http://sirius.mt.luth.se/~lassew/kurs/mtf09/mtf090.html

Fuktiga området, överhettad ånga, gas Hänvisningar till bok Cengel, kapitel En m tank innehåller luft med temperaturen +5 C och 500 kpa tryck. Behållaren ansluts till ytterligare en tank, vilken innehåller 5 kg luft med temperaturen +5 C och trycket 00 kpa. Ventilen mellan behållarna öppnas och hela systemet tillåts att anta termisk jämvikt med omgivningen som har temperaturen +0 C. Bestäm det slutliga lufttrycket i behållarna. SV: 84. kpa Ett grillgaller svetsas ihop med en ram av ett rör, konstruktionen blir tät varför ingen luft kan ta sig ut eller komma in i röret. Vi antar att luften i röret har temperaturen +0 C och trycket bar vid tillverkningstillfället. Om vi bortser från formförändringar dvs ansätter att röret fungerar som en stel kropp, vilket tryck erhålls inuti röret vid grillning. Luften värms till +600 C vid detta tillfälle. Luft antas vara en ideal gas. SV:,0 bar Heliumgas har trycket,05 bar och temperaturen +5 C. Den får först expandera utan värmeutbyte med omgivningen till trycket,00 bar. Därefter vid konstant volym återgå till sin ursprungliga temperatur. Bestäm slutligt tryck. SV:,0 bar (p (p (p 4 rgon gas vid atm och 5 C expanderar reversibelt och adiabatisk från 0.50 dm till.0 dm. Beräkna ; a sluttemperaturen b arbetet c ändringen i inre energi d sluttrycket e entalpiändringen. (p SV: a 88K, b 8J, c 8J, d.9 kpa, e 47J 5 En cylinder med en kolv innehåller,0 kg r vid 00,0 kpa och 00,0 K. Gasen komprimeras reversibelt till 600,0 kpa. Beräkna arbetet vid a Polytrop process med polytropexponenten,0 (.5p b Isotermisk process (.5p SV: a-06,6 kj, b-,9 kj

6 En stel behållare med volymen 0.50 m innehåller en blandning av flytande vatten och vattenånga med temperaturen 00 C. Värme tillföres nu blandningen som är så anpassad att kritiska punkten nås. Beräkna ångans volym i ursprungstillståndet, dvs före värmetillförseln. SV: 0.5 m (p 7 Genom ett värmeelement som finns i ett rum där temperaturen är +0 C strömmar mättad ånga med trycket 5 kpa. Ventilerna vid ångans inlopp och utlopp till elementet stängs. a Vad blir specifika ångmängden(x i elementet om det får svalna till +0 C? b Hur stort arbete uträttas under avsvalnings-processen och hur stort är värmeutbytet med omgivningen per kg innesluten massa? SV: a x=.4%, bw =0, q = -.7 MJ/kg (p 8 000 kg vatten med temperaturen 0.0 C finns i en väl isolerad tank. För att kyla detta vatten stjälper man i 80.0 kg is med temperaturen -5.0 C. Isens specifika värmekapacitet är. kj/kgk och dess smältvärme.7 kj/kg, vätskefasens specifika värmekapacitet är 4.84 kj/kgk Bortse från tankens massa och bestäm a den slutliga jämviktstemperaturen i tanken SV: a + C :a H.sats Slutet system Hänvisningar till bok Cengel, kapitel B Luft komprimeras i en cykelpump.till 5,00 bars tryck. Processen antas vara en polytropisk process med exponentvärdet, n=.. Begynnelsetillstånd +0.0 C, trycket.00 bar samt massan 0.0 gram. Luften kan behandlas som ideal gas. Bestäm avgiven värmemängd vid kompressionen. SV: -,09 J (p B En stel och mycket välisolerad tank innehåller luft med temperaturen 5 o C och trycket 00 kpa. Tankens volym är 44 m. Inuti tanken ett litet elektriskt element med effekten 50 W som nu slås på. Beräkna luftens temperatur efter 0 timmar.utnyttja värmekapacitetsvärde vid temperaturen 00K. (p SV: +58 C B För att höja temperaturen hos en gas mycket snabbt kan följande metod användas: En projektil skjuts in i ena änden av en mycket kraftig stålcylinder (stel kropp vars andra ände är sluten. Projektilen antas verka som en tättslutande kolv. Under det att den bromsas upp i cylindern pressar den samman luften i cylindern. Förloppet sker så snabbt att inget värmeutbytet med omgivningen sker. Låt projektilens hastighet just utanför cylinderöppningen vara v = 500

