u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ)

Ã Ô ¹ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÌÚ ÖÙÒ ÔÖ Ò Ô Ö Ö ØØ Ý Ñ Ø Ñ Ø ÑÓ ÐÐ Ö ÓÑ Ò Ö Ó Ø µ Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý º ÒÚÒ Ò ØÙÖÐ Ö Ñ Ð Ò Ò Ö Ð Ò Æ ÛØÓÒ Ð Ö Ø Øµº Á Ð Ò Ú ÝÔÓØ Ö Ó ÑÔ Ö Ñ Ò µº Ë Ã Ô ¾ ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÒÒ Ø Ò ÑÒ ËÝ Ø Ñ ÒØ Ö Ò µ Á ³ ÍØÒÝØØ Ó ÖÚ Ø ÓÒ Ö ÑØÒ Ò Öµ ÖÒ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ ÒÔ Ò ÑÓ Ðº ½

Ý Ð Ø ÑÓ ÐÐ Ý ¹ Ç Ø ÚÖØ Ç Ø Ò ÑÓ ÐÐ Ñ ØÓÖØ ÐØÐ Ø ÓÑÖ º Ö Ý Ð Ò ÝÒ Ó ÑÓ ÐÐ Ö Ö Ô Ö Ñ ØÖ ÖÒ Ö Ý Ð Ñ Ò Ò º ËÝ Ø Ñ ÒØ Ö Ò» ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò ÄØØ ¹ Ç Ø ÖÒ Ø ÐØÐ Ø ÓÑÖ º Ç Ø Ú ØØ Ò Ø ÅÓ ÐÐ Ö Ø ÓÑ Ö Ñ Ý Ð Ò Ø ÒÚÒ Ò Ý Ø Ñ ÒØ Ö Ò Ö ØØ ØÑÑ Ó Ò Ô Ö Ñ ØÖ Ö Ö Ý ÓÜ ÑÓ ÐÐ Ò º ¾

ÅÓ ÐÐÚ Ö Ö Ò ¹ ÑÝ Ø Ú Ö ØÐ Ø ÒÒ ÙÖ Ò ÑÓ ÐÐ Ö ÒÚÒ Ö Ö Ø ÐØÐ Ø Ö Ø Ø Ø Ó Ø ØÐÐØ º Ç Ë ÐÐ ÑÓ ÐÐ Ö Ö ØØ ÖÒ Ø ÐØÐ Ø ÓÑÖ º ËØÖ Ø Ø Ð Ø Ò ÒØ ÑÓ ÐÐ Ö Ú Ð Ö Ò Ö ¹ Ð Ö º ÂÑ Ö ÝÔÓØ ÔÖ ÚÒ Ò Ø Ø Ø º ÈÖ Ø Ø ÂÑ Ö ÑÓ ÐÐ Ò ÙÔÔ Ö Ò ÙØ Ò Ðµ Ñ Ý Ø Ñ Ø Ó ÙØÚÖ Ö ÐÐÒ Ò Ö ÑÓ ÐÐ Ò Ø ÐÐÖ Ð Ø ÒÓ Ö ÒÒ Ú Ø Ý Ø Ø Ñ ÑÓ ÐÐ Ö Ò Ò Ï ÓÙÐ Ñ Ø Ò ÑÔÐ ÔÓ Ð ÙØ ÒÓØ ÑÔÐ Ö ¹ Ò Ø Ò

º½º½ ÁÑÔÙÐ ¹ Ó Ø Ú Ö ÁÑÔÙÐ Ú Ö u(t) = δ(t) y(t) = g(t) ËØ Ú Ö u(t) = u 0 ÓÖ t > 0 y(t) = u 0 t 0 g(τ)dτ + ËÒ Ú Ö Ø Ú Ö ÝÒ Ñ Òº Ì Ð ÓÖ ¹Ú Ö Òº ÇÔÖ Ò ÓÖÑ Ø ÓÒº ÃÒ Ð Ö Ø ÖÒ Ò Öº Î Ø Ø ØØ ÙÒÒ ØÑÑ K Ó T Ý Ø Ñ Ø G(s) = K s+t ÖÒ ØØ Ø Ú Öº

