Sammanfattning av kursen ETIA0 Elektronik för D, Del (föreläsning -0) Kapitel : sid 37 Definitioner om vad laddning, spänning, ström, effekt och energi är och vad dess enheterna är: Laddningsmängd q mäts i Coulomb [C]. Energi E mäts i enheten Joule [J]. Spänning u är hur mycket energi (i Joule) som överförs per laddningsmängd (i Coulomb) och mäts i enheten Volt [V]. Ström i är hur mycket laddning (i Coulomb) som passerar en given tvärsnittsyta per tidsenhet (i Sekunder) och mäts i enheten Ampere [A]. Effekt p är hur mycket energi (i Joule) som överförs per tidsenhet (i Sekunder) och mäts i enheten Watt [W]. En elektrisk ledare är ett material som i det ideala fallet låter elektroner strömma fritt igenom sig. Ström/spänning förekommer i två huvuyper: Likström/Likspänning (DC, Direct Current) är när strömmen/spänningen är konstant med avseende på tiden. Växelström/Växelspänning (AC, Altenating Current) är när strömmen/spänningen varierar strömriktningen/spänningsriktning och strömstyrka/spänningsstyrka periodiskt med avseende på tiden. Effekten som överförs är lika med produkten av spänningen och strömmen i varje tidsögonblick. p(t) = u(t) i(t) När ström flyter genom en komponent och ger upphov till en spänning över komponenten, så överförs effekt till komponenten. Den mängd energi som då överförs till komponenten under tiden t 2 t är: w = R t 2 t p(t) Den passiva referensriktningen säger att om en komponent avger energi till andra kretsar så blir effekten i komponenten negativ och om kretsen absorberar energi så blir effekten positiv. Det vill säga, att om strömmen flyter in i en komponent där spänningen är positiv så är effekten positiv och flyter strömmen in i komponenten där spänningen är negativ så är effekten negativ.
Kirchoff s lagar: Kirchoff s strömlag: En nod är en punkt som kopplar ihop två eller fler kretselement. Summan av alla strömmar som flyter in i en nod är alltid lika med noll. i i 2 i 3 Ström som flyter in till noden får positivt (eller negativt) tecken och ström som flyter ut ifrån noden får motsatt negativt (eller positivt) tecken. i i 2 + i 3 = 0 Detta kan också uttryckas som att summan av alla strömmar som flyter in till en nod är lika med summan av alla strömmar som flyter ut från samma nod. i + i 3 = i 2 Kirchoff s spänningslag: En slinga är en sluten väg genom kretselement som börjar och slutar i samma nod. Summan av alla spänningar i en sluten slinga är alltid lika med noll. + u u s + u 2 u s + u + u 2 = 0 Ohm s lag: Förhållandet mellan spänning och ström kallas resistans eller elektriskt motstånd, R, och mäts i enheten ohm []. Resistans är ett mått på hur lätt elektronerna flyter fram i en krets. Noll resistans kallas för en kort-slutning och oändligt hög resistans kallas för ett avbrott eller öppen krets. Ett kretselement som uppvisar resistans mot strömmande elektroner kallas för ett motstånd eller resistor. Ett motstånd är konstruerat för att uppvisa ett specifikt resistansvärde i ohm. u(t) = R i(t)
Effekten som överförs till ett motstånd är: p(t) = u(t) i(t) = R i(t) i(t) = Ri 2 (t) eller p(t) = u(t) i(t) = u(t) u(t) R = u2 (t) R Kapitel 2: sid 46-73, 82-00 Seriekopplade resistanser kan ersättas av en ekvivalent resistans som är lika med summan av de seriekopplade resistanserna: R eq = R + R 2 + R 3 Parallellkoppalde resistanser kan ersättas av en ekvivalent resistans som är lika med inversen av summan av de inverterade resistansvärdena: R eq = R + R + 2 R 3 Vid parallellkoppling av två resistanser så kan man använda en förenklad formel: R eq = R R 2 R +R 2 Kretsanalys genom att använda serie och parallellekvivalenter. Börja med att leta upp serie- och parallell-kombinationer av motstånd i kretsen och ersätt dom med ekvivalenta motstånd. Det är oftast enklast att börja så långt som möjligt från spännings- och ström-källorna i kretsen. 2. Rita om kretsen med de nya ekvivalenta resistanserna. 3. Upprepa steg och steg 2 tills det inte går att få fram fler ekvivalenter. 4. Beräkna strömmar och spänningar i den slutliga kretsen och gå tillbaka ett steg i taget tills dess att man är tillbaka i ursprungskretsen, samtidigt som man i varje steg beräknar nya strömmar och spänningar i kretsen.