m/s och dess massa m = 00 gram. Vi bortser från friktionen med cylinderväggarna. Cylindern vars volym är V, innehåller vid försökets början.00 mol luft vid trycket P =.0 atm och temperaturen T = 00 K. äkna med luft som en ideal gas med konstant värmekapacitet samt att processen är reversibel. a Vilken blir temperaturen på luften i cylindern efter det att projektilen bromsats ned? (p b Hur stor blir luftens procentuella volymsändring i cylindern? (p (Ledning: När projektilen bromsas upp så uträttar den ett arbete på gasen som är lika stort som projektilens förändring i rörelseenergi SV: a,50*0, b 98,% B4 I ett rum med lufttrycket,00 bar återfinns en stående cylinder med en friktionsfri rörlig kolv. Inneslutet medium består av en blandning av vatten i vätskefas samt i ångfas, specifika ångmängden är x=0.5, vidare är volymen,0 liter. Kolven väger 0,0 kg och har en tvärsnittsarea av 7 mm. Stoppklackar på cylinderväggen gör att volymen maximalt kan fördubblas från ursprungliga läget. Värme tillförs till systemet. Bestäm tillförd värmemängd när vattnets (blandningens temperatur stigit med 6,7 C SV: 6,5 kj B5 I en stel, sluten behållare finns.00 kg H O med trycket 800 kpa och temperaturen 40 C. Behållaren avkyles så att trycket sjunker till 500 kpa. Beräkna det värme som avgivits under avkylningen SV: 875 kj (p (p B6 En cylinder innehåller en friktionsfri kolv som kan röra sig mellan de två stopplägena i figur. När kolven vilar på de nedre klackarna är den innestängda volymen under kolv 400 l. När kolven når övre klackarna är den innestängda volymen 800 l. Initialt innesluts vatten med trycket 00 kpa samt specifika ångmängden 0%. Värme tillförs tills allt vatten består av mättad ånga. För att röra kolven krävs ett tryck av 00 kpa. Bestäm det slutliga trycket, tillförd värmemängd samt arbetet för processen. (p Vatten SV: 00 kpa, 06 kj, 94 kj

4 B7 En sluten cylinder är uppdelad i två separata volymer genom en friktionslös kolv som initialt hålls på plats av ett stift, enligt figur. Utrymme innehåller 0 l luft vid trycket 00 kpa och temperaturen +0 C. Utrymme B är fyllt med 00 l mättad vattenånga med temperaturen +0 C. Stiftet tas bort varvid kolven frigörs och båda utrymmena kommer till jämvikt vid +0 C. Om man utgår från en kontrollvolym bestående av luft och vattendelen, dvs längs cylinderns innerväggar, bestäm arbetet som systemet uträttar samt den värmemängd som överförs till cylindern under beskriven process. (p um Luft um B Vatten SV: W=0, Q=-5,7 kj B8 En sfärisk, stel glasbehållare med volymen 4 cm innehåller enbart vatten. Den placeras i en mikrovågsugn och värms försiktigt samtidigt som man mäter tryck och temperatur i behållaren. Den process som vi studerar startar när trycket i behållaren är.00 bar och 0% av behållarens volym upptas av vatten i vätskefas, resten är vatten i ångfas. Processen slutar när temperaturen når 45 C och behållaren exploderar. a Hur mycket värme har tillförts vattnet i behållaren under processen? b Kommer vätskeytan att röra sig uppåt eller nedåt under processen? Motivera, svar utan motivering ger inga poäng. (p SV: a 0,55 kj, b ytan rör sig uppåt :a H.sats Öppet system Hänvisningar till bok Cengel, kapitel 4 C Luft vid 0 C och 80kPa strömmar in i en diffusor med hastigheten 00 m/s. Inloppsarean är 0,40 m. Luften lämnar diffusorn med en mycket låg hastighet. Värmekapaciteten för luften antas vara konstant, C p0 =00.5 kj/kg K Bestäm: a massflödet av luft. b temperaturen på den utgående luften. (p SV: a 78,8 kg/s b 0 C

5 C Vattenånga med totaltrycket 0 MPa och temperaturen 550 C strömmar med hastigheten 60 m/s in i en turbin med inloppsarean 50 cm. På utloppssidan av turbinen är trycket 5 kpa, hastigheten 065 m/s och specifika ångmängden x=0.95. Stationära förhållanden antas råda, under processen avges värme till omgivningen motsvarande 0 kj/kg vattenånga. Bestäm avgiven turbineffekt under rådande förhållanden. SV: 0, MW C Luft vid temperaturen 7 o C och trycket 96 kpa strömmar in i en kompressor med försumbart låg hastighet. Efter kompressionen är trycket.0 MPa, temperaturen 7 o C och lufthastigheten 0 m/s. Kompressorns effekt är 00 kw och värmeförlusterna till omgivningen 5 kw. Beräkna massflödet av luft genom kompressorn. Luften kan betraktas som en ideal gas. SV: 0,85 kg/s C4 Genom arean 0.09 m i inloppet till turbinen i en Drakenmotor passerar 84.0 kg/s luft med T =09 K och P =4.46 bar. Luften lämnar turbinen med tillståndet T =954 K, P =. bar och hastigheten 5 m/s. Bestäm inloppshastigheten samt avgiven effekt från turbinen. Turbinen är adiabatisk och man kan bortse från ändringar av luftens lägesenergi. SV: 647 m/s resp 6.9 MW (p (p (p C5 - C6 - C7 Kvävgas komprimeras adiabatiskt i en kompressor från trycket P =.0 atm och temperaturen T = 0 C till trycket P = 0 atm och temperaturen T = 80 C. Gasen kan behandlas som ideal gas. a Beräkna ideala sluttemperaturen (p SV: a 585 K

