SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Aritmetik Base camp, a) 9 c), d) 0 e) 00 f) g) h) a), >,0 > 9,, kr/kg, 9,0 kr a) 000 0, 0 Hundratalet ska ändras. Det ska vara 00 i stället för 00.,, 00 Kontoutdraget visade 00 kr fel. 0 a) 0 c) + 9 d) 9 9 Ett räknehäfte kostar 9 kr. 09 0 0 TV-avgiften var 0 kr per år. 00 00 Det behövs 00 rör. biobiljetter 9 90 kr 90 Jonna har kvar kr. Ja, hon kan köpa en hamburgare. 9 av 00 kr 00 00 kr av 00 kr 00 00 kr 0 a), 0 0 Uppgifter 0 a) 0, c), 0 a) c) 0 a) 0, c) 0 00,0 0 a) ental, vi ska dra bort tiotal, vi ska dra bort 0 c) hundratal, vi ska dra bort 00 d) tusental, vi ska dra bort 000 0, kan skrivas,0. 0 hundradelar är mer än 9 hundradelar. 9 00 00 kr Jackan: 0 00 0 kr 00 0 0 Noomi har kvar 0 kr. a) Vi räknar med en puls på slag/min. Om du räknar med en annan puls ska du ersätta med din puls i uträkningarna i c) och d). år dagar timmar 0 minuter 9 0 00 år 9 0 00 min c) 9 0 00 0 000 På år har ett hjärta slagit 0 000 slag. d) Du bestämmer själv vilken ålder du räknar med. Här räknar vi med 90 år. Om du räknar med en annan ålder ersätter du 90 med din ålder i uträkningarna. 90 år dagar timmar 0 minuter 0 000 90 år 0 000 min 0 000 0 0 000 På 90 år har ett hjärta slagit 0 0 000 slag. 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a),0,0, 9,9 9, 9, 9, 9, a),, c), a) 0,09 0,09 c),009 d),009 a), + 0,, 0, + 0,9, c) 0, + 0, 0,0 + 0, 0, d),0 +,, a) 9 tiondel Talet som saknas är 0,9. hundradel Talet som saknas är 0,0. c),0 0 tiondelar 0, tiondelar tiondelar + tiondelar 0 tiondelar Talet som saknas är 0,. d),00 00 hundradelar hundradelar + 9 hundradelar 00 hundradelar Talet som saknas är 0,0. 9 0,9,, Dana väger, kg mer än Pelle. 0 a) 9, tiondelar + tiondelar tiondelar Hon borde sedan ha tänkt på att tiondelar,. a) Ett steg åt höger. Tre steg åt vänster. a) 00 0 a) c) d), 0 00 000, 0 00, 0 00 0 00 000, 0 00 /0 /00 / 000, 0, 0,0 0,00, 0, 0,0 0,00, 0, 0,0,, 0, 0,0 a) 00 + 00 00 Maryam har 00 kr. 00 00 0 000 Maryam har 0 000 kr. 0, 000 00,0 0 0 000 0,00 0, 0 0,0 0 00 000 a) 0 0 0 00 0 0 0 0 c) 0 0 0 0 a) 0 0 0 0 0 0 0 0 c) 00 00 00 000 a) c) d) 9 a),, c) 0, d),0 0 a) km 00 km a) 000 km 00 000 km 00 9 Tur och retur 9 Det behövs ungefär stycken kinesiska murar. 0,90 Ett äpple kostar ca,90 kr. Petras steg är ungefär meter. Man ska ha samma noggrannhet på längderna. Det är ingen idé att mäta sista biten så noggrant. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) 0, kg, kg c) 0, kg d) 0,0 kg a) 0, liter, liter c) liter d) 0, liter a) 9,9 9 kr, 9,9 kr,0, 9 kr/kg 9 a), hg 0, kg 0, 0 kr/kg, hg 0, kg 0, 0 9, kr 0 ml 0,0 liter 9 0,0 0 kr/liter 0 ml 0, liter Gamla literpriset 9,90 0, Nya literpriset,90 0, 0,0 kr/l,0 kr/l Ändringen 0,0,0,0 kr/l Du kan räkna så här också: 9,90,90 kr,0 kr/liter 0, Priset har sjunkit med,0 kr/l. a) 000 + 000 000 0 0 c) 0 00 0 d) 00 0 9 9, 9 0 90 Amanda får ungefär 90 kr.,,90 9 Godiset kommer att kosta ungefär kr. Ja, pengarna borde räcka. ( + ) 9 kr Två apelsiner och två bananer. c) + 0 ( + ) + 0 + 0 kr En apelsin, tio äpplen och tio bananer. + 0 a) ( + ) 0 0 + + c) + 0 + d) + + + + 0 e) + +, a) Hur mycket Jens får tillbaka på en femhundralapp när han betalar. Biljetten borde kosta mer än popcorn. Popcornen kostar kr. 9 a) >, < 0, c) 9 < 9 d), >,9 0 a) 00 < 0,9 <,9 c) < 0 Ju längre åt vänster man går på tallinjen desto mindre blir talen. 9 ligger längre åt vänster än. a) + C 0 C a) + 9 C C a) c) + d) 9 0 + 00 0 kr Nu har Jim 0 kr på kontot. a) 0 0 0 0 0 p 0 + 0 0 + 0 0 p a) 9 c) 0 0 0 d) 0 e) + f) 0 + a) 0 c) d) 0 9 a) kl.00 + timmar kl.00 kl.00 timmar kl 0.00 0 Stockholm à London à New York timme timmar Totalt: timmar kl 9.00 timmar kl.00 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Planet lyfter. finsk tid och landar. svensk tid. a). finsk tid. timme. svensk tid. Flygresan tar alltså minuter. d) e) 9 c) f) 0 a) Tisdag och torsdag, alltså. Januari, februari, juni, juli och augusti, alltså. c) 9 a) d) är störst. Femtedelar är större än sjättedelar. är störst. är hela. är mindre än hela. 0 c) 0 0 a) c) d) 0 a) 0 0 0 a) En hel pizza är femtedelar. Per äter. Per äter mest. a) c) hela är femtedelar, alltså. Sen lägger hon till. a) + + är störst. Ju färre bitar något är indelat i desto större är bitarna. är störst. stycken sjundedelar är mer än stycken sjundedelar. a) a) c) 9 / 0/ c) 0/ / a) / 9/ c) a) + / 0/ / 0/ / 0/ / / c) + + / / eller / 0/ eller / 0/ Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
