Kapitel 3 Numeriska beräkningar 3-1 Före beräkning 3-2 Differentialräkning 3-3 Räkning med kvadratiska differentialer 3-4 Räkning med integraler 3-5 Beräkning av maximi/minimivärde 3-6 Summaberäkningar (Σ)
3-1 Före beräkning Det följande beskriver posterna som återfinns på menyerna som används för beräkningar med lösningar, differentialer/kvadratiska differentialer, integraler, maximi/minimivärden och Σ. Sid. 27 Uppvisa alternativmenyn på skärmen och tryck på 4 (CALC) för att uppvisa funktionsanalysmenyn. Posterna på denna meny används för att utföra specifika typer av beräkningar. {Solve}/{d/dx}/{d 2 /dx 2 }/{ dx}... beräkning med {lösning}/{differential}/ {kvadratisk differential}/{integration} {FMin}/{FMax}/{Σ(}... beräkning med {minimivärde}/{maximivärde}/ {Σ (sigma)} Lösningsberäkningar Följande syntax gäller för användning av lösningsfunktion i ett program. Sid. 394 Sid. 107 Solve( f(x), n, a, b) Övre gräns Nedre gräns Ursprungligt uppskattat värde ` Två olika inmatningsmetoder kan användas för lösningsberäkningar: direkttilldelning och inmatning av variabeltabell. Med direkttilldelningsmetoden (som beskrivs här) tilldelar du värden direkt till variablerna. Denna typ av inmatning är densamma som vid användning av lösningskommandot i läget PRGM. Inmatning av variabeltabell används med lösningsfunktionen i läget EQUA. Denna inmatningsmetod rekommenderas för de flesta normala lösningsfunktioner. 54
3-2 Differentialräkning [OPTN]-[CALC]-[d/dx] Utför differentialräkning genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan mata in värdena i formeln nedan. 2(d/dx) f(x),a,a x) d d/dx ( f (x), a, Ax) f (a) dx ökning/minskning av x Punkten för vilken du vill bestämma derivatan Differentialen för denna typ av beräkning definieras som: f (a + Ax) f (a) f '(a) = lim Ax 0 Ax I denna definition ersätts oändligt liten av ett tillräckligt litet Ax, med ett ungefärligt värde på f ' (a) beräknat som: f (a + Ax) f (a) f '(a) Ax För att sörja för bästa möjliga exakthet använder sig enheten av en centraldifferens för att utföra differentialkalkyler. Det följande illustrerar centraldifferensen. A A A A A A A Lutningarna för punkt a och punkt a + Ax, och för punkt a och punkt a Ax i funktionen y = f(x) är följande: f (a + Ax) f (a) Ay f (a) f (a Ax) y =, = Ax Ax Ax x I det ovanstående kallas Ay/Ax för framdifferens, medan y/ x är bakdifferens. Vid beräkning av derivata tar enheten medeltalet mellan värdet av Ay/Ax och y/ x, och sörjer därmed för att derivata blir mera exakta. 55
3-2 Differentialräkning Detta medeltal, som kallas centraldifferensen, uttrycks som: 1 f (a + Ax) f (a) f (a) f (a Ax) f '(a) = + 2 Ax Ax f (a + Ax) f (a Ax) = 2Ax uatt utföra differentialkalkyl Exempel Bestäm derivata vid punkten x = 3 för funktionen y = x 3 + 4x 2 + x 6, när ökningen/minskningen hos x definieras som Ax = 1E 5 Mata in funktionen f(x). AK4(CALC)2(d/dx)vMd+evx+v-g, Mata in punkt x = a för vilken du vill bestämma derivata. d, Mata in Ax, vilken är ökningen/minskningen för x. be-f) w I funktionen f(x) kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Inmatning av Ax och en slutparentes kan utelämnas. Om du utelämnar Ax kommer räknaren automatiskt att använda ett värde för Ax som passar det derivatvärde som du försöker bestämma. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. 56
