HiH / Georgi Tchilikov ENVARIABELANALYS 5p för LGr&LGy 8 augusti, 9.-. Hjälpmedel: Bifogat formelblad. Miniräknare, dock endast för test och kontroll av resultat. Betygsgränser: p. för Godkänd, 8p. för Väl Godkänd (av ma. 5) Redovisa och motivera lösningarna väl.. Förklara, utifrån definitioner, trigonometriska samband samt det faktum att π π6, varför följande likhet måste gälla eakt : arccos p + π. Är funktionen f () ½ e /, då >, då (a) kontinuerlig i? (b) deriverbar i? (p) (p). Man vill med staket avgränsa en rektangulär markyta, samt indela denna i tre lika stora delar så här: Den totala arean skall vara km, förhållandet mellan bas och höjd får man dock välja fritt vad skall det vara för att den totala staketlängden ska minimeras? 4. Har ekvationen ln k lösning för varje reellt tal k? För vilka k finns lösningar och hur många är de i förekommande fall? Tips: Skriv om till och skissa vänsterledets graf. ln k V.G.V.
5. Beräkna (utan miniräknare) Vad säger du om ln d ln d? (Den integralen är litet speciell på vilket sätt?) (p) 6. Hur skall talet a väljas för att det ändliga området som begränsas av -aeln och kurvan y a ska generera lika stora volymer, när det roteras kring - resp. y-aeln? (4p) 7. I ett 6 m stort rum börjar vid en viss tidpunkt giftig rök att utvecklas. Genast startar man fläktar så att varje minut ersätts.6 m av den förorenade luften med frisk sådan. Säkerhetsgränsen för den giftiga substansen i röken ligger på.5 mg/m. Man uppskattar att rökutvecklingen producerar. mg/minut. Kommer gränsvärdet att överskridas (om man nu inte gör något mer åt saken) och i så fall hur länge dröjer det? (a) Vad kan du säga som svar på de här frågorna, utan att tillgripa mer än grundskolematematik och sunt förnuft? (b) Vadfårmanmedendifferentialekvationsmodell för förloppet? (Antag att den giftiga röken omedelbart fördelas jämnt över rummet.) (p) SLUT!
GT EnvariabelANALYS, 5p., 88 LÖSNINGAR. Likheten är ekvivalent med påståendet att π/ skulle vara den vinkel i intervallet [, π], vars cos-värde är vänsterledet. Att π/ [, π] är klart, återstår alltså att visa att cos π p + Som bekant (betrakta en halv liksidig triangel) Allmänt gäller Alltså cos π 6 cos cos r cos ± ( + cos ) cos r ± ( + cos ) cos π r ³ +cos π 6 v à u t! + s + p +. a) Ja, eftersom f (), när Att f (), när från vänster, är klart: Att f () för e /, när + inses av att / +, såatt / och e, när. b) Ja, eftersom f () f () lim eisterar. När < är kvoten och när >, är kvoten. Låt Gäller att Undersök e / te t t e t Sätt t + t y den i figuren vertikala sidan den horisontella sidan minimera +4y då y f () +4 f () 4 så följer att minimum antas då y p / y
4. ln är definierad endast för >. Sätt f () ln, > Derivatan f () ln ln välar tecken från + till i e : -.5 - -.5 - e f f % e & 4 5 Antalet rötter till f () k är antalet skärningspunkter mellan grafen y f () och räta linjen y k Ur figur och tabell avläser vi: k>/e : inga rötter k /e : rot <k</e : rötter k : rot 5. Partiell integration med en tänkt :a ger primitiv funktion ln d ln d ln d ln + C ln d [ ln ] ln ( ) ln Iochmedattln, när, är det inte uppenbart om ln d överhuvudtaget eisterar (är ett väldefinierat tal) integralens definition förutsätter en begränsad integrand. I ett fall som detta avser man lim a + a ln d om nu detta gränsvärde eisterar. Det gör det: När a +, så har vi [ ln ] a a ln a + a ++ (Det icke-triviala standardgränsvärdet lim ln + kommer in här.) Därför skriver vi ln d 4
6. a π a a d π a d a a d a d a 4 a + 4 d a 4 a + 5 5 a 4 a 5 a5 + 5 a5 4 a4 8 5 a 4 a 5 a d a a Volymen vid rotation kring y-aeln har ovan erhållits genom uppdelning i tunna cylindriska skal: π a d πa4 Alternativt kan vi tänka oss indelning i cirkulära skivor, fast skivor som är vinkelräta mot y- aeln (- ochy-alarna byter roll jämfört med standardsättet att illustrera skivformeln): π dy π a y dy π a y y a πa4 7. a) Koncentrationen k (t) av det giftiga ämnet kommer att öka så länge produktionen är större än bortförseln:. mg/min >.6 m /min k (t) k (t) <. mg/m När koncentrationen kommit upp i. mg/m inträder jämvikt: det produceras lika mycket giftig substans som det bortförs. Gränsvärdet kommer alltså att överskridas. Koncentrationen.5 mg/m svarar mot 6 m.5 mg/m 9. mg giftig substans i rummet totalt. Utan någon ventilation alls, är vi uppe i den mängden efter 9. mg. mg/min 45min Ventilationen fördröjer ökningen, så vi bör ha mer än 45 min på oss innan gränsvärdet överskrids. b) Låt y (t) den totala mängden giftig substans i rummet 6k (t) y (t)..6 y (t) 6, y() y +.t. y (t) Ce.t +, y() y (t) e.t ger mycket riktigt att k (t) y (t) %. mg/m 6 6 och tiden det tar innan gränsvärdet överskrids fås ur 6 e.t.5 e.t.45.55 e.t t ln.55 6 minuter Mycket riktigt något mer än 45 minuter. 5