6 Sjätte lektionen 6.1 Transformvärlden 6.1.1 Repetera Rita upp en tankekarta över följande begrepp där du anger hur de hänger ihop och hur de betecknas. Vad beskriver de? Impulssvaret Amplitudsvaret (frekvensgången) Överföringsfunktionen Poler och nollställen Fasgången Frekvenssvaret Lösning De olika begreppen säger i princip samma sak för tidskontinuerliga och tidsdiskreta system, även om det finns skillnader. Vi tar begreppen ett och ett, men i en lite annan ordning än i frågan. Impulssvaret Betecknas h(t) respektive h(n). Impulssvaret beskriver hur ett system reagerar på en impuls (δ(t) respektive δ(n)) som insignal. Om systemet är linjärt och tidsinvariant är impulssvaret en fullständig systembeskrivning. Frekvenssvaret Betecknas H(ω) respektive H(Ω). Frekvenssvaret är i allmänhet komplext och visar hur ett system påverkar sinusvågor av olika vinkelfrekvenser ω respektive Ω. Det gäller både förändring av amplitud och fas. x(t) = sin(ωt) y(t) = H(ω) sin x(n) = sin(ωn) y(n) = H(Ω) sin ( ) ωt + arg {H(ω)} ( ) Ωn + arg {H(Ω)} (1) Frekvenssvaret erhålls genom fouriertransformering av systemets impulssvar. Amplitudsvaret (frekvensgången) Betecknas H(ω) respektive H(Ω). Amplitudsvaret anger förstärkningen av signaler med en given vinkelfrekvens. Med andra ord: Om insignalen är en sinusvåg med vinkelfrekvens ω (eller Ω) och amplitud A, så kommer utsignalen vara en sinusvåg med samma vinkelfrekvens och amplituden H(ω) A (eller H(Ω) A). Se ekvation (1). 1
Fasgången Betecknas ofta φ(ω) respektive φ(ω). Fasgången säger oss hur mycket en sinusvåg förskjuts (i radianer) när den passerar genom ett system. Fasgången ges av φ(ω) = arg {H(ω)} φ(ω) = arg {H(Ω)} (2) Med denna beteckning kan vi skriva om ekvation (1): y(t) = H(ω) sin (ωt + φ (ω)) y(n) = H(Ω) sin (Ωn + φ (Ω)) (3) Överföringsfunktionen Betecknas H(s) respektive H(z). Överföringsfunktionen är lite svårare att intuitivt beskriva än frekvenssvaret. I de fall systemet i tidsdomänen kan beskrivas som en differentialekvation (respektive en differensekvation) utgör överföringsfunktionen bara en alternativ representation av denna. Fördelen är att förhållandet blir algebraiskt och därför lättare att hantera än i tidsdomänen. Y (s) = H(s)X(s) Y (z) = H(z)X(z) (4) Vi får fram överföringsfunktionen genom att laplace- respektive z-transformera systemets impulssvar. Poler och nollställen Ingen standardbeteckning, men här används s p respektive z p för poler och s n respektive z n för nollställen. Poler och nollställen får vi från överföringsfunktionen då denna kan skrivas som en kvot mellan två polynom. H(s) = B(s) A(s) H(z) = B(z) A(z) Polerna och nollställena är direkt kopplade till beskrivningen i tidsdomänen: en differential- eller differensekvation. Polerna beskriver systemets rekursiva beteende, d.v.s. hur systemet utsignal beror på tidigare utsignaler. Därför är polernas placering avgörande för ett systems stabilitet. Nollställena beskriver insignalens direktpåverkan på systemet. I figur 1 visas tankekartan som beskriver sambandet mellan begreppen schematiskt. Det finns ett par viktiga poänger. Vi rör oss med flera beskrivningar av ett och samma system. Impulssvaret, överföringsfunktionen och frekvenssvaret är alla fullständiga beskrivningar av ett LTI-system. Ingen säger mer eller mindre än de andra, men de möjliggör olika tolkningar. Vilken beskrivning man väljer beror på vad man vill göra eller analysera. Amplitudsvaret och fasgången utgör tillsammans en fullständig systembeskrivning. Var för sig kan de inte beskriva systemets alla egenskaper. Från poler och nollställen kan vi få ut mycket information om systemet, men inte allt. T.ex. kan en konstant förstärkning inte ses i s- eller z-planet. Därav den enkelriktade pilen. (5) 2