d) 0 + e) + f) 0 / / / / a) + + + + + + / / a) + 0 + 0 9 0 + + c) 9 a) + + 9 0 Det hela är femtondelar. av karamellerna är svarta. + + 0 + 0 0 Hela klassen är 0 fyrtiodelar. 0 0 0 0 0 a) av klassen var frånvarande. + + 0 + 0 9 0 Hela vinsten är 0 tiondelar. 0 0 9 0 0 Tim får c) 0 av vinsten. av 00 kr 00 00 kr av 00 kr 00 00 kr av 000 kr 000 00 kr av 000 kr 00 00 kr d) av 0 000 kr 0 000 0 000 kr av 0 000 kr 0 000 0 000 kr a) 90 0 Loppet är 0 m. av 0 m 0 m av 0 m m Jamal har kört m. c) 0 Han har kvar m. av Fyra personer har röstats ut. Det är personer kvar. a) Ett år månader a) a) av månader månader 0 av månader månader av månader + 0 månader av, g, 0, g av, g 0,, g, g av, g, 0, g av, g 0 0,, g av 00 kast 00 Talet är. kast (Vi delar i delar) 90 Talet är 90. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) 9 9 c) 0 9 a) 9 90 a) 0 0 0 0 000 0 0 0 0 0 0 00 000 c) 0 0 0 0 0 0 0 000 000 d) Exponenten är lika med antalet nollor i talet. 9 a) 000 0 0 000 0 c), 000, 0 d), 000 000, 0 9 a) 00 00 9 0 000 90 000 c), 000 000 0 000 9,9 0 kg 9 a) 0,00 0 0,0000 0 c), 0,0, 0 d), 0,00, 0 9 a) 9 0,0 0,09 0,000 0,000 c), 0,00 0,00 d),9 0,0000 0,00009 9 0,000 00 m 9 a) 0 0 0 000 gram 0 0 0,0 liter c),0 0 000 000 pixlar d) 0 000 000 000 000 byte e) 0 0,0 meter 9 0 MB 0 0 0 000 000 B 0,0 GB 0,0 0 9 0 000 000 B Ja, det stämmer. Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning a),9, a) 0 0 c) 0, 00,9 9 dollar 9,0 kr /l 0, a) + 0 c) ( + ) 0 a), >, > c) < d) > a) c) 9 a) d) e) f) / / 0 a) a) a) / / 0 / 0/ + + / / c) + + d) + 0 + 0 0 av 9 000 kr 9 000 000 kr av 9 000 kr 000 9 000 kr Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Nej. 9 a) 0, 0 c) 0 d), 0 a) 000 00 00 000 0 Exempel: 0 0 00 000 0 000 000 000 000 0 9 c) 0 n 0 m 0 n + m Man adderar n och m när man multiplicerar tiopotenser. a) 00 0,00 Kommunikation/Resonemang 0,, 0, 0, l i varje glas glas 0, hundradelar 0, 0, + 0,0 tiondel + hundradelar Vi gör om hel till. Vi gör om till. av 00 kr 00 kr 00 kr kr kr kr kr kr + kr kr kr kr kr kr I figuren ser vi att kr är Man ska alltså dra av av kr för att komma tillbaka till 00 kr. av kr 00 kr kr av kr. står för hur mycket diametern minskar på en dag. ( ) står för hur mycket diametern minskar på dagar. Diametern minskar cm på dagar. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Procent Base camp Bild Bråk Decimalform Procent 0,, % 0, % % av 99 0, 99, kr 99,, kr av 0 % 90 kr % 90 0 kr 0, % 00 % 00 00 kr 00 % % % 0, 00 % + % 0 %,0 00,0 kr a),9, 0, procentenheter 0,, 0,, % 0,0 00,0 kr 9 av 0 0 Uppgifter, % 0 a) % 0 % c) 0 % e) 0 a) av 0 kr 0 0 kr f) % är hälften av 0 % 0 0 av 00 kr 00 0 0 kr kr 0 kr % är hälften av 0 % 0 0 kr c) % 0 % + % 0 kr + 0 kr 90 kr 0 a) 0 % av 90 kr 0 90 kr 9 kr kr 0 0 % av 90 kr 9 kr av 90 kr 90 0 % är hälften av 0 % 9 9,0 kr 90 kr 9,0 kr 0,0 kr 0 a) 0, 0,0 c) 0, d) 0,0 e) 0, f) 0,0 0 a) 0,0 kr 0,09 0 9,0 kr c) 0, 99 0,0 kr 0 a) % av 99 kr 0, 99 9, kr 99 kr 9, kr 9, kr 9 kr 09 a) % av 00 kr 0,0 00 kr 00 kr + kr 9 kr 0, % av 9 00 000 0, 9 00 000 00 invånare % av 99 kr 0, 99, kr 9 % av 99 kr 0,9 99, kr, kr, kr 0,9 kr kr billigare 0 a) c) d) av 00 kr 00 00 00 kr av 0 kr 0 00 00 0 0 av 90 kr 90 0 av 99 kr 99 0,0 kr 9 kr 9,90 kr Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Hur många procent av figuren är skuggad? Bild Bråkform Decimalform Procentform Förändringen 0 0 0 kr 0 0,0, % 0 0 av 0 c) av 0, 0 % 0,, % Förändringen 99 999 00 kr 00 0, % 99 Skillnaden 0 km/h 0 0, % d) av e) av 0, % 0,, % a) % % c) 0 % d) 0, % e) 0, % f) 0, % a) 0,, % 0,, % c) 0,, % 0 kr av 00 kr 0 0,, % 00 g av 0 g 0,9 9 % 0 + elever på skolan av 0,, % a) % 90 0 kr 00 % 00 0 000 kr %, kr 00 % 00, 0 kr 9 a) % 00 kr % 00 90 kr 00 % 00 90 9 000 kr 9 000 kr 00 kr 90 kr 0 % medlemmar % medlemmar 00 % 00 00 medlemmar Förändringen 99 9 0 kr 0 0,9 9 % 99 a) Skillnaden km 0, 0 % Mohammed sprang 0 % längre än Anne. 0,9 9 % Anne sprang 9 % kortare än Mohammed. a) Skillnaden elever 0, % 0,9 9 % a) % 0, 00 % + % 0 %,0 c) 00 % + % %, d) 00 % 9 % 9 % 0,9 a) 00 % + % 0 %,0,0 000 0 kr 9 a) 00 % % % 0, 0, 99 9 kr 0 a) 00 % % % 0, 0, 99 0 kr 00 % % % 0, 0, 9 9 kr 00 % % % 0, 00 % + % %,, 00 besökare Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) 00 % + % 0 %,0,0,0,0 cm cm av cm c) % 00 % % 9 % 0,9 0,9 invånare 00 % 0 % 90 % 0,9 00 % % % 0, 999 0,9 0, kr 00 % 0 % 0 % 0, 00 % + 0 % 0 %, 0,, 0,9 9 %, % Nej, hastigheten är nu 9 % av den gamla hastigheten. Den är % lägre än från början. (Du kan hitta på en hastighet och räkna med den om du vill.) a) 0,0 000 9 kr 000 + 9 09 kr 0,0 000 kr 9 0 00 0,0 % 0 0,0, % 00 a) 900 0 00 kr 00 kr c) a) 00 0,0, % 0 00 År Pris (kr) Procent Index 00 00% 00 00 0, %,0 0 % 0 År Pris (kr) Procent Index 00 0,9 9 % 9 00 00% 00 0 0, % c) Om 00 är basåret har 0 index 0.,0,0 kr a) År 90 eftersom det året har index 00. 0, 00 0, % c) 90,0 0 kr a),, 0, procentenheter 0,, 0, % a) procentenheter 0, 0 % Andelen från början, % 0, procentenheter, % 0,, 0, % a) 0,0 0,00 c) 0,0 d) 0,00 e) 0,0 f) 0,00 a) 0,0 0,0 g 0,009 0,9 kg c) 0,0 99 0 liter 9, liter 00 ml 0,000 00, ml 0 9 00 0,00 0,0 9 elever Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning a) 000 00 0,, % 00 0 0 kr 0 kr c) 0 % av 00 kr 0 kr % av 00 kr hälften av 0 kr % 0 kr 9 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