R R + - R 2 R 3 R () + + - eq - R eq (2) R eq () = R 2R 3 R 2 +R 3 R eq (2) = R + R eq () Spänningsdelning: Av den totala spänningen, så kommer den del av spänningen som ligger över ett motstånd i seriekopplingen att vara i samma förhållande till totala spänningen som förhållandet mellan motståndet och den totala seriekopplade ekvivalenta resistansen. Strömdelning: v ut = R 2 R +R 2 v in Av den totala strömmen som flyter genom två motstånd, så kommer den del av strömmen som flyter genom det andra motståndet i parallellkopplingen att vara i samma förhållande till totala strömmen som förhållandet mellan motståndet och den totala summan av resistanserna. i 2 = R R +R 2 i in Det här fungerar endast för två motstånd. Om man har fler än två strömgrenar så får man para ihop dem två och två och beräkna en ny strömdelning för varje ny förgrening.
Nod-analys En nod är en punkt som kopplar ihop två eller fler kretselement. Vid en nodanalys så använder man Kirchoff s strömlag och Ohm s lag för att skriva ner ekvationerna för varje nod i kretsen. u 5 u 2 i x A 0 20 0:5i x Kirchoffs s strömlag: Ohm s lag: Nod u : u 0 i x = 0 Nod u 2 : i x 0:5i x u 2 20 = 0 i x = u2 u 5 Sätter vi in i x i den andra nodekvationen och löser för u 2 så får man u 2 = 2u Om vi sedan sätter in det i den första ekvationen, så får man u = 3 3 V ) u 2 = 6 2 3 V ) i x = 2 3 A Thevenin-ekvivalent: Thevenin-ekvivalent: Om man har en obestämd krets som består av resistanser och källor, så kan den ersättas med en Thevenin-ekvivalent bestående av en oberoende spänningskälla och ett motstånd. R th En krets av resistanser och källor u oc u th u oc
Eftersom kretsen är öppen så flyter det ingen ström och därmed blir det ingen spänning över motståndet R th, och vi kan då skriva u th = u oc Nu kortsluter vi utgången och får då fram en ström i sc som flyter genom utgångsanslutningarna. Thevenin-resistansen kan då beräknas som spänningen över den öppna kretsen delat med strömmen i den kortslutna kretsen Om det inte finns några beroende källor i kretsen, så kan man också beräkna Thevenin-resistansen direkt genom att nolla alla oberoende källor. Det vill säga att man ersätter alla oberoende spänningskällor med en kortslutning och alla oberoende strömkällor med ett avbrott (eftersom en kortslutning har noll Volt spänning över sig och ett avbrott har noll Ampere ström igenom sig). Sedan använder man lagarna för serie- och parallellkoppling av motstånd för att räkna ut vad det ekvivalenta motståndet för kretsen är sett ifrån utgången. Thevenin-motståndet är då lika med det ekvivalenta motståndet för kretsen. Norton-ekvivalent: R th = u oc i sc Ibland kan det vara enklare för efterföljande beräkningar om ekvivalenten är en strömkälla istället för en spänningskälla. Då använder man sig av en Norton-ekvivalent istället. En krets av resistanser och källor i sc i N R N i sc Strömkällan i Norton-ekvivalenten är lika med den ström som flyter ut ifrån kretsen om man kortsluter utgången, i N = i sc Norton-resistansen är lika med Thevenin-resistansen. R N = R th Så för att beräkna Thevenin och Norton-ekvivalenter för en krets: Bestäm spänningen på kretsens utgång när den inte är ansluten till något. Theveninspänningen är då lika med denna utgångsspänning. Bestäm strömmen i utgången om utgången kortsluts.
Thevenin-motståndet är då lika med Thevenin-spänningen dividerat med kortslutningsströmmen. Norton-strömmen är lika med den bestämda kortslutningsströmmen i punkt 2. Maximal Effektöverföring: Norton-resistansen är lika med Thevenin-motståndet. Maximal effektöverföring från en krets till en annan krets får man om belastnings-resistansen är lika med Thevenin-resistansen på utgången av kretsen. R th En krets av resistanser och källor R L u th R L Om R L = R th så blir den maximalt överförda effekten från kretsen till belastningen lika med P max = u2 th 4R th Superpositionsprincipen: Om en krets innehåller två eller fler källor, så kallas den ström eller spänning som genereras av en komponent i kretsen för kretsens signalsvar på de källor som ingår i kretsen. I linjära kretsar så kan man dela upp kretsen i flera delkretsar som vardera innehåller endast en källa. Signalsvaret från varje delkrets kan summeras ihop för att ge signalsvaret för hela kretsen. Detta kallas för Superpositionsprincipen. Anledningen till att använda superpositionsprincipen är att det är betydligt enklare att analysera kretsar med endast en källa. Superpositionsprincipen: Dela upp kretsen i delkretsar och nolla (spänningskälla ersätts med kortslutning och strömkälla ersätts med ett avbrott) alla källor utom en (olika i varje delkrets). Beräkna signalsvaret på utgången av varje delkrets. Summera ihop signalsvaren för att få fram det totala signalsvaret för hela kretsen.
