Fysikum FK2002 - Fysikexperiment FK2004 - Exp. fysik för lärare Laborationsinstruktion (28 september 2010) LABORATION 2 UPPTÄCK ETT SAMBAND BALKEN Mål Idenhärlaborationenskalldubörjamedattställauppenhypotes för hur nedböjningen hos en balk beror på olika storheter som längd, balkens tvärsnittsarea och den böjande kraften. Laborationen går ut på att experimentellt pröva den uppställda hypotesen, dvs om den antagna formeln inom den experimentella noggrannheten beskriver nedböjningen hos balkar. Om hypotesen är korrekt kan två av de fem obekanta konstanterna i formeln för nedböjningen entydigt bestämmas genom dimensionsanalys. Du skall tillsammans med din medlaborant göra en skriftlig rapport samt ge en utförlig muntlig redovisning om ca 30 minuter infö r g r u p p e n och en lärare.
.
LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 1 1 Inledning Varje fast kropp som utsätts för en kraft deformeras i någon mån. Om deformationen är liten, återgår kroppen till sin ursprungliga form när belastningen upphör. Vi säger att deformationen är elastisk. Ettvälbekantexempelärförlängningenavett gummiband då det utsätts för en dragande kraft. Vid en noggrannare analys av en kropps deformation inför man en materialkonstant, den s.k. elasticitetsmodulen (E), som är ett mått på deformationen som funktion av den sträckande kraften per ytenhet. Vi kan komma fram till en mer exakt definition av E genom följande resonemang. Ett material i form av en stav med vilolängden L 0 och tvärsnittsarean A ä r inspänd i ena änden och påverkas i den andra av en dragande kraft F som ger upphov till en förlängning L av staven. Hur beror förlängningen av de inverkande storheterna? Ju större F desto större L, alltså L F. Ju större area A, desto starkare blir staven och desto mindre L, Således L 1/A och ju större vilolängden är, desto större blir L, vilketger L L 0.Dettagörtillsammansatt L FL 0 A eller L L 0 F A Vi har här antagit att exponenten på alla ingående storheter är 1. I uttrycket saknas nu något som talar om hur styvt materialet är. Denna materialegenskap är i detta fall elasticitetsmodulen E och den är sådan, att dess värde är stort för ett styvt material, dvs för liten färlängning. Vi finner alltså resonemangsmässigt att elasticitetsmodulen (även kallad Young s modulus 1 ): E = F A / L L med enheten N/m 2 Detta samband kallas Hookes lag 2. Iresonemangetovaninförselasticitetsmodulenförattbeskriva hur ett material töjs när det utsätts för en sträckande kraft. Erfarenheten visar att elasticitetsmodulen också är viktig för att beskriva material som deformeras på andra sätt. Vi ansätter därför att hur mycket en belastad balk böjs ned också kommer att bero av elasticitetsmodulen. 1 Uppkallad efter Thomas Young (1773 1829), ett engelskt universalgeni, som bl.a. studerade elastiska egenskaper hos fasta kroppar. 2 Efter Robert Hooke (1635-1703), professor, Gresham College, London.
2 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 2 Hypotes Betrakta en balk upplagd på två stöd (se figuren i nästa avsnitt). Vi är intresserade av ett uttryck som ger sambandet mellan nedböjningen d och de storheter som inverkar på nedböjningen. Uttrycket skall vara generellt, dvs gälla för rektangulära balkar av godtyckliga dimensioner och material. Närmast till hands är naturligtvis kraften F som orsakar nedböjningen (vi bortser här från balkens egen tyngd). Vidare bör inses att avståndet mellan uppläggningspunkterna L har betydelse och att balkens bredd b och höjd h måste inverka. Slutligen måste ingå något som beskriver materialets styvhet, dvs balkens elastiska egenskaper. Den fysikaliska storhet som skall in i uttrycket är balkens elasticitetsmodul E. Vi antar alltså att följande storheter påverkar nedböjningen: Storhet Beteckning Dimension Elasticitetsmodulen E Pa = N/m 2 =kg/ms 2 Böjande kraft F N=kgm/s 2 Avst. mellan uppl.punkt. A och B L m Tvärsnittets bredd b m Tvärsnittets höjd h m Vi gissar på ett produktsamband och ansätter därför ett uttryck för nedböjningen:. d = K F α L β h γ b δ E ɛ (1) där K antas vara en dimensionslös konstant. Genom att variera en storhet i taget kan vi i princip bestämma exponenterna α till ɛ (härvid antas att exponenterna är ett halv- eller heltal).
LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 3 3 Experimentuppställning Till vårt förfogande har vi ett stadigt stativ med två ståndare med fasthållare för ca 150 cm långa bandjärn med rektangulär tvärsnittsarea. Experimentuppställningen framgår av figuren nedan:..... L (0, 50 <L<1, 25 m) A Mätklocka B L/2 d F=mg Stativ 1400 mm Uppställning för mätning av en balks nedböjning. En metallstav med rektangulär tvärsnittsarea läggs upp på de två stöden, A och B ifiguren(stavenskallliggafrittöverdetvåskarpaeggarna för att tillåta glidning när staven böjs ner). En kraft (F = mg)anbringaspåmittenavstavenmed hjälp av en vågskål med tyngder, och nedböjningen d mäts upp. För mätning av nedböjningen används en mätklocka med visare. Graderingen tillåter avläsning på 1/100 mm. Mätnoggrannheten kommer dock att bestämmas av den mekaniska hysteresen som beror på friktionens inverkan på systemet (uppläggningsytor, balk, mätklocka). Osäkerheten σ ivarjeenskildmätningavnedböjningenärsåledes obestämd. I anpassningarna kan vi dock använda ett uppskattat medelfel i nedböjningen som kan bestämmas med följande metod. Placera en av balkarna (inte den lättaste och inte den tyngsta) på stativet och mät nedböjningen tio gånger i följd för ett lagom värde pål och med en lagom belastning (samma längd och vikt kan används för alla tio nedböjningar - men ta bort belastningen ochflytta balken ett par mm för varje ny nedbjning). Nedböjningen skall beräknas som skillnaden mellan mätklockans utslag då balken är obelastad och belastad. Vid varje mättillfälle kan man med fördel knacka lite lätt på balkens sida med en penna för att utlösa eventuell latent hysteres (friktion). Var noga med att i fortsättningen utföra denna knackning vid varje mätning. Detta betyder speciellt t.ex. att då balken belastas med allt större tyngder, föregående tyngd först borttages varefter nolläget noteras och därefter bestäms utslaget efter belastning.
4 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken Följande balkmaterial finns att tillgå (L =150cm): Material Bredd x Höjd i mm E järn 16 x 3 (20, 0 ± 0, 5) 10 10 N/m 2 järn 19 x 3 järn 20 x 4 järn 20 x 5 järn 25 x 5 järn 25 x 6 järn 25 x 8 järn 25 x 10 järn 30 x 5 järn 30 x 6 järn 30 x 8 järn 40 x 5 järn 40 x 6 mässing 30 x 5 okänd aluminium 25 x 5 okänd aluminium 30 x 5 okänd aluminium 30 x 8 okänd plast 26 x 8 okänd plast 40 x 8 okänd Observera att angivna mått är ungefärliga. Mätbreddochhöjdmedskjutmått (flera gånger på olika ställen) och uppskatta en mätosäkerhet. Behandla balkarna varsamt! Undvik att bocka till dem eller knäcka dem. För att belasta balken finns vikter om ca 50 g och 100 g styck (kontrollväg). Vikterna placeras på en speciell hållare med krok som placeras på balkens ovansida mitt på balken. Den böjande kraften är F = mg,därm ä r v i k t e n s m a s s a o c h g =(9, 8188 ± 0, 0002) m/s 2. 4 Förslag på mätserier Det finns ett stort antal balkar med olika tvärsnitt (se tabellen ovan). Lägg ner lite arbete på att hitta lämpliga mätserier. Nedböjningen som funktion av den böjande kraften går snabbt att göra och vi rekommenderar att du mäter med några olika vikter (behåll sedan denna viktserie under alla mätningar såslipperduvägaom vikterna varje gång) då du studerar de andra måttsambanden. Tips: Om det är nödvändigt att att använda balkar med t.ex. något varierande bredd (då höjden varieras), kan de olika balkbredderna normaliseras genom att anpassa till funktionen d/b δ = f(f, L, h, E) istället(idettafallväljermandet riktiga värdet på parametern δ).
LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 5 5 Mätningar 1. Gör först en dimensionsanalys av formel (1) för nedböjningen 3.Idettaspeciella fall kan ingen parameter bestämmas direkt. 2. Bestämning av α. Bestäm parametern α genom att mäta nedböjningen d för 5-7 olika belastningar F (=m g) för en av järnbalkarna (gärna en balk med medelbredd och medeltjocklek). Genom dimensionsanalysen ä r n u ä v e n p a - rametern ɛ bestämd. Glöm inte att för varje mätning notera värdet på alla storheter som ingår i formeln för nedböjningen. 3. Bestämning av δ. Välj tre järnbalkar med olika bredder (men med konstant höjd och avstånd mellan stödpunkterna) och bestäm parametern δ. 4. Bestämning av β. Välj en järnbalk och variera L i5stegmellan0,8och 1,2 m, välj b =25(30)mmochh =5(6)mm. 5. Bestämning av γ. Välj ett avstånd i intervallet 0, 8m <L<0, 9m och välj en lämplig kraft F och bestäm nedböjningen för fyra olika höjder h för järnbalkarna med bredden 25 mm eller 30 mm. Vid behov kan du kompensera för att balkarna har olika bredd genom att dividera bort breddberoendet (se tips ovan). 6. Bestämning av E. Välj en balk av ett annat material (mässing, aluminium eller plast). Gör en enkel mätserie genom att belasta den valda balken med 5olikatyngder. Beräknamaterialetselasticitetsmodulmed fel med hjälp av formel (1) och efter det att du bestämt konstanten K ur de andra mätningarna. 6 Mätvärdesbehandling Bestäm en exponent i taget med den uppsättning data där motsvarande storhet varieras. Bestäm t.ex. α genom att anpassa en rät linje till lnd som funktion av ln F :lnd = C + α ln F. Använd den viktade minsta kvadratmetoden. Beräkna ett preliminärt värde på α genom att bara ta hänsyn till felet i ln d. Gör sedan om anpassningen med ett ekvivalent fel (se appendix B) i ln d som ä v e n t a r h ä n s y n t i l l f e l e t i l n F. Värdet på exponenten bör inom felgränsen vara ett hel- eller halvtal. Sätt i fortsättningen exponenten till dettatal. När alla exponenter är bestämda, används alla mätdata för att bestämma konstanten K. Plotta och beräkna ett oviktat medelvärde av K och bestäm felet ur spridningen. 3 Ett exempel på hur man gör en dimensionsanalys finns i Appendix A.