0, 99, kr 0, % 0 % % 00 % 00 00 99 9 0 kr 0 0, % 99 00 % % 9 % 0,9 000 0,9 kr a) År 000 eftersom det året har index 00. 00 % à 0 % % 9 0,0 00 9,90 kr 0 a) 9 procentenheter 0, % 0,0 00 kg A: % kr %, kr 00 % 00,,0 kr,0,0 kr B: % 0 kr % 0, 00 % 00, 0 kr 0 0 0 kr Alternativ B är billigast. a),,0 kr/kg 00 % + % %,,,0 kr,0,,0 kr/kg 00 % 0 % 90 % 0,9 0 % först och sen 0 kr 0,9 0 0,0 kr 0 kr först och 0 % sen ( 0) 0,9,0 kr Hon ska använda 0 % rabatt först. För att 0 % ska bli så mycket som möjligt ska den användas på en så stor summa som möjligt. Kommunikation/Resonemang 0, 000 0 kr 000 + 0 9 0 kr 00 % + % %,, 000 9 0 kr Om man kan ta fram förändringsfaktorn i huvudet är den metoden snabbast. 00 % % % 0, 0, 9 0 0,0 kr Nej, värdet blir inte 000 kr igen. Värdet blir mindre. Vi multiplicerar förändrings faktorerna för att få fram den totala förändringen., 0, 0,9 9, % Vi ser att det blir mindre än 00 %. Det blir,9 % lägre än värdet från början. När man räknar med flera procentuella förändringar i följd. Till exempel om värdet på något ökar eller minskar flera år i rad. Då jobbar man övertid. Man jobbar fler timmar än vad som är 00 %. Nej, hon räknar fel. Man får inte lägga ihop procentsatserna när det är förändringar som kommer efter varandra. Hon ska ta fram förändringsfaktorerna för båda förändringarna. 00 % % % 0, 00 % 0 % 90 % 0,9 99 0, 0,9 kr I en by ökar antalet invånare med % varje år. Idag bor det 0 personer i byn. Hur många bor i byn om år? 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Statistik Base camp a) personer + 0 + personer a) a) c) 0 av personer 0 0, % + 09 + + + + + 0 + 0 9 0 09 0 + 0 Medianen är. c) Typvärdet är värdet det finns flest av Antal bilar Frekvens % Relativ frekvens 0 0 0 0 0 Antal bilar Relativ frekvens 0, % 0, % 0, % 0,0 % Färg Frekvens Röd 9 Blå Grön Gul Grön % Uppgifter Gul % Relativ frekvens 9 0,, % 0,9 9, % 0,0 0, % 0,, % Blå 9 % Röd % 0 a) Ja kl 0. c) kl. d) 9 bussar 0 a) På andra plats. 0 p c) 9 matcher Vinkel 0, 0 0,9 0 0 0,0 0 0, 0 0 a) personer. mail c) personer d) + + + + + personer e) 0, % 0 a) 0 kr 0 + 0 + 0 + 0 00 kr c) 0 00 0, % Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
0 a) 0 c) 0 00 + 9 00 + 0 00 + 00 + 00 + 00 + 0 00 00 0 kr 0 a) ca 00 personer 0 a) 0 ca 00 pojkar c) 000 00 00 00, 0 % 00 + + + + 9 + + + 9 + + + c) + + + + + 0 + + 0 + 0 + 0 0 + 9 0 0 0 + 90 + 90 + 0 + 0 + 0 + 0 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 0 0 g 09 a) Medianen 9 9 Medianen + +, 0 a) Typvärdet XS S S M M L L L XL Typvärde L a) Variationsbredd 0 Variationsbredd 0 När du har ett värde som är mycket större eller mindre än de andra värdena. T ex när man räknar ut medelåldern i en klass och tar med en äldre lärares ålder. Om det inte handlar om siffror eller om man har väldigt många lika värden. 00 + 900+ 00 + 00+ 00 + 00 00 90 kr Frans firma har högsta medellönen. Fredrikas företag 00 00 9 00 0 00 0 00 00 00 Medianen 0 00 kr Frans firma 00 00 00 00 900 00 Medianen 00 + 00 0 000 0 000 kr 9 För Fredrikas företag ger både medelvärdet och medianen en rättvis bild av löneläget. För Frans firma är det bäst med medianen. Den höga lönen drar upp medelvärdet. 0 Fredrikas företag Typvärdet 00 kr Frans firma Typvärdet 00 kr Fredrikas företag Variationsbredden 00 00 00 kr Frans firma Variationsbredden 00 00 0 00 kr Variationsbredden är liten i Fredrikas företag. Alla tjänar ungefär lika mycket. I Frans firma är variationsbredden stor. Det är stora skillnader i lönerna. Eftersom det är chefens lön som drar upp medelvärdet ger den inget rättvist värde. Även variationsbredden visar att löneskillnaderna är stora. Medianen skulle passa mycket bättre. Variationsbredden ska vara liten. Man vill att burkarna ska väga så nära 00 g som möjligt. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Svar Frekvens Relativ frekvens JA 0, 0 % NEJ 0, % Vet ej 0, % 00 % a) Stapeldiagram, eftersom mina svar är ord. Frekvens Dagar Frekvens Relativ frevens 0 0,9 9 % 0,9 9 % 0, % 0, % 0,0 % 0,09 9 % 0 0 % 0,0 % 9 0 0 Frekvens 0 Elevantal Ja Nej Vet ej 0 Dagar Svar Frekvens Relativ frekvens G 0, % C 0 0 0, % B 0, % K 0,0 % 00 0 00 0 00 0 00 0 0 Alfa Beta Gamma Delta Svar Frekvens Relativ frekvens JA 0,0 0 % 0 NEJ 0, % 0 Kanske 0, % 0 a) I klassen 0 à 0. Klass Frekvens 0 à 0 0 à 0 0 à 0 0 à 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
