Komplexa tal De komplexa talen används när man behandlar växelström inom elektroniken. Imaginära enheten betecknas i elektroniken med j (i, som används i matematiken, är ju upptaget av strömmen). Den definieras av j = Ett imaginärt tal är en produkt av den imaginära enheten och ett reellt tal, t.ex. j. Ett komplext tal är en summa av ett reellt och ett imaginärt tal. Om a och b är reella tal är ja ett imaginärt tal och z = a + jb e{z} = a Im{z} = b z = a + b y ett komplext tal realdelen av z imaginärdelen av z absolutbeloppet av z b z P θ a x I det komplexa talplanet kallas x axeln den reella axeln och y axeln den imaginära axeln. Ett komplext tal z = a+jb avbildas då i punkten P = (a, b). Absolutbeloppet av z är enligt Pytagoras sats längden av vektorn från origo till P. Om vi inför vinkeln θ ser vi att a = z cosθ b = z sin θ z = z (cosθ + j sin θ) (0.) Vinkeln θ kallas för argumentet av z och betecknas arg{z} = θ. Den är vald att ligga i intervallet π < θ π. Från figuren ser vi att tanθ = b/a. Genom att invertera denna relation får vi ett explicit uttryck för θ. Om a 0 ges θ av arg{z} = θ = arctan(b/a) (0.) Man kan alltid lägga till en multipel av π till θ och fortfarande uppfylla relationerna i (0.)
I viss literatur används beteckningen tan för arcus tangens. Om a 0 ges θ av (i radianer ) { π arctan(b/ a ), omb 0 arg{z} = θ = (0.3) π arctan(b/ a ) = π + arctan( b / a ), omb 0 Anledningen är att funktionen arctan endast ger värden mellan π/ och π/. I elektronikkursen kommer vi alltid se till att a 0 när vi skall skriva ett komplext tal på komplex form. Därmed kan vi alltid använda ekvation (0.) och slipper att använda ekvation (0.3). Komplexkonjugat Komplexkonjugering innebär att man byter tecken på imaginärdelen av det komplexa talet. Komplexkonjugatet av z betecknas 3 z Det är enkelt att se att z = a + jb z = a jb z z = zz = a + b = z Detta kan vi utnyttja när vi bestämmer real- och imaginärdelen av /z z = z z z = z z = a jb a + b Därmed fås { } e = z { } Im z a a + b = b a + b Polär form av ett komplext tal Skrivsättet z = a+jb kallas för rektangulär form. Genom att jämföra potensserieutvecklingarna av sin θ, cos θ och e jθ kan man visa att (detta gås igenom i matten) e jθ = cosθ + j sin θ Från ekvation (0.) ser vi att vi kan skriva ett komplext tal z = a + jb på formen z = z (cos θ + j sin θ) = z e jθ = z e jarg{z} Vi mäter oftast vinklar i radianer. elationen mellan grader och radianer är radianer=π grader/80 3 i viss litteratur betecknas komplexkonjugatet z.
