lång. Statyn har stått på plats i 2 101 = 202 år och uppfördes alltså 1714. Dagens Problem: Asfaltering I figur 5 ser du en karta över kommunens vägar. Alla är idag grusvägar och man vill nu asfaltera en del av dem. Men inte fler än nödvändigt för att man ska kunna ta sig mellan vilka byar A...I som helst på enbart asfalterade vägar. Dessutom vill man asfaltera en så kort total sträcka som möjligt. Bestäm vilka vägar som ska vara asfalterade och hur lång den totala sträckan av asfaltering då blir. Kanske kan du finna en princip (algoritm) som kan användas på vilken karta som helst? Håkan Strömberg 16 KTH Syd
Figur 5: Kartan över vägarna i kommunen 1 Då man känner två punkter på linjen eller 2 då man känner en punkt och en riktningskoefficient (1,3,2) (0,3, 2) = 1 0+3 3+2 ( 2) = 0+9 4 = 5 3 Eftersom (1,3, 1) ( 2,3,7) = 2+9 7 = 0 så är vinkeln mellan vektorerna π 2 Håkan Strömberg 17 KTH Syd