Kortaste Ledningsdragningen mellan Tre Städer Tre städer A, B och C, belägna som figuren till höger visar, ska förbindas med fiberoptiska kablar. En så kort ledningsdragning som möjligt vill uppnås för olika värden på a och det är tre alternativ som diskuteras. Alt. 1 Alt. 2 Alt. 3 Vilket det bästa alternativet är beror naturligtvis på värdet på måste av naturliga skäl alltid vara eftersom staden alltid har lika avstånd från de båda andra städerna. Sammanfattningsvis ges kortast sträcka av... Alt. 1 när. Den totala längden på ledningen. Alt. 2 i intervallet, alltså när den totala längden på ledningen är mellan och. Alt. 3 i intervallet. Den totala längden på ledningen är då mellan och Det finns dock ett fjärde alternativ som innebär kortare ledningsdragning för alla, nämligen: när
Lösningar - Metod & Resultat Metod 1 - Modell i geogebra Genom att göra en modell i geogebra, där är en variabel och de olika alternativen är inställda utifrån sina individuella villkor, går det att observera hur de olika alternativen förändras. Alternativen är inställda på följande sätt: I figuren nedan kan vi exempelvis läsa av att när innebär den kortaste ledningsdragningen med. ( är avståndet mellan mitten av linjen och punkten. Avståndet är naturligtvis positivt. Minustecknet beror på att Punkten :s värde i y-led är så mycket mindre än linjen :s värde i y-led.) Med ovanstående metod kan dock bara längden på ledningarna för de 3 föreslagna alternativen beräknas och inte det överlägsna alternativet om man vill ha så kort ledningsdragning som möjligt oavsett längd på. Vi kallar detta för.
I bilden ovan har a samma värde som i de tidigare alternativen, men sträckan för ledningen, som i det här fallet är är kortare än samtliga av de förra alternativen. Villkoret för detta är att vinklarna mellan ledningarna, med som medelpunkt, ska vara.. Jag har undersökt hur längden påverkas av att flytta punkten i y-led. Detta resulterar alltid i högre värden på sträckan. Det spelar ingen roll var punkten befinner sig. Om man vill åstadkomma en så kort ledningsdragning som möjligt är en fast punkt på den plats där samtliga vinklar är. Metod 2 - Algebraisk lösning med grafritning i geogebra. Samtliga sträckor för kan kallas för funktioner av. För måste vi gå igenom en smärre härledning för att få som en funktion av. Först måste vi uttrycka ett samband mellan och, vilket vi får i och med arean. Hur sidan x förhåller sig till Arean, sats:, fås genom pythagoras
Hur sidan förhåller sig till fås med Herons formel, där är halva omkretsen: Alltså: => Alltså: Alternativ 3 = Även funktionen för sträckan till kräver en mindre härledning. En slutsats vi kan dra från denna bild är att sträckan ( ). Låt oss räkna ut sträckan s värde. är konstant så länge Vi vet även att vinkeln, samt, är. Om vi kallar sträckan för ger sinussatsen:.
Vi måste nu beteckna som en funktion av. Låt oss kalla mittpunkten på sträckan för. Både och fås genom pythagoras sats. Alltså: I bilden nedan har vi anpassat grafer i geogebra till funktionerna för de olika alternativen. Alternativ 1 Alternativ 2 Alternativ 3 Alternativ 4
Linjemarkeringen som går vid är för att förtydliga att det är härifrån som graferna gäller, då längden på a inte kan vara mindre än för den här uppgiften. Grafen illustrerar tydligt för vilka värden på a som respektive ledning ger kortare ledningsdragning än någon annan. Den visar dessutom att längden på ledningen för är kortast för alla värden på Det är något otydligt i intervallet, men det beror bara på utzoomningen. Zoomar man in ser man att den rosa streckade grafen alltid är nedanför den röda. Analys och utveckling av problemet Eftersom detta inte är en experimentell uppgift har exakta svar kunnat ges. Båda metoderna ger, i slutändan, samma information fast på olika sätt. Medan grafen från metod 2 på ett mer lättläsligt sätt redovisar längden för de totala sträckorna i förhållande till längden för a, kan man med geogebra-modellerna från metod 1 se hur de olika alternativen förändras rent geometriskt, beroende på längden för. Denna information skulle kunna utnyttjas för att se vilket område som ledningarna kommer gå igenom och på så sätt ta hänsyn till fler faktorer som kan påverka dess längd, vilket kan vara hinder som t ex berg etc. För även om är bäst i teorin, så kan det finnas faktorer i verkligheten som gör att ett annat alternativ faktiskt ger en kortare ledningsdragning. Därför kan man för ett bestämt värde på a, med hjälp av metod 1, positionsbestämma alla ledningsalternativ och med hänsyn till terräng etc räkna ut hur långt varje alternativ faktiskt kommer att bli i verkligheten.