3 Denna representation av z kallas för den polära formen av z. Vi ser också att z = z e jarg{z} z = z e z jarg{z} = e jarg{z} Exempel Låt z = a + jb och z = a + jb vara två komplexa tal med a > 0 och a > 0. Då gälller z z = z e jarg{z} z e jarg{z} = a + b e jarctan (b /a ) a + b e jarctan (b /a ) = (a + b )(a + b )e j(arctan (b /a )+arctan (b /a )) z a = + b z a + be j(arctan (b /a ) arctan (b /a )) Komplex representation av tidsharmoniska storheter I växelströmsläran används komplexa representationer av de tidsharmoniska strömmarna och spänningarna. En tidsharmonisk ström kan allmänt skrivas i(t) = I 0 cos(ωt + φ) Här är ω vinkelfrekvensen, vilken mäts i radianer per sekund och är relaterad till den vanliga frekvensen f via ω = πf. Strömmens amplitud är I 0 och dess fas relativt cos(ωt) är φ. Den komplexa representationen av i(t) är I = I 0 e jφ Den komplexa strömmen I innehåller information om amplitud och fas eftersom I = I 0 = amplitud arg{i} = φ = fas relativt cos(ωt) Om vi känner den komplexa strömmen I, får vi den verkliga tidsberoende strömmen i(t) genom regeln i(t) = e{ie jωt } Ett snabbare sätt att transformera från I till i(t) är att bestämma absolutbeloppet I och argumentet φ = arg{i} av I, och direkt skriva upp i(t) som i(t) = I cos(ωt+ φ). När fasen mäts relativt cos ωt säger vi att cos ωt är riktfas och att vi använder realdelskonventionen för att transformera mellan tids- och frekvensplan. Om en tidsharmonisk ström eller spänning skrivs som en sinusfunktion kan det vara praktiskt att mäta alla faser relativt sin(ωt) och därmed använda sinωt som riktfas. Vi använder då imaginärdelskonventionen för att transformera mellan tids- och frekvensplan. Den komplexa representationen av v(t) = V 0 sin(ωt + φ)
4 kan då skrivas V = V 0 e jφ För att komma tillbaks till den tidsberoende spänningen kan vi antingen utnyttja regeln v(t) = Im{V e jωt } eller så bestämmer vi absolutbeloppet V och argumentet φ = arg{v } av V och skriver direkt upp v(t) som v(t) = V sin(ωt + φ). Kommentarer De tidsharmoniska spänningarna och strömmarna uppfyller differentialekvationer vilka kan vara komplicerade att lösa. De komplexa spänningarna och strömmarna uppfyller i stället algebraiska ekvationer, vilka oftast är enkla att lösa. När man använder de tidsberoende storheterna brukar man säga att man är i tidsplanet medan man är i frekvensplanet när de komplexa storeheterna används. Vi kommer att vara betydligt mer i frekvensplanet än i tidsplanet när vi kommer in på växelström. Hambley använder ett förkortat skrivsätt för de komplexa talen på polär form. Han skriver t.ex. z = + j = e jπ/4 på formen z = 45 och mer allmänt Z = Z arg{z} där vinkeln arg{z} skrivs i grader. Hambleys skrivsätt har fördelen att det refererar till det komplexa talplanet. Problem Skriv följande komplexa tal på rektangulär form z = a + jb: a) ( + j4)(3 j5) b) j( j3) c) j j 3 + j4 d) j( j) e) (3 + j)e jπ f) e jπ/3 g) ( j)e jπ/4 h) je jπ/ i) j j
