Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 1 (14) 1 Introduktion Vi har en bra intuitiv bild av vad som menas med en kurva i planet liksom av vad som menas med en kurva och en yta i rummet. Samtidigt vet vi att sådana kan beskrivas på olika sätt. T.ex. gäller att enhetscirkeln i planet ges dels av ekvationen x 2 + y 2 = 1, dels av parametriseringen c(t) = (cos t, sin t), 0 t 2π. På motsvarande sätt kan vi beskriva enhetssfären i rummet både genom ekvationen x 2 + y 2 + z 2 = 1 och genom parametriseringen ψ(θ, φ) = (sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ) för lämpliga val av θ och φ. I det här kapitlet ska vi diskutera hur vi kan göra en generell definition av sådana objekt som fungerar i alla dimensioner. Vi ska dock inte söka en generalisering som omfattar alla kurvor och ytor, utan en delmängd av dem som vi kallar reguljära kurvor och ytor. När vi har karakteriserat dem kan vi också göra en motsvarande definition av vad vi ska mena med en k-dimensionell undermångfald i något R n. Sedan konstaterar vi att de mångfalder vi så har definierat faktiskt kan definieras utan referens till något omgivande rum. På samma sätt som vi kan se en världsatlas (alltså en bok) som en beskrivning av jorden. Med det kommer en naturlig fråga: kan en sådan abstrakt mängd realiseras i något R n, d.v.s. finns det någon delmängd av R n som på ett naturligt sätt svarar mot en given atlas? Men det är en fråga som hör till ett annat kapitel 1. 2 Om k-dimensionella ytor En rät linje i R 2 kan beskrivas med en ekvation ax + by = c. I varje fall om (a, b) (0, 0), ty om a = b = 0 så finns det antingen inga (c 0) x, y som löser ekvationen, eller så är den sann för alla x, y (om c = 0). Ett alternativt sätt att beskriva denna räta linje är som de (x, y) som kan skrivas (x, y) = (x 0, y 0 ) + t( b, a) för något reellt tal t, där (x 0, y 0 ) en punkt på linjen. Denna senare framställning, som det finns många av (vi kan t.ex. välja punkten (x 0, y 0 ) på många olika sätt), kallas en beskrivning av den räta linjen på parameterform. Eller, enklare, räta linjen på parameterform. Grafen {(x, f(x)); x (a, b)} av en funktion f av en variabel är i princip bara en tillbucklad variant av en rät linje, nämligen linjestycket {(x, 0); a < x < b} i planet. Speciellt om vi kräver att f ska vara kontinuerligt deriverbar, så att den har en tangent i varje punkt. Då gäller att om vi förstorar upp kurvan i någon liten omgivning av en (godtycklig) punkt, så ser kurvan ut som ett litet linjestycke. Detsamma kan sägas mer allmänt om ett kurvstycke {c(t); t (a, b)} där c är en kontinuerligt deriverbar funktion (a, b) R 2 som är injektiv och för vilken det gäller att c (t) 0 då a < t < b. Detta leder oss till att vilja definiera en reguljär kurva som en mängd som är sådan att den lokalt ser ut som ett sådant kurvstycke, d.v.s. detta gäller i någon omgivning av varje punkt. Ordet reguljär är där för att betona att det finns mängder vi uppfattar som kurvor som inte är reguljära kurvor.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 2 (14) Exempel 1 Enhetscirkeln S 1 är en reguljär kurva enligt denna definition. Standardparametriseringen c(t) = (cos t, sin t), 0 t < 2π duger inte, eftersom definitionsområdet inte är ett öppet intervall. Om vi tar ett lite större öppet intervall som innehåller [0, 2π] ser vi att c inte blir injektiv, så c definierar inte ett kurvstycke då heller. Inte heller på något annat sätt går det att se S 1 som ett kurvstycke. Om vi däremot tar två kurvstycken, som det blåa och det röda i figuren till höger, så gäller att varje punkt ligger i minst en av dessa, och därmed är enhetscirkeln en reguljär kurva. Anmärkning Varför kräver vi att funktionen ska vara kontinuerligt deriverbar och inte bara kontinuerlig? Därför att det finns kontinuerliga funktioner c : R R 2 vars bild fyller ut hela enhetskvadraten 2. Detta överensstämmer inte med vår bild av vad en kurva ska vara för något. Om funktionen är kontinuerligt deriverbar, med en derivata som inte är noll, vet vi att kurvan har en tangent i varje punkt, vilken dessutom varierar kontinuerligt med punkten. Detta garanterar att kurvan blir 1-dimensionell. Frågan är nu om en ekvation f(x, y) = 0 definierar en delmängd av R 2 som utgör en reguljär kurva. Vi antar att f är i C 1 och då säger implicita funktionssatsen 3 att om f(a, b) = 0 och grad f(a, b) (0, 0) så kan man i en omgivning av (a, b) lösa ut antingen x som funktion av y eller y som funktion av x. Sådana punkter ligger