Lektion 3 Hur kan den vinstmaximerande insatsmängden bestämmas vid två eller fler rörliga insatser? Kuinka voidaan määrittää voitto maksimoiva panosmäärä kahden tai useamman panoksen tapauksessa? Foto: John Sumelius Optimeringsproblemet att maximera vinsten för två rörliga insatser x och x : (voiton maksimointiongelma kahden muuttuvan panoksen tapauksessa): Max π = p*f(x) w *x w *x + d x>0 var π = Vinst (voitto) f(x) = Produktionsfunktion (tuotantofunktio) p = Produktpris (tuotteen hinta) x = Insatsmängd, insats (panosmäärä) x = Insatsmängd, insats w = Insatspris insats (panoksen hinta) d = direktstöd (suora tuki) Vinstmaximum (voitonmaksimointi) (): Vinstmaximum erhålls genom att derivera vinstfunktionen π med hänsyn till båda insatserna x och x. Därefter löses p'(x ) = 0 och p'(x ) = 0 för att erhålla de vinstmaximerande insatsmängderna x och x. (Voitonmaksimi löytyy derivoimalla voittofunktio suhteessa x :än ja x :än ja sen jälkeen derivaatta ratkaistaan p'(x )= 0 ja p'(x )= 0 jolloin saadaan voittoa maksimoivat panosmäärät) π/ x = p f(x )/ x w = 0 π/ x = p f(x )/ x w = 0 p och w flyttas till höger sida: Ett exempel av Dabbert och Braun 006, produktion av matpotatis (ruokaperuna) med två rörliga insatser, kvävegödsling (typpilannoitus) och fosforgödsling (fosforilannoitus): (adobefil Dabbert&Braunfolien3) Data låter sig beskrivas genom följande produktionsfunktion: Y = 57,93+ 6, 4* N- 95,9* N + 74,9* P- 4,9* P + 0, * N* P var Y = produktion av potatis (dt/ha) var dt= 00 kg N = kvävegödsling N dt/ha P = fosforgödsling P dt/ha f(x )/ x = w /p, f(x )/ x = w /p, och ekvationerna löses
... Dabbert och Braun 006, produktion av matpotatis Följande priser gäller enligt Maaseudun Tulevaisuus 3..009 Priset för matpotatis, nettovikt är6-9 euro/dt Kvävepris,49 euro/kg = 4,9 euro/dt Fosforpris på basen av regressionsanalys är, euro/kg = 0 euro/dt Av potatisen är 80 % försäljbar (myyntikelpoinen) som handelsvara (kauppatavarana) till marknadspris (7 euro/dt) Av potatisen är 0 % försäljbar som foder (rehuna) till 3,5 euro/dt Sorteringskostnader (lajittelukustannus) är,7 euro/dton Kostnad för spridning av gödsel (lannan levityskustannus) 0,05 /kg Övriga rörliga kostnader 070 /ha Frågor: a) Hur hög är marginalintäkten (merintäkten)? (Kuinka iso on rajatuotto?) b) Hur höga är marginalkostnaderna för N och P?(" rajakustannus N:n ja P:n osa.) c) Vilken mängd potatis maximerar vinsten under nämnda betingelser (villkor)? (Mikä perunamäärä maksimoi voiton em. ehdoin?) Lösning a) Marginalintäkten (rajatuotto) (merintäkten) för potatis per dt. Handelsvara 7 /dt *0,80 = 3,6 Foderpotatis 3,5 /dt* 0,0 = 0,7 - Sorteringskostnaden = -,7 /dt,6 /dt Þ Det lönar sig att öka produktionsmängden så länge kostnaden för ytterligare en enhet är lägre än marginalintäkten (priset). Þ (Kannattaa lisätä tuotosmäärä niin kauan kuin rajakustannus alittaa rajatuoton) Lösning b) Marginalkostnaden (rajakustannus) (merkostnaden) för N och P N, Kvävepris,49 euro/kg = 4,9 /dt Kostnad för spridning av gödsel = 5 /dt Marginalkostnad 47,9 /dt P, fosforpris,0 euro/kg = 0 /dt Kostnad för spridning av gödsel = 5 /dt Marginalkostnad 5 /dt c) Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) () Marginalintäkt = marginalkostnad (rajatuotos) Þ f(x )/ x = w /p, f(x )/ x = w /p, y y wn => ( ) * p y =w N eller = N N py var p y = priset på potatis och w N =priset på kväve => ( ) y y wp * py = wp eller = P P p var p y = priset på potatis och w P =priset på fosfor y
Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) () Y = 57,93+ 6, 4* N- 95,9* N + 74,9* P- 4,9* P + 0, * N* P y 3 = 6,4 -(*95,9* N ) + 0, P N ( ) 4 y = 74,9 - (* 4,9 P) + 0, N P ( ) Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (3) Från ekvation () och () 47,9 5 6, 4 -(*95,9 N) + 0, P=,6 5 6 74,9 -(* 4,9 P) + 0, N =,6 ( ) ( ) Bestämning av den optimala intensitetsnivån (vinstmaximum) (4) Ekvation (5) och (6) bildar ett ekvationssystem (yhtälöryhmä) med två ekvationer och två obekanta (kaksi tuntematonta). Då detta löses erhålles de vinstmaximerande insatsmängderna N=,36 dt/ha P=,038 dt/ha (Detta resultat måste i finska förhållanden tolkas försiktigt eftersom data gäller tyska förhållanden och skördenivåer). (Tämä tulos pätee saksalaisiin olosuhteisiin ja on tulkittava varovaisesti) Vinsten maximeras då marginalintäkt = marginalkostnad eller då MR = MC Produktion inte lönar sig inte om priset av t. ex. spannmålsodlingen inte täcker de rörliga kostnaderna. Arealbundet stöd som kräver odling gör att det dock kan löna sig att odla åkrar men med minimering av förlusten. Pinta-ala kohatinen tuki, joka vaatii viljelyä voi aiheuttaa sen, että pellon viljely kannattaa tappion minimoimiseksi. Se exempel: (fil intäkter-rörliga kostnader) 3
Arealbundna stöd (gårdsstöd, kompensationsbidrag, miljöstöd) Dessa stöd erhålls oberoende av volymen på produktionen (nämä tuet eivät riipu tuotannon tasosta) Gårdsstöd - erhålls även om man inte producerar (tilatuki ei edellytä tuotantoa) De inverkar inte på optimum för insatsavkastningsrelationen (eivät vaikuta panos-tuotos suhteen optimiin) Produktionskostnader (tuotantokustannus, Costs of production) p. 5-8 Rasumssen, p.4-58 Doll och Orazem Fasta och rörliga kostnader (fi. kiinteät ja muuttuvat kustannukset): Fast kostnad = en kostnad som inte varierar medproduktionsvolymen (Kiinteä kustannus= kustannus, jonka kokonaismäärä ei muutu tuotantomäärän muuttuessa) Exempel: kostnaden för byggnader Rörlig kostnad = en kostnad som varierar med produktionsvolymen (kustannus, jonka kokonaismäärä muuttuu tuotantomäärän muuttuessa) Exempel = kraftfoderkostnaden (väkirehukustannus) Utvecklingen av fasta och rörliga kostnader med produktions volymen: Fasta och rörliga kostnader (kiinteät ja muuttuvat kustannukset): euro Kraftfoderkostnaden = en rörlig kostnad Indelningen i rörliga och fasta kostnader syftar på en kort planeringshorisont (jako muuttuviin ja kiinteisiin kustannuksiin riippuu suunnittelujakson pituudesta). Liter mjölk Byggnadskostnaden = en fast kostnad På lång sikt är alla fasta kostnader rörliga (pitkällä tähtäimellä kaikki kiinteät kustannukset ovat muuttuvia) 4
Insats-avkastnings relationen: Vinsten maximeras då marginalintäkt = marginalkostnad eller då MR = MC () Om totalkostnaderna är högre än priset lönar det sig för producenten att upprätthålla produktionen på kort sikt så länge åtminstone de variabla kostnaderna MC täcks genom priset (=MR). Mikäli kokonaiskustannukset ovat korkeampia kuin hinta tuotantoa kannattaa lyhyellä tähtäimellä ylläpitää niin kauan kun vähintään muuttuvat kustannukset MC katetaan hinnalla (=MR). Om MC stiger så måste MR stiga för att produktionen på lång sikt skall löna sig att upprätthållas. På lång sikt måste även de fasta kostnaderna täckas. Pitkällä tähtäimellä myös kiinteät kustannukset on katettava, jotta tuotanto olisi kannattava MC-kurvan är med andra ord densamma som företagets utbudskurva då den uttrycks som en funktion av produktionen Y. (MC-käyrä ilmaistuna tuotannon funktiona Y on sama kuin yrityksen tarjontakäyrä) Marginalkostnadskurvan och marginalintäktskurvan uttryckt som en funktion av produktionen Y kg (fiktiv kurva) (Rajakustannuskäyrä ja rajatuottokäyrä tuotannon Y funktiona, kuvitteellinen käyrä) (Rasmussen s. 6): 45 40 35 30 5 0 5 0 5 0 Fiktiv Marginalkostnadskurva/Kuvitteeellinen rajakustannuskäyrä /kg Y MC MR (Tidigare på denhär föreläsningsserien har marginalkostnadskurvan uttryckts som en funktion av insatsen X kg och då såg den ut såhär:) (Aikaisemmin tällä luentosarjalla rajakustannuskäyrä esitettiin panoksen X funktiona) fil: fiktiv merkostnadskurva AC 80 70 P* VOITTO AVC euro/0kg N/ha 60 50 40 30 MR MC 0 0 0 0 kg N/ha Voitto on alue kokonaistuoton ja kokonaiskustannusten välillä 5