Vi kan gå från en tidskontinuerlig beskrivning till en tidsdiskret genom att sampla systemet. I denna övergång kommer vi att tappa information om vi inte uppfyller nyquistkriteriet (samplingssatsen). En tidsdomänbeskrivning som inte är med i figur 1 är differential- respektive differensekvationen. Löser vi en linjär differentialekvation med konstanta koefficienter direkt kommer vi att kunna se impulssvaret. Vi kan också gå från differentialekvationen till överföringsfunktionen med laplacetransformen. F H(ω) { φ(ω) H(ω) h(t) s = jω L H(s) { s n s p h(n) DTFT H(Ω) z = e jω { φ(ω) H(Ω) Z H(z) { z n z p Figur 1: Sambanden mellan olika LTI-systembeskrivningar. 6.2 Tidsdiskreta system 6.2.1 Fördröjning Om vi inför en tidsfördröjning av insignalen i ett system, hur påverkas fasgången? Hur syns ett tidsskift i z-planet? Lösning Vi utgår från systemet y(n) = h(n) x(n) (6) När vi sedan fördröjer insignalen, låt oss säga med N sampel, har vi systemet y(n) = h(n) x(n N) (7) 3
För att se hur denna fördröjning påverkar fasgången måste vi över i frekvensdomänen. Vi använder Z-transformen där vi vet att ett tidsskift motsvarar multiplikation med z. Fasgången fås från Y (z) = H(z)z N X(z) H 1 (z)x(z) (8) φ(ω) = arg {H 1 (z) z=e jω} (9) Eftersom argumenten av komplexa tal som multipliceras adderas 1 får vi φ(ω) = arg {H(Ω)} + arg { e NΩ} (10) = arg {H(Ω)} NΩ (11) Tidsskiftet inför alltså en extra linjär fasförskjutning. Om vi skiftar insignalen framåt i tiden inför vi en linjärt ökande fasvridning, annars blir den linjärt avtagande. Från ekvation (8) får vi att ett negativt tidsskift inför nya poler i origo, medan ett positivt tidsskift inför nollställen i origo. Poler och nollställen svarar direkt mot tidsskift om de ligger i origo. 6.2.2 Impulssvar Beräkna impulssvaren för följande filter a) Överföringsfunktionen H(z) = B(z)/A(z) har M nollställen och N poler (alla de senare i origo). b) Överföringsfunktionen H(z) = 1 z(z a), a < 1 (12) Lösning a) Eftersom systemet har alla poler i origo kan vi skriva H(z) = B(z) A(z) = B(z) z N (13) Impulssvaret hittar vi i tidsdomänen, där ekvation (13) motsvaras av en differensekvation. 1 e jθ e jφ = e j(θ+φ) 4
z N Y (z) = B(z)X(z) Y (z) = z N B(z)X(z) = z N ( b 0 z M + b 1 z M 1 ) +... b M X(z) = ( b 0 z M N + b 1 z M 1 N +... b M z N ) X(z) y(n) = b 0 x(n + M N) + b 1 x(n + M N 1) +... b M 1 x(n N + 1) + b M x(n N) (14) Stoppa in en diracimpuls δ(n) som insignal. Här kan vi se ett par saker: h(n) = b 0 δ(n + M N) +... + b M δ(n N) (15) Impulssvarets tappar bestäms av B(z)-polynomet. Impulssvaret är ändligt (FIR). Överskottet av poler, N M, motsvarar en fördröjning i systemet. Tänk på att N måste vara minst lika stort som M för att systemet ska vara kausalt. b) I detta fall är det inte lika enkelt att beräkna impulssvaret som i a). Går vi över till tidsdomänen på samma sätt som i a) får vi differensekvationen y(n) = ay(n 1) + x(n 2) (16) Differensekvationen är rekursiv och det blir lurigare att hitta impulssvaret. Börja istället i z-domänen med att partialbråksuppdela H(z). 1 z(z a) A z a + B z = (A + B)z Ba z(z a) (17) där A och B är de sökta parametrarna. Identifiering av z-termer ger A + B = 0 Ba = 1 A = 1/a B = 1/a (18) Vi kan nu skriva överföringsfunktionen som H(z) = 1 a ( 1 z a 1 ) z (19) 5