5 Skriv följande komplexa tal på polär form. ita in dem i komplexa talplanet för att kontrollera att argumentet och absolutbeloppet som du bestämt är rimliga: a) + j b) j c) j d) j e) j( j) f) j + j 3 I denna uppgift betecknar resistans, C kapacitans, ω vinkelfrekvens och L induktans. Skriv följande komplexa tal på polär form: a) + jωl b) + + jωl c) + /() 4 Bestäm med realdelskonventionen den komplexa spänningen i följande fall a) v(t) = V 0 cos(ωt + π/4) b) v(t) = V 0 sin(ωt) 5 Bestäm med imaginärdelskonventionen den komplexa strömmen i följande fall a) i(t) = I 0 sin(ωt + π/4) b) i(t) = I 0 sin(ωt + π/3) + I 0 sin(ωt)
6 6 Vinkelfrekvensen är ω, cosωt är riktfas och V 0 är reell. Bestäm den tidsberoende spänningen v(t) om den komplexa spänningen är a) V = V 0 ( + j) b) V = jv 0 c) V = V 0 + jωl d) V = V 0 + jωl j( + /()) Svar till problemen : a) 3 + j7 b) 3 + j c) j d) 7+j 4 e) 3 j f) j 3 g) h) i) e π/ ty j j = (e jπ/ ) j = e jjπ/ = e π/ : a) e jπ/4 b) e jπ/4 c) e jπ/ d) e jπ/ e) e jπ/4 f) j + j = e jπ/4 e jπ/4 = e jπ/4 e jπ/4 = e jπ/ 3: a) + (ωl) e j arctan(ωl/) b) + /(ωc) j arctan(/(ωc)) e c) + (ωl) + /(ωc) ej(arctan(ωl/)+arctan(/(ωc)) 4: a) V = V 0 e jπ/4 b) V 0 e jπ/ 5: a) I 0 e jπ/4 + j (3 = I 0 b) I 0 (e jπ/3 + ) = I 0 + j ) 3 = I 0 3e jarctan(/ 3) 6: a) V 0 cos(ωt+π/4) b) V 0 cos(ωt+π/) c) V 0 cos(ωt arctan(ωl/)) +(ωl) d) V +(ωl) 0 cos(ωt + arctan(ωl/) + arctan(/(ωc)) π/) +(/ωc) eller alternativt V +(ωl) 0 cos(ωt + arctan(ωl/) arctan(ωc)) +(/ωc)
Föreläsning 7 Hambley avsnitt 5.-4 Tidsharmoniska (sinusformade) signaler är oerhört betydelsefulla inom de flesta typer av kommunikationssystem. adio, TV, mobiltelefoner, kabel-tv, bredband till datorer mm, utnyttjar sinusformade signaler. Informationen överförs genom att modulera amplitud, frekvens eller fas. Det gäller både digitala och analoga system. Växelström i tidsdomän [5.] För att beskriva den tidsharmoniska signalen v(t) = V 0 cos(ωt + φ) används V 0 : φ : ω : T : amplitud fas vinkelfrekvens(ω = πf) perioid(t = /f) Exempel: Hushållsel För v(t) = 30 cos(00 π t 0.5) V är V 0 = 30 V 35 V, φ = 0.5 rad, ω = 00 π rad/s, f = 50 Hz, T = 0.0 s V m 300 00 v(t) 00-0.0-0.0 0.0 0.0 0.03 0.04 0.05-00 -00-300 T t Växelström i frekvensdomän [5.] Den metod som används för att analysera tidsharmoniska signaler i elektriska kretsar är jω-metoden. Den utnyttjar komplexa representationer av de tidsharmoniska spänningarna och strömmarna. Fördelen med metoden är att alla tidsderivator och tidsintegraler försvinner. Kretsar som hade lett till komplicerade differentialekvationer för de tidsberoende spänningarna och strömmarna ger algebraiska ekvationer för de komplexa spänningarna och strömmarna. Bakgrund till jω-metoden Eulers formel för komplexa tal säger att om A och α är reella tal så gäller Ae jα = A(cos α + j sin α) A cosα = e{ae jα } Det innebär att en tidsharmonisk signal med spänning v(t) = V 0 cos(ωt + φ) och ström i(t) = I 0 cos(ωt + ψ) kan skrivas v(t) = e { V 0 e j(ωt+φ)} = e { V 0 e jφ e jωt)} = e { V e jωt} i(t) = e { I 0 e j(ωt+ψ)} = e { I 0 e jψ e jωt)} = e { Ie jωt} (0.)