därför på kurvstycken enligt definitionen ovan. Med andra ord, om gradienten aldrig är noll då f(x, y) = 0, så definierar denna ekvation en C 1 -kurva. Exempel 2 Med f(x, y) = x 2 +y 2 c gäller att gradienten är 2(x, y) vilken är noll endast i origo. Vi ser därför att om c < 0 finns det inga x som uppfyller ekvationen f(x, y) = 0, medan om c > 0 får vi en reguljär kurva. När c = 0 består lösningen endast av en punkt, origo. Vi går så över till att diskutera ytor i rummet. Ett plan i rummet kan skrivas ax+by+cz = d under förutsättning att (a, b, c) (0, 0, 0). Det är dess ekvationsform. Men det kan också skrivas på parameterform som de (x, y, z) som är sådana att (x, y, z) = p 0 + tu + sv där p 0 är en punkt på planet och u, v är linjärt oberoende vektorer som är vinkelräta mot vektorn (a, b, c). Detta är planets beskrivning på parameterform och det finns många sådana för samma plan eftersom vi kan välja både punkten p 0 och vektorerna u, v på många sätt. Liksom ovan kan vi se grafen {(x, y, z); x, y ω, z = f(x, y)} av en kontinuerligt deriverbar funktion över ett öppet, begränsat, område ω i planet som en tillbucklad variant av detta plana område, och det är därför rimligt att kalla en sådan mängd en yta i rummet.

Om ma ngfalder, abstrakta och som delma ngder i olika rum 3 (14) Detsamma ga ller de lite mer generalla ytstyckena {ψ(s, t); (s, t) ω}, da r ψ a r en kontinuerligt deriverbar och injektiv funktion fra n en o ppen, begra nsad delma ngd ω i R2 till rummet, sa dan att vektorerna 1 ψ, 2 ψ a r linja rt oberoende i varje punkt. Det senare betyder att det i varje punkt finns ett va ldefinierat tangentplan. Vi kan nu definiera en regulja r yta i rummet som en ma ngd som a r sa dan att varje punkt pa den ligger pa ett ytstycke. Ha rigenom definierar vi en ma ngd ytor, men kanske inte allt som vill ta nka pa som ytor i rummet: fo r en regulja r yta ga ller att den har ett tangentplan i varje punkt och den fa r inte ska ra o ver sig sja lva4. t ψ(s, t) Exempel 3 En ekvation f (x, y, z) = 0, da r f a r kons tinuerligt deriverbar och uppfyller att df (x, y, z) 6= 0 fo r alla sa dana (x, y, z), definierar en regulja r yta. Liksom tidigare a r argumentet implicita funktionssatsen: antag att f (a, b, c) = 0 men att 1 f (a, b, c) 6= (0, 0, 0). Da kan vi i en omgivning av (a, b, c) lo sa ut x som funktion av y, z, vilket a r detsamma som att sa ga punkten ligger pa ett ystycke av formen x = φ(y, z). Som exempel blir enhetssfa ren S 2 som ges av ekvationen x2 + y 2 + z 2 = 1 en regulja r yta. Exempel 4 Vi kan se att S 2 a r en regulja r yta mer direkt genom att anva nda parametriseringen ψ(θ, φ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ), (θ, φ) [0, π] [0, 2π]. Av samma ska l som fo r enhetscirkeln definierar denna inte ett ytstycke, men vi kan ur den konstruera tva ytstycken som tillsammans utgo r enhetssfa ren. Vi kan t.ex. ta ψ1 (θ, φ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ) och 3π 3π θ) cos φ, sin θ, sin( θ) cos φ), 5 5 ba da definierade i (0, 7π ) ( π2, π2 ). Deras bildma ngder a r illustrerade i figuren nedan. 4 ψ2 (θ, φ) = (cos(

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 4 (14) Notera att den högra figuren fås ur den vänstra genom att lämpligt rotera denna i rummet. Ett annat sätt att visa att S 2 är en reguljär yta bygger på stereografisk projektion. Låt N ± beteckna nord-respektive sydpolen och definiera de stereografiska projektionerna φ ± (x, y, z) = 1 (x, y) 1 ± z från dessa punkter. Funktionen φ + är illustrerad i figuren nedan som avbildningen från enhetssfären till planet. Låt U ± = S 2 \{N ± } som båda utgör hela sfären utom en av polerna. Båda dessa är ytstycken, med parametriseringar ψ ± = φ 1 ±, (med R 2 som definitionsområden) och varje punkt på S 2 ligger naturligtvis på minst ett av dessa ytstycken. Anmärkning Exemplet visar att det typiskt går att dela upp en reguljär yta i ystycken på flera olika sätt. Att det går är det som definierar den som en reguljär yta. Exempel 5 En annan känd yta i rummet är den s.k. torusen som definieras som bildmängden till ψ(θ, φ) = ((a + b cos θ) cos φ, (a + b cos θ) sin φ, b sin θ), (θ, φ) [0, 2π] 2. Liksom i föregående exempel definierar detta en delmängd av rummet, men ψ är inte en parametrisering, eftersom den inte är injektiv. För att se att torusen blir en reguljär yta kan vi definiera en parametrisering med hjälp av funktionen ψ på de fyra områdena (0, 3π 2 ) (0, 3π 2 ), (π, 5π 2 ) (0, 3π 2 ), (0, 3π 2 ) (π, 5π 2 ) och (π, 5π 2 ) (π, 5π 2 ).

