Föreläsningsanteckningar köteori

Föreläsningsanteckningar köteori Fredrik Olsson, fredrik.olsson@iml.lth.se Produktionsekonomi, Lunds universitet 3 augusti 206 Dessa föreläsningsanteckningar utgör en delmängd av vad som tagits upp på föreläsningarna (i visst avseende finns här även material som ej har tagits upp på föreläsning). Notera att dessa anteckningar inte ersätter kurslitteraturen. Exponentialfördelningen Utan att överdriva är exponentialfördelningen den fördelning som uppkommer oftast i köteorisammanhang. Det finns många skäl till varför just denna fördelning används flitigt. Innan vi beskriver några fundamentala egenskaper för exponentialfördelningen som gör den väldigt speciell i förhållande till andra fördelningar, så definierar vi vad som menas med en exponentialfördelning. Definition Den s.v. T är exponentialfördelad om { αe αt om t 0 f T (t) = 0 annars Vidare gäller, E(T) = /α samt Var(T) = /α 2. Att T är exponentialfördelad med väntevärde /α kan vi förkortat skriva som T Exp(/α). FördelningsfunktionenF T (t)fåssombekantgenomattintegreratäthetsfunktionen,f T (t) = P(T t) = t 0 f T(v)dv = e αt, för t 0.. Egenskap Engrundläggandeegenskaphosexp-fördelningenärattdesstäthetsfunktion,f T (t),ärstrikt avtagande. En konsekvens av detta är att, P(0 T ) > P(t T t+ ) () för alla, t > 0. I Figur ses f T (t) i fallet med α = 2. Den markerade arean under f T (t) i intervallet [0,0.5] är ju som bekant lika med P(0 T 0.5). På samma sätt är den högra markerade arean lika med P( T.5). Uppenbarligen är P(0 T 0.5) > P( T.5) eftersom f T (t) är en strikt avtagande funktion. Från () kan vi dra slutsatsen att realiseringar av T ofta är relativt nära noll, samt att stora värden på T är mer sällsynta. Läsaren uppmanas att begrunda i vilka situationer

2 EXPONENTIALFÖRDELNINGEN 2.8.6.4.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.5.5 2 2.5 3 Figur : Täthetsfunktionen f T (t) med α = 2. denna egenskap är realistisk för fallet då T beskriver betjäningstid. Om T representerar tiden mellan kundankomster (interarrival times) och denna är helt slumpmässig, så kan vi med fördel modellera T enligt en exponentialfördelning. Detta har visats i många empiriska studier..2 Egenskap 2 Egenskap 2 kan sammanfattas i följande sats. Sats P(T t+ T > ) = P(T t), för varje, t > 0. Bevis: Beviset är enkelt. Vi får, P(T t+ T > ) = P( T t+ ) P(T > ) = = e α(t+ ) ( e α ) ( e α ) P(T t+ ) P(T ) P(T ) = e αt = P(T t) Denna egenskap brukar kallas för den minneslösa egenskapen. I ord säger Sats att fördelningen för den återstående tiden tills nästa händelse inträffar är densamma oavsett hur lång tid,, som har passerat sedan förra händelsen. På detta sätt kan vi (lite sloppy) säga att exponentialfördelningen är minneslös eftersom historien inte spelar någon roll. Antag t.ex. att livstiden för en bil är exponentialfördelad med väntevärde 20 år. Läsaren uppmanas att fundera över om detta antagande är realistiskt med tanke på den minneslösa egenskapen hos exponentialfördelningen. Denna egenskap är emellertid naturlig då T beskriver tider mellan kundankomster i det fall att kunder ankommer helt oberoende av varandra..3 Egenskap 3 Denna egenskap säger att minimum av ett antal exponentialfördelade variabler också är exponentialfördelad.

