Nr,9maj-,Amelia Integralkalkl i R 3 VI kommer härnäst att studera integraler av tredimensionella vektorfält: F(,, ) = (P (,, ), Q(,, ), R(,, )). Vi generaliserar kurvintegraler och Greens formel från R till R 3. Vi kommer att studera två tper av integraler på R 3,somiviss mån motsvarar kurvintegraler i planet. en ena är kurvintegraler i R 3. Om kurvan är sluten och vektorfältet snällt så kan en sådan kurvintegral omvandlas till en tintegral på en ta vars kant är kurvan. etta är tokes sats, som alltså är en ganska direkt tredimensionell motsvarighet till Greens formel i planet. I det fall vektorfältet är konservativt kan en sådan kurvintegral beräknas mcket enkelt om dess potential är känd (U(slutpunkt) U(startpunkt)), just som i R. en andra tpen är en integral av en funktion över alla punkter som ligger på en ta i R 3. ådana integraler kallas tintegraler. Här är vi intresserade av en vektorfältets komponent vinkelrätt mot tan, inte tangentiellt. enna speciella tp av tintegral kallas en flödesintegral. ummeras vektorfältets vinkelräta komponent över tan kan den beräknas som en dubbelintegral. Är tan sluten och vektorfältet snällt kan denna tintegral omvandlas till en trippelintegral över volmen. et är Gauss sats. För denna integral finns ingen motsvarighet till potentialmetoden. Vi börjar att studera denna senare tp.. Flödesintegraler Vi studerar här vektorfält från R 3 till R 3, som kan betecknas med F(,, ), med de tre komponenterna P, Q och R, alltså F(,, ) =(P (,, ),Q(,, ),R(,, )). Vi ska studera fältet inte i hela R 3 utan på en regulär ta i R 3, som ges av en parametrisering med två variabler r(u, v), t en ta har två dimensioner (en kurva är endimensionell och har ju en parameter)... Normalriktning till en ta Vi betraktar en reguljär ta r(u, v), dvs r : = (u, v) = (u, v) = (u, v) som också kan skrivas r(u, v) =((u, v).(u, v),(u, v)). Parametrarna u och v tillhör mängden = {a u b, c v d} (en rektangel i uv-planet). I varje punkt av tan finns det en normerad normalriktning bn. "Normerad" betder att den har längd, dvs bn =, "normal" att den är vinkelrät mot tan. Normalriktningen beror givetvis på punkten, den är funktion av, och, dvsbn = bn(,, ). Vi vet redan att r u r v är en normal till tan i punkten
r(u, v), dock kanske inte normerad. Normerar vi den har vi alltså en normerad normal: bn = r u r v r u r v. Vi vill att normalen beror kontinuerligt på punkten på tan. åledes: när vi rubbar punkten ska normalen ändras kontinuerligt (inte plötsligt mcket på en gång). å är det om tan är regulär, dvs r(u, v) har kontinuerliga derivator... Orienterade tor Vi vill också att avbildningen (u, v) bn skavaraenfunktion. etkräveratt tan är orienterbar. efinition av detta begrepp är just att denna avbildning är en funktion. et betder geometriskt att tan har två sidor. Ett eempel på en reguljär kurva som inte är orienterbar är ett Möbiusband. Tag en pappersremsa och tejpa ihop den till en ring, men vänd först ena änden ett halvt varv. enna ta har bara en sida. Prova att måla ena sidan röd. å kommer man att komma över till motsatta sidan så "båda" sidorna blir röda den har bara en sida. Här är inte avbildningen (u, v) bn en funktion t går vi runt ett varv till samma punkt så får avbildningen bn motsatt riktning. et betder att avbildningen (u, v) bn inte är väldefinierad. En orienterbar ta är dessutom orienterad när vi bestämt oss för vilken sida normalvektorn pekar åt. å kan vi tala om en utsida, som är den riktning normalen pekar åt, och en insida, som är den andra...3 lutna tor Z EnkroppärenbegränsadmängdiR 3 med positiv volm ( ddd > ). Vanligen begränsas en kropp av reguljära tor. En sluten ta i R 3 är en ta som är begränsningsta för en kropp. et är en ta som inte har någon kant. Ett eempel är en sfär ({ + + =}). En halvsfär (e.: { + + =, }) är inte någon sluten ta t den har en kant ({ + =, =}), som är cirkelformad. Om vi lägger till bottenta till sfären får vi en sluten ta ({ + + =, } { +, =}). K