Differentialräkning 3-2 k Hur differentialkalkyler tillämpas Differentialer kan adderas, subtraheras, multipliceras eller divideras med varandra. Följaktligen: d d f (a) = f '(a), g (a) = g'(a) dx dx f '(a) + g'(a), f '(a) g'(a) o.s.v. Resultat av differentialkalkyler kan användas vid addition, subtraktion, multiplikation och division samt i funktioner. 2 f '(a), log ( f '(a)) o.s.v. Funktioner kan användas i valfri term ( f (x), a, Ax) hos en differential. d (sinx + cosx, sin0,5) o.s.v. dx Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en differentialberäkningsterm. Ett tryck på A under beräkning av en differential (medan markören ej visas på skärmen) avbryter beräkningen. Utför alltid trigonometriska differentialer med radianer (läget Rad) som vinkelenhet. 57
3-3 Räkning med kvadratiska differentialer [OPTN]-[CALC]-[d 2 /dx 2 ] Uppvisa funktionsanalysmenyn och mata sedan in kvadratiska differentialer med ett av följande två format. 3(d 2 /dx 2 ) f(x),a,n) d 2 d 2 ( f (x), a, n) f (a) dx 2 dx 2 Slutgräns (n = 1 till 15) Differentialens koefficientpunkt Räkning med kvadratiska differentialer framställer ett ungefärligt differentialvärde med hjälp av följande differentialformel av andra ordningen, vilken är baserad på Newtons polynomtolkning. f(x 2h) + 16 f(x h) 30 f(x) + 16 f(x + h) f(x + 2h) f''(x) = 12h 2 I detta uttryck beräknas tillräckligt små ökningar av x i ordningsföljd med följande formel, där värdet av m ersätts som m = 1, 2, 3 o.s.v. 1 h = 5 m Räkningen är avslutad när värdet av f"(x) baserat på värdet av h beräknat med det sista värdet för m, samt värdet av f"(x) baserat på värdet av h beräknat med det nuvarande värdet för m, är identiska innan den övre siffran n nås. Normalt sett ska du inte mata in något värde för n. Vi rekommenderar att du matar in ett värde för n enbart när det krävs för räkningens exakthet. Inmatning av ett större värde för n leder inte automatiskt till större exakthet. uatt utföra räkning av en kvadratisk differential Exempel Bestäm den kvadratiska differentialens koefficient vid punkten där x = 3 för funktionen y = x 3 + 4x 2 + x 6 Här använder vi ett slutgränsvärde på n = 6. Mata in funktionen f(x). AK4(CALC)3(d 2 /dx 2 ) vmd+ evx+v-g, 58
Räkning med kvadratiska differentialer 3-3 Mata in 3 som punkt a, vilken är differentialens koefficientpunkt. d, Mata in 6 som n, vilken är slutgränsen. g) w I funktionen f(x) kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Inmatning av slutgränsvärdet n och en slutparentes kan utelämnas. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. k Tillämpning av kvadratiska differentialer Aritmetiska operationer kan utföras med två kvadratiska differentialer. Följaktligen: d 2 d 2 f (a) = f ''(a), g (a) = g''(a) dx 2 dx 2 f ''(a) + g''(a), f ''(a) g''(a) o.s.v. Resultatet av räkning med kvadratisk differential kan användas i en efterföljande aritmetisk beräkning eller funktionsberäkning. 2 f ''(a), log ( f ''(a) ) o.s.v. Funktioner kan användas inom termerna ( f(x), a, n ) hos ett kvadratiskt differentialuttryck. d 2 (sin x + cos x, sin 0,5) o.s.v. dx 2 Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en kvadratdifferentialberäkningsterm. Använd endast heltal från 1 till 15 för slutgränsvärdet n. Ett värde utanför detta omfång framställer ett fel. Pågående beräkning av kvadratisk differential kan avbrytas med ett tryck på tangenten A. Använd alltid radianer (läget Rad) som enhet för vinkelmätning när du utför räkning av trigonometriska kvadratiska differentialer. 59
