Varför blir matematik så svårt?

Varför blir matematik så svårt? Johan Lithner Det är känt att många studerande arbetar på ett matematiskt ytligt sätt. Här ges exempel på hur rutinartade elevstrategier ger upphov till svårigheter. Situationerna är hämtade från grundläggande universitetsstudier men kunde lika gärna ha kommit från grund- eller gymnasieskolan. Några undersökningar som behandlar rutiniseringens karaktär och orsaker behandlas och analyseras. Förslag ges till egna observationer. Matematik ett efterfrågat ämne Första året av matematikstudier vid universitet och högskola är numera, liksom gymnasieskolan sedan en tid, av massutbildningskaraktär. Efterfrågan från samhället på personer med matematikintensiva utbildningar är mycket större än tillgången, t ex inom naturvetenskap, teknik och datavetenskap. Kortfattat kan man säga att vi har ett stort problem: Vi klarar inte att hjälpa tillräckligt många att nå en önskad matematisk kompetens. Förutom i samhällsperspektivet är studiemisslyckande naturligtvis även ett stort problem från individens perspektiv. I storleksordningen 10 40 % (beroende på studieinriktning) avbryter sina högskolestudier i matematik. Jag uppskattar att 20 50 % av de som fullföljer gör det med mycket stora svårigheter. Även bland majoriteten av de som genomför studierna finns tydliga tecken på stora svagheter i kompetens. Undersökningarna som beskrivs i det följande gäller inledande högskolestudier. Troligen är problemen ungefär de samma i gymnasiet och kanske även på högstadiet. Detta är också ett internationellt problem (Artigue 1998; Niss 1998). Johan Lithner är universitetslektor i matematikdidaktik vid Umeå universitet. Varför forska? Centrala frågor att studera i sammanhanget är: a) Vad är problemens karaktär? b) Vilka är problemens orsaker? c) Vilka är de bästa åtgärderna? Jag har under de senaste åren läst om och, på ett ibland mer och ibland mindre strukturerat sätt, diskuterat dessa frågor med bl a lärare, matematiker, forskare, administratörer och studerande. Jag slås då av den mycket stora mångfalden och spridningen hos svaren; t ex att eleverna är lata, ointelligenta eller att de inget lär sig på tidigare utbildningsstadier, att undervisningen är dåligt anpassad till elever/studenter eller målen, att det antingen är för lite eller för mycket av prov, betyg, algoritmer, grafräknare, föreläsningar, smågruppsundervisning, projektarbeten, individualisering, verklighetsmatematik, undersökande arbetssätt, ämnesstoff, svåra eller enkla uppgifter. Eller att svårigheterna orsakas av massutbildningen, resursminskningar, ändrade attityder etc. Mer om gymnasieelevers och lärares synpunkter kring detta finns att läsa i Gustafsson (2000). Från denna mångfald och spridning kan man dra två hypotetiska slutsatser: 1. Svaren på frågorna a c ovan är komplexa. Detta styrks även av forskningens samlade resultat, många komplicerade faktorer inverkar (Niss 1998). 46 Nämnaren nr 4, 2000

2. Vi vet relativt lite om problemen. Det är ett i sig relativt påstående, men man kan notera avsaknaden av tydliga svar i forskningslitteraturen. Tusentals lärare och forskare världen över har länge arbetat hårt med att utveckla matematikundervisningen samtidigt som många svårigheter kvarstår. En konsekvens är att det är svårt att föreslå välgrundade åtgärder. Därför är det rimligt att utvecklingsförsöken kompletteras med forskning kring ovanstående frågor. En undersökning Inom frågeställningarna a c ovan finns, på en mer preciserad nivå, en mycket stor mängd frågor som kan undersökas ur en mängd olika aspekter. En av dessa är: Vad är karaktären och orsakerna beträffande studenters svårigheter vid arbete med matematikuppgifter? En av anledningarna till att undersöka denna fråga är helt enkelt att minst hälften av studietiden i matematik används till att arbeta med förproducerade matematikuppgifter. Dessutom examineras och diagnosticeras de på uppgifter