6 Värmetransportmekanismer Hänvisningar till bok Cengel, kapitel 8 D En villaägare upplever problem med kondens på insidan av husets fönster när temperaturen utomhus är 0 C (avser lufttemperatur och utomhusytors temperatur ej aktuellt fönster. Genom att ersätta befintliga tvåglasfönster med nya treglasfönster hoppas personen att bli kvitt kondensproblemen. Inomhustemperatur +0 C. Värmeövergångstalen pga konvektion på fönsterrutans insida (mot rum respektive utsida (mot luft utomhus antas vara h konv, insida =8 W/m C respektive h konv, utsida =5 W/m C. Värden gäller för bägge fönstertyperna. Både tvåglas- och treglasfönstren är konstruerade av 4 mm tjocka fönsterglas med värmeledningstalet k glas =0,78 W/m C. Varje glasruta är åtskilda av ett mm:s stillastående luftskikt. Luftens värmeledningstal k luft =0,06 W/m C. Vi ansätter att strålningsbidraget för värmetransporten mellan fönsterrutorna är 0% av ledningsbidraget. På utsidan av fönstret utgör strålningsbidraget för värmetransporten 0% av det konvektiva bidraget. På insidan av fönstret bortser vi från strålningen. Hur många grader varmare blir fönsterrutans insida efter bytet till treglasfönster. SV:,4 C (p D I en kärnreaktor alstras värmeenergi i långa cylindriska bränslestavar med radien 0.00 m innehållande anrikat U-5. Värmeledningsförmågan i stavarna är 0 W/mK. Värmeövergången från stavarna till omgivningen sker med cirkulerande vatten, vars temperatur är 40 o C. Vi kan anta att värmealstringen i stavarna är homogen, alltså att varje volymselement i staven alstrar lika mycket värme. Vid ett tillfälle var den alstrade värmeeffekten per volymsenhet i stavarna.0. 0 7 W/m. Värmeövergångstalet mellan stavarna och vattnet kan sättas till.5. 0 W/m K. ll värmetransport kan antas ske i radiell riktning i stavarna. a Beräkna temperaturen på ytan av bränsleelementen. (p b Beräkna temperaturen i centrum av bränsleelementen. (p (Ledning; utgå från Fourier s lag SV: a 80 C, b C D En husvägg består av tre skikt som, inifrån räknade, har följande tjocklek och värmeledningsförmåga. Träpanel 5 mm k = 0.4 W/mK Isolering 75 mm k = 0.050 W/mK Tegel 0 mm k = 0.70 W/mK Värmeövergångstal på väggens insida är 5.0 W/m K och på väggens utsida 8.0 W/m K. Inomhustemperaturen är + C och utomhustemperaturen -0 C. Vi bortser från strålningens inverkan. a Beräkna värmeflödet genom en yttervägg med denna konstruktion om väggens area är 80 m. (.5p b Beräkna temperaturen i kontaktytan mellan isolering och tegel. (.5p SV : a. kw b -5,6 C

D4 De varma förbränningsgaserna i en ugn avskiljs från omgivande luft av en tegelvägg med tjockleken 5 cm. Teglet har värmeledningsförmågan k =. W/mK och emissionsförmågan ε = 0.8. Vid stationära förhållande uppmäts temperaturen +00 C på ugnens utsida. Värmeövergångstalet till följd av egenkonvektion från ugnens utsida till luft är 0 W/m K. a Vilken temperatur har tegelväggen på ugnens insida om ugnen befinner sig i en stort rum där luftens och väggarnas temperatur är +5 C. b Med ett totalt värmeövergångstal på ugnens insida (konv+strålning av 4 W/m K, bestäm temperaturen inne i ugnen. (4p SV : a 5 C b 40 C 7 D5 En vägg är uppbyggd av två skikt. Invändigt består väggen av timmer med tjockleken 7,5 cm och utvändigt av 0,0 cm cellplast. Värmeledningsförmågan hos timret är 0,4 W/m, K och värmeledningsförmågan hos cellplasten är 0,0W/m, K. Det är ihållande -0 C utomhus medan inomhustemperaturen är +0 C. Värmeövergångstalen på grund av konvektion på väggens insida 0W/m K respektive utsida 0 W/ m K. Strålningsutbyte kan försummas. Beräkna var i väggen nollpunkten är belägen. Med nollpunkten menas den position i väggen där temperaturen är 0 C. nge positionen i antal centimeter från väggens utsida. (p SV: 57 mm D6 Vatten i en aluminiumkastrull med diametern 5 cm kokar vid temperaturen +95 o C. Kastrullen står på en spisplatta och värmeeffekten 600 W tillförs stationärt vattnet genom kastrullens 0.50 cm tjocka flata botten. Kastrullbottens insida har yttemperaturen 08 o C. a Beräkna värmeövergångstalet vid kastrullbottens insida. (p b Beräkna skillnaden mellan yttemperaturerna på kastrullbottens utsida och insida. (p SV: a 0,94 kw/m K, b 0,5 C D7 En braskamin får högst ha en yttemperatur på +70 C mot husets rum för att förhindra brandrisk. Vid en rökgastemperatur på +50 C och en omgivande rumstemperatur på +0 C, har vi följande totala värmeövergångstal; på insidan av kamin 0,0 W/m K samt på isoleringens utsida 9,0 W/m K. Kaminen har en godstjocklek av mm och värmeledningstalet k=5 W/mK, brandisoleringens värmeledningstal är k=0,046 W/mK. Vi bortser från hörn varför ytan för värmeflöde är densamma på kaminens insida och isoleringens utsida. a Hur tjock isolering krävs för att uppfylla brandbestämmelserna b Om man fördubblar isoleringens tjocklek vilken blir då dess yttemperatur mot rummet (4p

