TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 12 Martin Enqvist Reglerteknik Institutionen för systemteknik Linköpings universitet
Föreläsningar 1 / 15 1 Inledning, grundläggande begrepp. 2 Matematiska modeller. Stabilitet. PID-reglering. 3 Specifikationer. Rotort. 4 Nyquistkriteriet. Frekvensbeskrivning. 5 Tidsdiskreta system. 6 Specifikationer i frekvensplanet. 7 Kompensering i bodediagram. 8 Bodes integralsats. Känslighet. Robusthet. 9 Regulatorstrukturer. Tillståndsbeskrivning. 10 Lösningar. Stabilitet. Styr- och observerbarhet. 11 Återkoppling, polplacering, LQ-optimering. 12 Rekonstruktion av tillstånd, observatörer. 13 Tillståndsåterkoppling (forts). Sammanfattning.
Repetition: Tillståndsåterkoppling 2 / 15 Om systemet ẋ = Ax + Bu y = Cx återkopplas med u = Lx + r blir det slutna systemet ẋ = (A BL)x + B r y = Cx A BL kan ges godtyckliga egenvärden (symmetriskt kring reella axeln) om och endast om systemet är styrbart. Styrbar kanonisk form Beräkningen av L blir särskilt enkel
Repetition: Linjärkvadratisk reglering 3 / 15 Linjärkvadratisk reglering: Antag att r = 0 och att x(t) ska styras till noll från x(0) 0. Bestäm L-vektorn som minimerar kriteriet J = där Q är en viktmatris. 0 ( x T (t)qx(t) + u 2 (t) ) dt Kriteriet ger en avvägning mellan snabbhet (storleken på x) och insignalenergi.
Repetition: Linjärkvadratisk reglering... 4 / 15 Linjärkvadratisk reglering: Den optimala styrsignalen ges av tillståndsåterkopplingen u = B T P x förutsatt att denna styrlag ger ett stabilt slutet system. Här är P den positivt semidefinita symmetriska lösningen till den algebraiska riccatiekvationen A T P + P A + Q P BB T P = 0
Rekonstruktion av tillstånd 5 / 15 Om tillstånden för systemet ẋ = Ax + Bu y = Cx skattas med observatören ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) så utvecklas skattningsfelet x = x ˆx enligt x = (A KC) x A KC kan ges godtyckliga egenvärden (symmetriskt kring reella axeln) om och endast om systemet är observerbart. Observerbart system: Skattningsfelet kan fås att avta mot noll godtyckligt snabbt. (Mätstörningar ger dock begränsningar.) Observerbar kanonisk form Beräkningen av K blir särskilt enkel
Exempel: Reglering av vagnposition 6 / 15 Vagnen från Fö 9 och 11: ẋ(t) = y(t) = ( 1 ( ) ( ) 0 1 0 x(t) + u(t) 0 0.25 0.5 0 ) x(t) Antag att vi bara kan mäta vagnens position. Tillståndsvektorn kan då skattas med en observatör. Valet ( ) 3.75 K = 3.0625 gör att båda egenvärdena till A KC blir 2.
Exempel: Reglering av vagnposition... 7 / 15 8 7 Sant och skattat tillstånd med K från bild 7. (Fel initialtillstånd, inget mätbrus) x 1 : heldragen ˆx 1 : streckad 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30
Exempel: Reglering av vagnposition... 8 / 15 1.4 1.2 Sant och skattat tillstånd med K från bild 7. (Fel initialtillstånd, inget mätbrus) x 2 : heldragen ˆx 2 : streckad 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0 5 10 15 20 25 30
Exempel: Reglering av vagnposition... 9 / 15 8 7 Sant och skattat tillstånd med K från bild 7. (Fel initialtillstånd, brus på mätningarna av y) x 1 : heldragen ˆx 1 : streckad 6 5 4 3 2 1 0 0 5 10 15 20 25 30
Exempel: Reglering av vagnposition... 10 / 15 1.5 Sant och skattat tillstånd med K från bild 7. (Fel initialtillstånd, brus på mätningarna av y) x 2 : heldragen ˆx 2 : streckad 1 0.5 0 0.5 1 0 5 10 15 20 25 30
Användning av observatörer 11 / 15 Observatörer: Används även till mycket annat än reglerteknik Typiskt exempel: Integration av GPS-, gyro- och accelerometermätningar i olika navigeringssystem. Kalmanfiltret: En observatör där man gjort en optimal avvägning mellan system- variationer och mätstörningar. Kalmanfiltrering var en nyckel- teknik i navigationsdatorerna i Apolloprogrammet och används idag inom många olika tillämpningsområden.
Exempel: Reglering av vagnposition... 12 / 15 Betrakta vagnsexemplet igen: Återkopplingsvektorn L = ( 2 3.5 ) gör att båda egenvärdena till A BL blir 1. Valet K = ( ) 3.75 3.0625 gör att båda egenvärdena till A KC blir 2. Allmän tumregel: Välj K så att egenvärdena till A KC ligger till vänster om egenvärdena till A BL. (Observatörsdynamiken är snabbare än dynamiken för det slutna systemet.)
Exempel: Reglering av vagnposition... 13 / 15 Återkoppling från sanna (heldraget) eller rekonstruerade (streckat) tillstånd. (Korrekt initialtillstånd, inget mätbrus) Referenssignalen ändras som ett steg vid tiden 5. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 5 10 15 Exakt samma beteende i båda fallen.
Exempel: Reglering av vagnposition... 14 / 15 1.2 Återkoppling från sanna (heldraget) eller rekonstruerade (streckat) tillstånd. (Felaktigt initialtillstånd, inget mätbrus) Referenssignalen ändras som ett steg vid tiden 5. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0 5 10 15 Efter transienten fås ungefär samma beteende i båda fallen.
Sammanfattning 15 / 15 Rekonstruktion (skattning) av tillstånd: Kan göras med en observatör ˆx = Aˆx + Bu + K(y C ˆx) Återkoppling från rekonstruerade tillstånd
www.liu.se