R i u 2 R 2 u (total) ut R R i R 2 u 2 R 2 u () ut + u (2) ut u (total) ut = u () ut + u (2) ut Kapitel 3: sid 4 40 Kapacitans En kondensator är en komponent som består av två elektrskt ledande ytor som är isolerade från varandra. På en sida av kondensatorn lagras negativ elektrisk laddning och på den andra sidan lagras positiv elektrisk laddning. Mellan negativa och positiva laddningar bildas alltid ett elektriskt fält. Styrkan på det elektriska fältet beror på hur mycket laddning som finns i kondensatorn och är därmed också ett mått på hur mycket energi som finns lagrad i kondensatorn. För att få ett mått på hur bra en kondensator är på att lagra laddning så dividerar vi mängden laddning q med spänningen över kondensatorn u c. C = q u c C kallas för kapacitans och är ett mått på lagringskapaciteten. Kapacitans har enheten Farad [F]. Då ström är lika med laddningsflöde per sekund, och beräknas som tidsderivatan av mängden laddning, i(t) = dq(t) Förhållandet mellan strömmmen genom kondensatorn och spänningen över den kan då skrivas som i(t) = C du c(t)
Eftersom derivatan av en konstant är lika med noll, så betyder det att det flyter ingen ström genom kondensatorn om spänningen är konstant. Detta betyder också att kondensatorn spärrar likström medan den låter växelström passera. Till höger visas symbolerna för några olika varianter av kondensatorer. Kondensatorer kan vara polariserade med en pluspol och en minuspol. + + Vid seriekoppling så är den ekvivalenta kapacitansen lika med inversen av de inverterade seriekopplade kapacitanserna C eq = C + C + 2 C 3 och vid parallellkoppling av kapacitanser så är den ekvivalenta kapacitansen lika med summan av de parallellkopplade kapacitanserna C eq = C + C 2 + C 3 observera att detta är motsatt metod mot den som används vid beräkning av seriekopplade och parallellkopplade resistanser. Spole (Induktans) En elektrisk ledare som genomflyts av en ström av laddningar, genererar alltid ett magnetfält som cirkulerar runt den elektriska ledaren. Magnetfältets styrka beror på strömstyrkan genom ledaren. Genom att linda den elektriska ledaren runt i slingor så kan man öka energitätheten av magnetfältet inom en viss area. För att få ett mått på energitätheten hos magnetfältet så mäter vi hur mycket energi per laddning som vi har i spolen, och energi per laddning är detsamma som spänning. u(t) = L di(t) L kallas för spolens induktans och är ett mått på spolens förmåga att inducera ett magnetfält i spolen. Induktans mäts i enheten Henry [H]. Eftersom derivatan av en konstant är lika med noll, så betyder det att om strömmen är konstant så är spänningen över spolen lika med noll. Detta betyder då att för likström så är spolen en kortslutning. Vid serie och parallellkoppling av induktanser så gäller samma regler som för resistanser. Den ekvivalenta induktansen är lika med summan av de seriekopplade induktanserna L eq = L + L 2 + L 3
och vid parallellkoppling så är den ekvivalenta induktansen lika med inversen av de inverterade parallellkopplade induktanserna L eq = L + L + 2 L 3 Kapitel 4: sid 48 66 Första ordningens RC-kretsar Urladdning av kondensator genom en resistans t = 0 u c C R När strömbrytaren sluts så börjar kondensatorn att laddas ur genom motståndet. Strömmen som flyter ut ifrån kondensatorn är lika stor som strömmen som flyter in i motståndet, så vi kan sätta upp Kirchoff s strömlag: C du c + u c R = 0 Lösningen till den här differentialekvationen är, om begynnelsevillkoret säger att kondensatorn är uppladdad med spänningen U vid tiden t=0, lika med u c (t) = Ue t RC Produkten av resistansen och kapacitansen kallas för kretsens tidskonstant = RC Tidskonstanten är ett mått på hur lång tid det tar för kondensatorn att laddas ur. är den tid som det tar för spänningen att, vid urladdning, sjunka till 37% av U.
I denna exempelfunktion så är RC= och U= Volt. U RC = Uppladdning av kondensator genom en resistans U t = 0 R C u c Vi använder Kirchoff s strömlag igen. När strömbrytaren sluts, så är det samma ström som flyter ut från spänningskällan och som flyter in i motståndet och kondensatorn. Så, vi kan då ställa upp ekvationen: C du c + u c U R = 0 Om begynnelsevillkoret vid tiden t=0 är att spänningen över kondensatorn är noll volt, så får vi lösningen till differentialekvationen: u c (t) = U Ue t RC Vid uppladdning så ger tidskonstanten hur lång tid det tar för spänningen att stiga till 63% av U.
