Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Relevanta dokument
(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

= 0 genom att införa de nya

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentan , lösningar

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

(x 3 + y)dxdy. D. x y = x + y. + y2. x 2 z z

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen: Lösningsförslag

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

Tentamen i TATA43 Flervariabelanalys

Lösning till kontrollskrivning 1A

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

Lösningsförslag till tentamen Onsdagen den 15 mars 2017 DEL A

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) f(x, y, z) = (x 2 + yz, y 2 x ln x) 3. Beräkna en vektor som är tangent med skärningskurvan till de två cylindrarna

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 7 juni 2016

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Onsdagen den 15 mars 2017

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 20 augusti 2015

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

Tentamen: Lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 14 mars 2011,

Skrivtid: Lösningar ska åtföljas av förklarande text. Hjälpmedel: formelsamling och manuella skrivdon. 1. Lös ekvationen z 4 = 16i.

x f x + y f y x. 2 Funktionen f(x, y) uppfyller alltså given differentialekvation.

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

u av funktionen u = u(x, y, z) = xyz i punkten M o = (x o, y o, z o ) = (1, 1, 1) i riktningen mot punkten M 1 = (x 1, y 1, z 1 ) = (2, 3, 1)

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Tentamensskrivning, Kompletteringskurs i matematik 5B1114. Onsdagen den 18 december 2002, kl

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

7 Extremvärden med bivillkor, obegränsade områden

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 10 januari 2017

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A. r cos t + (r cos t) 2 + (r sin t) 2) rdrdt.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

TMV036 Analys och linjär algebra K Kf Bt, del C

För studenter i Flervariabelanalys Flervariabelanalys MA012B ATM-Matematik Mikael Forsberg

Tentamen MVE085 Flervariabelanalys

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Hjälpmedel: utdelad ordlista, ej räknedosa Chalmers tekniska högskola Datum: kl

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

MMA127 Differential och integralkalkyl II

1. Vi skriver upp ekvationssystemet i matrisform och gausseliminerar tills vi når trappstegsform,

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Övningstenta: Lösningsförslag

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Kontrollskrivning 1A

Kap Dubbelintegraler.

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

Tentamen i Flervariabelanalys, MVE , π, kl

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

f(x, y) = ln(x 2 + y 2 + 1). 3. Hitta maximala arean för en rektangel inskriven i en ellips på formen x 2 a 2 + y2

6. Räkna ut integralen. z dx dy dz,

INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. xy dxdy,

Uppgift 1. (3p) a) Bestäm definitionsmängden till funktionen f ( x) c) Bestäm inversen till funktionen h ( x)

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

y + 1 y + x 1 = 2x 1 z 1 dy = ln z 1 = x 2 + c z 1 = e x2 +c z 1 = Ce x2 z = Ce x Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen

Figur 1: Postföretagets rektangulära låda, definitioner.

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

Tentamen TMA044 Flervariabelanalys E2

Transkript:

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Anders Källström Prov i matematik Q Flervariabelanalys 8--1 Skrivtid: 8-1. Inga hjälpmedel. Lösningarna skall åtföljas av förklarande text/figurer. Tentand som är godkänd på duggan under kursen ska ej räkna problem 1. Varje problem ger högst 5 poäng. För betyget krävs minst 18p, för 4 eller 5 minst 5, resp p. 1. Visa att ytorna z 16 x y och 6z x + y skär varandra under rät vinkel.. Undersök om funktionen f x, y e x y + cosx + y har ett lokalt extremvärde i origo och ange i så fall dess karaktär.. Låt f vara en två gånger kontinuerligt deriverbar funktion på R. Antag att funktionen z f x + y uppfyller z xx xz x y + x + yz. Bestäm funktionen f. 4. Beräkna dubbelintegralerna a x 1 + x + y dxd y där {x, y: x + y 1, y x}. b x + ydxd y där är kvadraten med hörn i,, 6,,,6 och,. 5. En rymdkurva ges av parameterekvationerna x t, y t, z t /. Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten 1,1, på kurvan och som spänns upp av tangenten och huvudnormalen till kurvan i denna punkt det s.k. oskulerande planet. 6. Beräkna volymen av det område i z som begränsas av de båda ytorna z x + y och z x y. Ange även tyngdpunktens koordinater för detta område. 7. Bestäm det största resp. minsta värdet som funktionen f x, y, z xz + yz kan anta om x + y + z 7 och x + y + z. 8. Låt f x, y, z x y + yz + x z och g x, y, z x + yz. a Bestäm tangentplanet i 1, 1, 1 till ytan f x, y, z. b Visa att i en omgivning till 1, 1,1 definieras, genom ekvationerna f x, y, z och g x, y, z, y och z som entydiga, kontinuerligt deriverbara funktioner av x. Bestäm även tangenten till skärningen mellan ytorna f och g i 1, 1,1.