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 5 (14) Tillsammans övertäcker dessa hela torusen. En stunds eftertanke visar nu hur vi kan gå tillväga för att definiera en allmän reguljär k-dimensionell yta i ett R n (om k n). Definition Ett k-stycke i R n är en delmängd på formen {ψ(t); t ω} där ω R k är en öppen, begränsad delmängd och ψ en kontinuerligt deriverbar och injektiv funktion från ω till R n sådan att dess differential dψ(t) har rangen k i varje punkt t ω. Anmärkning Villkoret kräver att k n, så att differentialen har rang k är ekvivalent med att den linjära avbildningen dψ(t) är injektiv för varje punkt t ω. Definition En k-dimensionell undermångfald i R n är en delmängd M sådan att det till varje punkt på M finns en öppen omgivning U i R n sådan att M U är ett k-stycke. I figuren nedan är illustrerat två sådana omgivningar med tillhörande parametriseringar. ψ 1 (s, t) ψ 2 (u, v) t v φ(s, t) = ψ 1 2 (ψ 1(s, t)) s u

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 6 (14) Det gula överlappet (i vilket punkten ligger) blir då ett ytstycke på ytan som har två olika parametriseringar ψ 1 och ψ 2. Vi ser att då gäller att funktionen φ : ω 1 t ψ 1 2 (ψ 1 (t)) ω 2 blir en bijektiv funktion som är differentierbar i bägge riktningar. Vi ser alltså att om ψ är en parametrisering av ett ytstycke, så kan varje annan parametrisering av samma ytstycke skrivas ψ φ för någon funktion φ som avbildar en delmängd av R k på ψ:s definitionsmängd, där φ både är bijektiv och har en bijektiv differential överallt. Anmärkning Ett exempel på en yta som inte blir en undermångfald i rummet är en kon, eftersom dess spets inte ligger på något kurvstycke I varje punkt p M på en undermångfald finns ett tangentrum. För att definiera det, antar vi att p ligger på k-stycket {ψ(t); t ω} med p = ψ(t 0 ). Tangentrummet i p, som betecknas T p M, definieras då som det underrum till R n som spänns upp av vektorerna 1 ψ(t 0 ),..., k ψ(t 0 ). Ett alternativt sätt att uttrycka detta på är att T p M är bilden av differentialen dψ(t 0 ), alltså T p M = dψ(t 0 )[R k ] = V (dψ(t 0 )). Enligt antagandet är det ett k-dimensionellt underrum till R n. Man tänker ofta på det som att det är parallellförflyttat till punkten p. Att tangentrummet inte beror av parametriseringen följer av kedjeregeln: om ψ 1 = ψ φ så gäller att dψ 1 (t 0 ) = dψ(φ(t 0 ))[dφ(t 0 )] och dφ(t 0 ) är bijektiv, så dψ 1 (t 0 ) coh dψ(φ(t 0 ) har samma värderum. Anmärkning Det är ofta bra att tänka på T p M som de vektorer v R n som kan fås som hastighetsvektor för en kurva på som ligger helt i M. I ett k-stycke med parametriseringen ψ betyder detta att v = c (0) med c(t) = ψ(u(t)), där u(t) är en kurva i R k sådan att p = c(0). Vi har ju att c (0) = dψ(u(0))[u (0], vilket är en linjärkombination av vektorerna 1 ψ(u(0)),..., k ψ(u(0)) i R n. 3 Undermångfalder med rand En undermångfald i R n såsom den definieras ovan täcker inte alla viktiga fall för analysen. En reguljär kurva kan t.ex. inte innehålla sina ändpunkter, och en halvsfär är inte en reguljär yta förrän vi tar bort ekvatorn z = 0. Vi behöver därför ett kompletterande begrepp som definierar undermångfalder som har rand. För att få en sådan definition definierar vi ett k-stycke med rand i R n som en delmängd Σ = {ψ(t); t ω}, där ω är en öppen delmängd av det övre halvrummet t k H k = {t R k ; t k 0}. ω Med detta menas att det finns en öppen delmängd ω R k sådan att ω = ω H k och sådan att parametriseringen ψ är glatt och injektiv på ω. (I figuren till höger, som visar två möjliga områden ω, är för det ena av dessa ω ritad blå, medan det gråa området utgör ω); ω ω R k 1