8 Isolering Kaminvägg ökgas +50 C Lufttemperatur +0 C SV: a 44 mm, b +47 C

9 Lösningsförslag Helim gasen betraktas som ideal gas Pv = T ( = 076.9 J / kg, K enl Tab T 076,9 98,5 v = = = 5 P,050 P k = v = P 5,90 m / diabatisk proc ( k =, 667 ur Tab Poissons ekv : k v P ( 6 6 v = sid P kg, 00,667 v 5,90 6,07m, 05 = Isokor proc v = v T 076,9 98,5 097,0 P = = = Pa bar v 6,07 6 Enligt Tab. gäller för vatten i kritiska punkten att volymiteten 0.0568 vc = 0.0568 m / kmol = m / kg = 0.005 m / kg. Detta innebär att totala 8.05 V 0.5 vattenmassan i behållaren är; mtot = = =58.587 kg vc 0.005 Under processen ändras ej volymiteten ty behållaren är stel. Enligt Tab. 4 gäller för vatten vid 00 o C att v f = 0.00044 m /kg och v g =.679 m /kg. vc vf vc = vf + x( vg vf x= = 0.006 och därmed att ångmassan är ( v v g f m = x m = 0.004 kg. Vi får då att ångvolymen i ursprungstillståndet är ånga Vånga tot = 0.004.679 = 0.46 m. Forts. 6 Eventuellt vc = 0.055 m /kg om Tab 4 eller 5 utnyttjas m tot =58.4786 kg x=0.006 m ånga =0,00 kg V ånga =0.48 m Svar: I ursprungstillståndet är ångvolymen 0.5 m

8 Cis =. kj / kgk Cvatten = 4.84 kj / kgk ls =.7 kj / kg Smälttemperatur för is =0.0 C. Låt T vara den slutliga jämvikts-temperaturen och antag att den är över 0 C a Upptagen värmemängd av isen= vgiven värmemängd av vattnet ger dvs 0 ( 0 s 0 som ger ( ( ( ( mc T + ml + mc T = mc T T (-54 fast vätska is vatten (. ( 0 ( 5.7 4.84 ( T 0 000 4.84 ( T 0 80 + + = T ( ( ( 0004.840 80. 0 ( 5 +.7 = 4.84 000 + 80 T =.4 C ntagandet stämmer! a T = C Svar: jämvikt B Begynnelsetemperatur = T = 00 K Projektilens massa = m p = 0.00 kg, v = 500 m/s, Luften: massa m, n = mol, Molekylvikt = M = 8.97 kg/kmol (tab Gasens arbete = W = - kinetisk energi hos projektilen = - m p v / Processen sker adiabatiskt dvs. δq = 0, bortser från ändring av pot och kin. energi :a h.s. ger: U U = - W (.9 Luft antas vara ideal gas du = mc v0 dt U U = mc v0 (T -T = MnC v0 (T -T (.4 lltså: MnC v0 (T -T = - W T = 00 + (0.500 /(8.97 0-0.780 + = 50.9 K C Poissons ekv. ger: T V k- = T V k- (V /V = (T /T /(k- (sid6-6 Volymsändring: (V V /V = (V /V = - (T /T /(k- = (00/50.9 /(.400- = 0.98 Svar: a Temperaturen är.500 K b Volymsändringen blir 98. %

B7 Luften kan betraktas som ideal gas, slutet system IG ger m P V 000 00 luft = = = luft T 0, 870 0,5 luft luft = = P B 0, 0494 kg ( via tab ( 4 erhålls sluttryck( + 0 C P = P = 4,46 kpa IG ger slutvolym V B B B B B vatten = = = vb,89 B B = = mvatten m T 4,460 0, 0494 0, 87 0 0,5 V = V ( V V = 0,00 (0, 00 0, 55 = 0, 0745 m Ur tab 4 för vattenånga v = v =,89 m / kg g u = u = 46, 6 kj / kg m v x v g V V v 0,00 0, 009 kg 0,0745 = 8,6768 m / kg 0, 009 B f = = = v fg,89 0, 00004 B f fg 8,6768 0, 00004 0, 48 u = u + x u = 5, 78 + 0, 48 90,8 = 694, 6 kj / kg : a H sats slutet system : ( 9 Q = U U + W rbetet noll, inget arbete uträttas över systemgräns ideal gas : du = mc ( T T = 0 ( T = T ( 4 v B B ( för vattnet du = m( u u = 0, 009 694, 6 46, 6 = 5, 7 kj Q = 5,7+ 0 = 5,7 kj = 0, 55 m C q = 0 kj / kg ( systemet avger värme vid inlopp ( index ( v ur Tab 6 4 v 500 60 m= δ V = δ v = = = 5,5kg/ s v 0, 0564 : a H sats öppet system w= q+ ( h h + (v v (4 h = 500,9 kj / kg ( urtab 6 h = 7,9+ 0,9546, = 500,9 kj / kg ( ur Tab 5 w= + + = 0 (500,9 500,9 (60 065 0 404, 67 k / 5,5 404,67 0, 0 0, W = m w= = kw = MW J kg

