Teori: F = ma Dessutom gäller, som i statien, Newtons 3: lag! Newtons lagar 1. Tröghetslagen: En ropp utan yttre raftpåveran förblir i sitt tillstånd av vila eller liformig, rätlinjig rörelse.. Accelerationslagen: En ropp som påveras av raften * F får en acceleration a sådan att F = m a, där onstanten m är roppens massa. Eller: Ändringen per tidsenhet av en ropps rörelsemängd är proportionell mot den verande raften och ligger i dennas ritning. 3. Lagen om veran och motveran: Mot varje raft svarar en annan lia stor och motsatt ritad raft, så att de ömsesidigt mellan två roppar verande rafterna alltid är lia stora och motsatt ritade. P. Carlsson 1
Vad säger egentligen Newtons :a lag? Upprepade försö har visat F a där C är en onstant. 1 1 F F3 = = =... = a a 3 F a n = n C a Konstanten C är ett mått på partielns motstånd mot rörelseförändring eller partielns tröghet. Med lämpligt val av enheter (m, N etc.) visar sig onstanten C vara lia med föremålets massa. Vi får då den vanliga formuleringen F = ma Som vi senare sa se är denna lag så generell att den även gäller för t.ex. roterande roppar med ice försumbar utsträcning. Den får då formen: F = ma där a står för tyngdpuntens acceleration. Ev. rotation av roppen besrivs m.h.a. momentevationen som vi ommer till senare. P. Carlsson
Trög och tung massa Man inser att en ropps massa an mätas på två principiellt olia sätt. Genom att väga roppens t.ex. vid jordytan och på så sätt få fram den tunga massan (med hjälp av allmänna gravitationslagen). Genom att utsätta roppen för en änd raft och mäta dess acceleration. Denna beräning ger den tröga massan. Observera att det är ingenting som på förhand säger att dessa massor sa vara lia stora, men de är alltid proportionella med varandra, och med lämpliga enheter är den tröga och tunga massan är lia stora. Kraftlagen vid rätlinjig rörelse Med lämpligt val av oordinatsystem får raftlagen följande utseende vid rätlinjig rörelse: Ex 1. Fx = Fy = 0 ( Fz = 0) ma En 75 g:s man står på en våg i en hiss. Under de tre första seunderna av rörelse från vila är dragraften T i hisslinan 8300 N. Hur stor raft R ommer vågen (som mäter i N) att visa under denna acceleration, och hur stor hastighet har hissen efter de tre seunderna? Hiss, våg och man har en sammanlagd vit av 750 g. Svar: R = 830 N, v = 3,78 m/s x P. Carlsson 3
Ex. Studera en 60 g:s utförsåares acceleration och hastighet i en bace med onstant lutning Θ, dels om man försummar luftmotståndet och dels om man tar hänsyn till det. Inga yttre rafter utöver tyngdraften påverar hennes rörelse. Luftmotståndet R fås ur sambandet R = v där är positiv en onstant och v hastigheten. Hur stor blir gränshastigheten när man tar med luftmotståndet i beräningen? Låt Θ = 40 o, frition mellan snö och sida μ = 0.05 och = 0.5 m -1. Har en tyngre åare en fördel vid glidning jämfört med en lättare när man tar 1 hänsyn till luftmotståndet? Enligt tidigare är R = AP v CD ρ där A P är den projicerade arean i rörelseritningen, v är hastigheten, C D är en onstant som representerar strömlinjeformen och ρ är mediets densitet. Svar: Utan luftmotstånd får vi den onstanta acc. a = g(sin Θ μ cos Θ), v gt(sin Θ μ cos Θ) = Med luftmotstånd får vi den ice onst. acc. a = g(sin Θ μ cos Θ) mg Gränshastighet v fås när a = 0, dvs. då v = (sin Θ μ cos Θ) För åare 1 och med olia roppsstorlear fås förhållandet mellan deras gränshastigheter ur uttrycet v1 v m = m 1 1 6 m v P. Carlsson 4
