Felkalkyl Ofta mäter man inte direkt den storet som är den intressanta, utan en grundläggande variael som sedan används för att eräkna det som man är intresserad av. Se till exempel på ur det går till när polisen från en elikopter kontrollerar astigeten os ilar på marken. Det gör de genom att markera en känd sträcka, t ex en kilometer på vägen oc sedan med tidtagarur mäta ur lång tid det tar för ilen att åka mellan märkena. Hastigeten eräknas sedan genom formeln: astiget = sträcka tid Det intressanta är är ju astigeten, inte tiden som är det som egentligen mäts. Mätningen av tiden är ju som alla andra mätningar eäftad med en viss osäkeret. Det intressanta är nu ur vi skall översätta denna osäkeret till en osäkeret i den intressanta storeten, dvs astiget. astiget medelvärdet för tid svarar mot medelvärdet för astiget tid Medelvärdet för tiden, t medel, är också det vanligaste värdet för tiden. Den astiget som svarar mot t medel lir också den vanligaste astigeten, oc medelvärdet av astigeten. Alla tider svarar genom funktionssamadet mot en estämd astiget, tiden t medel + Δt svarar mot astigeten medel + Δastiget.
astiget tid medelvärdet minus en sigma för tiden svarar mot medelvärdet plus en sigma för astigeten. Om samandet mellan den variael man mäter oc den storet man är intresserad av inte är en rät linje så gör man en approximation: Tangenten till kurvan i en punkt kallas dess riktningskoefficient. Y X Y + ΔY Av eräkningstekniska skäl väljer man att istället för att följa kurvan följa riktningskoefficienten när man går från t ex X + ΔX för att komma till Y + ΔY X + ΔX
Anledningen att man gör det är att det finns ett matematiskt uttryck för riktningskoefficienten som ofta är ganska enkelt att eräkna. Riktningskoefficienten gör det också enkelt att eräkna ur stor förändring i y som lir följden av en förändring i x, det är i själva verket definitionen på riktningskoefficienten. överkurs Det matematiska uttrycket för riktiningskoefficienten kallas derivata, oc skrivs t ex vilket man läser ut - derivatan av y med avseende på x y x Vi kan alltså skriva ΔY = k ΔX, där k är riktningskoefficienten, eller om vi uttrycker det med derivator: Δy = y x Δx Felkalkyl med mer än en variael: Många gånger är den storet vi är intresserade av en variael av mer än en mätt storet. Ett exempel är när vi mäter redd oc öjd för att eräkna arean: En osäkeret i redden, Δ, kommer då att ge en osäkeret i arean som ges av ΔA = ± Δ Δ
En osäkeret i öjden, Δ, kommer då att ge en osäkeret i arean som ges av ΔA = ± Δ Δ Men i själva verket måste vi ta änsyn åde till osäkereten i oc i : Δ Δ En möjlig formel för den sammanlagda osäkereten är ΔA = ΔA + ΔA Tänker vi efter en stund inser vi att den formeln inte är riktigt rimlig: det ΔA som svarar mot en standardavvikelse är den osäkeret vi får i arean om åde oc samtidigt fluktuerar med en standardavvikelse. Men vi vet att sannoliketen att skall fluktuera med en standardavvikelse uppåt är cirka 16% oc det samma gäller för. Sannoliketen att de ägge skall göra det - under förutsättning att mätningarna är oeroende av varandra - är alltså mycket lägre än så: i själva verket ges den av 0.16 i kvadrat. Man kan visa (görs ej i denna kurs) att det uttryck som ger en korrekt uppskattning av felet i A är kvadratroten ur summan av kvadraterna på de enskilda idragen (denna konstruktion kallas ofta kvadratsumma ): ΔA = ( ΔA ) + ( ΔA )
Vi ser att i analogi med vårt första exemepel med astigetsmätningen så ges t ex ΔA av Δ gånger riktningskoefficienten för arean som funktion av, så vårt uttryck för felet i arean är ett specialfall av den mer allmänna regeln: ΔY = (( riktningskoefficienten map x) Δx) + ( riktningskoefficienten map z) Δz ( ) Om den storet man är intresserad av är en funktion av fler än två varialer, så fyller man ara på i rotuttrycket, en term för varje variael. Detta är den allmänna formeln för felpropagering som alltid är applicerar. För att kunna använda den oc eräkna osäkereten i den storet vi söker måste vi alltså dels a en uppskattning av osäkereten i de varialer vi verkligen mäter, dels kunna estämma riktningskoefficienterna för funktionsuttrycket map på dessa. Inom matematiken ar man utvecklat egreppet derivata, som är just riktningskoefficienten för en funktion med avseende på en viss variael, utnyttjar man detta får vi följande uttryck för felpropageringsformeln: ΔZ = z x Δx + z y Δy +L I den är kursen ingår inte att kunna eräkna derivator för alla tänkara funktioner, men det är viktigt att känna till att det går, oc att det finns en metod som är allmängiltig. Vi måste dock känna till två specialfall: 1 - för samand som är enkla summor eller differenser av varialerna så ger felfortplantningsformeln att felet i den eräknade storeten ges av kvadratsumman av felen i de ingående termerna. Exempel: A = + c d + e f ΔA = ( Δ) + ( Δc) + ( Δd) + ( Δe) + ( Δf ) - för samand som är produkter oc divisioner så ger felfortplantningsformeln att det relativa felet i den eräknade storeten ges av kvadratsumman av de relativa felen i den ingående termerna. Exempel: A = c d e f ΔA A = Δ + Δc c + Δd d + Δe e + Δf f
En viktig konsekvens av dessa formler är att För uttryck av typen 1 ovan kan det totala felet i den storet vi är intresserade av aldrig li mindre än det största totala felet För uttryck av typen ovan kan det relativa felet i den storet vi är intresserade av aldrig li mindre än det största relativa felet. Ett exempel på ett uttryck av typen ovan är resistensen i laoration 1, ni mätte ström I oc spänning U, för att kunna eräkna resistensen R som R=U/I. Ni ade pga av instrumentens nogrannet en osäkeret i åde ström oc spänningsmätningen, ΔI oc ΔU. Dessa kan användas för att eräkna en förväntad osäkeret i R, ΔR. ΔR R = ΔU U + ΔI I Vi ar nu fått två sätt att eräkna osäkereten i våra mätningar av Resistensen: vi kan antingen göra många mätningar oc se ur resultaten fördelar sig. Variansen i den fördelningen ger oss ett mått på osäkereten i estämmningen av R. Vi kan å andra sidan estämma osäkereten i de mätta varialerna oc eräkna den förväntade osäkeeten i R. Den senare metoden kan alltså användas även om vi ara gör en enstaka mätning, förutsatt att vi på något tillförlitligt sätt kan uppskatta osäkereten i de ingående storeterna ( I oc U i exemplet ovan) Om våra uppskattningar av osäkereten i de ingående storeterna är riktiga så skall de ägge metoderna ge identiska resultat efter ett stort antal mätningar, detta ger oss en möjliget att kontrollera rimligeten i våra eräkningar.