Lösningar till tentamen i Flervariabelanalys 8--1 Lösning till problem 1. Skärningskurvan mellan ytorna bestäms { z 16 x + y 6z x + y 6z 16 z z 1 4, x + y 6 4. Vinkeln mellan ytorna bestäms genom vinkeln mellan ytornas normaler fås med hjälp av gradientvektorn N 1 x + y + z x,y,1 N x + y 6z x,y, 6 vilket ger N 1 N 4x + 4y 6 på hela skärningskurvan. Ytorna skär således varandra under rät vinkel. Lösning till problem. erivering av funktionen ger f x x, y ye x y sinx + y f x, f y x, y xe x y sinx + y f y,. och Punkten, är således en kritisk punkt. Vi får andra derivatorna en kvadratiska formen i, blir nu f xx x, y y e x y cosx + y f xx, 1, f x y x, y e x y + x ye x y cosx + y f x y, f y y x, y x e x y cosx + y f y y, 1. och Qh,k f xx,h + f x y,hk + f y y,k h k vilken är negativt definit, dvs, är ett lokalt maximum. En alternativ lösning fås genom att använda MacLaurinutvecklingar av e t och cos t på följande sätt: f x, y e x y + cosx + y 1 + x y + x y x + y +... + 1 +...!! x + y + x y +... 1 x + y +... där... innehåller termer av grad högre än. Vi ser att derivatorna i origo är inga x- eller y-termer och den kvadratiska formen i, är x + y / vilket är negativt definit. Lösning till problem. Kedjeregeln på funktionen z f x + y ger z x f x + y x, z xx f x + y 4x + f x + y, z x y f x + y 1 x. etta ger insatt i den givna differentialekvationen 4x f x + y + f x + y x x f x + y + x + yf x + y f x + y + x + yf x + y

Om vi sätter t x + y så får vi differentialekvationen f t + t f t. etta är en linjär differentialekvation och lösningen fås t.ex. med integrerande faktor som d dt e t /4 f t e t /4 t f t/ + f t vilket ger e t /4 f t C eller f t Ce t /4 där C är en reell konstant. Lösning till problem 4. Vi byter till polära koordinater a Integrationsområdet ses i vidstående figur. Vi får integralen I r cosθ 1 + r rdrdθ där {r,θ: r 1, θ π/4}. Itererad integration ger nu r I 1 + r dr π/4 1 1 1 + r dr [ r arctanr ] 1 cosθ dθ π/ [ sinθ cosθdθ + ] π/ [ + sinθ π/4 π/ ] π/4 π/ cosθ dθ 1 π 1 1 + 1 + 1 1 π. 4 4 b Integrationsområdet ses i figuren. Sidolinjernas ekvationer bestäms med hjälp av hörnpunkterna och syns också i figuren. Vi gör variabelbytet { u x + y v x y vilket ger x 1 u + v y 1 u v. x y x + y x + y 9 etta ger ett område {u, v: u 9, v }. Vidare blir x + y 1 u v u + v + u v och dxd y 1/ 1/ 1/ 1/ dudv 1 dudv x y etta ger integralen u v 1 dudv 1 4 u dudv v udda, symmetriskt i v-led 1 [ u ] 9 [ ] 4 v 81 9 + 16. 8 Lösning till problem 5. Vi har rt t, t,t / /. Vi ser att r1 1,1,/. En tangentvektor i denna punkt kan fås med r 1 1,1, t 1/ t1 1,1,1. Vidare ligger r 1,, t 1/ / t1