Med hjälp av βeta kan impulssvaret hittas. Använd z9 och z11 (sidan 318). h(n) = 1 ( a n 1 u(n 1) δ(n 1) ) a = a n 2 u(n 1) a 1 δ(n 1) = a n 2 u(n 2) (20) där u(n) är enhetssteget (eller heavisidefunktionen). Några konstateranden: Impulssvaret är oändligt (IIR). Detta hänger ihop med att differensekvationen är rekursiv. Partialbråksuppdelning är ett sätt att angripa problemet. Från ekvation (16) går det att hitta impulssvaret. Det går också att tillämpa polynomdivision på A(z)/B(z). Om a 1 så är systemet instabilt. 6.2.3 Faslinjära filter Antag att ett tidsdiskret filter har två poler i origo, ett nollställe i a och ett nollställe i b. Både a och b är reella. a) Var ska b-polen placeras för att filtret ska vara faslinjärt? b) Med ledning av a): Kan ett IIR-filter vara faslinjärt? Varför/varför inte? c) Beräkna systemets impulssvar och studera symmetrin. Lösning Från pol-nollställe-beskrivningen kan vi ta fram överföringsfunktionen så när som på en skalfaktor. (z a)(z b) H(z) = K z 2 (21) a) Fasgången φ(ω) är ju argumentet av frekvensgången H(Ω). Den senare fås genom att sätta z = exp(jω), d.v.s. genom att beräkna överföringsfunktionen på enhetscirkeln i z-planet. ( e jω a ) ( e jω b ) H(Ω) = K e j2ω = Ke j2ω ( e j2ω + ab (a + b)e jω) = Ke jω ( e jω + abe jω (a + b) ) (22) φ(ω) = arg{k} Ω + arg { e jω + abe jω (a + b) } (23) 6
Den tredje termen i ekvation (23) är den intressanta. Vi vill välja b så att denna term varierar linjärt med Ω. Eftersom (a + b) är ett reellt tal så måste vi ordna så att e jω + abe jω R (24) Gör vi det kommer den tredje termens argument alltid att vara noll. Eulers formel leder oss till att om b = 1/a så kommer den tredje termen i ekvation (23) att bli cos(ω) (a + b). Valet b = 1/a innebär en spegling i enhetscirkeln. Om a är ett komplext tal ska det fortfarande speglas i enhetscirkeln: b = 1/a. Lite knepigt att visa. Ett nollställe (eller en pol) i origo påverkar fasen linjärt och behöver ej speglas. b) I fasförskjutningsmening är den enda skillnaden mellan poler och nollställen att de drar åt olika håll. Poler inför negativa fasförskjutningar, nollställen positiva. Detta innebär att även poler måste ha en spegelkompis eller ligga i origo. Ett IIR-filter har nollskilda poler som då måste speglas för att få ett faslinjärt filter. Problemet är att ett sådant filter blir instabilt, och därmed inte speciellt användbart. c) Filtret i deluppgift a) är av FIR-typ. Precis som i uppgift 6.2.2 a) kan vi se impulssvaret i filtrets differensekvation. Med hjälp av ekvation (21) får vi z 2 Y (z) = K(z a)(z 1/a)X(z) Y (z) = K ( 1 (a + 1/a)z 1 + z 2) X(z) y(n) = K ( x(n) (a + 1/a)x(n 1) + x(n 2) ) h(n) = K ( δ(n) (a + 1/a)δ(n 1) + δ(n 2) ) (25) Impulssvaret visar sig vara symmetriskt runt mittpunkten (inte runt n = 0). Att det blir så här skulle givetvis kunna vara en slump, men det visar sig att alla faslinjära filter har impulssvar som är jämna eller udda runt impulssvarets mittpunkt. Denna mittpunkt är svår att hitta på filter med oändliga impulssvar: IIR-filter kan inte vara faslinjära. 6.2.4 Banköverföringsfunktion Låt x(n) vara insättningar och uttag av pengar till/från ett bankkonto. Låt y(n) vara kontots saldo. a) Vad har det system som beräknar saldot rimligtvis för impulssvar? Poler och nollställen? b) Hur ser saldoberäkningssystemets invers ut, och vad gör den? 7