.4 Egenskap 4 3 Sats 2 Låt T,T 2,...,T n vara oberoende exponentialfördelade s.v. med parametrar α,α 2,...,α n. Sätt U = min(t,t 2,...,T n ). Då gäller att U Exp(/ n i= α i). Bevis: Vi får, P(U > t) = P(T > t,t 2 > t,...,t n > t) = P(T > t)p(t 2 > t) P(T n > t) = e α t e α 2t e αnt = e n i= α it Därmed är vi klara. Alltså, om T i representerar tiden tills en viss händelse (av n möjliga) inträffar, så representerar U tiden tills den första av de n möjliga händelserna inträffar. Antag t.ex. att det finnstreparallella kassor medexponentialfördeladebetjäningstider (medväntevärden/, / 2 respektive / 3 ) i en närbutik. Givet att alla kassor är upptagana så är alltså tiden tills nästa kund blir färdigbetjänad exponentialfördelad med väntevärde /( + 2 + 3 )..4 Egenskap 4 Här ska vi beskriva sambandet mellan Poissonfördelningen och exponentialfördelningen. Vi ska göra detta genom att definiera vad vi menar med en Poissonprocess. Innan vi gör det ska vi dock definiera mer allmänt vad vi menar med en stokastisk process. Definition 2 En stokastisk process i kontinuerlig tid är en familj av stokastiska variabler, {X(t),t I}, definierade över en kontinuerlig mängd av t-värden, I. T.ex. kan vi betrakta antal telefonsamtal till en växel under ett visst tidsinterval som en stokastisk process. Det finns många sätt att definiera en Poissonprocess. Följande definition är en av många möjliga. Definition 3 Låt X(t) vara antal händelser under (0,t]. Om tiden mellan konsekutiva händelser är exponentialfördelad (med medelvärde /α) så är P(X(t) = n) = (αt)n e αt, n = 0,,2,... n! Med andra ord, X(t) Po(αt). Då är {X(t),t 0} en Poissonprocess..5 Egenskap 5 Denna egenskap säger att det maximalt kan inträffa endast en händelse under ett mycket litet tidsintervall. Mer precist gäller, P(ingen händelse i (t,t+h]) = h+o(h), h 0 P(exakt en händelse i (t,t+h]) = h+o(h), h 0 P(fler än en händelser i (t,t+h]) = o(h), h 0 Bevis: Beviset kan göras genom att betrakta Taylor-utvecklingen av exponentialfunktionen. Det gäller att, P(ingen händelse i (t,t+h]) = e h = h+ 2 h 2 ±... = h+o(h), h 0, 2! P(exakt en händelse i (t,t+h]) = he h = h( h+o(h)) = h+o(h), h 0, P(fler än en händelser i (t,t+h]) = ( h+o(h)) (h+o(h)) = o(h) h 0.

4 2 INLEDANDE KÖTEORI.6 Egenskap 6. Sammanslagning av n Poissonprocesser med intensiteter,..., n ger en ny Poissonprocess med intensitet = n i= i. Detta brukar kallas för superpositionsprincipen. 2. Uppdelning av en Poissonprocess i n delprocesser resulterar i att varje delprocess är en ny Poissonprocess. Dessa två egenskaper är av fundamental betydelse i s.k. könätsteori där köer splittas och slås samman på olika sätt. I stora drag kan vi analysera könät med analytiska metoder då inprocesserna är Poissonprocesser. I annat fall får vi i princip förlita oss till simuleringsmetoder (se kursen Simulering av produktionssystem, MIO240). 2 Inledande köteori 2. Notation och beteckningar Vi ska nu införa några beteckningar för olika kösystem. Grundbeteckningen för ett kösystem är av formen, A/B/c där A, B och c har följande betydelse A betecknar fördelningen för ankomstintervallen B betecknar fördelningen för betjäningstiderna c är antalet betjänare A och B antas vara oberoende. Några exempel på möjliga A och B är M - Exponentialfördelning(M står för Markov efter den berömda ryska matematikern Andrei Markov) D - Konstant tid (D står för deterministisk) G - Generell fördelning E k - Erlang-k fördelning Vi fortsätter med att definiera ett antal köteoretiska begrepp som vi behöver för senare analys. Systemets tillstånd = antal kunder i systemet (om inget annat sägs) Kölängd = systemets tillstånd antal kunder som betjänas (dvs, antal kunder som står i kö) N(t) = antal kunder i systemet vid tid t P k (t) = P(N(t) = k) = sannolikheten att exakt k kunder är i systemet vid tid t

2.2 Little s formel 5 k = genomsnittlig ankomstintensitet då k kunder finns i systemet k = genomsnittlig betjäningsintensitet då k kunder finns i systemet (Obs. Den sammanlagda netjäningsintensiteten) ρ = betjäningsstationens utnyttjandegrad (0 ρ ) Notation för analys efter att systemet är i jämvikt: P k = lim t P k (t) = sannolikheten att det finns k kunder i systemet vid steady state L = förväntat antal kunder i systemet L q = förväntat antal kunder i kö W = tid i systemet för en godt. kund (Obs. en stokastisk variabel) W = E(W) = förväntad tid en kund tillbringar i systemet W q = tid i kön för en godt. kund (Obs. en stokastisk variabel) W q = E(W q ) = förväntad tid en kund tillbringar i kön 2.2 Little s formel Little bevisade 96 ett enkelt samband mellan L och W (respektive L q och W q ). Följande samband gäller L = W (2) L q = W q (3) där = kp k är den genomsnittliga ankomstintensiteten. Notera att om k = för alla k så är =. Beviset för Little s formel ligger utanför denna kurs eftersom det är ganska komplicerat. Se t.ex. Kleinrock (974) för uttömmande information. I fall att betjäningstiderna för olika betjänare är likafördelade och oberoende av varandra (samt givet att de finns köplatser), W = W q +. (4) Om vi multiplicerar (4) med så erhålles (enligt Little s formel), L = L q +. (5) Vi ska här betrakta ett illustrativt exempel innan vi kastar oss in i teorin för kösystem. Exempel Antag att bilar anländer till en bensinpump enligt en Poissonprocess med intensitet (antal per tidsenhet). Betjäningstiden antas vara exponentialfördelad med väntevärde /. Då en bil anländer till pumpen och finner tre bilar i systemet (dvs, tankande bil plus köande bilar) så kör denna bil till en annan bensinpump. Följande frågor vill vi ha svar på:

