X. lektromagnetisk induktion. När spolarna är in i varandra och ingen ström går i den mindre spolen, syns ingen spänning i den yttre spolen.. När spolarna är in i varandra och en ström börjar gå i den mindre spolen, syns en inducerad spänning i den yttre spolen. = + - t t 3. När spolarna är in i varandra och strömmen i den mindre spolen är konstant, syns ingen spänning i den yttre spolen. + - t 4. fall strömmen i den mindre spolen är konstant, och man för den in i den större spolen, syns en inducerad spänning i den yttre spolen. 5. fall alla föregående experiment görs med andra material, med samma form, är den inducerade spänningen konstant, vilket visar att den inducerade spänningen inte beror på materialet, utan bara på formen och magnetfältet. + - t t t lektromagnetism, Kai Nordlund 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 3 X.. nduktion lfält accelererar laddningar och magnetiska fält ändrar laddningars rörelseriktning. Fenoment som förklarar bl.a. hur mekanisk energi från ett vattenkraftverk omvandlas till elektrisk energi, eller hur ett magnetiskt kreditkort läses, är elektromagnetisk induktion. Tidiga experiment med elektriska kretsar gav intressanta resultat. xperimentet gick ut på att man har en mindre spole i vilken man kan ändra strömmen, och en större spole, från vilken man kan mäta spänningen. För att mera kvantitativt se på detta undersöker vi vad som händer i kretsen bredvid, där en ledare rör sig med en hastighet v i ett konstant magnetfält vars riktning är utåt från pappret. Nu gör vi en hybrid av makroskopisk och mikroskopisk betraktelse: vi betraktar vad som händer med laddningarna inne i själva ledaren, men hur detta påverkar hela stavens elfält arje laddning q i ledaren påverkas av en magnetisk kraft (orentzkraften): F m = qv För positiva laddningarna är den magnetiska kraften nedåt och för de negativa laddningar uppåt, vilket leder till att en spänning induceras i ledaren. Arbetet som görs på en laddning som flyttas från punkt A till längs ledaren är W A = F m dl = F m y = q v y lektromagnetism, Kai Nordlund 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4
Potentialen definierades i kapitlet för elektrisk potential, som U = W/q, från vilket vi definierar den inducerade spänningen i kretsen ind = W A q = v y () i skriver den inducerade spänningen i en annan form med hjälp av ledarens hastighet ind = yv = y dx dx = y = darea = dφ M där Φ M är det magnetiska flödet Φ M = A (3) n spänning inducerad alltså i en krets ifall endera (eller bådadera) magnetfältet ändras genom en area, eller ifall magnetfältet är konstant men arean förändras. Detta kallas principen av elektromagnetisk induktion. iktningen för den inducerade spänningen är alltid så att den motverkar flödesändringen, så ekvationen för induktion ges ofta i form av Faradays induktionslag () xempel: n rak metallisk stav roterar kring en axel som är parallell med ett konstant magnetfält, se figuren nedan. Stavens längd är och vinkelhastigheten är ω. ad är den inducerade spänningen mellan stavens mitt och ändpunkterna? För halva staven (/) är rotationsperioden T = π ω Arean som halva staven far över på ett varv är Area = π(/) vilket ger att arean som halva staven sveper över per tidsenhet blir darea = Area T = π(/) ω π = ω 8 vilket ger den inducerade spänningen mellan mitten och ändan som ind = dφ M (4) ind = dφ M = darea = ω 8 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 7 För att veta vilken riktning den inducerade strömmen har, används enz lag: Den inducerade spänningen är sådan att magnetfältet som produceras av den inducerade strömmen motverkar förändringen av det magnetiska flödet genom kretsen Detta kan illustreras med följande exempel: xempel: n ledande stav med längden och massan m glider över en ledande krets (med resistansen ) med begynnelsehastigheten v (se figuren). tt konstant magnetiskt fält existerar normalt mot planet.. estäm