,,1/ i det plan som genereras av tangent och huvudnormal i punkten r1 1,1,/. et sökta planets normal är således parallell med binormalen i punkten dvs, med i j k 1 1 1 1/ 1 1, 1, et sökta planets ekvation fås nu som 1, 1, x 1, y 1, z / x 1 y 1 x y. Lösning till problem 6. Skärningskurvan mellan paraboloiden z x y och konen z x +y uppfyller z z vilket ger z 1 roten z ligger inte i z. etta ger att x +y 1 på skärningen. Vi kan nu skriva den sökta volymen som V x +y 1 x y π r r rdrdθ dθ x + y d xd y π 1 1 4 1 π 1 1 4 5π 6. polära koord. r r r dr π [r r 4 4 r Av symmetriskäl ligger tyngdpunkten i,, z T där K är det givna området z T 1 zdv V Om vi sätter z 1 x + y och z x y för x + y 1 så blir K zdv x +y 1 1 π x +y 1 z dxd y z dz z 1 x +y 1 [ z ] z K z 1 dxd y x y x + y dxd y 1 r r [ t r ] rdr π dt rdr π 1 1 + 8 π + 16 11π 6 1 Således blir z T 6 5π 11π 1 11 1. rdr π ] 1 r r dθ t t dt π [ t t ] 1 Lösning till problem 7. Sätt g x, y, z x + y + z och hx, y, z x + y + z. Villkoren g 7 och h betyder geometriskt en sfär och en cirkel. Skärningen mellan sfären och planet är en cirkel, dvs en sluten begränsad mängd. Funktionen f är kontinuerlig och således antar f både ett största och ett minsta värde på cirkeln. För att bestämma de punkter där detta inträffar har vi villkoret f, g, h är linjärt beroende, dvs + z z x + y x y z 1 z x + y x y 4x z 1 4 y xz x y

Tillsammans med bivillkoren har vi ekvationssystemet Fall 1: y x ger y xz x y x + y + z 7 x + y + z { 5x + z 7 5x + z 5x + 5x 9 7 7x 9 7 x ± etta ger punkterna, 6, 5 och, 6, 5 och f 75. Fall : x + y z ger i den tredje ekvationen 6z dvs z. Nu ger x y i den andra ekvationen 5y 7 y ± 14 och x 14. Här blir f eftersom z. Vi ser att största värdet är och minsta värdet är 75. Lösning till problem 8. a Först konstaterar vi att f 1, 1,1. Vi finner nu att f 1, 1,1 y + 4xz, x + z, y + 4x z 1, 1,1,, vilket ger tangentplanets ekvation,, x 1, y + 1, z 1 x + y + z 4. b et gäller att f 1, 1,1 och g 1, 1,1. Både f och g är också kontinuerligt deriverbara. För att samtidigt kunna lösa ut y yx och z zx som funktioner av x i omgivning av x 1 så att y1 1 och z1 1 räcker det enligt implicita funktionssatsen att funktionaldeterminanten df, g i punkten 1, 1,1. dy, z df, g dy, z 1, 1,1 f y g y f z g z 1, 1,1 x + z z y + 4x z yz 1, 1,1 1 7 Tangentriktningen på skärningskurvan kan nu fås som kryssprodukten av ytnormalerna till de båda ytorna, dvs i j k T f 1, 1,1 g 1, 1,1 1 7,15, Ekvationen för tangenten blir x, y, z 1, 1,1 + t 7,15,. 5