6 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 7 Redovisning Här vill vi passa på att ge tips om vilka punkter som skall vara mediredovisningen. Du får gärna tillfoga fler vid behov. Inledning: Dimensionsanalys: Experimentbeskrivning: Mätresultat: Mätvärdesbehandling: Diskussion: Inlämning: Presentation av problemställning m.m. Gör en dimensionsanalys av den ansatta formeln (1). Argumentera för ett visst värde på parametern α. En beskrivning av apparatuppställningen. Snygga tabeller med alla primärvärden och i förekommande fall beräknade värden med fel. Här presenterar du dina data i diagramform, dina anpassningar med resultat, beräkningar och en resultatsammanställning. Gör två grafer för varje anpassning (sida vid sida för att spara papper): en graf där den aktuella storheten på y-axeln med fel (det ekvivalenta felet) plottas som funktion av den oberoende variabeln tillsammans med den anpassade räta linjen och en graf där differensen mellan mätvärdena och den räta linjen plottas. 4 Här skall du bl.a. besvara hur väl den ansatta formeln stämmer med verkligheten. Vad finns det för felkällor? Är det någon av balkarna som avviker från formeln och vad kan detta bero på? De skriftliga rapporterna mejlas i PDF/ODT-format till bsel. 4 Härigenom ser man tydligare små avvikelser (residualen) mellan den mätta storheten med sitt fel och den anpassade funktionen. Grafen kallas residualplott. Notera att den ursprungliga grafen och residualplotten skall ha samma skala på x-axeln.
LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 7 Utrustning: Ett mätstativ för balkar. Balkar av olika material och med olika dimensioner. En mätklocka för bestämning av nedböjningen. Stativ för fastsättning av mätklockan. En krok med vågskål att hänga på balken. Våg och vikter.
8 LABORATION 2: Upptäck ett samband balken Appendix A Dimensionsanalys Vi skall här ge ett enkelt exempel på hur man kan göra en dimensionsanalys. Antag att vi har en massa (m [kg]) som hänger vertikalt i en spiralfjäder med fjäderkonstanten k [N/m]. Massan sättes i svängning och vi ansätter följande hypotes om svängningstiden (T [s]) (perioden): T = A k a m b där A är en dimensionslös konstant. Exponenterna a och b skall bestämmas. Vi sätter upp följande samband mellan enheterna (1 N/m = 1 kgm/s 2 /m = 1 kg/s 2 ): (s) 1 =( kg s 2 )a (kg) b = { (s) 1 =( 1 s 2 ) a (kg) 0 =(kg) a (kg) b = { 1= 2a 0=a + b = { a = 1/2 b =1/2 Perioden kan alltså skrivas: T = A m/k
LABORATION 2: Upptäck ett samband balken 9 Appendix B Ekvivalenta fel Antag att vi har en funktion y = f(x) somskallanpassastillettantalmätpunkter (x i,y i ), där vi har mätfel x i och y i både i den oberoende variabeln x och i den beroende variabeln y (se figuren nedan). Det är inte ovanligt att (den relativa) osäkerheten i x många gånger kan vara större än (den relativa) osäkerheten i y. Med minsta kvadratmetoden tar vi normalt bara hänsyn till osäkerheten i y men i detta fall vill vi även inkludera osäkerheten i x. Detta kan enkelt göras genom att se på hur mycket värdet y i ä n d r a s n ä r v ä r d e t x i ä n d r a s. E n e n k e l m e t o d ä r a t t s t u d e r a funktionens derivata (dvs funktionens lutning) i punkten (x i,y i ). Om lutningen i punkten är k i,kommervärdetpåfunktionenf(x) inärhetenav punkten att approximativt variera som f(x) =f(x i )+k i x. Metodenärgenerell och gäller även för icke-linjära funktioner. I denna övning är dock vår anpassade funktion linjär och derivatan har då samma värde (k) i alla punkter. För att bestämma lutningen, dvs värdet på k, görviförstenpreliminäranpassning med de givna felen i variabeln y. Deekvivalentafelenipunkternay i som härrör från felen i x i kan sedan beräknas som k x i. y f(x) k x i x i x Om vi dessutom har mätta (eller uppskattade) fel y i imätvärdenay i adderar vi dessa kvadratiskt till de ekvivalenta felen, dvs y tot,i = ( y i ) 2 +(k x i ) 2 De på detta sätt beräknade felen i variabeln y kan sedan används för att göra en ny (viktad) anpassning av data till funktionen y = f(x).