kraften som verkar på staven som en funktion av,, och v. isa att farten för staven avtar som en funktion av tiden enligt v(t) = v e t/τ fall a ökar det magnetiska flödet genom kretsen. Strömmen induceras medsols för att försöka hålla magnetfältet konstant genom kretsen. b fallet minskar det magnetiska flödet genom kretsen eftersom arean minskar. Nu induceras en ström motsols som försöker motverka flödesminskningen. där τ = m/( ) 3. isa att den totala väglängd som staven rör sig innan den stannar är: τv 4. isa (utan att använda energins bevarelselag) att den totala energiförlusten i motståndet är lika med stavens ursprungliga kinetiska energi W = K = mv lektromagnetism, Kai Nordlund 9 6 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 8
. Den inducerade spänningen är den magnetiska flödesändringen per tidsenhet för kretsen 4. Totala arbetet är tidsintegralen för effekten ( ind (t) = ind (t)/), se kv. (??) ind = dφ M = da = dx = v (5) Strömmen i kretsen är: = ind /, motsols, vilket ger att kraften på staven är i motsatt håll till hastigheten F = dl = = v W = = v = v τ P (t) = ind (t) ind (t) = e t/τ = v / = v m = mv τ e t/τ v e t/τ v e t/τ. Stavens retardation p.g.a. kraften blir F = ma = m dv = v (6) örelsenergin har alltså övergått till elektrisk energi via induktion, och förbrukats i motståndet. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 i löser denna differentialekvation: dv v dv v = m = m ln(v) = m t + Konst v = e m t+konst = e Konst e m t ftersom v() = v får vi att e Konst = v, vilket slutligen ger hastigheten för staven som en funktion av tiden: xempel: Hur kan man mäta den konstanta magnetiska flödesdensiteten mellan den magnetiska syd- och nordpolen i figuren? S? N Svar: man sätter en krets vars area är lika med polerna och som har N varv in mellan polerna. fall arean för polerna är stor och avståndet mellan dem är liten, kan den magnetiska fältstyrkan approximeras vara konstant mellan polerna och noll utanför. v(t) = v e m t S N 3. Totala sträckan som staven rör sig får vi från integralen S = / v(t) = v e t/τ = v där τ = m/( ). τe t/τ = v ( ( τ)) = v τ Drar man nu bort kretsen, ändras det magnetiska flödet genom kretsen och en spänning inducerad i den, kv. (??): ind = dφ M lektromagnetism, Kai Nordlund 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9
Från detta ser vi att det magnetiska flödet genom en krets mellan tiderna t och t fås från tidsintegralen av den inducerade spänningen t Φ M = ind (t) (7) t ind t där konstanten, som bara beror av kretsens form, kallas för självinduktans = ind d/ Den själv-inducerade spänningen i kretsen kan nu skrivas som [] = s/a = H (Henry) (8) id tiden noll drar man nu bort kretsen från de magnetiska polerna och mäter samtidigt den inducerade spänningen som en funktion av tiden. Det totala magnetiska flödet genom kretsen är nu arean under (t, ind ) kurvan Φ M = Φ M (t ) Φ M () = Flödet genom kretsen vid tiden noll var: t Φ M () = N(π ), ind (t) xempel: ind = d eräkna självinduktansen för en lång N varv solenoid med längden h och arean A. h N varv (9) vilket ger att den frågade magnetiska flödesdensiteten är: = t ind(t) Nπ Den magnetiska flödesdensiteten inne i en lång solenoid är konstant (Se: lektromagnetismens grunder ) = µ N h () lektromagnetism, Kai Nordlund 9 3 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5 X.. Självinduktans och spolar etrakta figuren nedan, där en spänningskälla är sluten i en krets. Strömmen i kretsen ger upphov till ett magnetfält runt och genom kretsen. Storleken på detta magnetfält är enligt iot-savats lag proportionerligt till strömmen:. Det magnetiska flödet genom kretsen är Φ M = da = Konstant Då alltså strömmen i kretsen ökar, ökar också magnetfältet och det magnetiska flödet genom kretsen. Detta betyder ju att en själv-inducerad spänning uppstår i kretsen: ind = dφ M = Konstant d lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4 där µ är mediets permeabilitet, N är antalet varv, h längden och är strömmen i solenoiden. Det magnetiska flödet genom ett varv av solenoiden är magnetiska flödesdensiteten gånger arean: Φ M = A = µna h Detta ger att den inducerade spänningen genom N varv blir ind = N dφ M = µn A d h Självinduktansen, eller bara induktansen för en solenoid (också kallad spole) är enligt definitionen (??) = µn A h n komponent med induktans i en krets kallas för en induktor eller spole, och betecknas av symbolen till höger xempel: Spolen i bilden har varv, är 5 mm lång och har tvärsnittsarean 8 4 m. Hur stor är självinduktansen? eräkna den inducerade spänningen i en krets med denna spole, då strömmen i kretsen ökar från till A på 5 µs. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 6 ()
= µn A 4π 7 8 4 mh h 5 3 ind = d 3 H A 5 6 s -4 X... nergin lagrad i en spole Då ström börjar gå genom en spole, induceras en motspänning i kretsen. Denna inducerade spänning ind = d genom spolen är: P = dw ger att effekten som behövs för att öka strömmen = ind = d Den totala energin som behövs för att strömmen genom en spole skall öka från noll till, får vi genom att integrera: W tot = d = Denna energi är lagrad i magnetfältet inne i spolen. / = lektromagnetism, Kai Nordlund 9 7 () ösningen till denna differentialekvation blir: d d d ln( ) = = = = t + konst ln( ) = t + konst = e t e konst = Ke t = ] [ Ke t där konstanttermen K fås från begynnelsevillkoret: t =, = () = ] [ Ke = [ K] = K = (t) = [ e t] där / är tidskonstanten för kretsen. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 9 Detta är alltså inte samma sak som i ett motstånd : där förbrukas energi. s (t) ilden visar hur den tidsberoende strömmen närmar sig saturationsströmmen: s = /. Utan spole skulle strömmen omedelbart då kretsen sluts vara /. +t X...3. -C krets X... - krets Nedan är en -C krets ritad, där laddningen på kondensatorn vid tiden t = är ± Q. i skall nu noggrannare undersöka hur en spole påverkar spänning och ström egenskaperna för kretsar. Man kan tillämpa Kircchoffs lagar (jfr. lmag ) också på kretsar med induktorer. nligt ekvation?? är en induktans associerad med en skillnad i elektrisk spänning (potential). Detta kan användas på liknande sätt som spänningsskillnaden från resistorer i kretsanalys. C +Q -Q Då kretsen sluts, börjar en ström gå medsols och kondensatorns laddning minskar. Kirchhoffs andra lag ger (för kondensatorn, se: lektromagnetismens grunder ) etrakta - kretsen ( står för motstånd och för spole). Från Kirchhoffs andra lag (potentialskillnaderna runt kretsen måste vara noll) får vi då vi går ett varv runt kretsen motsols d = (3) eftersom = dq/ blir detta q C d = d q q C = lektromagnetism, Kai Nordlund 9 8 lektromagnetism, Kai Nordlund 9
Detta är differentialekvationen för en harmonisk oskillator med lösningen för laddningen på kondensatorn och strömmen i kretsen som funtion av tiden i har löst en likadan differentialekvation i Mekanikens grunder, avsnittet för dämpad periodisk rörelse. ösningen på differentialekvationen ger att laddningen på kondensatorn som en funktion av tiden ges av q(t) = Q cos(ωt + φ) (4) där φ är fasvinkeln och ω är vinkelhastigheten q(t) = Q e t sin(ωt + φ) (5) C 4 ω = C där vinkelhastigheten ges som: Att detta är en korrekt lösning kan enkelt checkas med insättning i differentialekvationen och. derivering Strömmen är: dq/ = ωq sin(ωt + φ). Strömmen och laddningen oscillerar fram och tillbaka. ngen resistans finns i denna (idealiserade) krets så oscillationen fortgår i all oändlighet. ω = C 4 (6) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 3 nergin i kretsen lagras i både kondensatorn och spolen: C +Q +q -Q C -q nergin = Q C + q C + C max + max -q C +q q C + -Q C +Q Q C + i ser att kretsen oscillerar med frekvensen ω. Amplituden för oscillationerna avtar p.g.a. att elektrisk energi går förlorad i motståndet (exponenttermen). fall ökar, dör oscillationerna snabbare, och över ett visst värde på har vi inga oscillationer mera (kretsen är kritiskt eller överdämpad). C-kretsarnas verkliga egenskaper kommer bättre fram i följande kapitel, då växelströmskretsarna introduceras. q(t).5.5 sin(t) sin(t)*exp(.*t) exp(.*t) 3 4 Time X...4. C-krets För en krets med ett motstånd (), kondensator (C) och spole (), blir Kirchhoffs andra lag (motsols) C + + = q C d = C +Q -Q Strömmen är dq, vilket ger följande differentialekvation d q + dq + q C = lektromagnetism, Kai Nordlund 9 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4