Lösning a) Rimligtvis summerar bankerna bara de insättningar/uttag som görs till/från kontot. y(n) = n m= x(m) (26) Om vi stoppar in en impuls δ(n), d.v.s. en krona vid tiden n = 0, ser vi att utsignalen blir en stegfunktion. h(n) = u(n) (27) Det är rimligt att det här systemet har ett oändligt impulssvar. 2 Ett oändligt impulssvar innebär att vi kan skriva om ekvation (26) på rekursiv form. y(n) = n 1 m= x(m) + x(n) = y(n 1) + x(n) (28) Efter Z-transformering erhålls överföringsfunktionen. H(z) = z z 1 (29) Saldofunktionen har alltå ett nollställe i origo och en pol i z = 1. Notera att det är ett instabilt system! Allmänt kallas det här systemet för en ackumulator (jämför med den tidskontinuerliga integratorn som har en pol i s = 0). b) Det är ofta svårt att se i tidsdomänen hur det inversa systemet ser ut: studera t.ex. ekvation (26). Ibland går det dock bra, som i ekvation (28). Det vanliga är dock att arbeta i z-planet. Inversen H 1 (z) ogör ett systems inverkan och definieras enligt I det här fallet får vi H 1 (z)h(z) = 1 (30) H 1 (z) = z 1 = 1 z 1 (31) z Det inversa systemet beräknar en differens enligt x(n) = y(n) y(n 1) (32) Ekvation (32) utgör ju en approximation av en derivata, vilket stämmer väl med att inversen till en integrator 1/s är en deriverare s. I z-planet ser vi att poler och nollställen byter plats när vi inverterar systemet. 2 Ett ändligt impulssvar betyder ett ändligt minne pengarna skulle glömmas bort. 8
6.2.5 Inverterad faslinjäritet Vad händer om vi försöker invertera ett faslinjärt FIR-filter? Lösning Som vi såg i uppgift 6.2.4 innbär invertering att poler och nollställen byter plats. Vi vet också från uppgift 6.2.3 att ett faslinjärt filter måste ha nollställen som är speglade två-och-två i enhetscirkeln, eller ligger i origo. Samtliga poler måste ligga i origo. Inversen av ett sådant system skulle ha Poler utanför enhetscirkeln och vara instabilt, eller enbart nollställen och vara icke-kausalt. Det senare är inversen av ett system med enbart poler i origo, d.v.s. en ren tidsfördröjning. System som ska inverteras måste vara så kallade minfas-system. Ett minfas-system har alla nollställen innanför enhetscirkeln. 6.3 Återkoppling 6.3.1 Flytta poler Ett system med överföringsfunktionen H(z) = 1 A(z) = 1 (z 0,7 0,7j)(z 0,7 + 0,7j) (33) uppför sig alldeles för svängigt (jämför med bilfjädringen i uppgift 4.2.2, lektion 4). Vi försöker lösa detta genom att flytta polerna mot reella axeln med en återkoppling av systemet (se figur 2). x(t) Σ H(z) y(t) L(z) Figur 2: Återkoppling för att motverka oscillationer. Bestäm en konstant återkoppling L(z) = k så att polerna flyttas till reella axeln. Varför minskar detta systemets svängighet? 9
Lösning Först måste vi ta reda på hur återkopplingen påverkar systemets dynamik. Från figur 2 kan vi härleda följande. Y (z) = H(z) [X(z) + L(z)Y (z)] [1 H(z)L(z)] Y (z) = H(z)X(z) Y (z) = H(z) 1 H(z)L(z) X(z) = 1 X(z) (34) A(z) k där det sista steget tagits genom att sätta in L(z) = k och H(z) = 1/A(z). Vi ser att återkopplingen k kan flytta systemets poler, men inte hur som helst. Det återkopplade systemets poler ges av A(z p ) k = 0 z 2 p 1,4z p + (0.98 k) = 0 z p = 1,4 2 ± 0,7 2 0,98 + k = 0,7 ± k 0,49 (35) Ekvation (35) visar att vi genom att justera k kan flytta polerna, men att det finns begränsningar. Dels kan vi inte flytta dem vart vi vill utan måste följa en viss bana i z-planet, dels måste vi se upp så att vi inte tippar någon pol utanför enhetscirkeln. För k 0,49 har vi två reella poler som rör sig mot respektive + då k ökar. För k < 0,49 har vi komplexa poler vars imaginärdelar ökar då k blir mindre. Se figur 3. Poler med imaginärdel har oscillativa egenskaper: ju närmare enhetscirkeln desto mer svängigt. För att ta bort det oscillativa beteendet flyttar vi polerna till reella axeln, och gör därmed systemet kritiskt dämpat. Detta sker för k = 0,49. Se figur 4. 10
Im{z} Re{z Figur 3: Polernas förflyttning då k ökar från noll. 1.5 h(n) 1 0.5 0-0.5-1 -1.5 0 5 10 15 20 25 n Figur 4: Impulssvar före och efter återkoppling (ringar respektive plustecken). 11