Kap Dubbelintegraler.

Relevanta dokument
Kap Generaliserade multipelintegraler.

1. Bestäm definitionsmängden och värdemängden till funktionen f(x,y) = 1 2x 2 3y 2. Skissera definitionsmängden, nivålinjerna och grafen till f.

) 2 = 1, där a 1. x + b 2. y + c 2

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

Kontrollskrivning 1A

1. Beräkna hastigheten, farten och accelerationen vid tiden t för en partikel vars rörelse beskrivs av r(t) = (2 sin t + cos t, 2 cos t sin t, 2t).

Kap Globala extremvärden, extremproblem med bivillkor.

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

x ( f u 2y + f v 2x) xy = 24 och C = f

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Lösning till kontrollskrivning 1A

SF1626 Flervariabelanalys

Inlämningsuppgift nr 2, lösningar

har ekvation (2, 3, 4) (x 1, y 1, z 1) = 0, eller 2x + 3y + 4z = 9. b) Vi söker P 1 = F (1, 1, 1) + F (1, 1, 1) (x 1, y 1, z 1) = 2x + 3y + 4z.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Tentamen SF1626, Analys i flera variabler, Svar och lösningsförslag. 2. en punkt på randkurvan förutom hörnen, eller

DUBBELINTEGRALER. Rektangulära (xy) koordinater

Dubbelintegraler och volymberäkning

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

SF1626 Flervariabelanalys

Övningar till Matematisk analys III Erik Svensson

Repetition, Matematik 2 för lärare. Ï x + 2y - 3z = 1 Ô Ì 3x - y + 2z = a Ô Á. . Beräkna ABT. Beräkna (AB) T

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

(x + 1) dxdy där D är det ändliga område som begränsas av kurvorna

= 0. Båda skärningsvinklarna är således π/2 (ortogonala riktningsvektorer).

Lösningsförslag till tentamen Torsdag augusti 16, 2018 DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Torsdagen den 18 augusti 2016

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. 1. En svängningsrörelse beskrivs av

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Bestäm ekvationen för det plan som går genom punkten (1,1, 2 ) på kurvan och som spänns

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

Tentamen i Matematisk analys, HF1905 exempel 1 Datum: xxxxxx Skrivtid: 4 timmar Examinator: Armin Halilovic

SF1646 Analys i flera variabler Tentamen 18 augusti 2011, Svar och lösningsförslag

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

Tentan , lösningar

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

MVE465. Innehållsförteckning

Tentamen: Lösningsförslag

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

= 0 genom att införa de nya

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1119, Vektoranalys, för Open.

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 08 13

Flervariabelanalys och Matlab Kapitel 3

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

( ) = 2x + y + 2 cos( x + 2y) omkring punkten ( 0, 0), och använd sedan detta ( ).

10 Beräkning av dubbelintegraler

1 x. SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Tentamen i Envariabelanalys 2

SF1626 Flervariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Studiehandledning till MMA128. Differential- och integralkalkyl III. Version

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Typexempel med utförliga lösningar TMV130. Matem. Analys i En Var.. V, AT.

Kap Funktioner av flera variabler, definitionsmängd, värdemängd, graf, nivåkurva. Gränsvärden, kontinuitet.

= ( 1) xy 1. x 2y. y e

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

av envariabelfunktionen g(t) och flervariabelfunktionen t = h(x, y) = x 2 + e y.)

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 16 mars 2015

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

TMV036 Analys och Linjär Algebra K Kf Bt, del C

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

x (t) = 2 1 u = Beräkna riktnings derivatan av f i punkten a i riktningen u, dvs.

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Måndagen den 21 mars 2016

SF1626 Flervariabelanalys Bedömningskriterier till tentamen Måndagen den 16 mars 2015

Tentamen i Analys B för KB/TB (TATA09/TEN1) kl 14 19

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningar till Matematisk analys

Repetitionsuppgifter

Problem inför KS 2. Problem i matematik CDEPR & CDMAT Flervariabelanalys. KTH -matematik

1. För vilka värden på konstanterna a och b är de tre vektorerna (a,b,b), (b,a,b) och (b,b,a) linjärt beroende.

Lösningar till MVE017 Matematisk analys i en variabel för I x 3x y = x. 3x2 + 4.