c) Frekvens Antal kunder 0 0 0 0 0 0 0 Kl. a) Antal jobb Frekvens 0 à à 0 0 à Klassbredden är. c) Frekvens 0 0 0 0 Antal jobb Antal rätt Frekvens 0 à 0 0 à 0 0 à 0 0 à 0 mm Nederbörd 90 0 0 0 0 0 0 0 0 april maj juni juli aug sept Mån kr Saldo 0000 9000 000 000 000 000 000 000 000 000 mars april maj juni juli aug Mån Frekvens a) 0 0 0 0 0 0 0 Antal rätt c) 0 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) Frekvens Butik Nätet Tax-free Använder inte Relativ frekvens 0, % 0, % 0, % 0,0 0 % Vinkel 0, 0 9 0, 0 0, 0 00 % 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Var hi ar du dina nyheter? TV Dator Radio Mobil Inga nyheter Vilken typ av musik gillar du? 0 Använder inte 0 % Tax-free % Butik % 0 Pop Rock Klassik RnB Nätet % Sydamerika % Oceanien % Afrika 0% 9 JA 0 NEJ 0 Frekvens KAN- SKE 0 Relativ frekvens 0 0 0, % 0 0 0, % 0 0 0,0 % 0 00 % 0 Vinkel 0, 0 0, 0 0,0 0 9 Temperatur i C Nordamerika % 0 9, 9,,, Europa % Asien 9% Antark s 9% Jans feberkurva.00 0.00.00.00.00.00 0.00.00 Kl. Nej % Kanske % JA % a) Staplarna är inte lika breda. De dubblade både höjden och bredden när de skulle rita stapeln som visar antalet flickor. Nej, det är missvisande. Graderingen på den lodräta axeln är inte rätt. Upp till 000 ökar det med 000 för varje steg. Efter det är ökningen bara 00 för varje steg. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) Axlarna är rätt graderade. Höjden på bollarna är rätt. Ytan på den stora bollen är för stor i förhållande till den lilla. Bredden på staplarna ska vara lika annars ser skillnaden för stor ut. Låt din lärare rätta din under sökning och gå sen igenom den tillsammans. Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning a) + + + apelsiner apelsiner c) klyftor a) Kl 9. bussar c) Kl. Frekvens 0 0 0 Frekvens 0 Joggar Hur motionerar du? Simmar Styrketränar Bollsportar Motionerar inte Hur många julklappar får du? 0 0 0 Antal paket a) 000 + 0 000 + 000 + 000 + + 000 + 000+ 000 + 000 0 000 kr 0 000 000 000 000 000 000 000 000 000 + 000 00 kr 000 c) Medianen ger ett rättvist värde. Det finns en lön som är mycket högre än de andra och den drar upp medel värdet. Ålder Frekvens Relativ frekvens 00 % 0, 0 % 0, % 0, % Höjden på hamburgarna är rätt. Bredden ska vara lika på dem om det ska vara rätt. Nu ser den högra hamburgaren mycket större ut. Kommunikation/Resonemang a) Man kan addera alla frek venser. Typvärdet är värdet med den högsta frekvensen. Typvärdet är. c) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + 9 d) + + + 9 + 9 Nej, det kan man inte. Man kan se att spridningen är störst i klass Beta. I klass Alfa är spridningen mindre, men man vet inte om de ligger högt eller lågt i poäng. Poängen kan till exempel variera mellan och eller och 0. + Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) Frågan är ledande. Man lägger in sin egen åsikt i frågan. Frågan ska vara neutralt ställd. Hur mycket är du beredd att betala för din hockeybiljett? Nu får man många olika värden som man kan dela in i olika klasser. Man vill kunna klassindela svaren. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Sannolikhetslära Base camp a) Det finns ess av totalt kort. + 0 P (blyertspenna) 9 + 0, 9 P (mål, mål) 0, 0, 0,0 0, + När en pojke har blivit vald finns det pojkar kvar av totalt elever. P (pojke, pojke) 0 0, Uppgifter 0 Här ska du inte räkna ut svaren. Du ska resonera dig fram. A B 0, C 0 D 0, E 0,9 0 a) sätt. Krona upp eller klave upp. 0, Ett av två möjliga sätt. 0 Sannolikheten att man drar en spader är. Det finns spader av totalt kort. 0 a) P (svart kula) P (gul kula) c) P (gul, svart eller vit kula) 0 P (rätt udda siffra) Det finns fem udda siffror (,,, och 9) och en av dem är den rätta. 0 P (person över 00 år) 0,000 0,0 % 9 0 000 0 + + 9 personer har köpt glass. P (strut) 9 0, % 0 9 % av skott 0,9 skott 09 P (vinst) 00 0,0 % 0 Det finns totalt nummer. P (vinst) P (alla rätt) 0,0 % 9 0,000000 0,0000 % a) P (0 kr) a) 00 000 0, 0 % 000 000 + + + 00 + 90 + 00 + 000 + 0 000 + + 0 000 + 00 000 vinstlotter c) P (vinst) 0, % 000 000 d) P (vinst på 0 000 kr eller mer) 000 000 0,00000 0,000 % 9 9 c) eller P ( straffar) 0, 0, 0,9 9 % P (klave, klave) P (sol, sol) 0,9 0,9 0, % a) P (grön, grön) P (vit, vit) c) P (grön, vit) d) P (vit, grön) + 000 000 0, % 0, 0 % 0, % 0, % 0, 0 % Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
e) 0 % + % + % + 0 % 00 % Det blir 00 % eftersom något av de fyra alternativen kommer att inträffa. Det finns inga andra möjligheter. a) Sannolikheten att man får tre sexor i rad när man kastar en tärning. P (sexa) 9 a) P (gul) P (sexa, sexa, sexa) P (gul) Om vi redan har tagit en gul kula finns det kvar gula kulor av totalt kulor. c) P (gul, gul) 0 P (svart, svart) 0 0, 0 % 0, % 0 Tänk på att det finns kvar svarta strumpor när man ska ta andra strumpan. Totalt finns det kvar strumpor när man tar den andra strumpan. + 9 elever P (pojke, pojke) 9 0, % 0 För varje boll minskar det totala antalet bollar. 