Om vi väljer U = volt och RC = så får vi följande funktionskurva: Först stiger spänningen från noll till volt under de första 5 sekunderna och därefter ligger spänningen på en konstant nivå av volt. Så det betyder att man kan dela upp signalen i två delar; en där spänningen stiger (upp till 5 sekunder) som kallas för den Transienta ( Transient på engelska) delen av signalen och en där spänningen är konstant (efter 5 sekunder) som då kallas för den Stationära ( Steady State på engelska) delen av signalen. Alltid när spänningar eller strömmar ändrar sig i en krets, så får man ett transient tillstånd i kretsen som varar under en viss tid för att sedan stabilisera sig i det stationära tillståndet. Första ordningens RL-kretsar Man kan göra en liknande analys, för RL-kretsar, som vi har använt för RC-kretsar men här använder vi istället Kirchoff s spänningslag: R U t = 0 L Med Kirchoff s spänningslag så kan vi skriva spänningarna i kretsen som: L di L Löser vi den här differentialekvationen så får vi, + Ri L = U i L (t) = U R U R e t R L
Detta ger då en tidskonstant för RL-kretsar som blir: = L R Om U och tidskonstanten L så får vi följande funktionskurva för strömmen i spolen. R = A R = Om vi nu har ovan beskrivna krets, som har nått sitt stationära tillstånd med strömmen lika med Ampere. Vad händer då om vi kopplar bort spänningskällan? Begynnelsevillkoret vid tiden t=0 är då Ampere. R U t = 0 L Skriver vi Kirchoff s spänningslag efter tiden t = 0, så får vi differentialekvationen, L di L + Ri L = 0 Innan tiden t = 0 så flyter strömmen medurs genom motståndet och spolen. Efter tiden t = 0, så kommer strömmen att fortsätta flyta i medurs riktning eftersom induktansen inte kan ändra strömmen snabbt. Det vill säga att spolen fortsätter att mata ut energi, i form av ström, som har lagrats i magnetfältet. Denna ström kommer då att ge en spänning över motståndet R, vilket betyder att den energi som fanns lagrad i spolens magnetfält kommer att omvandlas till värme i motståndet. Så, energin i spolen minskar och då minskar också strömstyrkan. Så vi antar då en ström, i L (t) = Ke t
Sätter vi in denna antagna ström i differentialekvationen så får vi, Ke t + R L Ke t = 0 ) = R L Detta ger då tidskonstanten: = L R Vid tiden t = 0 så är strömmen i L (0) = Ke 0 = U R ) K = U R Så lösningen till differentialekvationen blir: i L (t) = U R e t R L om vi antar att spännings- Spänningen över spolen är källan är på volt. u L (t) = L di L = Ue t R L
Andra ordningens kretsar Om man har både spolar och kondensatorer i en krets, så får man vad som kallas för en andra ordningens krets. Till exempel, i s (t) L R C Om vi använder Kirchoff s strömlag för den övre noden så får vi, L R t 0 u(t) + i L(0) + C du(t) För att bli av med integralen så deriverar vi båda sidorna av ekvationen, C d2 u(t) + du(t) 2 R Eftersom detta är en andra ordningens differentialekvation så kallas kretsen för en andra ordningens krets. Vi normaliserar ekvationen så att det inte finns någon koefficient framför derivatan av den högsta ordningen. Det vill säga att vi dividerar med C på båda sidorna av ekvationen. d 2 u(t) 2 + RC Om man jämför denna differentialekvation med andra differentialekvationer så ser man att den beskriver ett svängande system (som exempel, samma typ av ekvation som används för en pendel i en klocka). d 2 x(t) 2! 0 Ekvationen för ett svängande system p som motsvaras av LC i vår kretsekvation kallas för den odämpade svängningsfrekvensen. Det är den frekvens som kretsen svänger i och som motsvaras av 2RC är dämpningskonstanten och är en tidskonstant som talar om hur länge svängningen pågår om man inte tillför någon energi. du(t) + LC u(t) = C + 2 dx(t) + R u(t) = i s(t) + L u(t) = di s(t) di s (t) +! 2 0x(t) = f(t)
f(t) Funktionen beskriver den tillförda energin till systemet, vilket i vår krets motsvaras av en förändring av strömkällan i s (t) Om vi sätter in en strömbrytare i kretsen, mellan strömkällan och spolen, som sluts vid tiden t=0 så kommer spänningen u(t) att variera enligt följande figurer för olika värden på dämpningskonstanten = 2RC Från figurerna ser man att man får mer och mer självsvängning på spänningen när värdet på dämpningskonstanten blir mindre och mindre. Frekvensen som denna själsvängning har är lika med f = 2¼ p LC [Hz]