X.3. Gemensam induktans etrakta figuren nedan, där vi har två spolar (solenoider), där den vänstra spolen drivs av en tidsberoende spänning: (t). N N (t) (t) Den tidsberoende spänningen i spole ger upphov till ett magnetiskt flöde som inducerar en tidsberoende spänning i spole, vars storlek beror av antalet varv i spolen och det magnetiska flödet genom den (t) = N dφ Det magnetiska flödet Φ är proportionellt till strömmen i spole, Φ, vilket ger att xempel: bilden nedan har vi en solenoid med N varv, arean A och längden h inne i en annan solenoid med N varv. eräkna den gemensamma induktansen. N Från tidigare, fick vi att inne i en lång solenoid existerar ett konstant magnetfältet h N = µ N där är strömmen genom spole som en funtion av tiden. Från ekv. (??) får vi den gemensamma induktansen M = N Φ = N A = N µ N h A = µ AN N h (9) N Φ = Konstant (t) = M (t) X.3..5. Transformatorer lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 7 vilket vidare ger att den inducerade spänningen i spole kan skrivas som n transformator kan användas för att öka eller sänka växelspänning. (t) = M d (7) n transformator är ofta byggd så att en primärkrets, N p varv, och en sekundärkrets, N s varv, är lindade runt en paramagnetisk metall, där det magnetiska flödet förstärks och går runt metallkärnan, se bild. p(t) Np Ns s(t) där proportionalitetskonstanten M = N Φ (t) (8) Då en tidsberoende spänning oscillerar i den primära kretsen, uppstår en inducerad spänning i sekundärkretsen och situationen kan analyseras på samma sätt som för -kretsen tidigare. Kirchhoffs andra lag ger att potentialskillnaderna runt kretsen måste vara noll, får vi då vi går ett varv runt kretsen p (t) ind = är en konstant som beror av geometrin för spolarna, antal varv, area och deras avstånd från varandra. M kallas för gemensam induktans (eng. mutual inductance). [M] = Wb/A = s/a = Ωs = J/A = H (henry), vilket är samma enhet som för induktans! iknande, skulle den inducerade spänningen i spole från spole bli (därför: gemensam induktans) Den inducerade spänningen är enligt Faradays induktionslag: ind = N p dφ M. fall motståndet för kretsen är mycket liten ( ), får vi Kirchhoffs andra lag som p (t) + N p dφ M = dφ M = p(t) N p (t) = M d lektromagnetism, Kai Nordlund 9 6 Denna tidsberoende spänning i primärkretsen ger alltså upphov till ett magnetiskt flöde Φ som inducerar en tidsberoende spänning i sekundärkretsen s (t) = N s dφ M lektromagnetism, Kai Nordlund 9 8
xempel: fall all magnetisk flo de som prima rkretsen ger upphov till ha lls i metallka rnan, kan vi sammansla de tva sista ekvationerna till transformatorekvationen: s(t) = Fo r att bromsa en roterande metallskiva, sa tter man skivan mellan tva magneter, se bilden. Fo rklara och rita varfo r metallskivan bromsas upp. Da skivan roterar, o kar det magnetiska flo det: Ns p(t) Np S N () ΦM = Area i metallskivan i omra det till ho ger om den konstanta magnetfa ltsomra det. Samtidigt minskar det magnetiska flo det i omra det till va nster. i kan alltsa transformera en ho g spa nning till la gre spa nning eller en la g spa nning till ho gre spa nning! De magnetiska flo desfo ra ndringarna inducerar spa nning: ind = ΦM / i metallen. Metallernas goda konduktivitet (litet elektriskt motsta nd) go r att virvelstro mmar produceras i skivan. Magnetiska flödet minskar Magnetiska