6 2 INLEDANDE KÖTEORI Vad är den statinära sannolikheten att det finns 0,,2,3 bilar i systemet? Hur många bilar befinner sig i medeltal i systemet? Hur många bilar befinner sig i medeltal i kön? Vad är den förväntade tiden i systemet? Vad är den förväntade tiden i kön? Med andra ord, det vi söker efter är P k (0 k 3), L, L q, W, och W q. Ett vanligt sätt att beskriva köproblem är att rita en s.k. tillståndsgraf (eller tillståndsdiagram). I Figur 2 ses tillståndsgrafen för problemet med bensinmacken. I tillståndsgrafen ses tillstånden: 0,,2, 0 2 3 Figur 2: Tillståndsgraf. respektive 3 bilar i systemet. Pilarna anger till vilka tillstånd det är möjligt att övergå till. T.ex. finns det två bilar i systemet kan övergång endast ske till tillstånd eller tillstånd 3. Mer precist, befinner vi oss i tillstånd 2 hoppar vi till tillstånd 3 om en bil anländer till systemet (notera att bilar anländer med intensitet ). Befinner vi oss i tillstånd 2 hoppar vi till tillstånd om en bil blir färdigtankad och därmed försvinner ur systemet (en bil blir färdigtankad med intensitet ). För att hitta de stationära sannolikheterna att befinna sig i tillstånden 0,,2, och 3 ska vi använda metoden flöde in-flöde ut vilken beskrivs i nästkommande avsnitt. 2.3 Flöde in Flöde ut Betrakta tillstånd k och definiera: E k (t) = antal gånger processen anländer till tillstånd k under intervallet (0,t). L k (t) = antal gånger processen lämnar tillstånd k under intervallet (0,t). Det är klart att skillnaden mellan E k (t) och L k (t) är maximalt, d.v.s E k (t) L k (t). Division med t resulterar i, E k (t) L k(t) t t = lim E k (t) t t L k(t) t t = 0 Notera att lim t E k(t)/t = medelintensitet för vilken processen anländer till tillstånd k. lim t L k(t)/t = medelintensitet för vilken processen lämnar tillstånd k.

7 Alltså har vi visat att medelintensiteten för vilken processen anländer till tillstånd k måste vara lika med medelintensitet för vilken processen lämnar tillstånd k (i stationaritet). Denna princip ska vi använda flitigt för att beräkna stationära tillståndssannolikheter, P k. Fortsättning av Exempel bensinmack: Här ska vi använda principen Flöde in-flöde ut för att beräkna P k, k = 0,,2,3. Enligt Figur 2 får vi tillstånd 0 : P 0 = P tillstånd : (+)P = P 0 +P 2 tillstånd 2 : (+)P 2 = P +P 3 tillstånd 3 : P 2 = P 3 Givetvis måste vi även ha villkoret, 3 P k =, eftersom P k är sannolikheter. Ett gångbart sätt att beräkna tillståndssannolikheterna är att uttrycka P, P 2, och P 3 som funktion av P 0 och sedan använda villkoret 3 P k = för att beräkna P 0. Enkla räkningar ger P k = ( ) k P 0, k =,2,3. Från normeringsvillkoret, 3 P k =, kan P 0 beräknas enligt P 0 = +/+(/) 2 +(/) 3. Nu när tillståndssannolikheterna är beräknade kan vi enkelt beräkna L, L q, W och W q enligt L = L q = 3 kp k k= 3 (k )P k k=2 W = L W q = L q där = 3 kp k = ( P 3 ) (läsaren uppmanas att tänka efter varför detta måste gälla). 3 M/M/-systemet I detta avsnitt ska vi analysera den enklaste standardtypen av kösystem; M/M/-systemet. Här antar vi alltså att tiden mellan kundankomster samt att betjäningstider är exponentialfördelade. Vi antar även att det inte finns någon begränsning på antalet köplatser, samt att alla intensiteter är konstanta (dvs, k =, k = för k = 0,,2,...). Vi har även kravet att / < (läsaren uppmanas att tänka efter varför detta antagande görs). Kunder

