REDOVISNINGSUPPGIFTER

REDOVISNINGSUPPGIFTER Eleven får en mer omfattande uppgift som under eget ansvar ska analyseras, genomföras och redovisas, såväl muntligt som skriftligt. Uppgiften kräver kunskaper från olika områden av matematiken och svarar mot samtliga betygsnivåer. Den skriftliga rapporten bör innehålla: problemformulering beräkningar resultat diskussion källförteckning Följande kommer att bedömas: de matematiska beräkningarnas korrekthet resultatets rimlighet det matematiska språket i den skriftliga rapporten hur diskussionen knyts an till resultatet det muntliga framträdandet BETYGSKRITERIER Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att lösa uppgiften. Eleven genomför matematiska resonemang. Eleven använder matematiska termer och symboler samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl Godkänd krävs förutom Godkända kunskaper att Eleven visar kunnande som spänner över olika kunskapsområden som ingår i kursen. Eleven gör matematiska tolkningar och redovisar sitt arbete med logiskt resonemang. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösningar av problemet. Kriterier för betyget Mycket Väl Godkänd krävs förutom att Väl Godkända kunskaper uppnåtts att Eleven närmar sig en vetenskaplig redovisning. Eleven väljer generella metoder och modeller för problemlösningen. Eleven genomför matematiska bevis. Eleven analyserar och tolkar resultatet.

Eleven bedömer slutsatsens rimlighet och giltighet. Eleven använder ett korrekt matematiskt språk. FÖRDELNING Namn Uppgift Redovisningstid Andrea 2/ kl 2:3-4 Caroline 2 5/ kl :3-2 LisaE 3 2/ kl 2:3-4 Sanjin 4 4/ kl 9-:3 Oscar 5 5/ kl 9-:3 ElinJ 6 2/ kl 2:3-4 ElinP 7 4/ kl 9-:3 JohannaD 8 4/ kl 9-:3 Cornelia 9 5/ kl 9-:3 Gustav 4/ kl :3-2 Klara 4/ kl 9-:3 Niklas 2 2/ kl 2:3-4 Anna 3 4/ kl :3-2 ElinT 4 4/ kl 9-:3 Puria 5 4/ kl :3-2 Amy 6 5/ kl :3-2 JohannaL 7 5/ kl 9-:3 Veronica 8 5/ kl :3-2 Johannes 9 4/ kl :3-2 Alexandra 2 5/ kl :3-2 Daniel 22 5/ kl :3-2 Matilda 23 5/ kl 9-:3 Victor 24 5/ kl 9-:3 Jonathan 25 5/ kl :3-2 Marcus 26 5/ kl 9-:3 Johan 27 2/ kl 2:3-4 Linn 28 4/ kl :3-2 Obligatorisk närvaro på det egna redovisningstillfället, frivilligt att delta på övriga redovisningar. Kursavslut den 6 januari kl 9 för samtliga, då är det även uppsamling för missade redovisningar. Skriftlig inlämning senast den 23 januari.

REDOVISNINGSUPPGIFT : REELLA RÖTTER Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen x 2 + px + q = har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet a) mellan och b) mellan och 5 c) mellan och N, där N REDOVISNINGSUPPGIFT 2: CIRKELNS TANGENT En cirkel med medelpunkt i origo och radie 5 l.e. beskrivs av x 2 + y 2 = 5 2. Om man drar en tangent till cirkel, så blir denna alltid vinkelrät mot motsvarande radie (en s.k. normal). I punkten (4,3) på cirkeln dras en tangent. Bestäm tangentens riktningskoefficient! Dra istället en tangent i punkten (x,y). Vad blir tangentens riktningskoefficient? Visa detta dels genom att betrakta tangenten som en normal till radien, dels genom att ta fram derivatan y. REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SKATEBOARDRAMP En skateboardramp har en profil som beskrivs av funktionen 2 f (x) = +,3x 2 där x och enhet motsvarar meter. Hur hög är rampen? Bestäm rampens lutning i grader för x = 2. Var är rampen som brantast? Hur ser rampen ut? a Undersök generellt rampen f (x) = + bx 2