Lösningsförslag till tentamen Tisdagen den 10 januari 2017 DEL A

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU23

Lösningsförslag till tentamen TMA043 Flervariabelanalys E2

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

1. Beräkna volymen av det område som begränsas av paraboloiden z = 4 x 2 y 2 och xy-planet. Lösning: Volymen erhålles som V = dxdydz.

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. LÖSNINGAR FLERDIMENSIONELL ANALYS, FMA kl 8 13

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

Kap Implicit givna funktioner

Institutionen för matematik SF1626 Flervariabelanalys. Lösningsförslag till tentamen Måndagen den 5 juni 2017 DEL A

Transkript:

Kap 4. 4.. ubbelintegraler. A. Beräkna följande dubbelintegraler a. d. (x + y) dxdy, över kvadraten x 3, y. (sin y + y cos x) dxdy, då ges av x π, y π. x cos xy dxdy, då ges av x π, y. xy cos (x + y ) dxdy, över x π, y π. C. Låt vara kvadraten x, y. Ange en Riemannsumma för xy dxdy, svarande mot en indelning av i kvadrater med sidan n och valet av (x k, y k ) punkter i kvadratens hörn. Beräkna integralen genom att låta n gå mot. A 3. Man beräknar en dubbelintegral f(x,y) dxdy och integrerar först med avseende på y. etta leder till beräkning av två enkelintegraler. Bestäm integrationsgränserna i dessa om a. ges av y x y och x begränsas av kurvorna y = x och y = x 4 är triangeln med hörnen i punkterna (,), (,) och (,) d. definieras genom x + y 5 och y x.

A 4. Följande upprepade enkelintegraler kan uppfattas som dubbelintegraler över ett område. Ange. x a. dx x / f(x,y) dy 4 x dx f(x,y) dy. x dx x f(x,y) dy A 5. Samma uppgift som i 3, men nu sker integrationen först i x-led. 6. Kasta om integrationsordningen x A a. dx f(x,y) dy x 3 e ln x A dx f (x,y) dy B 6 x dx B d. dy x 4 f(x,y) dy y f(x,y) dx + y dy y f(x,y) dx. y A 7. Beräkna följande dubbelintegraler: a. (xy + y ) dxdy, ges av x, y x + x + y dxdy, är den del av första kvadranten som begränsas av parabeln y = x samt linjerna y = och x = e x y dxdy, över triangeln med hörnen i punkterna (, ), (,) och (,)

A 7 d. dxdy, definieras genom x + y 6, x y och x e. xy dxdy, över fyrhörningen med hörnen i punkterna (,), (,), (,) och (,4) f. dxdy, då är triangeln med hörnen i punkterna + y 4 (,), (,) och (,) g. ( + x + y) dxdy, då begränsas av linjerna y = x, y = x och x = ± h. x y ey dxdy, då är fyrhörningen med hörnen i punkterna (,), (,), (,) och (,) i. y x dxdy, då begränsas av linjerna y + x =, x = och y = 4 j. dy y cos x 5 dx y k. (y x 8) dxdy, begränsas av y = x, y = (x ) och y = (x 4) l. ( x + y ) dxdy, definieras genom x + y m. (x + y) e y dxdy, över triangeln med hörnen i punkterna (,), (,) och (,) n. o. x dxdy, begränsas av hyperbeln xy = och linjerna y x =, y = x x y x 3 y 3 dxdy, begränsas av kurvan x 3 + y 3 = och koordinataxlarna 3

A 7 p. dx y sin y cos x y dy x q. r. y x dxdy, ges av x, y x och y x ( + x + y) dxdy, är triangeln med hörnen i punkterna (,), (,) och (,) s. e y dxdy, ges av x y t. x e xy dxdy, över området x, xy u. x 3 y dxdy, är cirkelskivan x + y r. B 8. Beräkna följande dubbelintegraler: a. d. x + y dxdy, definieras genom x y + y x + x 4 dxdy, ges av x och xy y x + xy dxdy, ges av y x x 3 ( + y) dxdy, över området x + y, x och y e. cos (x + y) dxdy, över kvadraten x π och y π f. x dxdy, då begränsas av parablerna y = x x och x = y y y g. dy y y y x + x 3 dx + y dxdy, då ges av x, + x3 4