8 3 M/M/-SYSTEMET betjänas enligt principen FIFO (first in-first out). Kunder tillåts ej lämna kön om de väl har bestämt sig för att gå in i kön. Låt oss på samma sätt som i Exempel rita en tillståndsgraf för köproblemet, se Figur 3. Med hjälp av Flöde in-flöde ut metodiken får vi följande balansekvationer 0 2 3 k-... k... Figur 3: Tillståndsgraf för ett M/M/-system. P 0 = P (6) (+)P k = P k +P k+, k =,2,3,... (7) Lemma Ekvationerna (6) och (7) kan reduceras till P k = P k+, k = 0,,2,... Bevis: Beviset görs enklast med induktion. Till att börja med är det klart att påståendet är sant för k = 0. För k = får vi (+)P = P 0 }{{} =P +P 2 = P = P 2,OK! För att visa att påståendet gäller för alla heltal k > så gör vi induktionsantagandet att påståendet är sant för k = n, dvs P n = P n. Kan vi nu visa att påståendet även gäller för k = n så är vi klara. Vi får (+)P n = P n }{{} =P n +P n+ = P n = P n+. Beviset är därmed klart. I ord säger Lemma att, medelintensiteten som passerar ett snitt mellan två tillstånd från vänster ska vara lika med medelintensiteten som passerar snittet från höger, se Figur 4. Enligt beteckningar i Figur 4 gäller alltså, ( k +2 k )P k = ( k +2 k )P k. 3. Stationär tillståndsfördelning Vi fortsätter med att ta fram de stationära sannolikheterna P k för M/M/-systemet. Snittmetoden ger P 0 = P = P = P 0 P = P 2 = P 2 = P = P 2 =. P k = P k = P k = P k = P k = ( ) 2 P 0 ( ) k P 0.

3.2 Medelantal kunder och medeltid i systemet 9 Ett snitt k 2 k... k k... 2 k k Figur 4: Snitt mellan två tillstånd. Alltså, är P 0 kändså kan övriga tillståndssannolikheter beräknas enligt ovan. Sannolikheten P 0 fås ur normeringsvillkoret, P k =, dvs P k = ( ) k P 0 = P 0 / = = P 0 = /. Här har vi utnyttjat formeln för geometrisk serie samt att / <. Vi har alltså kommit fram till att tillståndssannolikheterna i ett M/M/-system fås genom ( ) k ( P k = ), där <. (8) Det bör tilläggas att det finns många andra sätt att ta fram tillståndssannolikheterna, P k. Några exempel på andra metoder är att utnyttja genererande funktioner, differensekvationer, Markovprocesser, etc. 3.2 Medelantal kunder och medeltid i systemet Här ska vi demonstrera hur medelantalet kunder i systemet, L, kan beräknas. För enkelhets skull, sätt ρ = / <. Till en början är det klart att L kan skrivas som L = kp k = k( ρ)ρ k = ρ( ρ) kρ k. Tricket är nu att den sista summan kan skrivas som en derivata, dvs ( ρ( ρ) kρ k = ρ( ρ) d ) ρ k. dρ Eftersom k 0 ρk = /( ρ) följer det direkt att ( L = ρ( ρ) d ) ρ k = ρ( ρ) d ( ) dρ dρ ρ = ρ( ρ) ( ρ) 2 = ρ ρ =.

0 4 M/M/S-SYSTEMET Beräkning av det förväntade antalet kunder i kö, L q, kan göras genom att utnyttja ovanstående uttryck för L. Vi får L q = (k )P k = k= kp k k= k= P k = L ( P 0 ) = = 2 ( ). Ett annat sätt att beräkna L q är att utnyttja (5). Detta ger direkt, L q = L /. Medeltiden i systemet beräknas genom att använda Little s formel. W = L/ = L/ = W q = L q / = L q / = ( ) (9) 4 M/M/s-systemet I detta system finns alltså s betjänare. Vi förutsätter att kunder ställer sig i en gemensam kö, där de blir betjänade i tur och ordning. Tillståndsgrafen ses i Figur 5. 0 2 3 s-... s 2 3 (s-) s s... Snittmetoden ger för k s: Figur 5: Tillståndsgraf för ett M/M/s-system. För k > s erhålles P 0 = P = P = P 0 P = 2P 2 = P 2 = 2 P = P 2 = 2 P 2 = 3P 2 = P 2 = 3 P = P 2 =. 2 3 P k = kp k = P k = k P k = P k = k! ( ) 2 P 0 ( ) 3 P 0 ( ) k P 0. P s = sp s+ = P s+ = s P s P s+ = sp s+2 = P s+2 = s P s+ =. P s+k = sp s+k = P s+k = s P s+k = ( ) 2 s ( ) k s