0,0000 0,00% 9 0 Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning a) P (femma) P (udda) 0, 0, 0 % c) P (0) 0 Det finns inte 0 på tärningen. a) + vingummin P (rött) 0, % P (rött) + 0 mynt P (femkrona) 0, % 0 0, 0 % + 9 0 personer P (håller upp dörren) 0, % 0 P (träff, träff) 0, 0, 0, % P (fel, fel) 0, % Andra gången har hon två alternativ kvar. Hon trycker inte på samma knapp igen. + 0 personer P (man, man) 0 9 0 0,0 % Kommunikation/Resonemang Nej, det behöver inte vara fel på tärningen. Inför varje kast är sannolikheten Resultatet från tidigare kast påverkar inte kommande kast.. Det finns bara röda och blå kulor i skålen. Man får alltid en röd kula eller en blå kula. Då måste summan av sannolik heterna bli, alltså 00 %. P (röd kula) + P (blå kula) 0, + 0,, % Det kan inte stämma. Mia vinner % av partierna. % av 00 partier 0, 00 partier Hon borde ha vunnit ca 0 partier om hon hade spelat 00 gånger. Troligtvis har hon spelat färre än 00 partier. P (rött, rött, rött, rött) 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 % 00 9 lotter kvar I bästa fall är alla vinstlotter kvar. 0,0, % I sämsta fall är alla vinstlotter redan sålda, alltså kan Marko inte vinna. 9 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Algebra Base camp a) x x + x + + + a) K 0 + 00x eller K 00x + 0 x K 0 + 00 0 + 00 0 a) x x x Uppgifter x + 0 x x x a) x + + x c) x + x x x x x x 0 d) x + x + 9 x x x + 9 x x x, 0 a) 0x x c) x + d) x x + + x + 9 e) x + x + 9x + f) x + 9x + x + 0 a) x + x + x + x x x + x + x x 0 Nej, eftersom 0. Om vi tar bort multiplikationstecknet blir det. Lotta: x Lasse: x 0 x + x 0 0 x 0 0 +0 +0 x 00 x 00 x 0 Lasse: x 0 0 0 0 kr a) x + x + x + x + x x x + x x x 0 x + x + + x x + x + x + x + 0 a) x + x + x x x + x + x + c) x +,x + x +,x + 0 a) x + x c) x 0 a) 99 + 9 00 99 + 900 999 kr 99 + 9x eller 9x + 99 0 Röd: 00 + 0x Gul: 000 + 0x Grön: 0x 09 a) 0 + c) 0 d) 0 0 a) + + + 0 + + 0 c) Uttrycket i a) kan förkortas till uttrycket i. b + h + b + h b + b + h + h b + h 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) + 0 + 0 9 kr Den fasta avgiften är kr. c) Det kostar 0 kr per timme att hyra kanoten. a) 0 Han byter plats på termerna utan att tänka på att x-termen är negativ. Han borde ha skrivit + 0 + a) + 0 + ( ) + + a) y + y 0 0 c) y + + d) y 0 0 a) T 0 0 T 0 0 c) T 0 0 d) T ( ) 0 0 0 0 a) D 9 km D, km a) P 0 +, 0 + kr kg 0 hg P 0 +, 0 0 + 9 kr Ja, hennes pengar räcker. c) x x x e) x, g) x, x, x,9 x,9 x, d) x x x a) x + x + Subtrahera med. c) x d) Dividera med. e) x f) x g) VL x + + + HL h) Ja, VL HL. Lösningen stämmer. a) x + x x x f) x,,9 +, +, x, h) x +,,,, x, 9x,, +, +, 9x, 9x, 9 9 x, P 99 + 9x 9 y 00 0x 0 a) 0 00 minuter M 0 T R, S S P 0,09 a) x + x x + + x c), x + 0, x e) 0, x x x, +,,,, x, x, x, d) x + 0 x x x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) x + x + x x x c) VL x + + + HL VL HL, lösningen är rätt. d) Man kan börja med att ta bort två kulor på båda sidorna. Då är det kvar två säckar på ena sidan och fyra kulor på andra sidan. I varje säck måste det då finnas kulor. a) K 0 + 0 + kr Vi sätter K 0. 0 0 + t 0 0 00 t 00 t, t Man kan hyra matteläraren i lite mer än timmar. a) HL, alltså den högra sidan. Jag subtraherar med x. c) x + 0 x + x x x + 0 0 0 x x x d) VL x + 0 + 0 0 + 0 0 HL x + + + 0 VL HL, lösningen stämmer. 9 a) x + x + x x x + x x x x + 0 9x x x 0 x + + x x x x c) x x + x x x + + x x x 0 a) x + x + x + x + x x x + x x x x c) Man kan börja med att ta bort x på båda sidorna. Då får man kvar att x +. Sen tar man bort pinnar från båda sidorna. Nu har man kvar att pinnar är lika med x. Då måste varje x vara lika med. a) Till exempel: Två gym har olika priser då man tränar. Det ena gymmet tar 00 kr i månaden och kr för varje träning. Det andra gymmet tar 0 kr i månaden och 0 kr för varje träning. Hur många gånger ska man träna varje månad för att kostnaden ska bli lika för de båda gymmen? 00 + x 0 + 0x 0x 0x 00 + x 0 00 00 x 0 x 0 x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
c) Om man tränar gånger på en månad blir kostnaden lika hos de båda gymmen. 9x + x + x 9 0x 9 0x 9 0 0 x, 9x 9,, cm x, cm x, cm a) För att vi jämför mammas och Svantes längder mot Pam. x + cm c) x cm d) x + x + x + x + x 0 x 0 x e) Pam x cm 0 + x 0 + x x x 0 + x 0 0 0 x 0 x 0 x Man ska åka km för att priset ska bli lika för taxibolagen. Nilas: x Kaj: x Olle: 0,x x + x + 0,x 900 000,x 900 000,x, 900 000, x 00 000 Nilas: 00 000 kr Kaj: 00 000 00 000 kr Olle: 0, 00 000 00 000 kr x 0 x 0 +0 +0 x Talet är. x x K 0 00 0 00 00 + 0x 00 00 00 0x 00 0 0x 0 x Elin har råd med körlektioner. a) F, + + F,C + 0,C 0,C,, C C F är ungefär C. 9 a) 0 + x 0 + x 90 0 0 x 0 x 0 x Hugo tränade gånger under året. 0 90 + x 00 90 90 x 0 x 0 x, Om man åker gånger eller mer lönar det sig att köpa en kombibiljett. a), Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) x x x x 0 x 0 x, x Ja, det är en lösning till ekvationen. c) x x x Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning a) x + x 9 x 9 x Det är mycket mer än 0. 9 Svaret borde vara lite mer än. a) c) x + x 9 x 9 x x 9 9 +9 +9 x 00 x 00 x 0 Den gröna kvadratens sida är, alltså är arean 9. a) 9x x c) x x + + x + 9 d) 9 + x eller x + 9 a) + c) 9 9 d) 0 + 0 + 0 0 a) K 0 + 0x K 0 + 0 0 + 0 0 kr a) x + x c) x + x x x x x x d) 0 x + + x x x x a) x + x x km c) x + + x 9 x 9 x km a) x + x + 9 x x x + 9 x x x x x + +x +x x + x x x x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