REDOVISNINGSUPPGIFT 4: ASTROIDEN Figuren visar en s.k. astroid, som skär x- och y-axeln i punkten a respektive -a. Ekvationen för astroiden är x 2 3 + y 2 3 = a 2 3. Beräkna längden av hela astroidkurvan. Längden L av en kurva mellan x-värderna x och x 2 beräknas enligt formen x 2 ( ) 2 L = + y (x) x Härled formeln för L genom att utnyttja Pythagoras sats. dx REDOVISNINGSUPPGIFT 5: MÄTSTICKAN En familj har i sin villa en stor, liggande cylinderformad oljetank. Hela tanken rymmer 4, m 3. Diametern på tanken är,2 m. Tyvärr har mätstickan till tanken kommit bort Hur mycket olja finns kvar då oljedjupet är,45 meter? Hjälp familjen hur de ska gradera sin egentillverkade mätsticka!

REDOVISNINGSUPPGIFT 6: PARTIALBRÅKSUPPDELNING Det finns integraler som kan lösas med hjälp av partialbråksuppdelning. Ta reda på hur denna metod fungerar och lös följande integraler: 2x + x 2 + 3x + 2 dx x x 2 x 2 dx 8x 9 3x 2 5x 2 dx 3x 2 3x 4 x 3 4x 2 + 5x 2 dx 3x 2 3x 8 dx x 3 ( ) ( ) x 2 + REDOVISNINGSUPPGIFT 7: ELLIPSEN En ellips är en plan kurva med ekvationen x 2 a + y 2 2 b = 2 Beräkna ellipsens area. Bestäm volymen av den ellipsoid som uppstår om ellipsen roterar kring y-axeln. Jämför dina resultat med cirkelns area och klotets volym!

REDOVISNINGSUPPGIFT 8: HYPERBOLISKA FUNKTIONER De trigonometriska funktionerna kallas ibland för cirkulära (härleds ur enhetscirkeln). Det finns en annan grupp av funktioner som kallas hyperboliska. De tre viktigaste av dessa är cosinus hyperbolicus (cosh), sinus hyperbolicus (sinh) och tangens hyperbolicus (tanh). De defineras på följande sätt: cosht = et + e t 2 sinht = et e t 2 tanht = sinht cosht De hyperboliska funktionerna har tydligt släktskap med de cirkulära funktionerna. Finn så många likheter du kan! Studera också derivatan av de hyperboliska funktionerna. Bevisa motsvarigheten till den trigonometriska ettan, som kallas den hyperboliska ettan cosh 2 t sinh 2 t =. Visa att cosh 2 x + sinh 2 x = cosh2x och 2sinh x cosh x = sinh2x. Härled formler för cosh (x+y), sinh (x+y) och tanh (x+y). REDOVISNINGSUPPGIFT 9: DAGSLJUS Du ska beskriva hur antalet timmar med dagsljus beror på tiden, enligt funktionen y = A sink( x + v) där y är antalet timmar dag x (x = den januari). Gå in på www.stjarnhimlen.se/stjh för att få data för Göteborg. Bestäm A, k och v. Ta reda på vad begreppen vårdagjämning, höstdagjämning, vintersolstånd och sommarsolstånd innebär, samt ta reda med hjälp av din graf när detta inträffar. Vid vilka tidpunkter ökar respektive minskar antalet dagsljustimmar som mest?