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 7 (14) Anmärkning Notera att ett k-stycke med rand inte behöver ha någon rand, vilket betyder att detta är en mer generell definition än den av ett k-stycke: varje k-stycke är ett k-stycke med rand. Inte förvånande utgörs randen Σ av Σ av ψ( ω) där ω = {t ω; t k = 0}. Den definitionen är oberoende av val av parametrisering. En annan parametrisering kan nämligen skrivas ψ φ där φ : ω ω (där ω, ω är öppna delmängder av H k ). Här måste φ avbilda rand på rand, ty enligt inversa funktionssatsen är bilden av en inre punkt en inre punkt. Det betyder att φ k (t 1,..., t k 1, 0) = 0, en observation vi ska återkomma till. Vi definierar nu en k-dimensionell undermångfald till R n på samma sätt som vi definierade motsvarande mångfalder: varje punkt ska ha en omgivning som ligger på ett k-stycke med rand. De punkter som inte är randpunkter sägs vara inre punkter (såsom den röda punkten i figuren till höger med sitt gråa ytstycke) och randpunkterna (såsom den blå i figuren, vars omgivning liknar halvrummet) utgör en k 1-dimensionell undermångfald (utan rand) till R n. En parametrisering av en omgivning i M av en randpunkt fås genom att vi tar restriktionen av motsvarande parametrisering av M till t k = 0. Exempel 6 En kurva med ändpunkter blir en 1-dimensionell undermångfald med rand om det är så att, när vi tar bort ändpunkterna blir resten en 1-dimensionell undermångfald (utan rand). Halvsfären som diskuterades ovan blir en 2-dimensionell undermångfald med rand i rummet. Dess rand är en cirkel. Tangentrum T p M definieras (eftersom parametriseringen ska vara differentierbar i en omgivning) också i punkter p på randen M. En skillnad mot tangentrummen i inre punkter på M är följande. För en inre punkt p kan vi karakterisera T p M som bestående av alla hastighetsvektorer c (0) till kurvor på M sådana att p = c(0) (placerade i den punkten). Men en hastighetsvektor till en kurva i en randpunkt kan endast peka bort från M, eller på sin höjd i riktning av tangentrummet till M. Vektorer som på detta sätt pekar bort från M kallar vi utåtriktade normaler och vi ser att hastighetsvektorer på kurvor s.a.s. endast definierar ett halvt tangentrum: tangenter till M och utåtriktade normaler.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 8 (14) 4 Abstrakta mångfalder Men måste en mångfald ligga i något R n? Frågan kanske känns befängd först, men den allmänna relativitetsteorin lär oss att universum är krökt. Så ska vi förstå hur universum ser ut behöver vi kunna beskriva mångfalder utan att använda ett omgivande rum. För att förstå problemet gör vi ett tankeexperiment. Vi tänker oss en myra som bor på en sfär. Myran är 2-dimensionell och hela dess värld är denna sfär. Eftersom hans universum är sfären finns i hans begreppsvärld inte det rum som vi uppfattar det som att sfären ligger i. Hur ska han då definiera sitt universum? Det han måste göra är att hitta ett sett att beskriva det vi ovan kallade en reguljär yta utifrån endast information som finns på ytan, utan att använda det omgivande rummet. Det går faktiskt utmärkt att anpassa vår definition av en undermångfald i R n till denna situation. Det myran då ska göra är att konstruera en bok, nämligen en världsatlas! Dock är det inte så att denna världsatlas kommer att de facto rekonstruera myrans värld såsom vi ser den (som en delmängd av rummet): den innehåller ingen information om hur ytan kröker sig den omgivande rymden. För att komma bort från det omgivande rummet och utgå ifrån själva mångfalden, vänder vi nu på parametriseringarna vi använde för att definiera undermångfalder ovan. När vi är i ett k-stycke {ψ(t); t ω} så väljer vi att beskriva världen som mängden ω R k med parametern t. Punkten x på M svarar då mot t = ψ 1 (x). Vi ska kunna övertäcka vår mängd M med mängder {U i } sådana att det på varje U i finns en funktion φ i : U i R k (nämligen inversen till motsvarande parametrisering). Myrans syn på hur M ser ut beskrivs då av mängderna {U i, φ i }. Exempel 7 Ovanstående är vad vi gör när vi konstruerar en världsatlas. I grunden utgår vi ifrån parametriseringen