Detta resulterar i ( ) k P s+k = P s = s ( ) k s s! Ett variabelbyte ger följande ekvivalenta uttryck: ( ) s P 0 = (/)s+k s k P 0, för k 0. s! P k = (/)k s k s s! P 0, för k s. Sammanfattningsvis så fås tillståndssannolikheterna för ett M/M/s-system ur följande uttryck: P k = k! P k = (/)k s k s s! P 0 ( ) k P 0 för k s för k s Genom att utnyttja villkoret k 0 P k =, erhålles efter några förenklingar P 0 = ( s (/) k k! + (/)s s! ) /(s) där / < s. 5 Köteori med allmänna fördelningar Anledningen att kömodeller med exponentialfördelade ankomsttider och betjäningstider används flitigt är många. I många fall ankommer kunder helt slumpmässigt, vilket betyder ankomstprocessen med god grund kan modelleras som en Poissonprocess. En annan uppenbar fördel är att det är enkelt att matematiskt analysera sådana system. Å andra sidan finns många fall då kunder ankommer enligt ett visst mönster eller schema. I dessa fall är det helt orimligt att modellera ankomstiderna som exponentialfördelade. Även då det gäller betjäningstider, så är exponentialfördelningen ett orimligt antagande i många situationer. Antag t ex att kunder är produkter som anländer till en maskin för bearbetning. Betjäningstiden är i detta fall alltså tiden det tar för maskinen att bearbeta en produkt. Eftersom betjäningstiden antagligen är ungefär samma för varje produkt som anländer till maskinen så vore det bättre att antaga att betjäningstiden är konstant istället för exponentialfördelad. I följande avsnitt ska vi behandla några fall som behandlar andra fördelningar än just exponentialfördelningen. 5. M/G/-system I denna modell tillåter vi alltså att betjäningstiderna kan ha vilken statistisk fördelning som helst. Att ta fram explicita uttryck för tillståndssannolikheterna i ett M/G/ system är i princip omöjligt. Å andra sidan är man ofta intresserad av medelvärden, typ; förväntat antal kunder i kön, förväntat antal kunder i systemet, förväntad tid i systemet, etc. Genom att använda genererande funktioner för antalet kunder i systemet, samt Laplacetransformen

2 5 KÖTEORI MED ALLMÄNNA FÖRDELNINGAR för tiden i systemet kan dessa förväntade värden härledas ganska enkelt. Tyvärr leder det för långt att behandla detta i denna kurs, se t ex Kleinrock (974) för mer information. Vi återger här ett resultat som visades av Pollaczek-Khintchine på 30-talet. Antag att vi känner medelvärdet / och variansen σ 2 av betjäningstidsfördelningen. Då gäller att P 0 = ρ (0) L q = 2 σ 2 +ρ 2 2( ρ) () L = L q +ρ (2) W q = L q / (3) W = W q +/ (4) Uttrycket för L q i () har fått namnet Pollaczek-Khintchine s formel. Notera att L q ökar linjärt med variansen. Alltså, ju större spridning av betjäningstiderna, desto längre medelkö. Som en kontroll, betrakta ett M/M/-system där betjäningstiderna som bekant är exponentialfördelade med medelvärde / och varians / 2. Insättning i () ger, L q = ρ 2 /( ρ) vilket stämmer med våra tidigare resultat (vilken tur!). Tyvärr är det mycket svårare att härleda liknande resultat för ett M/G/s-system, s >. I dagens läge finns inga generella resultat för sådana system. Exempel 2 Vid en motortrafikled planeras att öppna en dygnet runt bensinmack med endast en bensinpump, samt försäljning av korv med bröd. Enligt mätningar anländer kunder som en Poissonprocess med intensiteten 6 kunder per timme som vill tanka. Tiden det tar att tanka en bil är exponentialfördelad med väntevärde 5 minuter. När kunden tankat färdigt går han och ställer sig i kö inne vid kassan för att betala (det finns enbart en kassa). Förutom de tankande kunderna så kommer kunder som bara vill köpa korv med bröd. Dessa antas anlända som en Poissonprocess med intensiteten kund per timme. Dessa ställer sig i samma kassakö som de som har tankat. Betjäningstiden i kassan för en godtycklig kund är konstant 3 minuter.. Vilken typ av köer uppkommer vid de olika instanserna? 2. Beräkna L q och W q för kön vid kassan. Lösning: M/M/ (bensinpump) M/D/ (kassa) b b k Figur 6: Köer i serie.. Låt b = 6 beteckna ankomstintensiteten för bensin-kunder, samt låt k = vara ankomstintensiteten för korv-kunder. Enligt förutsättningar kan problemet modelleras