i olika typer av prov och tester. Här ges en beskrivning av en undersökning som resulterade i två rapporter (Lithner 2000a; 2000b). Den första behandlar en bredare fråga, med utgångspunkt från fyra studenters arbete med två uppgifter: Vilka är de avgörande svårigheterna för dessa fyra studenter i arbetet med uppgifterna? Studenterna mötte en mängd, mindre och större, svårigheter, men vilka av dessa var avgörande för deras framsteg och motgångar, och vilka är perifera? Resultaten ledde till en ytterligare, mer avgränsad och djupare analys av samma material: Vilka typer av matematiska resonemang använder studenter i problematiska situationer, och varför? Nämnaren nr 4, 2000 Fyra förstaårsstudenter arbetade enskilt med uppgifterna i en tentamensliknande situation, med grafräknare som enda hjälpmedel. Arbetet videofilmades och tolkades med avseende på det bakomliggande resonemanget, varför göra si eller så i en viss situation, för att försöka förklara orsakerna till framsteg och motgångar. Denna tolkning diskuterades med studenten ca tre dagar efter videoinspelningen, och studenten fick möjlighet att föreslå korrigeringar och förtydliganden. I (Lithner 2000b) avgränsades analysen med hjälp av vissa teoretiska ramverk. Nedan beskrivs kort tre situationer, för fler och utförligare beskrivningar, se Lithner (2000a; 2000b). Det bör påpekas att det är vanliga och representativa svårigheter som fokuseras, inte dramatiska extremfall som kan vara intressanta i kuriosamening. Studenternas arbete Exempel 1 Som ett delmoment i en uppgift ska Alf söka max till vinstfunktionen: V(x) = x 2 1300x + 420000, x tillhör [400, 600] Alf deriverar V och söker nollstället till derivatan: V (x) = 2x 1300 = 0 => x = 650 Han deriverar igen och får andraderivatan: V (650) = 2 Alf använder alltså en standardprocedur för att med förstaderivatan lokalisera eventuella extremvärden. Sedan försöker han klassificera dem som maximum eller minimum med hjälp av andraderivatatestet: Om förstaderivatan V (a) är noll så har funktionen V en extrempunkt (max, min eller inflektionspunkt) i x = a, eftersom tangenten där är horisontell. Om dessutom andraderivatan V (x) är positiv för x i en omgivning till a (vilket den är i detta fall), så har V ett minimum i x = a, eftersom lutningen hos grafen ökar när x ökar dvs kurvan är konkav uppåt och har ett minimum i x = 650. Alf missar att x = 650 ligger utanför intervallet [400, 600], samt att kurvan är U-formad och har max i ändpunkten x = 400. 47

Alf blir lite förbryllad och säger: Konstigt, det känns som det skulle vara ett minimum, eftersom V är positiv. Efter en stunds tvekan beslutar han sig för att byta metod: Vi kan strunta i andraderivatan, och undersöka förstaderivatan nära x = 650. Alf kommer fram till att V (600) är negativt och att V är positivt till höger om x=650, så han ritar: Alf använder här en annan standardprocedur, undersökning av förstaderivatans tecken: V är negativt och därför är V avtagande till vänster om x = 650, och V positivt och därför är V växande till höger om x = 650. Det medför att V har ett minimum i x = 650. Alf blir än mer förbryllad: Det känns som det blir ett minimum? Vad håller jag på med? Under några minuter svänger han hit och dit, och vet inte riktigt vad han ska göra. Halvt uppgiven beräknar han V(650) och kommer till sin stora förvåning fram till att det blir negativt: V(650) = 2500 Alf anser att en negativ vinst är orimlig, och ifrågasätter därför sitt tidigare arbete, men först efter att 10 minuter passerat sedan han beräknade V (x) = 2 ovan. Efter ytterligare någon minut kommer han på att kontrollera ändpunkterna och löser deluppgiften korrekt. Mycket kan sägas om hans arbete, t ex kunde han ritat en graf med grafräknaren och förmodligen snabbt rett ut problemen ovan. Det centrala i Alfs arbete är att han är förbryllad över två motsägelsefulla påståenden: i) Han förväntar sig att finna max vid V (x)= 0 (fel) ii) Han tror att V (650) = 0 och V (650)=2 => x = 650 min (rätt) Alf avfärdar ii) på grund av att: a) Enligt hans erfarenhet är det extremt vanligt att hitta svaret till en max- eller min-uppgift där derivatan är noll. Denna förväntan är mycket stark. b) Trots att han rätt säker på ii), har han aldrig förstått varför och kan inte testa om det stämmer genom något matematiskt resonemang. Alf försöker inte ens. Exempel 2 a) Skissa grafen till f (x). b) Vad är f( 2), f (0) och f (2)? c) Skissa grafen till g(x), om g (x) = f(x). y 1 Jan arbetar med uppgift 2a, och ritar först linjen y = 2 för intervallet ( 3, 1). Han säger sedan att den (f) borde bli 0 på ( 1, 0), men han tvekar en stund och ritar inte ut linjen y = 0. Istället skissar han skickligt grafen till f på (0, 4): Anledningen till Jans tvekan över grafens utseende på intervallet ( 1, 0) är enbart att grafen ser ovanlig ut. Funktionen är inte kontinuerlig på hela intervallet ( 3, 4). Jan reder ut svårigheten genom att skriva: f(x) = 2, f (x) =0. Han ritar omedelbart in linjen y = 0 på intervallet ( 1, 0), verkar nöjd med detta och går direkt till nästa uppgift. Jan reflekterar inte över varför problemen bakom hans tvekan lösts. Att med den algoritmiska metoden bestämma f (x) upplevs som välbekant (och därför säkert). Det 1 f( x) x 48 Nämnaren nr 4, 2000

räcker för att han ska bli nöjd. Han har egentligen inte alls behandlat frågan om diskontinuitet. Grafen är väsentligen riktig, men han har inte reflekterat över om f är definierad i x = 1 och x = 0. Exempel 2c är ovanligt, men det är inte uppgiftens karaktär som är mest intressant, utan det sätt som Per (en annan student) arbetar med den. I intervallet ( 3, 1) försöker Per lösa uppgiften med välbekanta algoritmiska metoder: Eftersom grafen till f(x) är en linje kan den skrivas på formen y = kx + m. Bestäm k och m, och integrera därefter. Per gör flera slarvfel och först efter 20 minuter kommer han fram till nedanstående felaktiga skiss av g(x): Per reflekterar inte över sitt svar, utan går omedelbart till nästa deluppgift. Jag avbryter honom: Är f derivatan till g? Nej, derivatan till g är positiv (han pekar på sin figur ovan), men inte f (han pekar på ( 3, 1) i figuren i Exempel 2). Kan du utifrån detta resonemang göra en grov skiss av g på ( 3, 1)? Först är derivatan positiv (han pekar på figuren i Exempel 2), sen negativ: Mina frågor ger endast försiktig ledning. Per har redan kunskapsbasen för att skickligt konstruera en helt annan typ av matematiskt resonemang än tidigare och det tar honom bara någon minut att komma fram Nämnaren nr 4, 2000 till en hyfsad figur. Varför gör Per inte så själv från början? Resonemanget kunde ju t ex förfinats till en mer precis figur, eller använts som stöd till hans första algoritmiska metod. Han säger senare att han är ovan vid att konstruera denna typ av resonemang, och att det känns säkrare med välbekanta algoritmiska metoder. Analys av exemplen Antag att man hamnar i någon svårighet i en uppgiftslösningssituation. Då är ett möjligt sätt beskriva lösningsförsöket följande struktur (Lithner 2000b): (1) Problematisk situation. En svårighet där det inte är uppenbart hur man ska fortsätta. (2) Strategival. En möjlighet är att välja (i vid mening: välja, minnas, rekonstruera, konstruera, etc) en strategi som kan lösa svårigheten. Detta val kan stödjas av en Förutsägande argumentation: Kommer strategin att lösa den problematiska situationen? (3) Strategigenomförande. Kan stödjas av Verifierande argumentation: Har strategin löst den problematiska situationen? (4) Slutsats. Ett resultat erhålls. Förenklat kan första delen av Alfs arbete struktureras som: (2) Strategival: Maximeringsuppgifter löses genom att identifiera var derivatan är 0, därför att man brukar göra så. (3) Strategigenomförande: Man verifierar att svaret är rätt genom att tillämpa välbekanta testmetoder. Denna erfarenhetsbaserade strategi är matematiskt ytlig, men även stabil. Det tar lång tid innan han överger den. Jans arbete: (1) Problematisk situation: Grafen han vill rita upplever han som troligen fel, eftersom de brukar vara kontinuerliga på hela intervallet. Hur ser f ut på (-1, 0)? (2) Strategival: Deriveringsalgoritmen, eftersom den är välbekant och säker. 49