B 8 h. cos yx dxdy, begränsas av kurvan yx 3 = π samt linjerna x =, x = och y = i. j. k. 3 y x dxdy, begränsas av y = x + x och y = x 3 + x (x y y 5 ) dxdy, över området y x y, y x + x dxdy, över triangeln med hörnen i punkterna 3 + x y (,), (,) och (, ) l. cos x y dxdy, ges av y x πy, y π m. dxdy, ges av y 3x 3y 9 (x + y) x n. x dxdy, då begränsas av y-axeln samt linjerna y =, x + y3 y = och y = x. B 9. Låt f(x,y) vara det största av talen 9y 4x och 8y 3x. Beräkna dubbelintegralen f(x,y) dxdy, då är rektangeln x, y. B. B. Beräkna x dxdy, över det område som begränsas av hyperbeln xy =, där x >, och dess normaler i punkterna (,) och (,). Bestäm, så att (x x y ) dxdy antar största möjliga värdet och bestäm detta värde. B. Låt f(a,b) = x 3 b + y3 a dxdy, där är rektangeln < x < a, < y < Bestäm eventuella lokala extrempunkter (och deras karaktär) till f. 5

B 3. Beräkna följande dubbelintegraler: a. ( heltalsdelen av (x + y) ) dxdy, då ges av x och y ( tecken av (x y + ) ) dxdy, då ges av x + y 4. B 4. Visa att lim r πr f(x,y) dxdy = f(,), där r är cirkelskivan r x + y r och f är en kontinuerlig funktion. 5. Bestäm projektionen på xy-planet av den kropp som begränsas av A a. paraboloiden z = x + y och planet z = x + y A paraboliska cylindrarna z = x och z = y A paraboloiden z = x + y och paraboliska cylindern z = y A d. paraboliska cylindern y = x samt planen x + y + z = 4 och z = A e. cylindrarna x + y = x och x + y = y samt planen z = och z = x + y A f. hyperboliska paraboloiden z = xy, planen x = och y = samt ytan xyz =. A g. paraboliska cylindern x = y samt planen x + y + z = och 3x + z = A h. ytan z = ( + y ) x samt planen x = y, x =, y =, z = A i. ytan z = (y x)(x y ) A j. ytan z = (y x) (y x + ) A k. planet z = och den del av klotet x + y + z = där z B l. ellipsoiden x + y + z xz =. 6

Ledningar till uppgifterna 5. a. (x + y) dxdy = dx 3 = x + dx =. 3 3 (x + y) dy = xy + y = y y = dx = (sin y + y cos x) dxdy = dy (sin y + y cos x) dx = = π/[(x sin y + y sin x)] x = π/ π/ x = dy = π sin y + y dy =. π x cos xy dxdy = dx x cos xy dy = [sin xy] y = y = dx = π = sin x dx =. π/ π/ π π d. xy cos(x + y ) dxdy = π dx xy cos(x + y ) dy = π = x sin(x + y ) y π = π dx = x y = sin(x + π) x sin x dx. e valda punkterna är på formen (m,l) och man behöver beräkna summan av termer ml, där m och l varierar mellan n n4 och n. 3 a-d. Skissera. 4 a- Integrationsgränserna i den inre integralen beskriver begränsningskurvorna y = y(x). 7

5 Jämför med 3. 6 a. x 3 y x, x y x 3 y, y. y ln x, x e e y x e, y. x 4 y x, 6 x + y x + y, y eller + y x y, y 8. d. y x y, y eller y x y, x x y x, y. 7 a. (xy + y ) dxdy = dx = x 3 + 3 x3 dx =. x (xy + y ) dy = xy + y = x 3 y3 y = dx = + x + y dxdy = dy + x + y dx = [(ln( + x + y))] dy x = y y = (ln ln( + y)) dy =. x = e x y = e x e y. d. ela upp i två delmängder med linjen x =. Integrera över var och en av dessa delmängder. e. Integrera först i y-led. f. Integrera först i x-led. g. Skissera. ela upp i två delmängder. h. Skissera. Integrera först i x-led. i. ela upp i två delmängder A och B, på vilka y x är respektive : A = den del av som ligger under linjen y x. y x dxdy = A (y x) dxdy + B (x y) dxdy. j. Kasta om integrationsordningen. k. ela upp i två delmängder med linjen x =. Integrera först i y- led. l. På grund av symmetrin räcker det att integrera över första kvadranten. Resultatet multipliceras med 4. 8