3-4 Räkning med integraler [OPTN]-[CALC]-[ dx] Utför integralräkning genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan mata in värdena i formeln nedan. Gauss-Kronrods regel 4( dx) f(x), a, b, tol ) ( f(x), a, b, tol) b f(x)dx a Tolerans Slutpunkt Startpunkt Formeln vbaf a b f(x)dx för areans beräkning Simpsons regel 4( dx) f(x), a, b, n ) ( f(x), a, b, n) a b f(x)dx, N = 2 n Antal indelningar (värde för n i N = 2 n, n är ett heltal från 1 till 9) Slutpunkt Startpunkt Såsom framgår av illustrationen ovan utförs integralberäkningar genom att räkna ut integralvärden från a till b för funktionen y = f (x) där a < x < b, och f (x) > 0*. Detta räknar ut ytan på det skuggade området i illustrationen. * När f (x) < 0 på a < x < b, kommer beräkningen av ytan att framställa ett negativt värde (yta under x-axeln). k Att ändra metod för integralberäkning Sid.6 Denna räknare använder antingen Gauss-Kronrods regel eller Simpsons regel för att utföra integralberäkning. Välj metod genom att visa uppsättningsskärmen och välja Gaus (Gauss-Kronrods regel) eller Simp (Simpsons regel) för integralposten (Integration). Alla förklaringar i denna bruksanvisning använder Gauss-Kronrods regel. 60
Räkning med integraler 3-4 uatt utföra integralkalkyl Exempel Utför integralberäkning för funktionen nedan med en tolerans på tol = 1E - 4 5 (2x 2 + 3x + 4) dx 1 Mata in funktionen f (x). AK4(CALC)4( dx)cvx+dv+e, Mata in startpunkten och slutpunkten. b,f, Mata in toleransvärdet. be-e)w I funktionen f(x), kan endast X användas som variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m. Z, r, θ) behandlas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat variabeln tillämpas under beräkningen. Det går att utelämna inmatning av tol i Gauss-Kronrods regel, n i Simpsons regel och slutparentes för båda reglerna. Om tol utelämnas använder räknaren automatiskt 1E - 5. Ifråga om n väljer räknaren automatiskt det lämpligaste värdet. Integrationsberäkningar kan ta ganska lång tid i anspråk. k Hur integralkalkyl tillämpas Integraler kan användas i addition, subtraktion, multiplikation eller division. b d f(x) dx + a c g(x) dx o.s.v. Resultat av integralkalkyler kan användas i addition, subtraktion, multiplikation eller division, samt i funktioner. 2 a b f(x) dx o.s.v. log ( a b f(x) dx) o.s.v. Funktioner kan användas i var och en av termerna ( f(x), a, b, n) i en integral. cos 0,5 (sin x + cos x) dx = (sin x + cos x, sin 0,5, cos 0,5, 5) sin 0,5 Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en integralberäkningsterm. 61
3-4 Räkning med integraler Ett tryck på A under beräkning av en integral (medan markören ej visas på skärmen) avbryter beräkningen. Vid trigonometrisk integralkalkyl måste radian (läget Rad) alltid anges som vinkelenhet Faktorer såsom typen av funktion som används, positiva och negativa värden inom divisioner och division där integrering utförs kan orsaka betydande fel i integralvärdena och ge felaktiga räkneresultat. Observera det följande för att få fram korrekta värden vid integralkalkyler. (1) När periodiska funktioner för integralvärdena blir positiva eller negativa för olika delar: Dela upp räkningen genom att räkna ut värdena för en period eller dela upp i negativa och positiva grupper. Addera sedan ihop delsvaren. Positiv delt (S) Negativ del (S) b c b f(x)dx = f(x)dx + ( f(x)dx) a c a Positiv delt (S) Negativ del (S) (2) När ringa variationer i intervalldelar blir anledning till stora variationer i värdena: Beräkna delarna individuellt (dela upp områdena med stora variationer i mindre delar) och addera sedan ihop svaren. b x1 x2 b f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx +...+ f(x)dx a x1 x4 a 62