Metoden övertygar p g a att den är välbekant, han har egentligen inte behandlat den matematiska orsaken (var f är definierad) till svårigheterna. Pers arbete (i 20 min) fram till den första, felaktiga, figuren: (2) Strategival: Den mest välbekanta metoden är att identifiera k och m i y=kx+m. Integrerar sen med välbekant algoritm. (3) Strategigenomförande: Kunde ha lyckats, men det innehåller många steg vilka ger några slarvfel. Ingen verifierande argumentation eller kontroll av svaret. Huvudorsaken till dessa studenters svårigheter i de beskrivna situationerna är att i väsentligen hela deras arbete gäller att: (A) Resonemangen baseras väsentligen enbart på (ibland ytliga och övergeneraliserade) väletablerade erfarenheter från inlärningsmiljön, även i icke-rutinmässiga situationer, eller där rutinerna trasslar till sig. En annan typ av resonemang genomför Per, först när han noterar att hans första figur är felaktig: (1) Problematisk situation: Figuren riktig? (2) Strategival: Anta figuren riktig, testa om derivatan av figuren ger f(x). (3) Strategigenomförande: Figurens derivata är positiv, men f är inte positiv. (4) Slutsats: Figuren är felaktig. I nästa steg skissar Per en hyfsad graf: (2) Strategival: Omformulera frågan: Hur ser grafen till g ut, om f är dess derivata? (3) Strategigenomförande: f beskriver lutningen hos g, och är först positiv, sedan 0 och sedan negativ, dvs g ökar först, blir sedan horisontell för att slutligen avta. Resonemangen baseras här på matematiska egenskaper hos derivatan. I motsats till ovan, beror framstegen på: (B) En konstruktion av resonemang som baseras på matematiska egenskaper hos de inblandade komponenterna. Slutsats Huvudorsaken till dessa studenters svårigheter i beskrivna situationer är deras genomgående fokus på resonemang av typ (A) och frånvaron av resonemang av typ (B), även där det senare relativt enkelt kunde lett till stora framsteg. För en utförligare argumentation, samt analys av relationen till Schoenfelds (1985, 1992) aspekter av problemlösningskompetens, se Lithner (2000b). Följdfrågor och fortsatta undersökningar Om det beskrivna arbetssättet är representativt för matematikstuderande och slutsatsen ovan är riktig, så leder det till en naturlig följdfråga: Varför detta arbetssätt? En av många centrala aspekter att undersöka är studerandes arbete med uppgifter i läroboken, eftersom de ofta ägnar minst halva sin studietid åt detta. I (Lithner 2000c) undersöktes möjligheten (inte hur studenter i själva verket gör) att lösa uppgifter ur läroböcker från inledande universitetsnivå på ett matematiskt ytligt sätt, utan att ta hänsyn till de grundläggande matematiska egenskaperna hos de i lösningen inblandade komponenterna, jämför (B) ovan. Analysmetod och resultat är förmodligen liknande för t ex gymnasieböcker. Resultaten kan kortfattat beskrivas som att ca 70% av uppgifterna kan lösas genom strategivalet att på ett matematiskt ytligt sätt identifiera liknande lösta exempel eller någon form av regel, och strategigenomförandet att kopiera dessa. Detta kan göras utan att konstruera egna resonemang, ja t om utan att överhuvudtaget beakta de (ofta avancerade) matematiska egenskaperna hos uppgiftens komponenter. I ca 20 % av uppgifterna är strategivalet fortfarande att identifiera liknande exempel eller regler, men i strategigenomförandet måste en mindre lokal modifiering av den givna lösningsmetoden göras. I endast 10 % av uppgifterna måste de globala matematiska egenskaperna beaktas och egna resonemang konstrueras. Dessa kan kallas kreativa problem. Dessa återfinns nästan bara bland de svåra uppgifterna i slutet, vilket medför att merparten av de studerande kanske aldrig ens provar denna typ. 50 Nämnaren nr 4, 2000