-. -.. -. - - -.. - -. -.. -. -.7 - -.. - En sfär en sluten ta. En halvsfär är inte sluten. en har kant. På liknande sätt är en öppen clinder inte sluten, men med ändtor är den sluten. En flaska utan kapsl är inte sluten, men med kapsl är den sluten. En sluten ta som innehåller en vätska släpper inte ut den hur den än vrids i rummet. et gör inte en ta som inte är sluten. lutenhet är ett grundläggande och naturligt geometriskt begrepp. En annan definition av sluten ta är att den delar rummet i två delar, på så sätt att om två punkter på var sida av tan förbinds med en kurva så måste kurvan skära tan någonstans. Är den inte sluten så finns det alltid någon kurva mellan två punkter som inte skär tan. "luten ta" är ett begrepp som är analogt med "sluten kurva" i planet. Analogt med att lägga till kurvdelar så att en kurva blir sluten, kan man lägga till tstcken så att en ta blir sluten...4 Vektorfält och flöden Ett flöde, av vätska, gas, elektoner eller annat, kan beskrivas med ett vektorfält: F(,, ) =(P (,, ),Q(,, ),R(,, )). å anger värdet F ienpunkt (,, ) hastighetsvektorn för en partikel i punkten. Vi kommer att studera hur mcket flöde som sker genom en ta. å bidrar ett flöde som sker parallellt med tan inte alls till flödet genom tan. Flödets komponent vinkelrätt mot tan är den del av flödet som vi är intresserade av, och storleken av denna vinkelräta komponent är F bn. Här är bn en normerad vektor vinkelrät mot tan. Allt detta inträffar i en viss punkt (,, ) på tan. När vi lägger ihop flödet i alla punkter får vi en intergral. Vi har sett att arean av en buktig ta är r u r v dudv där = {a u b, c v d} är de tillåtna parametervärdena för den reguljära tan (för en sfär, eempelvis, har vi { θ π, ϕ π}). Arean av ett telement är således r u r v dudv, så totala födet genom detta element 3
är Men eftersom {} F bn r u r v dudv. { } flöde area bn = r u r v r u r v får vi flödet r u r v F r u r v r u r v dudv, där vi kan förkorta bort r u r v. et ger flödet F (r u r v) dudv, och summerar vi över hela tan har vi F (r u r v) dudv. efinition Flödesintegralen av vektorfältet F över den orienterade tan r(u, v) =((u, v),(u, v),(u, v)), där (u, v) = {a u b, c v d}, är integralen F (r u r v) dudv. Liksom en kurvintegral kan en tintegral skrivas på flera olika sätt. I skrivsättet F (r u r v) dudv = F bn d är tan utan parameterframställning. Notera att är ett område i parameterplanet (u, v), området hör ihop med parameterframställningen. Vidare är bn en normerad normal vektor, och d är telementet. På grund av likheten bn = r u r v r u r v, se ovanstående kalkl, måste telementet vara d= r u r v dudv. Ibland bakas även normalriktningen in i d, vilket ger d, som är ett "vektord". å har vi d = r u r vdudv. et ger de tre skrivsätten för en flödesintegral: F (r u r v) dudv = F bnd = F d. 4
Observera att efter insättning av en parameterframställning för tan är integralen en ordinär dubbelintegral över u och v på ett rektangulärt integrationsområde. Om inte tan skulle vara orienterad skulle den vara obestämd med avseende på tecken, t om vi bter parameterframställning så vi bter från bn till bn så bter integralen tecken. Vi har beskrivit flödesintegralen i termer av ett massflöde F, men denna definition är en matematisk definition och således oberoende av om de ingående funktionerna representerar massflöden eller något annat.om nämnts i definitionen kallas den också ofta tintegral... Jämförelse med kurvintegraler etta kan jämföras med de tre sätten att skriva en kurvintegral, Z Z a Z F dr= F((t),(t),(t))r (t)dt = P (, )d + Q(, )d), Γ b et mittersta skrivsättet är här definitionen av kurvintegral. är är en parameterframställning av Γ given, som ger en ordinär enkelintegral att beräkna. et högra är praktiskt för där anges vektorfältet på ett enkelt sätt. et vänstra är kortast och praktiskt om man lägger till och drar ifrån kurvdelar. Vi har två tterligerare metoder att beräkna en kurvintegral. Om kurvan är sluten och F väldefinierat överallt innanför området så kan Greens formel användas. Om fältet F är konservativt har det en potential, och integralen kan beräknas genom att beräkna denna potential ( U(slutpunkt) U(startpunkt)). För en tintegal finns det en analogi till Greens formel, som vi kommer till i nästa avsnitt. Motsvarigheten kallas Gauss sats eller divergenssatsen...6 Yta som är en graf Om tan är en graf = f(, ) har vi den naturliga parameterframställningen (,, f(, )), tvikandåanvända och som parametrar. Vi har i samband med arean av en buktig ta beräknat r r i detta fall: Γ r r =( f, f ). en naturliga parameterframställningen ger tdligen en uppåtriktad normal på tan, eftersom -komponenten av normalen r r är. Med F(,, ) =(P (,, ),Q(,, ),R(,, )) blir då tintegralens skalärpodukt F r r = (P, Q, R) ( f, f) = Pf Qf + R. å har vi således, med insättning av = f(, ) som gäller på tan: F d = ( P (,, f(, ))f Q(,, f(, ))f+r(,, f(, )))dd.