C4 P = 4.46 bar P =. bar Tab, ger T = 09 K T = 954 K = 0.870 kj/kgk = 0.09 m m = 84.0 kg/s Luft är en ideal gas vid givna förhållanden, dvs T Pv = T v = P Kontinuitetsekv ger V m v m = V = ; V = hastighet v (4-5 till 4-7 med ovanstående m T 84.087.009 V = = m/ s = 647. m/ s 5 P 0.094.460 ϑ ϑ h gz h gz :a huvudsatsen för öppet system q w = ( + + - ( + + (4 ϑ ϑ där q=0 och Z = Z ger w = h h + för ideal gas gäller h h = CP0( T T ( 4 ϑ ϑ vgiven effekt blir alltså (4 5 W = m w= m CP0( T T + = T medel =0.5K, Tab ger C p0 =.4 kj/kgk i 647. 5 6 W = 84.0.40 (097 954 + W = 6.880 6.9 MW SV 647 m/s resp 6.9 MW

D Konv; Q konv = T utsida T uteluft konv,utsida Strå ln ing,0, Q konv utsida = konv,utsida + = T utsida T ute, ytor strå ln 5 konv,utsida utsida = ( konv,utsida 5 konv,utsida (+ 5 = 5 6 konv,utsida pss för luftskikt mellan glasrutor Ledning, plan vägg, Q Strå ln ing,0, Q luft = + ledning 0 ledning luft = ( ledning 0 ledning ( +0 = 0 ledning = 5 T utsida T uteluft konv,utsida ledning = T glas,utsida T glas,insida ledning ledning = T glas,utsida T glas, insida strå ln ing = 0 T glas,utsida T glas,insida ledning total = konv,insida + glas + luft + glas + utsida total = konv,insida + glas + 0 ledning + 5 6 konv,utsida total = ( h konv,insida + L glas k glas + 0 L luftskikt k luftskikt + 5 6 h konv,utsida total = ( 8 Q + 0,004 0,78 = T rumsluft T uteluft total + 0 0,0 0, 06 + 5 6 5 = 0,604 (W / C Q = 0 ( 0 0,604 = 65,5 (W / m Q = h konv,insida (T rumsluft T glas,innersida T glas,innersida = T rumsluft Q = 0 65,5 =,8 C h konv,insida 8

pss för treglas fönstret erhålls Q Q T total total total = = h = T + ( T h + T Q + C + 4 + 0 5 = konv, insida + glas + ledning + 6 0,004 0 0,0 5 = ( + + + = 8 0,78 0,06 6 5 glas, innersida konv, insida konv, insida rumsluft glas rumsluft luft 0 ( 0 = = 8,64 ( W / m,05 glas, innersida konv, insida T = 5,7 -,8 =,6,4 glas luft glas + konv, utsida 8,64 = 0 = 5,7 C 8 utsida Skillnad i temperatur på glasrutan mot rummet blir därför,05 ( W / C strål strål konv ledn ledn konv D Lösning: Låt ro, k, h, Tomg och P beteckna radien, värmeledningsförmågan, värmeövergångstalet, vattentemperaturen och alstrad värmeeffekt per kubikmeter, alla givna numeriskt ovan. Låt vidare T s och L beteckna sökt temperatur i a -uppgiften samt stavlängden. Q. a Vi får då att uttrycket = πr 0 L P för den alstrade effekten i W. och uttrycket Q = h (T s T omg = h πr 0 L(T s T omg för den bortförda effekten. Dessa är lika vid stationärt tillstånd. Lösning ger att Ts=80oC. b llmänt gäller vid cylindrisk symmetri att Q = k dt (se lärobok. Observera att inte dr bara beror av radien utan även Q (inneslutet kärnbränsle vid radien r. Vi får då att Q = πr L P och att = πrl vilket insatt ger sambandet

5 πr L P = kπrl dt. Efter omformning erhålles Pr dr = kdt. Temperaturen i dr centrum To (r = 0 söks medan temperaturen Ts enligt a-uppgiften är känd. Integration; r 0 T s P rdr = k dt ger efter förenkling och uträkning att 0 T 0 T 0 = T s + Pr 0 4k = o C SV: a Temperaturen på ytan av bränslestaven är 80oC b Temperaturen i bränslestavens centrum är ca oc D d =5 mm k =0.4 W/mK α i =5 W/m K T i = C d =75 mm k =0.050 W/mK α u =8 W/m K T u =-0 C d =0 mm k =0.70 W/mK =80 m a Värmetransporten genom väggen ges av ( Ti Tu Q = ( där väggens värmemotståndstal total ges av total total = total konv, insida = ( h + + konv, insida L + k + L + k + L + k konv, utsida + h 0,05 0,075 0,0 total = ( + + + + 5 0,4 0,050 0,70 8 ( ( 0 Q = = 77 W, kw 0,07 konv, utsida = 80,75 = 0,07 ( W / b Vid stationära förhållanden är värmeflödet lika genom alla skikt i väggen. Vi beräknar ett värmemotståndstal b som gäller från teglets insida till uteluften. ger då = + b b L = ( k + h 0,0 b = ( + = 0,96 = 0,007 ( W / C 0,70 8 80 ( Tyta Tute ( Tyta ( 0 Q = = = 77 Tyta = (77 0,007 0 = 5,64 5,6 0,007 b konv, utsida konv, utsida C C SV : a. kw b -5,6 C

6 D4 Vid stationära förhållanden måste samma värmeflöde passera genom varje kvadratmeter av väggen som det som avges från väggens utsida via strålning och konvektion, dvs; q = q + q ledn konv strål λ q ledn = ( T T, q L där utbytesfaktorn F 4 4 konv omg strål omg = α( T T, q = F σ( T T = ε (liten ugn i stor omgivning λ 4 4 ( T T = α( T Tomg + εσ( T Tomg L. ( 8 4 4 7.5 0(7.5 98.5 0.8 5.67 0 T = + (7.5 98.5 0.5 vilket ger T = 65.8 K = 5.7 5 C (65.5 K = 5.5 C om 7K = 0 C används alt. om värden utnyttjas : ut, konv = = ( W / C h 0 ut, konv ut, strål ut, strål ε σ ut, yta omg, yta ut, yta omg, yta ut, strål = = h ( T + T ( T + T = = 0.495 ( W / C 8 0.85.67 0 (7.5 + 98.5 (7.5 + 98.5 L 0.5 ( / ledn = = = W C k. 8 = + = 0 + 0.495 ut, total ut, konv ut, strål = 0.07 ( W / C ut, total total ut, total ledn = + = (0.07+ 0.5 = 0.6 ( W / C T T T T Q = = T yta, insida omg. luft yta, utsida omg. luft total ut, total ( T T 0.6 (7.5 98.5 = + T = + 98.5 = 65.77 K 0.07 total yta, utsida omg. luft yta, insida omg. luft ut, total b q insida lika specifikt värmeflöde ovan dvs q λ qinsida = αinsida ( Tugn T = ( T T L. (65.8 7.5 T 65.8 0.5 ugn = + 67.9 K = 400.8 C 40 C 4 ledn

7 alt. med värden insida = = h 4 insida T T T T Q = = T ugn yta, insida yta, insida yta, utsida insida ( T T insida yta, insida yta, utsida ugn = + ledn yta, insida (65.77 7.5 T 4 ugn = + 65.77 = 67.9 K 8 D5 ut, konv = = ( W / C h 0 ut, konv in, konv ledn in, konv = = ( W / C h 0 L L ledn = + = + W C k k 0.4 0.0 T 0.075 0.00 ( / 0.075 0.00 total = in, konv + ledn + ut, konv = ( + + + = 5.07 ( W / C 0 0.4 0.0 0 Q Tluft, inne Tluft, ute 0 ( 0 = = = 7.07 ( W / m 5.07 total Vid stationära förhållanden måste samma värmeflöde passera genom varje del av väggen Q Q = hut, konv ( Tutsida vägg Tluft, ute T utsida vägg = + T, h ut, konv luft ute T utsida vägg 7.97 = + ( 0 = 9.7 C 0 dt Q Q= k dx= kdt dx L x= 0 To = 0 Q dx = k dt Tutsida vägg Q ( L 0 = k (0 T utsida vägg 0.0(0 ( 9.7 L= = 0.0569 0.057 m 7.97 dvs 57 mm från utsida vägg återfinns nollpunkten negativt värde pga gradientens lutning.

8 D6 a För konvektion allmänt (FYS sid 0 gäller. Q = h T. där =πd/4 vilket ger 4Q 4600 h= = W / m K = 940 W / m K πd T π 0.5 08 95 ( b För ledning gäller sambandet (sid 94, 8-. k Q= ( T T och då stationärt värmeflöde gäller erhålles L. ( QL= k Tu Ti där Tu och Ti är temperaturen på utsida respektive insida. Värmeledningsförmågan för aluminium k = 40 W/mK enligt 4 (T=400K Vi erhåller då. 4Q x 46000.005 o Tu Ti = = = 0.547 C kπd 40π 0.5 Svar: Värmeövergångstalet mellan yta och vatten är 0.94 kw/mk och temperaturdifferensen mellan utsida och insida är 0.5 oc

9 D7 Värmeflödet från isoleringens utsida till rumsluften ges av q=h ( T T utsida isol. utsida rumsluft q= 9, 0 (70 0 = 450 W / m Vid stationära förhållanden är värmeflödet detsamma genom alla skikt. För hela värmeflödet från rökgas till rumsluft gäller ( Trökgas Trumsluft q=, tot tot Lka min Lisol = ( + + + h k k h insida. ka min ka min ( Trökgas Trumsluft (50 0 tot = = =, ( W / m C q 450 därmed kan L ka min isol beräknas ka min isol k = 5 W / mk, L = 0,00 m k isol = 0, 046 W / mk Lisol 0, 00 =, 0,046 0,0 5 9,0 L = 0, 047 0, 044 m isol utsida isol dvs isoleringen måste vara 44 mm tjock för att bestämmelserna skall klaras. b Värmeflödet konstant genom vägg varför ( Trökgas Tisol. utsida hisol.utsida ( Tisol. utsida Trumsluft = i ny L L 0.00 0.047 = + + = + + = k k ny ka min isol ( (.95 ( W / m C hinsida. ka min ka min isol 0 5 0.046 T isol. utsida h T + T 9.0.95 0 + 50 + h + 9.00.95 isol.utsida ny rumsluft rökgas = = = isol.utsida ny 46.95 47 C