Hur studenter i själva verket arbetar med läroboken har jag också undersökt (Lithner 2000d). Studenter har filmats när de arbetar med sina normala hemstudier. Resultaten indikerar att studenterna oftast är inriktade på den identifierings- och kopieringsstrategi som beskrivs ovan, ibland på ett långt drivet, och matematiskt sett, extremt ytligt vis. I den mån de eftersträvar förståelse i uppgiftslösningsprocessen är det huvudsakligen på lokal detaljnivå, inte att för att förstå de övergripande idéerna eller (där de kör fast) basera resonemangen på egna konstruktioner utgående från de matematiska egenskaperna. En av huvudorsakerna till problemen kan finnas i den inlärningsmiljö vi erbjuder våra elever: De kanske fostras i att inte tänka matematiskt utan att istället bara söka efter givna lösningsprocedurer? Det senare är naturligtvis inget fel i sig, problemet uppstår när sökande efter givna procedurer är den enda metoden man ser som tänkbar, och att man i varje problematisk situation blir ställd när ingen sådan kan minnas eller hittas. Detta kan i sin tur leda till ett arbetssätt som baseras på resonemang (A) ovan. Några frågeställningar och förslag till aktiviteter Hur arbetar dina elever? Ofta är det svårt att hinna med mer än att rusa runt i klassrummet och slänga ur sig tips, ledtrådar och hänvisningar till lösta exempel när eleverna behöver hjälp med uppgifter. Det kan leda till nya insikter i deras arbetssätt, om man har möjlighet att under en längre tid, säg 10-60 minuter, tyst följa en eller några elevers arbete utan att vägleda dem, endast be dem förklara hur de resonerar. Smågruppsarbete En metod som ibland, men definitivt inte alltid, kan ge mer tid till för mer ingående matematiska resonemang med eleverna är smågruppsarbete (ca fyra /grupp), där en av gruppens huvuduppgifter är att hjälpa varandra när man kör fast, innan man ber om lärarens hjälp. Se tex Dunkels (1996). Finns det kreativa uppgifter? Vilken typ av uppgifter dominerar i din lärobok? Kopieringsuppgifter där det är lätt att hitta liknande lösta exempel, eller mer kreativa problem? Är alla uppgifter som kräver egna, kreativa, lösningsresonemang samtidigt mycket svåra, eller finns det kreativa problem som även de elever som har svårt med studierna kan lösa? Hur ser det ut i Nationella proven? Schoenfeld (1985) beskriver utförligt och informativt undersökningar om elevers arbete med kreativa problem. Referenser Artigue, M. (1998). What can we learn from Didactic Research carried out at University Level, Preproceedings. ICMI Study Conference, On the Teaching and Learning of Mathematics at University Level. Singapore. Dunkels, A. (1996). Contributions to Mathematical Knowledge and its Acquisition. Doctoral thesis, Luleaa University. Sweden. Gustafsson, B. (2000). Lärare och elevers synpunkter på elevernas matematiksvårigheter. C-uppsats under bearbetning. Lithner, J. (2000a). Mathematical reasoning and familiar procedures. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, Vol. 31, no 1. Lithner, J. (2000b). Mathematical reasoning in school tasks. Educational Studies in Mathematics 41(2). Lithner, J. (2000c). Mathematical reasoning in calculus textbook exerciseses. Research reports in mathematics education 1, Department of mathematics. Umeaa university. Lithner, J. (2000d). Students mathematical reasoning in textbook exercises. Under bearbetning. Niss, M. (1998). Aspects of the nature and state of research in mathematics education. Documenta Mathematica. Extra volume, ICM 98, III. Schoenfeld, A. (1985). Mathematical problem solving. Academic Press. Schoenfeld, A.. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. In D. Grouws (Ed.). Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning. Macmillan. Nämnaren nr 4, 2000 51