REDOVISNINGSUPPGIFT : SYMMETRISKA EKVATIONER I ekvationen ax 5 bx 4 + cx 3 + cx 2 bx + a = är koefficienterna parvis lika. Utnyttja detta för att finna en rot till ekvationen. Visa att om ekvationen ax 4 + bx 3 + cx 2 bx + a = ( a ) har en rot x = r så är också x = r en lösning till ekvationen. Lös ekvationen 6x 4 35x 3 + 62x 2 35x + 6 = genom att dividera båda leden med x 2 samt sammanföra termer med samma koefficient och sätta x + x = y. Lös ekvationen x 6 3x 5 x 4 + 6x 3 x 2 3x += REDOVISNINGSUPPGIFT : FÖRÄNDRINGSHASTIGHET Arean av ett klot ökar med den konstanta hastigheten 32 cm 2 /min. Med vilken hastighet ökar klotets volym då radien är 5,5 cm? En upp och nedvänd kon med höjden 6 cm och bottenradien 2 cm är delvis fylld med vatten. Vattnet läcker ut genom konen med en hastighet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. Man fyller på vatten i konen uppifrån. Om påfyllnadshastigheten är cm 3 /min kommer vattenytan att sjunka med,6 cm/min då vattenhöjden i konen är 24 cm. Hur stor ska påfyllnadshastigheten vara ifall man vill att vattenytan skall hålla sig konstant på en nivå? En annan upp och nedvänd kon med toppvinkeln 9 fylls med vatten med hastigheten q m 3 /s. Med vilken hastighet stiger vattenytan då vattendjupet är y m? Hur ser uttrycket ut för en godtycklig toppvinkel α?

REDOVISNINGSUPPGIFT 2: TÄLTET Ett tält har formen av en halv sfär med en regelbunden sexhörning som basyta. Dela tältet i ett antal skivor som får en regelbunden sexhörning som basyta. Bestäm sedan volymen genom integration. Vilka mått får tältet för olika volymer mellan,5 m 3 och 2, m 3? REDOVISNINGSUPPGIFT 3: SINUSKVADRATICUS De vanliga trigonometriska funktionerna sin v och cos v definieras som bekant av enhetscirkeln. Byt ut enhetscirkeln mot en kvadrat och definiera de nya funktionerna sink v (sinuskvadraticus) och cosk v (cosinuskvadraticus). y - x - Din uppgift blir att undersöka de nya funktionerna! Hur beräkna man funktionsvärdena? T.ex. sink och cosk 75. Hur ser graferna ut? Är funktionerna periodiska och i så fall vad är perioden? Hur löser man ekvationer av typen sink v = och cosk v =,8? Har t.ex. trigonometriska ettan och formlerna för dubbla vinkeln någon motsvarighet för de nya funktionerna? Går det att göra ett program som ger funktionsvärdet då vinkeln är given och omvänt ger vinkeln då funktionsvärdet är givet?

REDOVISNINGSUPPGIFT 4: PARABOLISKA SEGMENTET En vågrät linje skär en andragradskurva i punkterna A och B. Linjen AB och andragradskurvan innesluter ett område. Detta område kallas ett paraboliskt segment. Den tangent till kurvan som är parallell med kordan AB tangerar kurvan i C. Den grekiske matematikern, fysikern och uppfinnaren Arkimedes (287-22 f.kr.) upptäckte att arean av triangeln ABC och arean av det paraboliska segmentet alltid har samma förhållande. Undersök vilket förhållandet är genom att beräkna det paraboliska segmentet och den inskrivna triangeln som begränsas av funktionen y = x 2 + 2x samt x-axeln. Visa att sambandet gäller generellt. Andragradsfunktionen y = x 2 skärs av linjen y = kx + m i punkterna A och B. Sträckan AB är en korda till andragradsfunktionen. Punkten C bestäms som ovan av att tangenten till andragradsfunktionen i C ska vara parallell med kordan AB. Undersök om Arkimedes samband gäller även då kordan inte är parallell med x-axeln.

REDOVISNINGSUPPGIFT 5: HÖGAKUSTENBRON En kedja som hänger mellan två punkter får formen av en kedjelinje som har den allmänna ekvationen f (x) = A cosh x A + B + C där cosh kallas för cosinus hyperbolicus och definieras av cosh x = ex + e x. 2 Högakustenbron norr om Härnösand i Ångermanland är en av världens längsta hängbroar. Kablarna bildar en kurva som approximativt kan beskrivas med funktionsuttrycket x y =36 cosh 36,4448 37 där x är horisontella avståndet från ena tornet och y är höjden över vattenytan. Vilken definitionsmängd har funktionen? Hur långt är det mellan brotornen? Beräkna hur högt upp kablarnas upphängningspunkter ligger. Uppskatta den segelfria höjden. Vilket motsvarande funktionsuttryck får brokablarna till Golden Gate bron i San Fransisco där avståndet mellan brotornen är 28 m, tornens höjd är 227 m och den segelfria höjden är 67 m? Jämför kablarnas längder i de båda broarna. Formeln för längden L av grafen till f(x) ( ) 2 från x = a och x = b ges av formeln L = + f (x) b a dx. REDOVISNINGSUPPGIFT 6: CYKLOMETRISKA FUNKTIONER De inversa funktionerna till de trigonometriska funktionerna kallas arcussin x, arcuscosinus x och arcustangens x. Ett gemensamt namn för dessa funktioner är cyklometriska funktioner. Studera hur graferna till de cyklometriska funktionerna ser ut. Förklara varför de ser ut som de gör! Bestäm definitions- och värdemängd för funktionerna. Visa att arcsin x = arccos x 2 för x. Visa att arcsin x = arctan x för < x <. x 2 Härled derivatan till de cyklometriska funktionerna samt ange deras definitionsmängd. Bestäm andraderivatan och tredjederivatan för y = arctan x.