med longituder och latituder: ψ(θ, φ) = (cos θ cos φ, cos θ sin φ, sin θ). Sedan delar vi in jordklotet i små bitar som var och en svarar mot ett segment {ψ(θ, φ); (θ, φ) [a, b] [c, d]} och ritar ett kartblad som bara består av kartbladen [a, b] [c, d] på vilka vi använder koordinatsystemet (θ, φ). För att gå från ett kartblad till ett annat behöver vi ett visst överlapp mellan kartbladen. När vi gör en världsatlas på detta sätt använder vi samma koordinater i varje kartblad. Det är speciellt, i allmänhet måste vi ta höjd för att vi när vi går från ett kartblad till ett annat, också måste ha en metod att översätta det första bladets koordinater till det andra. Vi är snart redo att formulera en definition på en abstrakt mångfald, som inte har med något omgivande rum att göra. Vi vill då utgå ifrån att denna övertäcks av mängder U i som ovan, vilka ska fungera som öppna mängder. För att få en startpunkt måste vi här hänvisa till topologin som diskuterar hur man konstruerar abstrakta topologiska rum genom att förse en given mängd med en samling delmängder som man kallar öppna. Man behöver också känna till vad som menas med en kontinuerlig avbildning mellan två topologiska rum: de är de för vilka den inversa bilden till en öppen mängd också är öppen (och vad som är öppet definieras av de topologiska rummen).

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 9 (14) Definition Med en k-dimensionell topologisk mångfald M menas ett topologiskt parakompakt Hausdorff-rum 5 med en uppräknelig bas för topologin som lokalt är homeomorft med R k. Det sista betyder att det till varje punkt p M finns en öppen omgivning U till p och en bijektiv funktion φ : U U, där U är en öppen delmängd av R k, som är kontinuerlig i båda riktningarna. Anmärkning Vi utelämnar ofta ordet abstrakt - pratar vi om en mångfald är den abstrakt. En undermångfald i R n är en delmängd av R n som också är en mångfald (i den abstrakta meningen ovan). Anmärkning Varför kräver vi bara att φ är kontinuerlig och inte kontinuerligt deriverbar? Därför att vi ännu inte vet vad det senare ska betyda i detta sammanhang. Definition Ett par (φ, U) kallas en karta på M. En mängd kartor {(φ i, U i ); i I} kallas en atlas om mängderna {φ i (U i )} tillsammans täcker över M, alltså i I U i = M. Låt (U i, φ i ) och (U j, φ j ) vara två kartor med icke-tom skärning U ij = U i U j Då finns en övergångsfunktion φ ij som avbildar φ i (U ij ) på φ j (U ij ), vilken helt enkelt definieras av φ ij = φ j φ 1 i. Notera att jämfört med tidigare har vi endast vänt på funktionerna: våra kartfunktioner är inverserna till parametriseringarna vi hade för undermångfalder i R n. Dock är figuren till höger missvisande eftersom själva mångfalden inte behöver finnas som ett konkret föremål! Dessa övergångsfunktioner är viktiga, eftersom det är de enda funktioner i sammanhanget vi kan räkna med (de är ju avbildningar på R k.) De visar hur vi ska gå från en karta till en annan; hur vi ska bläddra i atlasen. För övergångsfunktionerna till en atlas gäller uppenbarligen att φ ii = id, φ ik φ kj = φ ij φ i φ ij = φ j φ 1 i (det senare på φ i (U i ) φ j (U j ) φ k (U k )), och speciellt ser vi att φ 1 ij = φ ji. Anmärkning Om p är en punkt i kartan (U, φ) på M och vi skriver x i = φ i (p), så kallar man vanligen x 1,..., x k för lokala koordinater i en omgivning av p på M. Övergångsfunktionerna representerar då koordinatbyten på mångfalden. φ j Vi säger nu att en atlas är differentierbar om varje övergångsfunktion är det. På samma sätt kan vi säga att den är C k om alla övergångsfunktioner i atlasen är C k för godtyckliga heltal k, inklusive k =. Definition En differentierbar mångfald är en toplogisk mångfald försedd med en differentierbar atlas. En glatt mångfald är en som har en C atlas.