7 m. Integrera först i x-led. Partialintegrera. n. Skissera. Integrera först i y-led. o. Om man börjar integrera i y-led kan y 3 = t substitueras. p. Kasta om integrationsordningen. q. Skissera. Integrera först i y-led. r. Integrera först i x-led. s. Integrera först i x-led. t. Integrera först i y-led. u. Grafen är symmetrisk med avseende på origo. 8 a. Integrera först i x-led. Substituera y = t. Integrera först i y-led. Substituera x y = t. Integrera först i y-led. Substituera y x = t. d. Integrera först i x-led. Observera att täljaren får faktorn ( + y). e. ela upp i delområden på vilka cos (x + y) har konstant tecken. f. Hur ligger kurvorna i förhållande till linjen y = x? ela upp i två delområden. g. Skissera det totala integrationsområdet. Uttryck summan som en integral. h. Integrera först i y-led. Substituera π x = t. i. Sök kurvornas skärningspunkter och undersök hur kurvorna ligger i förhållande till varandra. j. Grafen är symmetrisk med avseende på x-axeln. k. Grafen är symmetrisk med avseende på xz-planet. Integrera först i x-led. Substituera y = sin t. Observera att cos t = + cos t. l. Integrera först i x-led. Partiell integration i y-led. m. Integrera först i x-led. Substituera x = t. n. Integrera först i x-led. Partiell integration i y-led. 9 ela upp i två delar A och B på vilka 9y 4x 8y 3x respektive 9y 4x 8y 3x. A = den del av där y x. Skissera området. ela upp i två dubbelintegraler. Största värdet fås då integranden är i alla punkter på. 9

Beräkna integralen. Man får en stationär punkt (a,b) = (,). 3 a. Undersök på vilka delar av integranden är =, =, osv. Undersök på vilka delar av integranden är =, =. 4. Använd medelvärdessatsen. 5 a-h. Eliminera z. en erhållna ekvationen samt de kvarvarande sambanden (i defgh) beskriver randkurvorna till den sökta mängden. i-l. Andragradsekvationen definierar två kontinuerliga funktioner z = z(x,y) av typen z = ±. eras grafer utgör kroppens begränsning i z led (i 95 k är planet z = en del av begränsning). Identifiering av dessa funktioner ( = ) ger ekvationen för projektionens rand.

Svar till uppgifterna 5. a. 3. π + π 8.. d.. 3 a. d. 4. dx dx dx 5 x x / f(x,y) dy. x f(x,y) dy. x 5 x f(x,y) dy + 5 x dx x dx 5 x f(x,y) dy. x f(x,y) dy. x 4 4 a. x, x y x. x y, x. x y 4 x, x. 5 a. d. y dy f(x,y) dx + y y dy f(x,y) dx + 4 y dy dy y y f(x,y) dx + y 5 y dy f(x,y) dx. y 4 y dy f(x,y) dx. y dy y 5 f(x,y) dx + dy f(x,y) dx. 5 y f(x,y) dx. 5 y

6 a. d. 3 y dy y dy dx f(x,y) dx. + y + y x f(x,y) dx + x f(x,y) dy. 8 dy y + y e dye y f(x,y) dx. f(x,y) dx. 7 a. e. 5. ln. 4 (e + e ). d. 4 9 ( 8 ). f. g.. h. 37 6. ln ( + ). e. i. 6 3. j. sin 3. k. 8 ( ln ). l. 4 3. m.. n. 9 4. o. 4. p. ( cos ) sin. 35 q. 6. r. ln 3 3. s. (e ). t. e e. u.. 8 a. 3 ( ln ). arctan π 4 ln 5. π ln. d.. e. π. f. 4 5. g. 4 ln 3. h. π.

8 i.. j.. k. π 3 3. l. π. m. π 3 ( 3 ). n. ln 7 6. 9 4 5. 9 6. x x y ; π 3. Lokalt minimum i punkten (,). 3 a. 6. 4π 3 + 8 ln ( + 3) 4 ln. 5 a. (x ) + (y ). x + y. x + 4y. d. y x, x + y 4. e. x + y x, x + y y. f. xy, x, y. g. y x, x + y. h. y x. i. y x y. j. y x (y + ). k. x + y. l. 3x + 4y 4. 3