Tillämpad Matematik I Övning 3

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 1 Tillämpad Matematik I Övning 3 Allmänt Övningsuppgifterna, speciellt Typuppgifter i första hand, är eempel på uppgifter du kommer att möta på tentamen. På denna är du ensam, så det är viktigt att du klarar av uppgifterna på egen hand! Trots detta rekommenderas och uppmuntras arbete i grupp samt användning av Mathematica även där endast handräkning förväntas! I lösningsförslagen hittar du oftast både handräkning och Mathematica, detta för att du ska få träning på båda! Avsaknad av lösningsförslag eller "snåla" sådana ska tolkas positivt som en inspiration och utmana dig till att fylla igen luckor och verifiera det som är gjort. Ha teorikompendierna till hands, där finns många lösta eempel. Uppgifter Typuppgifter i första hand 1. Bestäm f ' då f är 2, 3, 5 3, sin 2Π, 9 3, 2 2. Bestäm f ' då f är 4 2, sin 5, 3. Bestäm f ' då f är sin,,, 1 cos, ln,, cos, 8 4 respektive sin Π. 1 4 2 3, ln 3, 7, cos 6 respektive 2 8 4. 4. Bestäm största och minsta värde till f 2 2 i intervallet 2, 1. 2 4 2 3, ln 42, 7 ln 2, cos 2 6, 2 sin 4, sin respektive 2 2 8 4. 5. Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y i den punkt på kurvan som har koordinaten lika med 1. 4 y,y T,y N 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 6. Vilket värde har y 1 då, y sin 4t och t Π? edning: Kedjeregeln! tan 3 7. Bestäm f, fy, '' '' '' '' f, f y, f y och f yy i punkten 3, 1 då f, y 3 3 y 2 y och i 2, Π då f, y sin y 2 cos 2y. 8. Bestäm y' i punkten 1, 2 då 4y 2 12y 13 5. 9. Sök y i punkten 2, y 1 på kurvan 2 y 2sin Π y 2 2. 10. En räv promenerar längs stigen y 3 1. Sök y då 0, y 1 och 4. 11. åt V och A vara volymen respektive arean för ett klot. Sök V A som funktion av A. edning: V klot 4Πr3 3, A klot 4Πr 2. 1.2 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 y 1.0 0.5 0.5 1.0

2 Tillämpad Matematik I, Övning 3 HH/ITE/BN 12. En vattentank läcker så att volymen i m 3 är V 250 4t 2, där tiden t mäts i sekunder. Sök volymflödet ur tanken då t 2s samt precis då den blir tom. 13. Om t mäts i sekunder ges läget för en bil av uttrycket s 1 4 t2 2t m. Sök läge, hastighet och acceleration då t 4s. 14. Enligt Newton är kraften F m. Bestäm erforderlig kraft då massan 5 kg svänger enligt 1 100 sin 4t Π 4 m. 15. Vid medicinering mot transpirationsproblem är det viktigt att uppskatta arean av patientens hud. Mosteller har föreslagit modellen S c mh, där S är hudarean i m 2, c 1, m patientens vikt i kg och h längden i m. 6 a Ange enheten på konstanten c. b En patient med längden 180 cm håller diet. Vikten rasar med 1 kg vecka. Med vilken hastighet minskar arean på huden då patienten väger 110 kg? 16. En investering I 0 i $ tillväer med räntan r enligt I I 0 rt 100. Bland finansfolk brukar man höra ''69 regeln'' som innebär att tiden T till dess att en investering fördubblat sitt värde är ungefär T 69. Ge ett stöd för detta r 17. För en viss typ av gas gäller sambandet pv 2 18 mellan tryck och volym. Bestäm p då p 2, V 3 och V 6. 18. Under en arbetsdag med grävskopan ökar volymen av en konformad grushög med V 9Π. Vid en tidpunkt var radien r 2, höjden h 2 och r 3. Sök h vid denna tidpunkt. edning: V kon 1 3 Πr2 h. 19. Ur en sfärisk ballong strömmar luft med konstant flöde 300 cm 3 min. Med vilken hastighet minskar radien då den är 5 cm? edning: V sfär 4 3 Πr3. 20. I en rak cirkulär kon enligt figur rinner vatten med flödet 5 cm 3 min ut genom en öppning i spetsen. Sök r och y då djupet y 9cm.edning: V kon 1 3 Πr2 h.