0 + x 0 + x x x 0 + x 0 0 0 x 0 x 0 x Efter km är kostnaderna lika. a) x x x x + x x x a) (x + ) x + + x + x + + x + x + x + + x + 0 c) (x ) x + x + x + x + + x x + x + x + x + x 0x d) (x ) betyder att båda termerna i parentesen ska multipliceras med. Då kan man direkt tänka x och ( ). (x ) 0x Kommunikation/Resonemang a) x + x + x x x x x x Lösningen är x. Man har dubblat både VL och HL i den första ekvationen och fått den andra. x + x + Man har inte ändrat jämvikten utan bara dubblat vikten på båda sidorna. Därför får båda ekvationerna samma lösning. Vi börjar med en högra bilden. x + x x x Nu vet vi att varje låda väger kg. Gröna säcken: x + + + kg a) Ja. + är mindre eller lika med. Till exempel: x x 0 x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Geometri Base camp a), m 00 m c) liter d) dm 0 a) Man dubblar radien för att få diametern. 0 Man halverar diametern för att få radien. a) Omkrets + + + cm O π 9, m a) A 9 dm A 0 0 m 0 a) a) V dm V π 0, m Vinkelsumman 0 Den tredje vinkeln 0 Pythagoras sats a + b c 0 a) + x + x 00 x x 00 0 cm 0 radie Avståndet i verkligheten, 0 000 000 cm 0 m Uppgifter 0 a) 0 a) 0 a) radie diameter 09 a) Cirkel Cylinder c) Liksidig triangel d) Rätblock e) Rätvinklig triangel f) Kon g) Kvadrat h) Klot i) Parallellogram j) Likbent triangel k) Kub l) Rektangel 0 a) steg åt höger. Multiplicera c) m 00 00 cm Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) 000 m 00 cm c) 00 mm d) 90 mm a) km m c) m d) 0 dm a) 0, km 0, m c) dm d) 00 m cm, m, >, Esma är längre än Elliot., km 0 000 cm 0 000 steg m 00 cm 00 0 00 gånger högre är det riktiga tornet. a) O + + + cm O + + + cm c) O 9 + + 9 + 0 cm d) O + + cm e) O + + cm f) O + 0 + 0 cm A: O + + + cm B: O 9 + + 9 + cm C: O + + cm Figur A, kvadraten, har längst omkrets. 9 Längderna på två sidor saknas. Omkretsen +, +, + +, +, m 90 cm 0,9 m dörrar 0,9, m -,, m Ja, 0 m list räcker., +, (m) 0 cm De två kortsidorna är cm tillsammans. Varje kortsida cm Rektangelns bredd är cm. a) O π, cm O π, m a) Diametern dm O π, dm Diametern cm O π 9, cm Halva omkretsen på en cirkel π 0,, dm Halvcirkelns omkrets, + 0, dm Diametern m O π m Halva omkretsen på cirkeln π,, m O, + + +, m Haidar ska köpa ungefär m staket. a) A 0, cm A 0 m 0 dm m A m 0 0 kr a) Alla sidor är lika långa i en kvadrat. En sida cm A cm 9 Nej, rektanglar kan se ut på många olika sätt även om de har samma omkrets. Hall,,,,,, Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
0 a) A,,, m A,,, m A A + A, +,, m, A,,,, kr a) A 0 A c) A A 0 A, cm dm 0 0 m cm Skylten består av trianglar. a) (m) Arean av en triangel,,, Skyltens area,, dm A Vi vet att A cm. h, cm Vi löser ekvationen. h h h h cm a) A π, cm Radien cm A π,9 cm c) Arean av halvcirkeln π 0 (cm),, dm, m a) A π 0, cm 0, 0 cm Radien, 0,9 m A π 0,9, m, 0 00 kr 9 Du kan välja radierna som du vill. Den stora radien ska vara dubbelt så stor som den lilla radien. Vi räknar med radierna m och m. A (lilla) π 0, m A (stora) π 0, m 0, 0, Nej, arean av den stora cirkeln är fyra gånger större än arean av den lilla cirkeln. 0 a) V cm V m V (fot) 0, 0, 0, 0, m V (skiva),, 0,0 0,0 m V 0, + 0,0 0, m a) Man ska räkna i enheten dm för att få svaret i liter. 0 cm dm 0 cm dm c) V 0 dm 0 liter Vi gör om måtten till dm. 0 cm dm 0 cm dm 0 cm dm V 0 dm 0 liter a) V π, cm Radien,, cm V π, 0, cm Radien m V π 90, m a) Radien, 0, m V π 0,, m Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Nu kan vi göra på två sätt. Vi kan göra om måtten till dm och räkna ut svaret igen eller omvandla från m till dm för att få liter. Metod : Vi omvandlar måtten till dm: 0, m dm m 0 dm V π 0 0 dm 0 liter Metod : Vi omvandlar, m till dm. Det är ett steg mellan m och dm, men eftersom vi räknar med volym ska vi multiplicera med 0 000., 000 0 dm 0 liter a) Skriv din gissning och motiv era gärna varför du tror det. Du kan välja måtten som du vill, så länge den låga är dubbelt så bred men hälften så hög som den höga. Du kan se våra mått i figuren. c) V (låg) π 0 9 cm V (hög) π cm Den låga cylindern har mycket större volym än den höga cylindern. Radien har stor betydelse när man räknar med runda figurer, eftersom man tar r. (cm) 0 a) V π, 9, cm Radien är hälften av m, alltså m. V π 9 Radien är, cm. V π, 0 0 a) V π,,9 V π,9 cm c) V (cylinder) V (kon),9, m cm, cm Cylindern har gånger större volym är konen. d) Ja, formlerna är lika förutom att man dividerar med i konens formel. a) Vi gör om måtten till dm: cm 0, dm cm 0, dm Radien är 0, dm. V π 0, 0, 0, 0,0 dm 0,0 liter, 0,0 9, glas a) V π, Radien är, cm. V π, Radien är, m., V för helt klot π, Igloons volym,, m. a) Radien är, cm. V π, Radien är, cm. c) V π, 0 0, 0 9, 0 m 9, cm,, m 0 0 cm, cm Jättebläckfiskens öga har gånger större volym än människans öga. Köttbullens radie är cm 0, dm. V π 0, 0, 0,0 köttbullar a) 0 a) 0 0, 0,0 dm 0,0 liter Hopparen snurrar ett helt varv i luften innan han landar igen. Ett helt varv är 0. 9 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