º½º¾ Ö Ú Ò Ò ÐÝ Ä Ò ÖØ Ý Ø Ñ ÒØÝ Ø ØÑØ Ú ØØ Ö Ú Ò Ú Ö G(iω)º Ö ØØ Ð Ò ÖØ ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö ØØ ØÖ Ò ÒØ Ò ØØ Ùص Ö u(t) = u 0 sin(ωt) y(t) = y 0 sin(ωt+ϕ) y 0 = G(iω) u 0 ϕ = argg(iω) Ë ØØ Ö Ú Ò Ú Ö Ø ÒÓÑ ØØ ÒÚÒ ÒÙ Ò Ð Ö Ñ ÓÐ Ö Ú Ò ÓÑ Ò Ò Ð Ó ÑØ ÙØ Ò Ð Òº

Ö Ú Ò Ò ÐÝ ¹ ÑÑ Ò ØØÒ Ò ÄØØ ØØ ÒÚÒ º Ò ÒØ Ò Ø Ö ØØ Ý Ø Ñ Ø Ö Ð Ò Öغ ÄØØ ØØ ÙÒ Ö ÒØÖ ÒØ Ö Ú Ò ÓÑÖ Ò ¹ Ê ÙÐØ Ö Ö Ø Ðл Ö º ¹ ÔÖ Ø Ø ÒÓÑ Ö ÖØ ØØ Ò ÐÝ Ö ÐÐ Ö Ú Ò Öº ÄÒ Ñغ ¹ ÁÒØ ÐÐØ Ø ÐÐØ Ø ØØ ÒÚÒ ÒÙ Ò Ð Ö Ò ÔÖÓ º

º½º ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ ¹ Ú Ö ØÐ Ø Ö ØØ Ð Ò ÖØ ÝÒ Ñ Ø Ý Ø Ñ ÐÐ Ö Y(s) = G(s)U(s) Ö ØØ s Ñ iω Ö Ð Ò Ñ Ò Ñ ÐÐ Ò Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Ö Ú Ð Ø Ö Y(iω) = G(iω)U(iω) G(iω) = Y(iω) U(iω) ËÔ ØÖ Ð Ò ÐÝ Ë ØØ Ò Ð ÖÒ ÓÙÖ ÖØÖ Ò ÓÖÑ Öº

Á ÔÖ Ø Ò Ö Ú Ò Ø Ø ÐÐ Ò Ø ÐÐ ØØ Ò Ð Ø ÒØ Ð ÑÔÐ ÚÖ Ò Ú Ò¹ Ó ÙØ Ò Ð Ò Ú Ð Ø Ö Ò Ø Ö Ø ÓÙÖ Ö Ö Ò Ì µ ÒÚÒ Y TDF (iω) = N y(k)e iωk k=1 U TDF (iω) = N u(k)e iωk Î Ò ÓÖÑ ØØÒ Ò Ò k=1 Ĝ(iω) = Y TDF(iω) U TDF (iω) ÚÚ Ò Ò Ñ Ø Ö Ñ ÐÐ Ò ÖÙ Ò Ð Ø Ö Ø µ Ó Ö Ú Ò ÙÔÔÐ Ò Ò ÖÑ ØØ Ö Ð ØÚ ÒÖÐ Ò Ö Ú Ò ØÓÔÔ Öµº

Ä Ò Ö Ö Ö ÓÒ ÅÓ ÐÐ ØÙ ØÙÖ Ü ÁʹÑÓ ÐÐ ŷ(k) = ϕ T (k)θ ½µ ŷ(k) = b o u(k)+b 1 u(k 1)+...+b n u(k n) ϕ(k) = (u(k) u(k 1)...u(k n)) T θ = (b o b 1...b n ) T

Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò y(k) + a 1 y(k 1)+a 2 y(k 2)+...+a na y(k na) = b o u(k)+b 1 u(k 1)+...+b nb u(k nb)+e(k) ÈÖ ØÓÖÒ Ö Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÒÓÑ ØØ ÝØØ Ú Ö ÐÐØ ÙØÓÑ y(k) Ø ÐÐ ÀÄ Ó ØÖÝ ÖÙ Ø ÖÑ Ò e(k) Ú ŷ(k) = a 1 y(k 1)... a na y(k na) +b o u(k)+...+b nb u(k nb) ϕ(k) = ( y(k 1)... y(k na) u(k)...u(k nb)) T θ = (a 1...a na b o...b nb ) T ½¼