flödet ökar X.3..6. irvelstro mmar Hur fungerar en induktionsspis? iktningen pa virvelstro mmarna ges av enz lag: motsols i omra det till ho ger da r det magnetiska flo det minskar och medsols i omra det till va nster da r det magnetiska flo det o kar. nne i spisen finns en cirkula r va xelstro mkrets som fa r till sta nd ett magnetfa lt som oscillerar. Detta magnetfa lt inducerar en spa nning i fo rema l ovanfo r spisen. n inducerad stro m (virvelstro m) produceras i fo rema let: ind = ind/ och va rmeeffekten blir: P = indind = ind /. Metall med liten resistans fa r mycket va rmeeffekt och blir heta, da remot en hand med stort elektriskt motsta nd va rms inte! De inducerade virvelstro mmarna fo rmedlar en kraft: F = inddl, da r ind a r den inducerade virvel-stro mmen och dl a r la ngdelementet la ngs stro mmen. Kraften pa skivan fra n virvelstro mmarna i omra det till ho ger och va nster a r ba da riktade mot ho ger. Dessa krafter ger ett kraftmoment pa skivan som retarderar skivans rotation, varfo r metallskivan bromsas upp. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 [Wikipedia] JJ J 9 ind JJ J lektromagnetism, Kai Nordlund 9 F 3 X.4. a xelstro m Hur fungerar en metalldetektor? n elektrisk krets i metalldetektorn o kar momentant magnetfa ltet i omgivningen. Detta fo ra nderliga magnetfa lt inducerar en spa nning i alla fo rema l i na rheten. fall fo rema let a r av metall, induceras en stro m i den (ind = ind/), och na r den inducerade virvelstro mmen minskar p.g.a. ohmiskt motsta nd, fa r detta till sta nd ett kortvarigt magnetfa lt kring metallfo rema let. Detta inducerar nu en spa nning i metalldetektorn, som alltsa har detekterat metall i na rheten. ind Na stan alla kretsar i hemmen fungerar med va xelstro m. a xelstro m a r beha ndig eftersom den kan enkelt transformeras till ho gspa nning fo r att o verfo ra elektricitet, eller till la gspa nning som a r tryggare fo r ma nniskor att anva nda. etrakta en cirkula r krets med arean A som roterar i ett konstant magnetfa lt. Det maximala magnetiska flo det som ga r genom kretsen intra ffar da kretsen a r vinkelra t mot magnetfa ltet [Wikipedia] Φmax = A Det magnetiska flo det genom kretsen som en funktion av vinkeln mellan kretsen och magnetfa ltet kan skrivas som Φ(θ) = Φmax cos(θ) = A cos(θ) q Kretsen roterar med konstant vinkelhastighet ω (θ = ωt) da r t a r tiden. Detta ger magnetiska flo det genom kretsen som en funktion av tiden Φ = A cos(ωt) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 JJ J 3 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 JJ J 3
Den inducerade spänningen i kretsen blir: ind = dφ = ωa sin(ωt) = max sin(ωt) Spänning från en krets som roterar med konstant vinkelhastighet ω blir alltså = sin(ωt) () där = ωa. en krets med motstånd oscillerar också strömmen med samma vinkelfrekvens: = sin(ωt), där = /. Oservera att medelspänningen och strömmen för växelström är noll < >= < sin(ωt) >= i definierar därför rms-värdet (oot Mean Square) för växelström Medeleffekten ges då som rms = < > = < sin (ωt) > = () < P >=< >= < sin (ωt) >= / = rms rms (3) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 33 För en spole i en växelströmskrets, ger Kirchhoffs andra lag följande d = = = d = sin(ωt) = cos(ωt) där cos(ωt) = sin(ωt π/), och vi får att strömmen är π/ eller 9 efter spänningen = ω sin(ωt π/) = X sin(ωt π/) (5) där X = ω kallas för reaktansen för spolen och motsvarar motståndet. ~ t Time (s) Fasdiagram för ström och spänning: nu är strömmen π/ efter spänningen. /ω X.4..9. Kondensator i en växelströmskrets lektromagnetism, Kai Nordlund 9 35 ω X.4..7. Motstånd i en växelströmskrets För ett motstånd i en växelströmskrets, följer strömmen spänningen (de sägs vara i fas) ~ Fasdiagram för ström och spänning. = sin(ωt) = = sin(ωt) (4) t X.4..8. Spole i en växelströmskrets lektromagnetism, Kai Nordlund 9 34 Time (s) id likström går ingen ström genom en kondensator! id växelström laddas och urladdas kondensatorn så att ström verkar passera den (trots att inga elektroner rör sig över gapet)! i har att q = C = C sin(ωt) = dq = ωc cos(ωt) där cos(ωt) = sin(ωt + π/), och vi får att strömmen är π/ eller 9 före spänningen där: X C = ωc är kondensatorns reaktans. C ~ = Cω sin(ωt + π/) = X C sin(ωt + π/) (6) Fasdiagram för ström och spänning, där strömmen är π/ före spänningen. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 36 t ω Time (s)