9 a) En hel paj är 0. 0 Man får ut bitar av en paj. är alltså av en paj. kostar kr. Hela pajen: 9 kr. 0 a) v 0 0 v 0 90 c) v 0 9 0 a) I en likbent triangel är basvinklarna lika stora. Båda basvinklarna är. v 0 Vinklarna vid basen är lika stora. 0 Båda basvinklarna är. Vi kan ta bort två hela varv. Nu står de fortfarande mittemot varandra. 900 0 0 0 0 är ett halvt varv. Ivan kommer att stå vänd bort från Lilit när han snurrat 0 till. a) v 0 0 v 0 0 0 9 c) v 0 9 90 0 0 0 a) v w 9 c) De spetsiga vinklarna är lika stora och de trubbiga vinklarna är lika stora. Då måste en spetsig och en trubbig vinkel tillsammans vara halva vinkelsumman. Hälften av 0 är 0. Alltså är v + w 0. Femhörningen kan delas in i trianglar. Alla femhörningens vinklar är nu uppdelade i trianglar. Vinkelsumman i en triangel är 0. Femhörningens vinkelsumma är då 0 0. a) Förminskning 0 gånger. Modellen är 0 gånger mindre än verkligheten. Förminskning 0 000 gånger. Modellen är 0 000 gånger mindre än verkligheten. c) Ingen förändring. 9 a) Bilden ska bli 0 gånger mindre än Otto själv. Han ska dividera med 0. c) 0 0 cm 0 Verkligheten är förminskad 000 000 gånger. Vi multiplicerar med 000 000 för att få avståndet i verkligheten. 000 000, 00 000 cm 00 000 cm 000 m km a) Alice är gånger längre i verkligheten. Fotot är förminskat gånger. Skalan är :. Vi multiplicerar med 00 000 för att få det verkliga avståndet. 00 000 00 000 cm 00 000 cm 000 m km a) Förstoring gånger. Modellen är gånger större än verkligheten. Förstoring 00 gånger. Modellen är 00 gånger större än verkligheten. c) Förstoring gånger. Modellen är dubbelt så stor som verkligheten. a) Nyckelpigan är förstorad gånger på planschen. Man ska multiplicera med. c) mm mm, dm 0 Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Modellen är förstorad gånger. Vi dividerar med för att få den verkliga diametern. 0, cm Vattendroppen ska förstoras 00 gånger. Vi multiplicerar med 00 för att få modellens höjd. 00 00 mm 00 mm dm 9 Kopian är 9 gånger större än verkligheten. Skalan är 9:. a) Ja, eftersom vinklarna är lika i figurerna. Nej, eftersom alla sidor inte är förminskade med samma skala. Tre av sidorna är gånger mindre i den högra figuren. Det stämmer inte på den sista sidan. 9 a) 0 Den stora rektangeln är gånger större än den lilla rektangeln. x är gånger längre än. x 0 cm Den stora triangeln är gånger större än den lilla triangeln. x är gånger mindre än. x cm, Den stora triangeln är gånger större än den lilla triangeln. x är gånger större än,. x,, m + x + x 9 x x 9 cm + x + x 9 x x 9 cm c) x + x + x x 9 dm Den kanske går in på diagonalen. +, x +, x, x x,,9 m Ja, hyllan går in i bilen på dia gonalen om den inte är för bred. Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning Omkrets 0 + + 0 + 0 m Area,,,9 m 00,9 kr a) A cm A π, m a) V π 0, cm V π, m a) x 0 0 x 0 09 90 9 00 000, 0 000 cm 0 000 cm 00 m, km a) + x + x 00 x x 00 0 cm, Den stora dockan är, gånger högre än den lilla dockan. Lilla dockans höjd,,, cm Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
, + x, + x, x x,, m Kommunikation/Resonemang Omkrets på ett däck π cm Ett varv är cm. cm, m km 000 m 000, 9 9 varv Du kan välja vilken omkrets du vill. Här har vi valt omkretsen 0 cm. Varje sida i kvadraten blir då 0 cm. Om cirkelns omkrets är 0 cm får vi: π d 0 π d π r, 0 π d, cm, cm A (kvadrat) 0 0 00 cm A (cirkel) π,, cm Cirkeln har den största arean. a) Höjden blir kortare eftersom förminskningen är större än förstoringen. Skala : ger: 0 cm Skala : ger: 0 cm Höjden blir cm i skala :. 0, (cm) Du kan bestämma höjden och radien själv. Här räknar vi med höjden cm och radien cm. V π 9,9 cm Vi dubblar radien. V π 9, cm 9, 9,9 Volymen blir gånger så stor. Jordens diameter km Jordens omkrets vid ekvatorn π 0 00 km 0 00, Det skulle behövas ungefär, Sverige för att nå runt ekvatorn. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
SVAR OCH LÖSNINGAR TILL LÄROBOKEN Grafer och funktioner Base camp A (, ) B (, 0) C (, ) a) B E y C D x y x + 0 y 0 + y + x y x y y a) y 0 + x x y 0 + x y 0 + y 0 + y 0 + 0 0 y 0 + 0 0 c) min y 0 0 0 F x 9 0 vecka A x Uppgifter 0 a) origo höger vänster c) uppåt nedåt 0 a) steg steg c) A (, ) 0 B (, ) C (, ) D (0, ) E (, ) 0 A (, 0) B (0, 0) C (, ) D (, ) E (0, ) F ( 0, 0) G ( 0, 0) H ( 0, 0) I (0, 0) 0 origo höger nedåt 0 0 a) ' D E C G A y C H c) En rätvinklig triangel A B y F x x B y x + eller y + x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
0 a) 09 a) Antal personer Total kostnad (kr) 0x + 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 0 + 0 0 Antal mil Total kostnad (kr) 0x + 00 0 0 0 + 00 00 0 0 0 + 00 00 0 + 00 00 0 0 0 + 00 00 x y x y y y y a) y 0 +,x Tid (min) Temperatur (0 C) 0 0 +, 0 0 0 0 +, 0 0 0 +, 0 0 0 0 +, 0 0 0 0 +, 0 9 c) C Temperatur 00 0 0 0 0 Tid 0 0 0 0 0 min x y x + y ( ) + - y ( ) + 0 y 0 + y + x år Antal medlemmar 0 + 0x 0 + 0 00 0 + 0 0 0 + 0 00 0 0 + 0 0 0 0 x y 0 + x 0 y 0 + 0 0 y 0 + antal 00 Medlemmar y 0 + 0 0 y 0 + 0 0 00 00 0 9 y x a) 00 Tid 0 år Tid Höjd 0 0 90 0 0 m c) 0 minuter d) Efter minuter på uppvägen och efter minuter på nervägen. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