5.2 M/E k /-system 3 som två kösystem i serie där den första kön är en M/M/ kö (bensin-kön), medan den slutliga kön är en M/D/ kö (kassa-kön), se Figur. Här har vi använt att utprocessen från ett M/M/ system är en Poissonprocess samt att superposition av Poissonprocesser ger en ny Poissonprocess. 2. Eftersom betjäningstiden är konstant så gäller att, σ 2 = 0. Pollaczek-Khintchine s formel ger, ( b + k ) 2 / 2 L q = 2( ( b + k )/) = 72 /20 2 2( 7/20) = 0.094. W q = L q /( b + k ) = 0.03 timmar = 0.8 minuter där är betjäningsintensiteten för kassan ( = 20 per timme). Sammanfattningsvis kan vi konstatera att för en M/D/ kö är Pollaczek-Khintchine s formel reducerad till L q = ρ 2 /(2( ρ)). Notera att L q i M/D/ fallet är exakt hälften av L q i M/M/ fallet. Alltså, genom att minska variansen, σ 2, så kan bättre system-prestanda uppnås. 5.2 M/E k /-system Erlang-k fördelningen,vilkenoftabenämnssome k -fördelningen,bildasgenomattsummera k oberoende exponentialfördelade stokastiska variabler, var och en med intensitet k. Med andra ord, X = k X i, där X i Exp(/(k)), X i oberoende av X j, i j = X E k (/). i= Fördelnings- och täthetsfunktionen för en E k -fördelad stokastisk variabel är k F(t) = e kt f(t) = df(t) dt i=0 (kt) i, t 0, i! = k (kt)k (k )! e kt, med medelvärde / och varians σ 2 = /(k 2 ). Notera att i M/D/ modellen är σ 2 = 0, medan variansen i M/M/ modellen är σ 2 = / 2. För M/E k / modellen ligger variansen någonstans mitt emellan, 0 < σ 2 < /. Lägg också märke till att M/D/ och M/M/ modellerna är specialfall av M/E k / modellen. Då k = är M/E k / ekvivalent med M/M/, medan då k är M/E k / ekvivalent med M/D/. Detta betyder att vi kan approximera en konstant tid med en Erlang-k fördelad tid (med ett ganska stort k) då det visar sig vara nödvändigt (d.v.s. det kan vara svårt att lösa komplicerade kömodeller med konstanta tider). Pollaczek-Khintchine s formel för M/E k / modellen kan enligt () skrivas som L q = 2 /(k 2 )+ρ 2 2( ρ) = k+ 2k 2 ( ). (5)

4 5 KÖTEORI MED ALLMÄNNA FÖRDELNINGAR 4 3.5 k=20 3 f(t) 2.5 2 k= k=5.5 k=2 0.5 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8.2.4.6.8 t Figur 7: Täthetsfunktionen f(t) plottad i fallen k =,2,5,20, för = 2. 5.3 M/E k / - upptaget system Vi ska i detta avsnitt lösa ett M/E k / system underantagandet att inget köandeär tillåtet. Observera att det endast kan finnas en kund eller ingen kund alls i sytemet under detta antagande. Eftersom köande är tillåtet i ett allmänt M/E k / sytem, så kan inte Pollaczek- Khintchine s formel användas. Vi söker tillståndsfördelningen för antal kunder i systemet, d.v.s. P k, k = 0,. Låt oss dela upp den Erlang-k fördelade betjäningstiden i k exponentialfördelade steg. Vi inför tillstånden n: n = 0: Ingen kund i betjänaren, n > 0: En kund i betänaren som har n exponentialfördelade steg kvar av sin totala betjäningstid. Denna definition av tillstånd ger motsvarande definition av tillståndssannolikheter: P 0 P n = P(ingen kund i betjänaren), = P(kunden i betjänaren har n exponentialfördelade steg kvar av sin betjäningstid). De sökta tillståndssannolikheterna P k, k = 0,, kan nu uttryckas i P n, 0 n k, enligt P 0 = P 0 k P = P n. Nu kan vi lösa systemet på vanligt sätt genom att analysera tillståndsgrafen. n=

5.3 M/E k / - upptaget system 5 0 2... k- k k k k k k Figur 8: Tillståndsgraf. Med snittmetoden fås P 0 = kp P 0 = kp 2. P 0 = kp k Normeringsvillkoret, k n=0 P n ( P 0 n= = P = P 2 =... = P k = k P 0. =, ger att ) k + = P 0 = k +/. Detta ger direkt de tillståndssannolikheter vi ursprungligen var intresserade av, d.v.s. P 0 = P 0 = +/, samt P = k n= P n = / +/. Exempel 3 Antag att kunder kommer till kassan (det finns enbart en kassa) i en klädesbutik som en Poissonprocess med intensitet per minut. Kassarutinen är som brukligt, d.v.s. först packas klädesplaggen i en elegant förpackning. Därefter tar kassapersonalen betalt. Antag att varje moment tar en exponentialfördelad tid med medelvärde 0.25 minuter i anspråk. Tiden för inpackning är oberoende av tiden för betalning.. Vilket sorts kösystem ger förfarandet vid kassan upphov till? Beräkna förväntat antal kunder systemet (kassa+kö), samt förväntad tid i kön. 2. Försök att lösa delproblem. utan att använda Pollaczek-Khintchine s formel. Lösning:. Detta är ett M/E 2 / kösystem eftersom betjäningstiden är summan av två oberoende exponentialfördelade tider, och eftersom att kunder ankommer som en Poissonprocess. Eftersom /(k) = 0.25 samt k = 2 = 2. Alltså, den totala betäningstiden är E 2 (/2) fördelad. Med k = 2, =, och = 2 kan vi beräkna medelkölängden enligt (5) L q = 3 4 2 (2 ) = 3 8. Detta ger att medelantal kunder i systemet är, L = L q + ρ = 3/8 + /2 = 7/8. Medeltiden i kön blir, W q = L q / = 3/8 minuter.