0 Institutionen för Maskinteknik vdelningen för Exp.mekanik Tentamen i: Värme- och våglära Totala antalet uppgifter: 6 Ämneskod-linje Tentamensdatum Skrivtid Lärare: Karl-Evert Fällström Tel: 0 Jourhavande lärare: Lars Westerlund / Kalle Fällström Tel: / 0 esultatet anslås senast: 5/ 00 MTF090 00--4 Korridoren, E-huset 09.00-4.00 Tentamensrättningen får granskas: Meddelas senare Tillåtna hjälpmedel: FYSIKLI (och/ eller TEFYM, BET samt räknedosa. Jönsson: Elementär våglära Yunus. Çengel: Introduction to Thermodynamics and heat transfer. alt. Wylen-Sonntag-Borgnakke: Fundamentals of classical thermodynamics. Övriga anvisningar: I böckerna får anteckningar som rör teoriavsnitten finnas. Motivera dina lösningar Skrivningen omfattar 6 uppgifter om totalt 0 p. Varje delmoment omfattar 0 p.för godkänt krävs 4 p på varje delmoment..opolariserat ljus går genom en vätska med brytningsindex n. När den når ytan som gränsar mot luft finner man att det reflekterade ljuset är fullständigt linjärpolariserat. Infallsvinkeln är 5, grader. a Bestäm brytningsindex n. b Bestäm intensiteten på det reflekterade ljuset om det infallande ljuset har intensiteten I 0. ( p

. Två identiska högtalare och B är riktade åt samma håll och står på,00 m avstånd från varandra. De matas med en sinusformad växelspänning från samma oscillator. Ljudet från högtalarna har frekvensen 680 Hz. En liten mikrofon rör sig längs en linje från B vinkelrät mot sammanbindningslinjen mellan och B.,00 m B C x a På vilka avstånd från B får vi destruktiv respektive konstruktiv interferens? b Om man minskar frekvensen finner man att under en viss frekvens finns inga min längs B till C. Bestäm gränsfrekvensen c Bestäm intensiteten I när man befinner sig,75 m från B längs linjen mellan B och C. respektive B sänder ut ljud som har intensiteten I 0 när vi befinner oss meter från respektive sändare. (Ledning: Vi måste här räkna med sfärisk vågutbredning. För sfäriska vågor gäller att intensiteten avtar med faktorn r där r är avståndet från källan.. (4 p. Fyra sändare ligger längs en rät linje på det inbördes avståndet d m. Sändarna sänder ut synkrona elektromagnetiska vågor med samma effekt och med frekvensen f Hz. Den resulterande intensiteten observeras på stort avstånd från sändarna. a I vilken riktning i förhållande till normalen till linjen genom sändarna ligger :a ordningens huvudmax? I vilken riktning ligger :a min? b De två sändarna i mitten stängs av. I vilken riktning ligger :a min respektive :a huvudmax? (4p 4. Ett cylindriskt tryckkärl för lagring av trycksatt luft har volymen 0,0 kubikmeter. Vid ett tillfälle är övertrycket i tryckkärlet, bar och temperaturen +5,4 C. Efter en helg har övertrycket sjunkit till 0, bar och temperaturen +8, C utan att någon tryckluft har använts. Hur många kilogram luft har läckt ut ur tryckkärlet under helgen? Du kan förutsätta att tryckkärlets volym inte förändrats trots att temperaturen i verkstadslokalen har sjunkit några grader. Lufttrycket inne i verkstadslokalen är,00 bar, vidare antas luft vara en ideal gas. (p 5. En vägg är uppbyggd av två skikt. Invändigt består väggen av timmer med tjockleken 7,5 cm och utvändigt av 0,0 cm cellplast. Värmeledningsförmågan hos timret är 0,4 W/m, K och värmeledningsförmågan hos cellplasten är 0,0W/m, K. Det är ihållande - 0 C utomhus medan inomhustemperaturen är +0 C. Värmeövergångstalen på grund av konvektion på väggens insida 0W/m K respektive utsida 0 W/ m K. Strålningsutbyte kan försummas. Beräkna var i väggen nollpunkten är belägen. Med nollpunkten menas den position i väggen där temperaturen är 0 C. nge positionen i antal centimeter från väggens utsida. (p

6. En cylinder försedd med en friktionsfri kolv innesluter 0.0 kg vattenånga av 40 C. Begynnelsevolymen är,0 m. Genom en reversibel isoterm process sker en kompression till dess att man får en blandning av vätska och ånga med specifika ångmängden 50 %. Beräkna det arbete som erfordras för den beskrivna processen. Vattenångan kan under rådande förhållanden anses vara en ideal gas under kompressionen fram till övre gränskurvan. (4p Lösningar till tentamen i Våg- värmelära (MTF090 4 December 00 Uppgift. a Det reflekterade ljuset är fullständigt polariserat i = Brewstervinkel vilket medför att i + b =90 o. Snells brytningslag ger att nsin(i =sin (90-i nsin (i =cos (i tan (i =/n. Detta ger att n = /tan (5, 0 n =,48. b= 90 i =90 5, = 54,8 0 b Fresnels formler ger I r = I i sin (i b sin (i+b och I r// = I i// tan (i b tan (i+b Vi ser att om i + b = 90 0 så är I r// = 0. Eftersom det är opolariserat ljus som kommer in så är I 0 = I i// + I i. Eftersom I i// = I i så är I i =I 0 /. Vi får då att I I r = 0 (5, 0 54,8 0 sin = I 0 I sin (90 0 sin ( 9,6 0 = 0 0,5 = 0,056 Svar; a n =,4 b Det reflekterade ljuset har intensiteten 0,056. Uppgift a,00 m B Sträckan C = x C + x. Om vi tittar på vägskillnaden C BC = + x x p λ(max + x x = ( p + λ (Min