Insats-insats relationen panos-panossuhde Doll & Orazem 984. ss. 88-09 Svend Rasmussen 0 kapitel 4 Kombination av produktionsmedel (tuotantopanosten yhdistäminen) Produktionsmedel är ofta utbytbara mot varandra, t.ex. korn och havre inom fläskproduktionen (tuotantopanokset korvaavat toisiaan) Utbytesförhållandet kan grafiskt presenteras genom en sk isokvant (eng. isoquant, samatuotoskäyrä) Utbytesförhållandet kan vara konstant (korn och havre) eller avtagande (hö och fodersäd) (korvaussuhde voi olla vakio tai vähenevä) Exempel på utbytesförhållanden: () (esimerkkejä korvaavuussuhteista). Produktion i konstanta proportioner, genom en fast koefficient (kiinteäkertoiminen tuotanto, fixed proportion) Produktionsinsatserna ersätter i detta fall inte varandra (tuotantopanokset tässä tapauksessa eivät korvaa toisiaan) Produktionsinsatserna kompletterar däremot varandra (tuotantopanokset täydentävät toisiaan, eng. complementary inputs) Produktionsfunktionen skrivs: ( x,x ) min{ x, } f = x Produktionsinsatser som kompletterar () varandra: traktorer och traktorförare (toisiaan täydentävät tuotantopanokset, traktorit ja traktorin kuljettajat) Isokvant (samatuotoskäyrä) för två produktionsinsatser som kompletterar varandra (produktion genom en fast koefficient) (3) Traktorer X 5 Isokvant 4 3 3 4 5 6
Andra exempel på komplement inom (4) lantbruket (muita esimerkkejä täydentävistä tuotantopanoksista maataloudessa): Traktor och plog (traktori ja aura) Bränsle och smörjmedel (poltto- ja voiteluaineet) Taggtrådsstängsel och stolpar (piikkilanka ja pylväät) Syre och väte bildar vatten (happi ja vety muodostavat vettä): O + H = H 0 Ett annat slag av utbytesförhållande mellan produktionsinsatser: () Toisen tyyppinen esimerkki korvaavuussuhteista). Produktionsinsatserna substituerar m.a.o. ersätter varandra (tuotantopanokset korvaavat toisiaan, eng. substitutes) t. ex. olika slags foder kan vara varandras substitut (korvike) Isokvant (samatuotoskäyrä) Allmänt Produktionsfunktionen för två insatser kan skrivas: (Tuotantofunktio voidaan kirjoittaa kahden panoksen funktiona) Y= f(x,x X 3,X 4,......,X n ), var 3, 4,......n är fasta insatser (kiinteät panokset). Om vi lämnar bort insatserna 3, 4,......n kan produktionsfunktionen skrivas som (, ) y = f x x I fallet av två produktionsfaktorer kan vi härleda en isokvant (eng. isoquant, (Kahden tuotantopanoksen tapauksessa voimme johtaa samatuotoskäyrän). En typisk isokvant för arbete och kapital, t.ex. manuellt arbete eller maskiner. (Tyypillinen samatuotoskäyrä pääomalle ja työlle, esim. manuaalinen työ tai koneita) K 50 40 30 Isokvant (samatuotoskäyrä) Isokvanten visar alla kombinationer av produktionsinsatserna X och X som ger en given produktionsmängd. Samatuotoskäyrä osoittaa kaikkia tuotantopanosten X ja X yhdistelmiä, jotka tuottavat tietyn tuotannon määrän. 0 0 50 y 3 4 5 L 7
Substituten är av två olika slag: () (korvikkeet ovat kahden eri tyyppisiä) a. Fullständiga substitut (täydelliset korvikkeet, eng. perfect substitutes) b. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) Exempel på fullständiga substitut: Ensilage gjort av vall eller ensilage gjort av majs (säilörehu tehty nurmesta tai säilörehu tehty maissista) Vissa gödselämnen (urea och salpeter) (jotkut lannoitusaineet esim. urea ja salpietari) Exempel på intervallvis fullständiga substitut:. Korn (ohra) och havre (kaura) i svinköttproduktionen upp till maximalt ca 30 % havre. Proteinfodermedlen ) sojamjöl och ) raps- eller rypskross (rypsirouhe), ärter (herne) och syntetiska aminosyror kan ersätta enligt följande: a) Inom svinköttproduktionen aminosyrorna lycin och metionin b) Inom produktionen av slaktkyckling (broileri) kan hälften av sojan ersättas Även aminosyrorna treonin och tryptofan bör tillsättas (källa: projektet "Kotimaista valkuaista herneestä 00-004", MTT loppuraportti samt "Juntti et al. 005 Kotimaista valkuaista herneestä MTT selv. 93, även Valaja, Alaviuhkola och Suomi, 993 Reducing crude protein content with supplementation of synthetic lysine and threonine in barley rapeseed meal pea diets for growing pigs) Salmonellasmittad sojaimport kunde kanske i viss mån undvikas med en sådan blandning. Exempel på teknologier... (3) a.fullkomliga susbstitut (täydelliset korvikeet), eng. perfect substitutes: Produktionsfunktionen skrivs ( x fx ) = ax f, + bx Exempel: Enligt svenska försök kan XX kg svinkött produceras genom utfodring med,5 kg korn eller genom utfodring med,65 kg havre eller genom en kombination av havre och korn. (sianlihan tuotannossa XX kg sianlihaa voidaan tuottaa,5 kg rehuohralla tai,65 kg kauralla tai niiden yhdistelmällä) 8
Gillar du korn (ohra) eller havre (kaura) mer? Isokvant (samatuotoskäyrä) för två fullständiga Korn substitut: 5 4,5 3 Isokvant (samatuotoskäyrä) Havre Foto: John Sumelius,65 3 4 5 Täydellinen substituutti: ohra ja kaura sianlihantuotannossa X ja X Utbytesförhållandet (korvaussuhde):,05 kg havre motsvarar kg foderkorn. kg svinkött kan produceras genom följande kombinationer ( kg sianlihaa voidaan tuottaa seuraavilla yhdistelmillä) Korn Havre,5 0 0,55,5,05,575 0,5, 0,65 Isokvant (samatuotoskäyrä) för två fullständiga Korn substitut:,5 5 4 3 Isokvant (samatuotoskäyrä),65 3 4 5 Täydellinen substituutti: ohra ja kaura sianlihantuotannossa X ja X Havre 9
Korn Isokvant för korn och havre (fil korn havre) Isokvant för korn och havre 3.5.5 0.5 0 0 0.5.5.5 3 Havre Isokvant för ) korn och ) blandning av rapskross (rapsirouhe), ärter (herne) och syntetiska aminosyror för gödsvin (lihasika) i intervallet 5 kg - 05 kg (Valaja, Alaviuhkola och Suomi, 993) (fil: svindiet(valajaetal) Raps, ärter, min. o. vit. g/kg t.ä. 500 400 300 00 00 0 isokvant för 05 kg gödsvin 0 00 400 600 800 000 korn, g/kg torrämne 3. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) () Ofullständiga substitut är inte totalt substituerbara utan substituerbara inom vissa områden Man kan t.ex. ersätta vall (nurmi) med fodersäd (rehuvilja) inom mjölkproduktionen men bara till en viss nivå, eftersom korna behöver en viss minimimängd av grovfoder (karkea rehu). 3. Ofullständiga substitut (epätäydelliset korvikkeet) () Kan t. ex. skrivas genom en Cobb-Douglas funktion: (voidaan kirjoittaa Cobb-Douglas funktiona) a b ( x, fx ) Ax f = x XX kg mjölk kan produceras t. ex. med 000 kg fodersäd och 3000 kg hö eller med 000 kg fodersäd och 5000 kg hö. (XX kg maitoa voidaan tuottaa esim. 000 kilogrammalla rehuviljaa ja 3000 kilogrammalla kuivaa heinää tai 000 kilogrammalla rehuviljaa ja 5000 kilogrammalla kuivaa heinää) A = en skalär för produktionen som visar hur stor avkastning man får då man använder en enhet av vardera insatsen. (A= tuotannon skalaari, joka osoittaa kuinka suuren tuotoksen saadaan kun käytetään yhden yksikön kumpaakin panosta. 0
3. Ofullständiga substitut... () Ofta är a + b = men produktionens omfattning inverkar, (om a + b > => tilltagande skalavkastning (mikäli a + b> => kasvavat skaalatuotot, economics of scale), om a + b < => avtagande skalavkastning (mikäli a + b< => vähenevät skaalatuotot, diseconomies of scale). Cobb-Douglas funktionen är en funktionsform som uppför sig väl Mjölkproduktion, ofullständiga substitut Korn X 50 40 30 Isokvant Y 0 0 VallfoderX 00 00 300 400 500 Grafisk framställning av isokvant för två ofullständiga substitut X och X Uppgift/Tehtävä: Fundera på vilka slag av ofullständiga substitut det existerar inom lantbruket (tid minuter) Diskutera med grannen (tid 3 minuter) Mieti minkälaisia epätäydellisiä korvikkeita esiintyy maataloudessa (aikaa minuuttia) Keskustele vieressä istuvan naapurin kanssa (aikaa 3 minuuttia)