a) minuter meter c) meter d) Tiken stannar kanske till för att äta. e) (, ) (, 9) (0, 9) (, 0) f) Efter minuter är tiken tillbaka hos valparna. Efter minuter är tiken inte på meters avstånd från valparna. a) y + x Grafen startar på y-värdet. c) För varje steg i x-led ökar grafen steg. kr 0 0 y x antal c) Ja, eftersom grafen blev en rät linje som går genom origo. 9 A en växande funktion som startar på noll på y-axeln. C äpplena har ett kilopris, men ingen annan kostnad. F en växande funktion som är en rät linje och går genom origo. 0 a) Graf A hör till Anita eftersom den minskar långsammare än graf B. Anita får färre poäng per omgång och därför minskar hennes poäng långsammare än Evas. Graf B hör till Eva eftersom den avtar snabbare. På y-värdet 0. c) y 0 0x y är Evas poäng efter x omgångar. d) Irenes poäng minskar med poäng per omgång. Hennes graf minskar alltså snabbare än Evas och Anitas. Vi kan inte veta exakt hur hennes graf ser ut, men ungefär som graf C. Poäng y a) y 90 0x Den blir avtagande. Temperaturen minskar för varje timme. c) C y 00 90 0 0 0 0 0 0 0 0 x tim a) y 0x kr y 00 00 00 00 00 00 mån x A Anita B Eva C Irene Antal omgångar a) Grafen startar på y-värdet. Funktionen ökar steg för varje steg i x-led. c) y + x a) Funktionen börjar på y-värdet 0. Sen ökar funktionen steg för varje steg i x-led. y x Funktionen börjar på y-värdet 0. Sen minskar funktionen steg för varje steg i x-led. y 0 x a) Ja, det finns ingen fast kostnad, bara ett kilopris. Grafen är en rät linje och går genom origo. x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
Priset för kg är svårt att avläsa ur grafen. Vi ser att 0 kg kostar 900 kr. 900 90 kr/kg 0 kg kräftor kostar 90 kr. c) y 90x d) x y 90 0 kr a) Grafen börjar på y-värdet 90. Sen minskar grafen steg för varje steg i x-led. y 90 x x 0 y 90 0 0 Om antalet elever som får underkänt fortsätter att minska på samma sätt kommer 0 elever att få underkänt efter 0 år. a) Varje äpple borde väga ungefär lika mycket. Hon jämför den genom snittliga vikten per äpple för de två skålarna. Eftersom värdena är så olika är det något som påverkar det. Skålens vikt är inräknad i båda vikterna. 09 g c) g d) I den första skålen ligger äpplen. 0 g 0 g Skålen väger g. e) y + x a) y + x y + x c) kr Kostnad 0 0 Antal st I den andra skålen ligger äpplen 9 g 09 9 g d) Grafen börjar på y-värdet. Sen ökar grafen med kr för varje pralin. kr för asken och kr per bit e) y + x Check point Begrepp Du hittar förklaringar till orden i kapitlet. Procedur/Problemlösning A (, ) B (0, ) C (, ) D (, ) E (, ) B C y D A a) 000 kr Mars, maj, juni, juli, oktober och november. x y x y 0 y y a) K 0 + 0x x y 0 + 0x y 0 + 0 0 y 0 + 0 0 y 0 + 0 00 y 0 + 0 0 x Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--
c) kr 0 0 0 00 0 0 0 0 y antal a) Grafen ska börja i origo och vara en rät linje. Funktionen ska inte innehålla en konstant utan bara en x-term. kr/kg 9 kr/kg Nej, priset är inte proportionellt mot vikten. Kilopriset är inte lika oavsett hur mycket man köper. Det verkar bli billigare ju mer man köper. a) y x y x eller y x Kommunikation/Resonemang I den här uppgiften ser vi inga värden på axlarna, men vi kan ändå resonera oss fram till vilken funktion och graf som hör ihop. a) Graf Ökar mest för varje steg i x-led. Ska ha brantast lutning, ökar steg för varje steg i x-led. Graf Ökar minst för varje steg i x-led. Ska ha minst lutning, ökar med steg för varje steg i x-led. c) Graf Den enda funktionen med avtagande funktion, minskar med steg för varje steg i x-led. d) Graf Ökar inte brantast eller flackast, ökar steg för varje steg i x-led. x a) Vi skriver funktioner för båda bolagen. Bolag A: y 990 + 00x Bolag B: y 0x Bolag B är billigare för få personer eftersom de inte har en fast avgift. Vi räknar ut när priserna är lika. 990 + 00x 0x 00x 00x 990 0x 990 0,9 x 0x 0 x Om man är minst personer som ska flyga luftballong lönar det sig att välja Bolag A. Vi räknar ut hur mycket det kostar för 0 personer att flyga med bolag A. x 0 y 990 + 00 0 990 kr Hur mycket blir det per person? 990 9,0 kr 0 Om bolag C tar mindre än 9,0 kr per person och ingen fast avgift är de billigast för över 0 personer. Bolag C: y x Glas A är jämntjockt hela vägen. Nivån borde öka i jämn takt. Alltså borde lutningen på grafen vara lika hela vägen. Glas A hör ihop med Graf. Glas B blir bredare och bredare. Nivån höjs långsammare ju högre upp man kommer. Lutningen på grafen ska minska. Glas B hör ihop med Graf. Kopieringsunderlag 0 Anita Ristamäki och Natur & Kultur Summit MATEMATIK Lärarhandledning 9-9--