Inertialsystem Det an vera som om Newtons första lag är överflödig eftersom man an samma information ur andra lagen om vi i den använder oss av att v = onst. Vi får då nämligen: dv F = m a = m = 0 dt vilet ju är detsamma som jämvitsvilloret i statien. Första lagen an doc ses som en definition av ett s.. intertialsystem, ett system där tröghetslagen gäller. Det visar sig ocså att det är omöjligt att meanisa experiment silja mellan vila och liformig rörelse. Man an heller inte hävda att en ensild inertialram är mer rätt än en annan. Konstant hastighet (inertialsystem): Den fritt hängande bollen i lastbilen uppför sig helt normalt, både för iattagaren i lastbilen och för den stillastående iattagaren utanför. P. Carlsson 5
Accelererad rörelse (ej inertialsystem): För en yttre, stillastående iattagare är det förlarligt att bollen pendlar ut under accelerationen, för den inre iattagaren änns det som om en raft drar allt mot lastutrymmets bare vägg. Newtons lagar gäller inte för personen inne i lastbilen! Ex 3. Vilen vinel Θ ommer den fritt hängande ulan att bilda med vertiallinjen om järnvägsvagnen accelererar med en jämn acceleration a som visas i figuren? a Svar: a Θ = arctan g P. Carlsson 6
Kraftlagen vid rolinjig rörelse Här, lisom i inematien, underlättas problemlösningen om vi håller oss till de naturliga n- och t-ritningarna (normal- och tangentialritningarna). Om t.ex. r är röningsradien för urvan vid punt B ser raftevationerna ut på följande sätt för en partiel med massan m i det läget: F F t n = ma t = ma n v = m r = mrω där v är partielns hastighet i B och ω är dess vinelhastighet runt den tänta cirelns centrum. Det går alltså åt en raft F n för att partieln sa följa urvans röning vid exempelvis B! I exemplet nedan tvingar en hand pucen att följa en cirelbana genom att hela tiden lägga raften F i normalens ritning. P. Carlsson 7
Alternativt an handen ersättas med ett snöre som håller pucen i banan. För rafterna i de båda fallen gäller förstås att F = S (förutsatt att rörelsen ser med samma hastighet och att radien är densamma). Kom alltså ihåg att rörelse i en röt bana alltid räver en acceleration tvärs rörelseritningen, dvs. i rörelsens normalritning, och att det rävs en raft för att åstadomma den accelerationen! (F n = ma n ). Finns det verligen inte centrifugalrafter? Om det inte finns centrifugalrafter, vad är det då för en raft som föraren av bilen änner av under urvan? Vilen raft är det som får orgarna att slungas ut under rotationen? P. Carlsson 8
Ex 4. I ett avsnitt av en sidbace finns formationer enligt figur. Om en 75 Kg:s sidåare ommer till punt A med 75 m/h, hur många gånger större raft än sin egen tyngd måste han bära upp i det läget? Hur stor är den största hastighet åaren an ha när han passerar B utan att hoppa? Frition mellan sidor och snö försummas. Åarens tyngdpunt befinner sig 1 m ovanför snön. 90 m 135 m Svar: Öad tyngd i svacan vid A är 1,5 ggr, max hast. i B är 13 m/h. Ex 5. Under en cyeltävling ommer åarna in i en urva med röningsradien ρ = 30 m. Beräna hur stor hastighet åarna maximalt an ha om fritionen mot vägbanan är nedsatt efter en regnsur och μ s = 0,4. Hur stor vinel Θ får cylisterna luta sig inåt under urvan för att hålla balansen? Svar: v max = 39 m/h, Θ = 1,8 o P. Carlsson 9
Varning för jämvitstänande vid lösning av dynamisa problem! Ex 6. En lättrörlig ropp på ett bord accelereras genom förbindelse med en lia tung, fritt hängande ropp. Hur stor (gemensam) acceleration a får ropparna, och hur stor blir linraften S under den accelererade rörelsen? Svar: a= 0,5g, S = ma = 0,5mg P. Carlsson 10