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 10 (14) Anmärkning Det finns även komplexa mångfalder. Vi identifierar då mångfalden lokalt med något C k (vilket ger oss en reell mångfald av dimension 2k) och kräver att övergångsfunktionerna ska vara analytiska funktioner. Exempel 8 Grafen y = f(x), a < x < b, till en kontinuerlig funktion f är en topologisk mångfald med en enda karta vars avbildning är projektionen (x, y) x från grafen till x-axeln. Eftersom det endast är en karta, har den inga övergångsfunktioner, vilket betyder att den är en glatt mångfald, även om f inte är deriverbar! Men detta är som abstrakt mångfald! Som inbäddad mångfald i planet bestäms regulariteten av f! För att utvidga tanken, betrakta kurvan y 2 = x 3 i planet. Den har som karta funktionerna φ(x, y) = y 1/3 som har invers φ 1 (t) = (t 2, t 3 ) vilket gör den till en topologisk mångfald med en karta. Med den kartan är kurvan därför en glatt mångfald. En annan potentiell karta är ψ(x, y) = y som har invers ψ 1 (u) = (u 2/3, u). Om vi lägger till den har vi två kartor med övergångsfunktion φ ψ 1 (u) = u 1/3. Den är inte differentierbar, så den atlas som utgörs av dessa två kartor utgör inte en C 1 -mångfald. Exempel 9 Vi kan definiera S 2 som en abstrakt mångfald genom att använda de två stereografiska projektionerna φ ± (x, y, z) = 1 (x, y) 1 ± z från nord- respektive sydpolen. Då gäller att (φ ±, U ± ), där U ± är hela sfären utom just projektionspunkten, är två kartor på sfären vars union utgör hela sfären. De utgör alltså en atlas för S 2. Notera att U + U är sfären så när som på de bägge polerna, så φ ± (U + U ) = R 2 \{0}. En övergång från en karta till en annan görs genom att vi använder funktionen φ = φ + φ 1 : R 2 \{0} R 2 \{0}, eller dess invers. Eftersom φ 1 (u, v) = (2u, 2v, u 2 + v 2 1)/(1 + u 2 + v 2 ) ser vi att φ(u, v) = 1 (u, v). u 2 + v2 Detta är en C avbildning på R 2 \{0}, varför S 2 är en glatt mångfald. Anmärkning En kanske bättre definition av S 2 får vi genom att vi använder komplexa tal. Vi tar då U 1 = C med φ 1 (z) = z och U 2 = C\{0} { } med φ 2 (z) = 1/z. Övergångsfunktionen blir då = 1/z på U 1 U 2 = C\{0}. I den komplexa analysen kallas S 2 för Riemannsfären och fungerar som en enpunktskompaktifiering av det komplexa talplanet i den meningen att den består av det komplexa talplanet plus en punkt i oändligheten (nämligen nordpolen). Ett annat sätt att se att S 2 är en glatt mångfald har vi i nästa exempel. Exempel 10 Vi ska definiera enhetssfären S n = {x R n+1 ; x = 1},

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 11 (14) som en n-dimensionell (abstrakt) mångfald. Vi kan göra det genom att generalisera den stereografiska projektionen ovan, men väljer att istället göra på det med hjälp av halvsfärer. För detta definierar vi mängderna med tillhörande avbildningar U kj = {x S n ; ( 1) j x k > 0}, j = 1, 2, k = 0,..., n φ kj (x) = (x 0,..., x k 1, x k+1,..., x n ). Då definierar {(φ jk, U jk )} en atlas på S n. Inversen till φ jk har som k:te koordinat ( 1) j 1 x 2 i, i k från vilket följer att övergångsfunktionerna är oändligt deriverbara. För S 2 innebär detta alltså att vi övertäcker den med 2 3 = 8 stycken halvsfärer. För att illustrera just vitsen med den abstrakta definitionen av en mångfald har vi t.ex. följande exempel. Exempel 11 Den endimensionella (platta) torusen T = R/Z definieras genom att vi identifierar x, y R om det gäller att x y Z. Låt π : R T vara den naturliga projektionen som avbildar en punkt x R på π(x) = x mod 1. Som kartor på T kan vi då ta omvändingen till π : V U där V R är öppen och inte innehåller två punkter som är lika modulo 1. Om φ = φ 2 φ 1 och x φ 1 (U 1 U 2 ), så gäller då att π(φ(x)) = φ 1 1 (x) = π(x), alltså φ(x) = x mod 1. Alltså är φ(x) = x+ konstant på varje sammanhängande komponent av φ 1 (U 1 U 2 ). T kan uppfattas som att vi utgår ifrån intervallet [0, 1] och identifierar ändarna, vilket ger oss en cirkel. Fast det innebär att vi realiserar den i rummet - och