etta är en form av tintegralen som kan användas när tan är en funktionsgraf, och då tans normalriktning är i positiv -led.. Flödesintegraler lösta eempel Eempel (d) Bestäm flödesintegralen till vektorfältet F(,, ) =(,, + ) över den del av tan = som svarar mot och. Ytans orientering bestäms av att normalen har positiv -komponent. Lösning: Här är tan en graf f(, ) =, så vi har en naturlig parameterframställning för tan: (,, ), med och.. - -.. -. -. -. - Ytan (,, ), då,. Insättning av =, som gäller på tan, ger vektorfältets värden F(,, ) = (,, +) just på tan. Vi har också f = och f =. å: F d = = = ( Pf Qf + R)dd ( + +)dd Z Z dd = [ ] =. var: F d =. Eempel 3 (b) Bestäm tintegralen till vektorfältet F(,, ) =(,, ) ut ur halvklotet + +,. Lösning: Ytan är här halvklotets ta, dvs den buktiga tan + + =, tillsammans med den plana tan, +. 6
.7.7.... -.. -. -.. -.. -. - Ytan. Ytan. Vi har alltså F d = F d+ F d, analogt med hur vi kunde dela upp kurvintegraler i olika integraler för olika kurvstcken. På har vi en parametrisering med sfäriska koordinater med r =. vs =cosϕ sin θ =sinϕ sin θ =cosθ. Volmelementet med sfäriska koordinater är r sin θdθdϕ, så med r =får vi telementet d =sinθdθdϕ (faktorn sin θ kan också beräknas med r ϕ r θ ). Normerad normalriktning i en punkt på en sfärisk ta är en riktning från origo med längden. et betder att bn är samma vektor som ortsvektorn till en punkt på tan: bn =(cosϕsin θ, sin ϕ sin θ, cos θ). 7
... -...7 -.... -... - -... -. Ortsvektor till (,, ). Normal i (,, ) samma vektor! Vektorfältet F(,, ) =(,, ) tar på denna ta värdena F =(cosϕsin θ,, ) (insättning av =cosϕsin θ). Eftersom vi har ett halvklot har θ övre gränsen π. Vi får då F bnd = = {trig. formler} = Z π Z π Z π Z π Z π (cos ϕ sin θ,, ) (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) sin θdθdϕ { } { } { } F d cos ϕ sin θ sin θdθdϕ = {en vanlig dubbelintegral} ( cos θ)sinθdθ Z π = [ cos θ + 3 cos3 θ] π [ϕ + = ( + 3 )π = π 3. n ( + cos ϕ)dϕ sin ϕ]π Vi beräknar härnäst kurvintegralen över. Här har vi normal b =(,, ). Minustecknet på grund av att normalen ska vara utåtriktad från halvklotets inre. På denna del av begränsningstan betder det en nedåtriktad normal. etta är denna tas orientering. En parametrisering av cirkeln har vi i polära koordinater och =, dvs (r cos θ, r sin θ, ). Vektorfältet i dessa punkter är F(,, ) = (,, ) {sätt in parametriseringen} = (r cos θ,, ). å F bn = (r cos θ,, ) (,, ) =. 8
Här har fältet (r cos θ,, ) endast en komponent i -riktningen, som är ortogonal mot tans normalriktning (,, ). å har vi inget flöde genom tan, vilket motsvaras av att integranden F bn är noll. Alltså: F d =. et ger F d = F d+ F d var: F d = π 3. = π 3 += π 3. Eempel 4 (e) Bestäm tintegralen till vektorfältet F(,, ) =grad r genom tan given av + + =, 4, med normal som bildar spetsig vinkel med -aeln. Lösning: ätter vi in =4i ekvationen får vi skärningskurvan mellan de två torna. 3.7.... -. - -. - Planet =4och kalotten som är tan. et är + +4 =, dvs + =9. 9
3.7.. -4 - Vi har en 3, 4, -triangel i skärningen med -planet. å kan tan beskrivas med polära koordinater, med största θ-vinkel arctan 3 4. Polära koordinater ger här ( cos ϕ sin θ, sinϕsin θ, cosθ), t radien är. Vi har grad = ( p r + +, p + +, p + + ) = (,...) ={p.s.s. i och } ( + + ) 3 = (,, ). ( + + ) 3 ( + + ) 3 ( + + ) 3 På tan har vi + + =, så ( + + ) 3 = () 3 = 3 = 3 =. På tan har då vektorfältet värdena 4 grad r (,, ) = = ( cos ϕ sin θ, sinϕ sin θ, cosθ) = (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ). kalärprodukten i flödesintegralen är då (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ) =. Normerad normal i punkten ( cos ϕ sin θ, sinϕ sin θ, cosθ) är (cos ϕ sin θ, sin ϕ sin θ, cos θ),
och telementet är d =sinθdθdϕ, t r =. å flödesintegralen är F d = ( ) sin θdϕdθ = [cosθ] arctan 3 4 Z π { cos(arctan 3 4 ) är 4 } = π(4 ) = π. dθ =π(cos(arctan 3 4 ) ) Här är arctan 3 4 vinkeln i en rätvinklig triangel med katetrar 3 och 4. å är hpotenusan, så cosinus för vinkeln är 4. åledes: cos(arctan 3 4 )= 4. var: F d = π.