ʹÑÓ ÐÐ Ò Ò ÑÓ ÐÐ Ö Ò ØÓ Ø Ø Ö Ò Ò ÐØ ÒÓÑ ØØ ØØ u = 0 Ê ÔÖ ØÓÖÒº ØØ Ö Ê¹ÔÖ ØÓÖÒµ ŷ(k) = a 1 y(k 1) a 2 y(k 2)... a na y(k na) ϕ(k) = ( y(k 1) y(k 2)... y(k na)) T θ = (a 1 a 2...a na ) T Ò ÙØÚ Ò Ò Ú Ê¹ÑÓ ÐÐ Ò Ö ÊÅ ¹ÑÓ ÐÐ Ò ÓÑ Ú Ó ÒØ Ø Ö ÙÔÔ ÒÒ Ú Ö Øº ½½

Å Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ÒØ ÙÔÔÑØØ Ø Ö {y(k),ϕ(k)} k=1,...,n º ÃÖ Ø Ö ÙÑ V(θ) = N (y(k) ŷ(k)) 2 = k=1 N (y(k) ϕ T (k)θ) 2 ¾µ k=1 Ø θ ÓÑ Ñ Ò Ñ Ö Ö ¾µ Ú ˆθ = [ N N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 ϕ(k)y(k) µ k=1 k=1 Ç Ë Ñ ØÖ Ò [ N k=1 ϕ(k)ϕt (k)] 1 Ñ Ø ÙÒÒ ÒÚ ÖØ Ö Ã Ò Ú Ò ÒÓÖÑ Ö Ñ N ˆθ = [ 1 N N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 1 N k=1 N ϕ(k)y(k)) k=1 ½¾

Å Ò Ø Ú Ö ØÑ ØÓ Ò ¹ Ñ ØÖ ÓÖÑÙÐ Ö Ò ÁÒ Ö Y = Φ = y(1) º y(n) ϕ T (1) º ϕ T (N) Å Ò Ø Ú Ö ØÐ Ò Ò Ò Ò Ö Ú ˆθ = [Φ T Φ] 1 Φ T Y µ Å Ò Ø Ú Ö ØÐ Ò Ò Ò Å ØÐ Ø Ø Ø È ½

ÀÙÚÙ ÒØ Ò Ò ÅÓ ÐÐ Ú Ð Ø ÒØ Ò ½ º Ø ÓÑÑ Ö ÖÒ ØØ Ý Ø Ñ Ú Ø Ú y(k) = ϕ T (k)θ o +v(k) k = 1,...,N µ Ö v(k) Ö Ò ÓÑØ Ö ÐÙÑÔÑ Ø ÖÒ Ò ÖÙ µº ÒØ Ò ½ º Å ØÖ Ò R N = N k=1 ϕ(k)ϕt (k) Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö ½

ÌÚ ØÝÔ Ö Ú Ð Ð Ý Ø Ñ Ø Ø Ðµº Ö Ú ÒÒ Ö ÒØ Ú Ò ÓÑ Ú ÒÚÒ Ö ÓÒ Ð Ø ÑÒ ÑØÒ Ò Ö Ö ØØ ØØ ÑÓ ÐÐ Ò Ô Ö Ñ ØÖ Öº Î Ö Ò Ðº ÖÓÖ Ô ØØ ÑØÒ Ò Ö ÔÚ Ö Ú ÖÙ º Î Ö Ò Ð Ø Ñ Ò Ö Ñ ÒØ Ð Ø ÓÑ ÒÚÒ ØØÒ Ò Òº ½

Ð Ø Î ÓÑÑ Ö ØØ Ð ÙÔÔ Ò ÐÝ Ò ØÚ ÐÐ ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ö Ê Ó Êµ ÑÓ ÐÐ Ö ½

Ð Ø ÁÊ ÑÓ ÐÐ Ö ÒØ Ò Ò ÒØ Ò ¾º ËØ ÖÒ Ò Ò ÖÙ Ø µ v(k) µ Ö Ñ ÐÚÖ ÒÓÐÐ Ú E{v(k)} = 0º ÒØ Ò º v(k) Ö Ó ÓÖÖ Ð Ö Ñ u(k)º Ê ÙÐØ Ø ÒØ ØØ ½¹ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÐÐ Ö ØØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò ˆθ Ö Ò Ñ ÐÚÖ Ö Ø ÙÒ µ ØØÒ Ò Ú θ o ºÚº º E{ˆθ} = θ o º ½