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 3 21. En rektangel med basen är inskriven i en cirkel med radien 2. Sök då rektangelns area är maimal. 22. En öppen låda med kvadratisk botten har en total mantelarea av 5 m 2. Sök sidan på den kvadratiska bottnen så att lådans volym blir maimal. 23. Av ett snöre med längden formas en rektangel som sedan får svepa runt längs sin ena sida så att en cylinder bildas. Hur stor volym kan en sådan cylinder ha? 24. I en halvcirkel med radien 2 är en parallelltrapets inskriven enligt figur. Sök Θ så att parallelltrapetsens area blir så stor som möjligt 25. En cirkelsektor med medelpunktsvinkeln Θ, radien r och båglängden b har omkretsen 1. Sök Θ så att arean blir maimal. r q b 26. I triangeln ABC är sidorna BA och BC lika långa. Punkten D ligger mitt på AC och punkten E mitt på BC. Avståndet mellan D och E är alltid konstant. Hur stor kan en sådan triangel bli? B E A D C 27. I en rektangel är avståndet från mittpunkten på basen till ett motstående hörn konstant. Hur stor kan en sådan rektangel bli? 28. Sök minsta avståndet från punkten 0, 1 till kurvan y 2, 0. y 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 29. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal. 6 8

4 Tillämpad Matematik I, Övning 3 HH/ITE/BN 30. En stege med längden lutas mot en vägg. Hur långt ut från väggen ska dess kontaktpunkt med marken vara för att en så lång person som möjligt ska kunna gå under stegen på avståndet från väggen? 4 h y ma? 4 31. Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk med given volym V. Bestäm radie och höjd i den burk som kräver minst materialåtgång, det vill säga har minst total area. 32. Bestäm maimala volymen för en cylindrisk konservburk om totala arean är konstant A. 33. Bestäm maimala volymen för en öppen cirkulär kon med given mantelyta A. edning: V kon 1 3 Πr2 h. 34. En leverantör av nypon behöver hyra in arbetare för att plocka rent sina 900 buskar.varje arbetare kan plocka rent 5 buskar h och avlönas med 50 kr h. everantören måste även betala en förman med 75 kr h samt en fast kostnad på 80 kr arbetare. Hur många arbetare ska leverantören hyra in för att minimera sin kostnad? 35. En raket skjuts iväg rakt upp. På avståndet 3 mil från uppskjutningsplatsen noterar en radarstation att vid en viss tidpunkt är avståndet 5 mil till raketen samt att detta avstånd ökar med 40 mil h. Sök raketens hastighet v vid denna tidpunkt. 36. En person iaktar ett flygplan som flyger på konstant höjd 4000 m. Vid detta tillfälle var elevationsvinkeln Θ 30 och dess ändringshastighet Θ 0.01 rad s. Sök plantets hastighet.

HH/ITE/BN Tillämpad Matematik I, Övning 3 5 Etrauppgifter i andra hand i mån av tid 37. Bestäm f ' då f är 2, cos 3, 5 3, sin 2, 8, 2 2, ln 3 2, 4, tan, 3 8 4 respektive tan Π. 38. Bestäm f ' då f är 4 cos 2, tan 2 5, 1, 1 ln 3 2, ln, cos3 3 respektive 7 8 4. 7 39. Bestäm f ' då f är sin 2, 2, 1, 1 cos 3 2 2 8 2 4. 40. Bestäm f '' då f 3 cos 2. 1, ln ln, 7 ln 2, cos 2 1, 2 tan 4, sin 3 respektive 41. Bestäm y' i punkten Π, 2 om sin Π y 3 y sin 0. 42. Bestäm f ' då f 2. 43. Sök ekvationer för tangenten och normalen till kurvan y 4 2 i den punkt på kurvan som har 1. 2 y,y T,y N 2.25 2.20 2.15 2.10 2.05 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 44. En partikel rör sig längs kurvan cos y y 1. Sök då Π 2, y 1 och y 4. 45. Från ett rektangulärt pappersark skär man bort en kvadrat med sidan från varje hörn. Resten av pappersarket viks till en öppen låda. Sök som gör lådans volym så stor som möjligt 46. I en kvadrat med sidan a är ett kors inskrivet enligt figur. Sök så att arean av detta blir så stor som möjligt. 47. I en cirkel med radien r är tre radier och en korda dragna enligt figur. Sök Α, 0 Α Π, så att arean 2 av den färglagda triangeln blir så stor som möjligt. Α 48. Bestäm maimala volymen för en öppen cirkulär kon med generatrisens längd lika med S. edning: V kon 1 3 Πr2 h.

6 Tillämpad Matematik I, Övning 3 HH/ITE/BN 49. Bestäm minimala begränsningsytan för en sluten cirkulär kon med given volym V. edning: V kon 1 3 Πr2 h. Fördjupningsuppgifter i tredje hand eller inte alls 50. I en rätvinklig triangel är en rektangel inskriven enligt figur. Bestäm dess dimensioner då arean är maimal. 6 8 51. Två cirklar med radierna r och R r är placerade på centrumavståndet a. De belyses med en lampa placerad på sammanbindningslinjen utanför de två cirklarna. Sök lampans positionen i förhållande till cirkeln med radien r så att den sammanlagda längden av de två bågarna som är belysta blir så lång som möjligt. 52. I en cirkel med radien r är en cirkelsektor inskriven enligt figur. Sök Α så att arean av denna blir så stor som möjligt. 2Α '' 53. Visa att om f, y g h y, så är ff y f fy.