där V = V 0 e jφ och I = I 0 e jψ. För en kondensator gäller i(t) = C dv(t) och därmed i(t) = C dv(t) = C d e { V e jωt} } = Ce {V dejωt = e { V e jωt} För en induktans gäller v(t) = L di(t) och därmed v(t) = L di(t) = e { jωlie jωt} För en resistans gäller fortfarande Ohms lag, dvs v(t) = i(t) = e { Ie jωt}, De komplexa talen V och I kallas för den komplexa spänningen och den komplexa strömmen. Sambanden mellan komplexa strömmar och spänningar för resistans, kapacitans och induktans är därmed V = I V = jωli V = I för resistans för induktans L för kapacitans C (0.) Impedanser Sambandet mellan en komplex spänning och en komplex ström kan alltid skrivas som V = ZI där det komplexa talet Z kallas för impedans. Impedans ser alltså ut som en komplex resistans. Impedanserna för resistansen, induktansen och kapacitansen är, enligt ekvation (0.) resistor Z = jωl induktans kapacitans Strömmen skall som vanligt gå in vid + och ut vid -, som i figuren nedan
3 Tidsdomän d jω Frekvensdomän i(t) v(t) + - v(t) = i(t) I V + - V = I i(t) + v(t) L - v(t) = L di(t) I V + - jωl V = jωli v(t) i(t) + - C C dv(t) = i(t) I V + - V = I Kommentar: eglerna för seriekoppling och parallellkoppling av resistanser gäller även för impedanser. Två seriekopplade impedanser Z och Z ger impedansen Z + Z. Två parallellkopplade impedanser ger impedansen Z = Z Z Z + Z. På samma sätt kommer alla andra metoder som gäller för resistiva nät också att gälla för de komplexa spänningarna och strömmarna, t.ex., nodanalys, spänningsdelning, strömgrening och Theveninekvivalenter. jω-metoden [5.4] Inför komplexa spänningar och strömmar enligt transformationsregeln i ekvation (0.) v(t) = V 0 cos(ωt + φ) V = V 0 e jφ Notera att absolutbeloppet V = V 0 är amplituden för sinussignalen och argumentet arg{v } = φ är fasvinkeln relativt cos ωt. äkna med de komplexa spänningarna och strömmarna på exakt samma sätt som för resistiva nät. Istället för Ohms lag v = i används V = ZI. När man räknat färdigt och fått fram en komplex spänning eller ström kan motsvarande tidsuttryck bestämmas. Det görs genom att först skriva den komplexa spänningen (eller strömmen) på polär form, d.v.s. V = V e jarg{v }. Tidsuttrycket ges då av v(t) = V cos(ωt + arg{v }) (0.3)
4 Phasors [5.] Hambley, och en del andra böcker, inför begreppet phasor. En phasor motsvarar den komplexa strömmen eller spänningen. Istället för att representera den tidsharmoniska signalen v(t) = V cos(ωt+φ) med det komplexa talet V = V e jφ använder Hambley phasor-representationen V = V φ. Det markerar på ett tydligt sätt att amplituden är V och fasen relativt cosωt är φ. Phasors är inte ett vedertaget begrepp inom andra områden av fysiken där jω-metoden används. Av denna anledning används inte phasors i kursen. Impedans, admittans, resistans och reaktans [5.3] Sambandet mellan den komplexa spänningen och strömmen är som sagt V = ZI där Z = för resistansen, Z = jωl för induktansen och Z = / för kapacitansen. Sambandet V = ZI gäller även för flera kretskomponenter. Följande gäller för impedansen för en passiv tvåpol (dvs en tvåpol som saknar källor, eller där alla oberoende källor är nollställda): V = ZI Z = + jx = impedansen = e{z} = resistansen X = Im{Z} = reaktansen I + V - Z I = Y V Y = G + jb = admittansen G = e{y } = konduktansen B = Im{Y } = susceptansen Begreppen impedans, resistans och reaktans är mycket vanliga och dessa skall alla kunna. Exempel: C krets med tidsharmonisk källa C-kretsen till höger drivs av spänningskällan med v in (t) = V 0 cos(ωt). Bestäm spänningen v(t) som funktion av tiden. v in (t) + C + v(t) Lösning Vi använder jω-metoden för att bestämma strömmarna. Detta sker i tre steg
5 : Transformation till frekvensdomänen Spänningarna v in (t) och v(t) motsvaras i frekvensdomänen av V in och V där v in (t) = e{v in e jωt } = V 0 cos(ωt) = e{v 0 e jωt } V in = V 0 v(t) = e{v e jωt } V Kretsschemat i frekvensdomänen ges i figuren till höger. Observera att man anger impedansen för kapacitansen. V in + + V : Bestämning av den komplexa spänningen V. Spänningsdelning i frekvensdomänen ger V = V 0 + = V 0 + Den komplexa spänningen skrivs på polär form för att kunna transformeras tillbaka till tidsdomänen (se häftet om komplexa tal) V = V 0 arctan(ωc) e j + (ωc) 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls enligt definitionen ovan. Detta ger v(t) = e{v e jωt } = e{ + (ωc) e j arctan(ωc) e jωt } = = V 0 V 0 + (ωc) e{ej(ωt arctan(ωc)) } V 0 cos(ωt arctan(ωc)) + (ωc) Vi kan snabba upp punkt 3 genom att utnyttja att en komplex spänning V = V e jφ ger den tidsberoende spänningen v(t) = V cos(ωt + φ). Absolutbeloppet av V är V V = 0 och argumentet är φ = arctan(ωc). +(ωc) Observera att det är viktigt att kunna transformera komplexa tal från rektangulär till polär form. Om du känner dig osäker bör du repetera det som står i häftet om komplexa tal.