den abstrakta mångfalden är inte definierad som delmängd av något rum. På motsvarande sätt kan vi definiera platta n-dimensionella torusar 6 T n = R n /Z n. Vi kan t.ex. uppfatta T 2 som att vi utgår ifrån en kvadrat och sedan identifierar motstående sidor. Utför vi den operationen på en bit papper får vi en torus såsom den diskuterats ovan (med a < 1), men att göra det innebär att vi inbäddar den abstrakta torusen i rummet. Den abstrakta ytan i nästa exempel kan inte realiseras som en reguljär yta i rummet. Exempel 12 Om vi identifierar punkterna x och x på enhetssfären S 2 får vi det projektiva planet P 2. Det kan beskrivas som en abstrakt mångfald på följande sätt. Betrakta avbildningen φ : S 2 x {x, x} P 2. Restriktionen av den till en halvsfär är uppenbarligen injektiv och vi kan övertäcka P 2 med φ(b) där B är olika halvsfärer. Vi kan därför definiera en atlas på P 2 genom att utgå ifrån atlasen för S 2 i föregående exempel. Det följer att P 2 är en abstrakt mångfald.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 12 (14) Vi har ovan definierat både undermångfalder med och utan rand i R n och vi har gjort en abstrakt definition av mångfalder som modelleras på den förra. Vi behöver också definiera vad en (abstrakt) mångfald med rand ska vara för något. Kort uttryckt är en abstrakt k-dimensionell mångfald en mängd som lokalt ser ut som en del av R k. På motsvarande sätt ska vi modellera en k-dimensionell mångfald med rand som en mängd som lokalt ser ut som det övre halvrummet H k = {(x 1,..., x k ); x k 0}. Definitionen är exakt densamma som för en mångfald med den skillnaden att en lokal karta φ : U U nu är sådan att U ska vara en öppen delmängd av H k, vilket tillåter att den innehåller punkter för vilka x k = 0. De punkter som i någon karta ligger på randen x k = 0 kallas randpunkter, med de som inte gör det kallas inre punkter. En punkt som är en randpunkt i en karta måste också vara det i varje annan karta. Mängden av randpunkter betecknas M och utgör en k 1-dimensionell mångfald (utan rand) medan de inre punkterna utgör en k-dimensionell mångfald (utan rand). Randen till en mångfald med rand är en undermångfald till denna, enligt följande definition. Definition En delmängd N till en glatt n-dimensionell mångfald är en k-dimensionell glatt mångfald om det till varje punkt p N finns en karta (φ, U) på M sådan att φ(n U) = φ(u) R k 0. Anmärkning Vi kan säga lite slarvigt att N lokalt ligger i M som R k ligger i R n. Talet m = n k kallas undermångfaldens kodimension. En undermångfald som har kodimension ett kallas en hyperyta. 5 Orientering av undermångfalder En kurva kan orienteras genom att vi definierar en genomloppsriktning. För en reguljär kurva kan detta göras på två olika sätt, och gör vi ett val av genomloppsriktning säger vi att vi har en orienterad kurva. Det är ekvivalent med att på ett kontinuerligt sätt välja en enhetstangent i varje punkt på kurvan. Ett ytstycke i rummet har två sidor (ovan- och undersidan) och man säger att man orienterar det genom välja en av dessa. Att välja sida på detta sätt är ekvivalent med att på ett kontinuerligt sätt välja en enhetsnormal på hela ytstycket. Men medan en kurva alltid kan orienteras behöver inte en reguljär yta inte kunna orienteras även om varje del kan det. Ett exempel är det s.k. Möbiusbandet, men det finns även andra kända exempel. Vi ska här inte titta närmare på olika exempel på detta, utan ska istället fråga oss hur vi kan definierar en orientering av en allmän mångfald på ett motsvarande sätt. Definition En mångfald är orienterbar om det finns en atlas {(φ i, U i ); i I} sådan att alla övergångsfunktionerna φ ij är sådana att det dφ ij > 0 överallt, för alla i, j. En mångfald är orienterad när man har valt en sådan atlas.