REDOVISNINGSUPPGIFT 7: PARTIALINTEGRATION Omvändningen av produktregeln vid derivering används när man gör s.k. partialintegration: f (x)g(x)dx = F(x)g(x) F(x) g (x)dx Härled denna formel och använd metoden för att göra följande integralberäkningar (svara exakt): 2 x 2 ln x dx π x 2 sin( 2x) dx 2 x e 2x dx REDOVISNINGSUPPGIFT 8: BRÅKIGA VINKLAR En vinkel α är bråkig om både sin α och cos α kan skrivas i bråkform. Visa att om α är bråkig så är även komplementvinkeln bråkig. Visa att om α är bråkig så är även α/2 bråkig. Visa att om α är bråkig så är även 2α bråkig. Visa att om α och β är bråkiga så är även α+β och α-β bråkig. Visa att det inte finns en minsta bråkig vinkel. En konvex månghörning (alla vinklar är mindre än 8 ) är bråkig om alla dess vinklar är bråkiga. Visa att om sidorna i en triangel kan skrivas i bråkform så är triangelns alla vinklar bråkiga.

REDOVISNINGSUPPGIFT 9: KONVERGENT OCH DIVERGENT Om en integral är integrerbar över ett viss intervall och ett gränsvärde existerar säger man att integralen är konvergent. Om däremot gränsvärdet inte existerar säger man att integralen är divergent. Visa följande satser: dx är konvergent om α >. x α dx är konvergent om α <. x α Visa att följande integraler är konvergenta samt beräkna dess värde: e x dx x e x 2 dx Visa att följande integraler är divergenta: 2x + x 2 dx sin x dx

REDOVISNINGSUPPGIFT 2: LOGISTISK TILLVÄXT En population av en djurart inom ett avgränsat område växer till en början exponentiellt. Men blir tillgången på näring sämre är inte längre förändringsfaktorn konstant. Då börjar tillväxttakten att avta och når till slut värdet när miljöns bärförmåga har uppnåtts. Tillväxten kan beskrivas med den logistiska ekvationen x n + = k x n ( x n ) Konstanten k sammanfattar egenskaper som bestämmer populationens utveckling. Det gäller dessutom att x n = N(n) N max vilket betyder att x n är antalet individer, N, vid tidsenheten n dividerat med det möjliga antalet individer N max. Ta reda på historien bakom logistisk populationstillväxt vem formulerade lagen? Undersök hur olika värden på k och x bestämmer hur tillväxten kommer att utvecklas. För vissa värden på k sker förändringar i det sätt på vilket populationen utvecklas. Försök att bestämma några av dessa k-värden. REDOVISNINGSUPPGIFT 2: LOGARITMISK DERIVERING Härled deriveringsregeln för f (x) = ln( g(x) ). Derivera funktionen f (x) = x x. Har funktionen några extrempunkter? Motivera! Härled deriveringsregeln för f (x) = log a x Bestäm andraderivatan till funktionen f (x) = lg x. Visa att den primitiva funktionen till f (x) = ln x är F(x) = x ln x x + C. Använd detta för att bestämma a så att ln x dx =. a Ta fram den primitiva funktionen till f (x) = tan x. Bestäm också definitionsmängden.