3-5 Beräkning av maximi/minimivärde [OPTN]-[CALC]-[FMin]/[FMax] Uppvisa funktionsanalysmenyn och mata in maximi/minimiberäkningar med formaten nedan för att lösa maximum och minimum för en funktion inom intervallet a < x < b. uminimivärde 6(g)1(FMin) f(x), a, b, n ) umaximivärde 6(g)2(FMax) f(x), a, b, n ) uatt utföra beräkning av maximi/minimivärde Exempel 1 Bestäm minimivärdet för intervallet som definieras av startpunkten a = 0 och slutpunkten b = 3, med en exakthet på n = 6 för funktionen y = x 2 4x + 9 Mata in f(x). AK4(CALC)6(g)1(FMin) vx-ev+j, Mata in intervallet a = 0, b = 3. a,d, Mata in exaktheten n = 6. g) w Exakthet (n = 1 till 9) Intervallets slutpunkt Intervallets startpunkt Exakthet (n = 1 till 9) Intervallets slutpunkt Intervallets startpunkt 63
3-5 Beräkning av maximi/minimivärde Exempel 2 Bestäm maximivärdet för intervallet som definieras av startpunkten a = 0 och slutpunkten b = 3, med en exakthet på n = 6 för funktionen y = x 2 + 2x + 2 Mata in f(x). AK4(CALC)6(g)2(FMax) -vx+cv+c, Mata in intervallet a = 0, b = 3. a,d, Mata in exaktheten n = 6. g) w I funktionen f(x), kan enbart X användas som en variabel i uttryck. Övriga variabler (A t.o.m Z, r, θ) betraktas som konstanter, och värdet som nu är tilldelat denna variabel tillämpas under beräkningen. Inmatning av n och en slutparentes efter värdet för exakthet kan utelämnas. Diskontinuerliga punkter eller delar med stora fluktuationer kan påverka precisionen negativt eller tom. förorsaka ett fel. Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, integration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en maximi/ minimiberäkningsterm. Om du matar in ett större värde för n minskar det felmarginalen i beräkningen, men det ökar också den tid som behövs för att genomföra beräkningen. Värdet som inmatades för intervallets slutpunkt (b) måste vara större än värdet som inmatades för startpunkten (a). I annat fall uppstår ett fel. Pågående beräkning av maximi/minimivärde kan avbrytas med ett tryck på tangenten A. Du kan mata in ett heltal inom omfånget 1 till 9 för värdet n. Om du använder ett värde utanför detta omfång kommer det att förorsaka fel. 64
3-6 Summaberäkningar (Σ) [OPTN]-[CALC]-[Σ(] Utför beräkningar med Σ genom att uppvisa funktionsanalysmenyn och sedan inmata värdena i formeln nedan. 6(g)3(Σ() ak, k, α, β, n ) Avstånd mellan delningar Sista termen för sekvens ak Första termen för sekvens ak Variabel som används av sekvens ak Σ (ak, k, α, β, n) Σ ak k = α β Σ-beräkning är beräkningen av delsumman av sekvens ak, med hjälp av följande formel. S = aα + aα+1 +...+ aβ = Σ ak β k = α k Exempel på Σ-beräkning Exempel Beräkna det följande: 6 Σ (k2 3k + 5) k = 2 Använd n = 1 som avstånd mellan delningar. Mata in sekvens ak. AK4(CALC)6(g)3(Σ()aKx-daK+f, Mata in variabel som används av sekvens ak. ak, Mata in den första termen för sekvens ak och sista termen för sekvens ak. c,g, Mata in n. b) w 65
3-6 Summaberäkningar (Σ) Det går bara att använda en variabel i funktionen för den inmatade sekvensen ak. Mata bara in heltal för den första termen för sekvens ak och den sista termen för sekvens ak. Inmatning av n och en slutparentes kan utelämnas. Om n utelämnas använder räknaren automatiskt n = 1. k Tillämpning av Σ-beräkningar Aritmetiska operationer med Σ-beräkningsuttryck Uttryck: Möjliga operationer: n n Sn = Σ ak, Tn = Σ bk k = 1 k = 1 Sn + Tn, Sn Tn o.s.v. Aritmetiska och funktionsoperationer som använder Σ räkneresultat. 2 Sn, log (Sn) o.s.v. Funktionsoperationer med Σ-beräkningstermer (ak, k) Σ (sink, k, 1, 5) o.s.v. Lägg märke till att du inte kan använda lösning, differential, kvadratdifferential, intergration, maximi/minimivärde eller ett Σ beräkningsuttryck inuti en Σ beräkningsterm. Kontrollera att värdet som används för den sista termen β är större än värdet för den första termen α. I annat fall uppstår ett fel. Avbryt en pågående Σ-beräkning (när markören inte återfinns på skärmen) med tangenten A. 66