Ð Ø Ê» Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ö ÒØ Ò º ËØ ÖÒ Ò Ò ÖÙ Ø µ v(k) µ ÒØ Ú ØØ Ñ Ú Ö Ò λº Ê ÙÐØ Ø ÒØ ØØ ½ Ó Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÐÐ Ö ØØ Ñ Ò Ø Ú Ö Ø ØØÒ Ò Ò ˆθ Ö Ò ÝÑÔØÓØ Ñ ÐÚÖ Ö Ø ØØÒ Ò Ú θ o ºÚº º E{ˆθ(N)} θ o N º ½

Î Ö Ò Ð Ø Ö ÁʹÑÓ ÐÐ Ö ÒØ ØØ ½ Ó ÖÙ Ø Ú ØØ Ñ Ú Ö Ò λµ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ º ÆÓØ Ö ØØ Ú ÐÐØ ÒØ Ö ØØ ÖÙ Ø Ö Ú ØØ Ñ Ú Ö Ò ËÓÑ Ø Ö Ø Ò Ö ˆθ Ò ØØ Ô Ö Ñ Ø ÖÚ ØÓÖÒº ÐÐ Ö ØØ var(ˆθ i ) = P i,i i = 1,... n µ Ö P i,i Ø Ò Ö ³Ø ÓÒ Ð Ð Ñ ÒØ Ø ÓÚ Ö Ò µñ ØÖ Ò P = λ[ N ϕ(k)ϕ T (k)] 1 k=1 ½

Î Ö Ò Ð Ø Ö Ê» Ê ¹ÑÓ ÐÐ Ö ÍØØÖÝ Ø µ ÐÐ Ö ÔÔÖÓÜ Ñ Ø ÚØ Ö ØÓÖ N ØÓÖØ ÒØ Ð ÑØ Ø µº ¾¼

ÝÑÔØÓØ Ö ÙÐØ Ø ÇÑ Ú ÐØ Ö ÒØ Ð Ø Ø ÑÓØ ÓÒ Ð Ø Ò Ò Ú Ö ØØ ÙÑÑ Ö Ò Ñ ÚÒØ ÚÖ 1 N N X(k) E{X(k)} N k=1 ÍÒ ÖÐØØ Ö Ó Ø Ò ÐÝ Ò µ ¾½

Î Ð Ú ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ó ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò º µ ÈÖ Ø Ø Ñ Ø Ú Ø Ø ½º ÒÚÒ Ý Ð Ò Ø Ú ÙØÒÝØØ Ú ÒØÙ ÐÐ ÙÒ Ô ÓÑ Ý Ø Ñ Ø Ö ØØ Ð ØÖ ÓÑ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Òº ¾º ÈÖ Ú ÓÐ ÑÓ ÐÐ ØÖÙ ØÙÖ Ö»ÑÓ ÐÐÓÖ Ò Ò Ó ÚÐ Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ø Ò Ö Ú Ø Ø Øº ÇÐ Ø Ø Ø Ø Ø Ö ÒÒ ÃÓÖ Ú Ð Ö Ò Ñ Ø Ö µ ÍØÚÖ Ö ÓÐ ÑÓ ÐÐ ÖÒ Ö Ò ÒÝ Ø Ö ÓÑ ÒØ ÒÚÒØ Ö Ð Ö Ö Ò º ÎÐ Ò ÑÓ ÐÐ ÓÑ Ö Ø Ð Ø Ñ Ò Ø Ú Ö Ø¹µ Ð Ø Ô Ø Ö Ø Ø Ø ¾¾

Å Ö ÑÔ Ö ÑÓ ÐÐ Ö Ò È Ö Ó ½ ½µ ½¼ Ô ÙÖ Ö ËÌË Ï Ó Ëµº Ì ÓÖ ÔÖÓ Ø Ö Ø ØØ ÝÒ Ñ ÑÓ ÐÐ Ö ÖÒ Ö Ø ÑØÒ Ò Öµº ¾