X.4... Sammanfattning om växelströmkretsar. Kortare kan man sammanfatta de tre exemplen ovan som att ifall vi har en vaxelström = sin(ωt) i en krets med ett motstånd, en spole eller en kondensator, blir strömmen i kretsen där Z och φ fås från tabellen nedan = sin(ωt + φ) (7) Z Tabell : mpedansen och fasvinkeln för, eller C i en växelströmskrets Komponent i kretsen mpedans Z Fasvinkeln φ Motstånd Spole X = ω -π/ Kondensator X C = /ωc π/ Dessa insätts i ekvation (??) vilket ger [ sin(ωt + φ) + cos(ωt + φ) eller kortare (se tabell??) ( ω )] = sin(ωt) (9) ωc [ sin(ωt + φ) + cos(ωt + φ) (X X C )] = sin(ωt) (3) Denna ekvation måste stämma för alla tider t: ) ωt = sin(φ) + cos(φ) (X X C ) = tan(φ) = X C X i ser att strömmen inte är i fas med spänningen, utan att vinkeln mellan dem är φ C Z C lektromagnetism, Kai Nordlund 9 37 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 39 X.5. C-seriekretsar föregående delkapitel, såg vi hur, C och -komponenterna fungerar enskilt i en växelströmskrets. Nu sätter vi alla dessa i serie. äxelspänningen från spänningskällan är Strömmen skriver vi som ~ = sin(ωt) = sin(ωt + φ) där koefficienterna och φ måste bestämmas. Kirchhoffs andra lag ger att Kondensatorns och spolens ekvationer blir C + q C + d = sin(ωt) (8) Kondensatorn: q = Spolen: d = cos(ωt + φ) ω = ω cos(ωt + φ) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 38 bilden ovan har vi ritat situationen där ωt =. i definierar nu impedansen för kretsen som en vektor Z = + i(/ωc ω) (3) som består av en vektor i reella riktningen och vektorn: (/ωc ω) i imaginära riktningen. ängden av Z eller bara kallad impedansen är Z = + (X C X ) (3) vilket ger den totala effektiva resistansen för kretsen, och har samma enhet som motstånd Ω. idare ser vi från figuren att de följande likheterna gäller: sin(φ) = cos(φ) = Z /ωc ω Z = X C X Z ) Nu väljer vi att titta på kv. (??) vid ωt = π/, där sin(ωt) = : [ sin( π ] + φ) + cos(π + φ)(x X C ) = lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4 (33) (34)
i använder likheterna: sin( π + φ) = cos(φ) och cos(π + φ) = sin( φ) = sin(φ) vilket ger: = [ cos(φ) + (X C X ) sin(φ)] nsättning av ekvationerna (??) och (??) ger strömmens maximivärde = [ ] = Z + (X C X ) X C X Z Z [ + (X C X ) ] = Z i sammanfattar de viktigaste ekvationerna: fall spänningen i en C-krets ges av = sin(ωt) (35) X.5... esonans för C-kretsar föregående kapitel fick vi strömmen i en C-krets som = sin(ωt + φ) + [X C X ] i ser att strömmen har ett maximum där [X C X ] =. i har alltså resonans när /ωc ω = ω = ω = C (4) kan strömmen i kretsen skrivas som = sin(ωt + φ) (36) vilket kallas för resonansfrekvens och är oberoende av värdet. id resonansfrekvensen är strömmen i fas med spänningen där fasvinkeln φ mellan strömmen och spänningen är ( ) φ = tan XC X (37) Ju mindre är, desto större är resonansströmmen. res = sin(ω t) (4) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 43 och strömmens maximivärde ges av = Z där impedansen för kretsen motsvarande dess effektiva motstånd är Z = Nedan i figuren, kan man se hur storheterna kan ges grafiskt. C (38) + [X C X ] (39) Z t ( C lektromagnetism, Kai Nordlund 9 4 ( Det är just denna stora förstärkning av signalen vid en viss frekvens som gör att man kan höra en radiostation. Antennen i en radio tar emot alla sändningar, men en kanal väljs genom att ställa in värdet på kondensatorn i radion så att C-kretsens resonansfrekvens sammanfaller med den frekvens man vill höra. xempel: C-kretsens värden är: = = Ω C = 4 3 = 3 F H eräkna resonansfrekvensen och rita strommen, fasvinkeln φ, impedansen Z och spolens och kondensatorns reaktanser: X och X C som funktion av spänningens vinkelfrekvens ω. ~ C inkelfrekvensen där resonans sker är: ω = C 5 rad/s (f = ω π 8 Hz) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 44