6 6 TILLÄMPNING AV KÖTEORI 0 2 3 4 5... 4 4 4 4 4 Figur 9: Tillståndsgraf för antalet kunder klädbutikens kösystem. 2. Problemet kan även beskrivas enligt följande tillståndsdiagram, se Figur 4. Här betyder, tillstånd 0: inga kunder i systemet, tillstånd : en kund i kassan där kunden har ej ännu har betalt, tillstånd 2: en kund i kassan där kunden ännu ej har fått varorna packade och ej heller betalt, etc. Uppgiften är nu att ta fram tillståndssannolikheterna, P n, för alla n 0. Då vi har ett uttryck för P n kan vi enkelt beräkna de sannolikheter vi egentligen är ute efter, d.v.s., P n = P(n kunder i systemet) = P 2n +P 2n. Med andra ord, P 0 = P 0 P = P +P 2 P 2 = P 3 +P 4 etc. Snittmetoden ger följande differensekvation, P = 4 P 0 P n+ = 4 (P n +P n), n =,2,3... (6) Att lösa (6) genom att hitta ett allmänt mönster i rekursionerna (som vi har gjort tidigare då vi hittade fördelningen för ett M/M/ system, etc) är inte att föredra i detta fall. Ett mer elegant och behändigt förfarande är att använda genererande funktioner. Tyvärr ligger detta utanför denna kurs, därför lämnar vi problemet i befintligt skick för vidare reflektioner. 6 Tillämpning av köteori Design av kösystem involverar någon form av kapacitetsbeslut. Vanligen rörande Antal betjäningsstationer Antal betjänare per betjäningsstation Betjäningshastighet hos enskilda betjänare

6. Definition av kostnader 7 Tillhörande beslutsvariabler är, s och. Exempel 4 Antal läkare på en akutmottagning, antal kassor/utgångar i ett snabbköp, val av maskintyp vid investeringar, etc. En grundläggande fråga är vilken servicenivå som bör väljas. Problemet är alltså att balansera kostnaden för ökad kapacitet mot reduktionen i väntetider. För att kunna göra detta så måste först väntekostnad (bristkostnad) och servicekostnad definieras. 6. Definition av kostnader Här finns två olika situationer att beakta, då kunder är interna respektive externa. Givet en bristkosnadsfunktion så kan problemet formuleras som följande optimeringsproblem W C = Väntekostnad Total bristkostnad SC = Servicekostnad Kapacitetskostnad TC = Totalkostnad Problem: mine(tc) = min{e(wc)+e(sc)} 6.. Interna kunder När interna kunder kommer till systemet så beror väntetidskostnaden främst på antal kunder i systemet. Detta pga att väntetidskostnaden (bristkostnaden) är relaterad till produktionsbortfall och tillhörande vinstbortfall. Definiera g(n) som bristkostnaden som funktion av antal kunder i systemet, N. När den stationära tillståndsfördelningen p k har bestämts så kan den förväntade bristkostnaden skrivas som E(WC) = E(g(N)) = g(k)p k. (7) Då g(n) är linjär: Detta betyder att g(n) = C W N, där C W är kostnad per tidsenhet för en kund i systemet. Den förväntade bristkostnaden blir då 6..2 Externa kunder E(WC) = C W kp k = C W L. I detta fallet kommer bristkostnaden vara baserad på väntetiden i systemet. I stora drag finns här två olika varianter. Vinstdrivande organisation: = Bristkostnaden är relaterad till förlorade försäljningsintäkter, Bad will. 2. Icke-vinstdrivande organisation: = Bristkostnaden är relaterad till en samhällskostnad.