6 Imaginärdelskonventionen När man transformerar mellan tids- och frekvensplanet genom att använda regeln i ekvation (0.3) använder man den så kallade realdelskonventionen. Om en given ström eller spänning har tidsberoendet sinωt är det lämpligt att ha sinωt som riktfas. Denna konvention kallas imaginärdelskonventionen och ges av v(t) = Im{V e jωt } och i(t) = Im{Ie jωt } där V och I är komplexvärderna till ögonblicksvärdena v(t) och i(t). Tidssignalen v(t) = V 0 sin(ωt + φ) transformeras på följande sätt: v(t) = Im{V e jωt } = V 0 sin(ωt + φ) = Im{V 0 e j(ωt+φ) } = Im{V 0 e jφ e jωt } V = V 0 e jφ eal- och imaginärdelskonventionen skiljer sig endast åt vid tranformationen mellan tids- och frekvensplanet. Kommentar: Hambley använder endast realdelskonventionen. Exempel Bestäm strömmen i (t) då i(t) = I 0 sin(ωt + φ). i(t) C i (t) Lösning Vi använder jω-metoden för att bestämma strömmen. Detta sker i tre steg : Transformation till frekvensdomänen (jω-domänen eller jω-planet). Imaginärdelskonventionen ger strömmarna i frekvensdomänen i(t) = Im{Ie jωt } = I 0 sin(ωt + φ) = Im{I 0 e j(ωt+φ) } = Im{I 0 e jφ e jωt } I = I 0 e jφ i (t) = Im{I e jωt } I Den ekvivalenta frekvensdomänkretsen ges i figuren till höger. I I
7 : Beräkning av strömmen i frekvensdomänen (komplexvärden). Strömgrening ger I = + I = I + = I 0e jφ + Vi skriver komplexvärderna på polär form för att kunna transformera tillbaka till tidsdomänen I = I 0e jφ + = I 0 e jφ + (ωc) e jarctan(ωc) = I 0 + (ωc) ej(φ arctan(ωc)) 3: Transformation tillbaka till tidsdomänen. Tidsdomänstorheterna erhålls m.h.a. Im-konventionen enligt definitionen ovan. Detta ger i (t) = Im{I e jωt } = Im{ I 0e j(φ arctan(ωc)) e jωt } = I 0 Im{e j(ωt+φ arctan(ωc)) } + (ωc) + (ωc) = I 0 sin(ωt + φ arctan(ωc)) + (ωc) Vi kan snabba upp punkt och 3 genom att utnytta att en spänning v(t) = V 0 sin(ωt + φ) ger, med imaginärdelskonventionen, den komplexa spänningen V = V 0 e jφ och att den komplexa strömmen I = I e jα ger den tidsberoende strömmen i(t) = I sin(ωt + α).