REDOVISNINGSUPPGIFT 22: NUMERISKA METODER Ekvationen ln x = 2 x kan inte lösas algebraiskt. Använd den numeriska metoden Newton- Raphson för att lösa problemet. Förklara hur metoden går till och förklara iterationsformeln x n + = x n f (x n) f (x n ). Hur kan Newton Raphson s metod användas med miniräknaren? Använd Simpsons formel för att beräkna integralen x 2 + dx. Förklara hur metoden är uppbyggd! 2 REDOVISNINGSUPPGIFT 23: ANTAL RÖTTER Undersök algebraiskt antalet rötter till ekvationen x 2 = a ex x + för olika värden på konstanten a. REDOVISNINGSUPPGIFT 24: LJUSSTAKE För att få en välsvarvad ljusstake kan man låta funktionen i intervallet. Vilken blir ljusstakens volym? Vilken blir volymen då man generellt låter rotera kring x-axeln? rotera kring x-axeln

REDOVISNINGSUPPGIFT 25: VARIABELSUBSTITUTION För att lösa vissa typer av integraler behöver man göra s.k. variabelsubstitution. Anta att man önskar beräkna integralen b b a β f (x) dx. Om g(α) = a och g(β) = b så gäller att f (x) dx = f ( g(t) ) g (t) dt a α Förklara vad metoden innebär! Lös integralen x 2 dx genom att ersätta x = sin t. Lös integralen 4 x + x dx genom att ersätta x = t 2. Lös följande integraler genom lämplig variabelsubstitution: 3 8 x 2 + 4x 3 dx cos( + x ) dx + x

REDOVISNINGSUPPGIFT 26: POTENSFUNKTIONER Figuren föreställer grafen till funktionen y = x n, x, där n är ett reellt tal större än noll. Från den punkt på kurvan där x-koordinaten är c (där c är en positiv konstant) dras linjer parallellt med de båda koordinataxlarna. Dessa linjer avgränsar tillsammans med koordinataxlarna och grafen två områden med areorna A och A 2. Sätt n = 2 och undersök för olika värden på c vad kvoten A slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på c när n = 2. Sätt c = och undersök för olika värden på n vad kvoten A slutsats! Visa att denna slutsats gäller för alla värden på n när c =. A 2 A 2 blir. Formulera en blir. Formulera en Låt nu både c och n variera. Formulera en slutsats om kvoten A slutsats gäller för alla värden på c och n. A 2 och visa att din REDOVISNINGSUPPGIFT 27: MacLaurins FORMEL En godtycklig funktion kan approximeras med MacLaurins formel, förutsatt att funktionen är deriverbar. - Ta reda på hur formeln ser ut, och förklara varför den ger bättre och bättre uppskattningar ju fler termer man tar med. - Bestäm MacLaurinserien för f(x) = cos x och jämför grafiskt cosinusfunktionen med MacLaurinpolynomet av grad, 2, 3 o.s.v. - Gör detsamma för f(x) = e x

REDOVISNINGSUPPGIFT 28: DIFFERENTIALEKVATIONER Inom naturvetenskapen formulerar man teorier utgående från observationer och experiment. Man tar fram matematiska modeller som beskriver olika förlopp, och med hjälp av dessa modeller kan man ofta dra slutsatser om verkligheten i nya situationer. Vanligtvis ingår differentialekvationer i de matematiska modellerna. Ta reda på vad en linjär differentialekvation innebär. Vad anger differentialekvationens ordning? Man skiljer mellan homogena och inhomogena differentialekvationer, vad är definitionen för detta? Antag att r är en reell rot till r 2 + ar + b =. Visa att y = Ce rx är en lösning till y + a y + by =. Visa att om r är en dubbelrot så är även Cxe rx en lösning till y + a y + by =. En kropp startar vid tiden t = från stillastående i origo och drivs i y-axelns riktning av den konstanta kraften k. Bromskraften är proportionell mot hastigheten med proportionalitetskonstanten p varigenom rörelsens differentialekvation blir d 2 y dt 2 + p dy dt = k Visa att differentialekvationen har lösningen y = k p 2 e pt ( ) + kt p