8 6 TILLÄMPNING AV KÖTEORI Låt h(w) beteckna bristkostnaden som funktion av tiden i sytemet, W. Det betyder att den förväntade bristkostnaden per kund blir E(h(W)) = 0 h(u)f W (u)du (8) För att få fram den totala förväntade bristkostnaden per tidsenhet måste vi multiplicera E(h(W)) med, dvs E(WC) = E(h(W)). Då h(w) är linjär: Det betyder att h(w) = C W W. Den förväntade bristkostnaden blir alltså E(WC) = E(C W W) = C W E(W) = C W L. Notera att då bristkostnadsfunktionerna är linjära så betyder det att h(w) och g(n) ger samma totalkostnad. 6.2 Beslutsmodeller Modell - Bestämning av antal betjänare, s: Definitioner: C s = Kostnad per betjänare och tidsenhet = Betjäningsintensitet = Ankomstintensitet s = Antal betjänare Målfunktion: min s E(TC) = min s {sc s +E(WC)}. Optimering: Önskvärt är att målfunktionen vore en konvex funktion av s. I så fall beräkna E(TC) för s = och fortsätt att höja s tills E(TC) ökar för första gången. I annat fall, beräkna E(T C) för de aktuella diskreta s-värdena, och välj det billigaste alternativet. Modell 2 - Bestämning av antal betjänare, s och betjäningsintensiteten : I detta fallet kan alltså både s och varieras. I många fall finns endast ett fåtal möjliga alternativ att beakta, t ex då mängden av tillåtna -värden är ändlig. Skulle det finnas oändligt antal att välja mellan får man hoppas på att strukturen på kostnadsfunktionen är så pass enkel att det går att minimera analytiskt. I annat fall får numeriska metoder tas i bruk. Definitioner: f() = Kostnad per betjänare och tidsenhet som funktion av A = Mängden tillåtna värden på Målfunktion: min A,s E(TC) = min A,s {sf()+e(wc)}. Innan vi visar att endast en server är optimal under vissa omständigheter behöver vi först följande lemma.

6.2 Beslutsmodeller 9 Lemma 2 D s (ρ) = P(en anländande kund behöver vänta) = ρs s! s s ρ p 0 (Erlang-C) E s (ρ) = P(alla s betjänarna är upptagna) = ρ s /s! s ρk /k! (Erlang-B) Vidare kan D s (ρ) skrivas som D s (ρ) = se s (ρ) s ρ( E s (ρ)). Bevis: Visa som en övning till kap.7 i Hillier & Lieberman. Sats 3 Ett köstystem med endast en betjänare är optimal om det värde på som minimerar E(TC) för s = är tillåtet, f() är antingen linjär eller konkav. Bevis: Vi ska visa att s = är optimalt under inskränkningen av linjära kostnadsuttryck. Antag att kunder anländer till punkt I med intensiteten per tidsenhet. Varje kund som s I II Figur 0: s stycken betjänare från punkt I till punkt II. anländer har n stycken paket som ska skickas från punkt I till punkt II. Antal paket n är exponentialfördelat med medelvärde / stycken. Det finns s stycken betjänare för överföring mellan punkt I och punkt II, se Figur 0. Om den totala betjäningskapaciteten är K, så kan alltså varje betjänare överföra K/s paket per sekund. Detta betyder att överföringstiderna är exponentialfördelade med medelvärde α = s/(k) tidsenheter, samt att ρ = s/(k). Sätt f(α) = C s och benämn den totala förväntade kostnaden som C(s), som nu kan skrivas som ( ) s C(s) = sc s +E(WC) = sc s +C W W = sc s +C W K +D s s(ρ), K(s ρ) Sätt för enkelhets skull β = /(K). C(s) = (C s +βc W )s+βc W D s (ρ) β Lemma 2 ger att Erlang-C formeln kan skrivas som D s (ρ) = se s (βs) s βs( E s (βs)).

20 REFERENSER Detta ger att se s (βs) C(s) = (C s +βc W )s+βc W s βs+βse s (βs) β = (C s +βc W )s+βc W ( β)e s (βs) +β β Notera att inversen av Erlang-B formeln, E s (βs), kan uppskattas uppåt mha en geometrisk summa E s (βs) = s! (βs) s s (βs) k = s k! β s β k s! k!s s k β s s β k = β s β β Olikheten följer ur att s!/(k!s s k ) för alla s och 0 k s, vilket kan visas t ex med induktion över s och k. Från denna uppskattning följer att C(s) (C s +βc W )s+βc W β s β. Betrakta nu skillnaden C(s) C(). Kan vi visa att C(s) C() > 0 för alla s > så är vi klara. Eftersom C() = C s +βc W +βc W β/( β) följer att β( β s ) C(s) C() (C s +βc W )(s ) βc W β ( s 2 ) s 2 = C s (s )+βc W β k+ s 2 = C s (s )+βc W ( β k+ ) > 0 för alla s >. Denna sats säger att det är bättre att koncentrera resurserna till en snabb betjänare istället för att sprida ut kapaciteten på många långsamma betjänare. Referenser [] Hillier F. S. och G. J. Lieberman Introduction to Operations Research, McGraw-Hill, 8th edition, 2005. [2] Kleinrock, L. Queueing Systems, Volume I: Theory. Wiley, 974. [3] Körner, U. Köteori och tillförlitlighetsteori. Studentlitteratur, 997.