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 13 (14) Anmärkning Detta determinantvillkoret delar in de olika orienterade atlasarna på en orienterbar mångfald i två grupper: de som har den givna orienteringen sägs vara positivt orienterade medan de som har den motsatta orienteringen sägs vara negativt orienterade. Exempel 13 I fallet med kurva innebär det att relationen t = φ(s) mellan två parameterval ska vara sådan att φ > 0. I fallet med ett ytstycke i rummet innebär det att om Σ = {ψ 1 (t); t ω 1 } = {ψ 2 (t); t ω 2 } och vi tar en punkt ψ 1 (t 1 ) = ψ 2 (t 2 ) på M, så gäller att vektoren 1 ψ i (t i ) ska vridas i samma riktning för i = 1, 2 för att den ska få samma riktning som 2 ψ i (t i ). Ett annat sätt att säga det är att vektorprodukten 1 ψ i (t i ) 2 ψ i (t i ) ska ha samma riktning för i = 1, 2. Vektorprodukten är en normal till ytan, så vi kan också tolka orientering av en yta i rummet som att vi väljer dess ena sida. En icke-orienteringsbar yta i rummet har bara en sida, som Möbiusbandet. En orienterad mångfald M med rand definierar en orientering av sin rand M på ett naturligt sätt. För att se detta börjar vi med att observera att om φ : H k H k är sådan att det dφ > 0 överallt, så får vi en avbildning φ : H k H k som, när vi betraktar den som en avbildning på R k 1, också är sådan att det d( φ) > 0. Med x = (x 1,..., x k, 0) har vi då i φ k (x ) = 0, i = 1..., k 1, medan k φ k (x ) > 0 eftersom H k avbildas på sig självt. Det följer att ( ) d( φ)(x dφ(x ) = ) 0 k φ k (x, ) och ur detta sedan att Härur följer resultetet. det dφ(x ) = ( k φ k (x )) det d( φ)(x ). Vi kan nu imitera hur vi definierade utåtriktade normaler i en randpunkt för undermångfalder som följer. En tangentvektor w T p M i en punkt p M är utåtriktad om det finns en karta (U, φ), med p U, sådan att den k:te koordinaten av dφ(p)(w) är negativ. Av diskussionen ovan följer att denna definition inte beror av vilken karta vi använder. I slutändan får vi alltså: Om M är orienterad och k 2 så ärver M naturligt en orientering på följande sätt. För varje p M gäller att om v 1 T p M är en utåtriktad tangentvektor så gäller att en bas (v 2,..., v n ) för T p M är positivt orienterad om och endast om basen (v 1, v 2,..., v k ) för T p M är positivt orienterad. Då n = 1 har varje p N orientering +1 om och endast om varje utåtriktad tangentvektor v T p M är en positivt orienterad bas för T p M. Exempel 14 Om M är en kompakt, orienterad yta i rummet består randen M av ändligt många enkla slutna kurvor. Orienteringen av M bestäms av en kontinuerligt varierande enhetsnormal N och den bestämmer orienteringen av randkurvorna som följer. Låt p M och låt B vara en tangentvektor till M i p som inte tangerar M och som pekar bort från M. I a bestäms då riktningen på M av den enhetstangentvektor T till M för vilken vektorerna T, N, B är positivt orienterade. Detta innebär att sett från spetsen av N ligger M till vänster då man genomlöper M i riktningen av T.

Om mångfalder, abstrakta och som delmängder i olika rum 14 (14) Noteringar 1. Se kapitlet Om immersioner och Whitneys inbäddningssats 2. Se kapitlet Om några patologiska kontinuerliga funktioner 3. Se kapitlet Om inversa och implicita funktioner 4. Därför att i en omgivning av punkten ska ytan se ut som ett ystycke, och ett sådant skär aldrig över sig eftersom parametriseringen är injektiv. 5. Ett topologiskt rum sägs vara ett Hausdorff rum om två olika punkter alltid har omgivningar som inte skär varandra. Inom topologin måste man lägga till sådana villkor, de följer inte direkt ur en definition av vad som utgör de öppna mängderna. Att rummet är parakompakt betyder att varje övertäckning av den har en delövertäckning sådan att varje punkt ligger i endast ändligt många av mängderna. 6. Vi har alltså olika sorters torusar, men detta får sin förklaring i kapitlet Om immersioner och Whitneys inbäddningssats där vi ser t.ex. den platta torusen i planet som ursprunget och bilringen som en inbäddning av denna i rummet.