Om vi tittar på max får vi + x = p λ + x + x + x = p λ + p λ x + x 4= p λ + p λ x x = 4 p λ där v = λf p λ ( = p λ + x ( Vi får min då + x x =( p + λ 4 ( p + λ Detta ger att x = 4 ( p + λ Numeriskt v=40 m/s, f = 680 Hz λ =0,5 m Detta ger max för x=,75 m,5 m, 0,58 m,0,58 m, 0 m. Det är de enda värden på x som ger max. llmänt uttryck x max = 4 p 0,5 p Det ger min för x= 7,88 m,,9 m, 0,98 m, 0,7 m. Detta är de enda värden på x som ger min. llmänt x min = 8 ( p + 0,5 ( p + b Om vi tittar på min så gäller x min = x min = v f 4 ( p + 4 f ( p + v 4 ( p + λ 4 ( p + λ Men x min 0 6 f ( p + v 0 f som ger min är för p = 0 f v 4 f 85Hz ( p + v 4 Det minsta värde c Vi har tvåstråleinterferens. Detta ger att I = I + I + I I cos(δ δ I 0 I = och I 4 + x = I 0 ger att x I = I 0 + + 4 + x x 4 + x x cos(δ δ där δ δ = k ( + x x = π λ ( + x x I vårt fall skulle x =,75 m δ δ = π 0,5 ( +, 75,75 = π I = I 0 8,06 + 4,06 + 8,06 4,06 cos(80 0 = 0,5 I 0 Svar: a max för x=,75 m,5 m, 0,58 m,0,58 m, 0 m och min för x= 7,88 m,,9 m, 0,98 m, 0,7 m b Inget min om frekvensen är mindre än 85 Hz c I = 0,5 I 0

Uppgift I = I 0 sin (γ / sin (N δ / (γ / sin (δ / δ = k n d sin( θ γ = k n b sin( θ I detta fall behöver vi inte ta hänsyn till diffraktionen. Vi har huvudmax då sin(δ / = 0 δ /= pπ k n d sin( θ= p π π λ n d sin (= θ p π Vi har huvudmax då n d sin(= θ p λ 4 I detta fall skall n = och p = sin(= θ λ d Vidare är c = fλ Detta ger att vi har första huvudmax då sin(= θ c f d Vi har min då sin (N δ / =0 och sin (δ / 0. Detta ger att (om vi har N = 4 att 4 δ = p π och δ / q π. Detta ger att vi har min då p=,,, 5, 6, 7,9,... Första min har vi då p =. Vi får då min då 4 δ (= π π d sin(= θ π d sin(= θ λ 4 sinθ (= λ 4d = = π δ = π k d sin θ c 4d f b Vi får i detta fall en dubbelspalt med d = d För en dubbelspalt har vi max om nd sin(θ = pλ För första max är p = sin(= θ λ = λ d d = c d f Vi har min då n d sin θ sin(= θ λ = d (=( p + λ / Första min inträffar för p = 0 λ d = λ 6 d = c 6 d f Svar: a :a huvudmax för sin(= θ c b :a huvudmax för sin(= θ f d c f d λ och :a min för sin (= c θ 4 f d och första min för sin θ (= c 6 f d

5 Uppgift 4 Luft antas vara en ideal gas IG: PV = mt isokor process dvs volym konstant m = P V T m = P V T Ur tabell hämtas - värde för luft bsolut tryck erhålls genom att summera övertryck och omgivande tryck m m = V (P P = 0 T T 87.0 (.05 98.55.05 9.5 Uppgift 5 ut,konv = h ut,konv = (W / C 0 in,konv = h in,konv = (W / C 0 ledn = L k + L k = 0.075 0.4 + 0.00 0.0 (W / C =.8. kg total = in,konv + ledn + ut,konv = ( 0 + 0.075 0.4 + 0.00 0.0 + 0 = 5.07 (W / C Q = T T luft,inne luft,ute 0 ( 0 = = 7.07 (W / m total 5.07 Vid stationära förhållanden måste samma värmeflöde passera genom varje del av väggen Q = h ut,konv (T utsida vägg T luft,ute T utsida vägg = T utsida vägg = 7.97 0 + ( 0 = 9.7 C Q h ut,konv + T luft,ute Q = k dt dx Q L x = 0 dx = k T o =0 T utsida vägg Q dx = kdt dt Q (L 0 = k (0 T utsida vägg 0.0(0 ( 9.7 L = = 0.0569 0.057 m 7.97 dvs 57 mm från utsida vägg återfinns nollpunkten negativt värde pga gradientens lutning.

6 Uppgift 6 P Isoterm T = 40 C övre gränskurva V I begynnelseläge erhålls volymiteten v = V =.0 m 0. m / kg = 0 m / kg Vid 40 C erhålls ur tabell v = v g = 9,5 < v. Läge i gasområde och V = 0,. 9,5 =,95 m. För slutläge erhålls med hjälp av specifik ångmängd och tabell v = v f + x. v fg = 0,000008 + 0,50 (9,5-0,00 = 9,7605. dvs V = 0,. 9,7605 = 0,97605 m. Delprocessen sker isotermt i gasfas. Delprocessen sker isotermt och isobart i fuktiga området. Ur tabell erhålls trycket p = p = 7,84 kpa. Trycket P < P är så lågt att vattenångan kan betraktas som en ideal gas under. För erhålls med hjälp av ideala gaslagen dv W = PdV = mt = mt V ln V V W = 0,0,465,5ln.95 kj = 0.58 kj För den isobara delen erhålls W = P (V - V = 7,84 (0,97605 -,95 = -7,06 kj W totalt = - 0,58-7,06 = - 7,560 = -7,6 kj.