Strömmen som funktion av vinkelfrekvensen ges av de två bilderna nedan. Den vänstra bildens x-axel är lineärt ritad, i motsatts till den högra, där x-axeln är logaritmisk. Strömmen.8.6.4 Strömmen. ω. 5 5 inkelfrekvensen ω.8.6.4 ω inkelfrekvensen ω Den vänstra bilden nedan ger fasvinkeln φ som en funktion av vinkelfrekvensen. i ser att strömmen är i fas med spänningen vid resonansfrekvensen. id låga frekvenser dominerar kondensatorns reaktans: X C = /ωc och strömmen är π/ rad före spänningen. id höga frekvenser där kondensatorns reaktans helt domineras av spolens (X = ω), är strömmen π/ rad efter spänningen. ilden till höger avbildar impedansen Z och spolens och kondensatorns reaktanser: X och X C som funktion av spänningens vinkelfrekvens ω. id låga frekvenser dominerar kondensatorns reaktans: X C = /ωc, som sedan avtar snabbt vid höga frekvenser, där spolens reaktans ökar: X = ω. id resonans är kretsens impedans lika med resistansen i kretsen: Z =. och strömmen är i resonans p.g.a. lämplig kombination av induktiv och kapacitiv reaktans. båda fallen fås φ =. För att effekten i en ström berör på fasskillnaden φ mellan och, och denna inte alltid är lätt att bestämma i praktiska fall, använder man i praktiskt bruk ofta också enheten A (volt-ampere) för att beskriva växelström. Denna storhet, som betecknas helt enkelt A, definieras som A = rms rms (43) och är alltså lika med effekten P endast ifall φ =. Oftast anges A som kilo-a och betecknas KA (notera det stora K :et!) Skillnaden mellan effekt och A är alltså effektfaktorn och definieras i praktiskt bruk som Uppenbart gäller att [http://www.powerstream.com/a-watts.htm] P F = P A (44) P F = cos φ (45) φ ω inkelfrekvensen ω.5.5.5 Z X C =/ωc X =ω ω 3 inkelfrekvensen ω Typiskt används enheten KA i reservströmkällor som UPS:ar ( uninterrupted power source ). För att tillverkaren av dessa omöjligen kan i förväg veta vad fasfaktorn i maskinerna som UPS:en kopplas till är, anger de gärna istället kapaciteten som KA, som alltså anger hur mycket effekt UPS:en ger ifall den kopplas till ett rent resistiv system med φ =. För alla andra fall ges mindre effekt, och användaren måste veta sin effektfaktor för att veta UPS:ens kapacitet. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 45 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 47 X.5... ffektförbrukningen i en C-krets lektriska medeleffekten som en C-krets förbrukar definieras som < P > = < >=< sin(ωt) sin(ωt + φ) > = < sin(ωt) sin(ωt + φ) > = < sin(ωt)[sin(ωt) cos(φ) + cos(ωt) sin(φ)] > = cos(φ) < sin (ωt) > + sin(φ) < cos(ωt) sin(ωt) > = cos(φ) = cos(φ) = rms rms cos(φ) (4) där likheterna: sin(ωt + φ) = sin(ωt) cos(φ) + cos(ωt) sin(φ) och cos(ωt) sin(ωt) = sin(ωt) har använts, och rms ger root-mean-square värdet, se ekv. (??). Notera att om cos φ =, förbrukar kretsen ingen effekt alls! Därmed kallas cos φ för effektfaktorn ( power factor ) för kretsen. Detta skulle innebära att om man vill att de resistiva delarna gör nyttigt arbete (är t.ex. en lampa eller en någon mer avancerad elektronisk grunka), skulle man vid cos φ = inte åstadkomma någon som helst nyttoeffekt. Därför brukar de flesta växelströmskretsar designas så att φ cos φ. Den konsumerade effekten är maximal om impedansen är en ren resistans, eller om spänningen lektromagnetism, Kai Nordlund 9 46 anlig nätström i Finland anges ju ha spänningen. Detta är i själva verket just rmsspänningen, maximispänningen är alltså högre, ung. 3. xempel: n spole har impedansen 3 Ω vid frekvensen Hz och impedansen 6 Ω vid 5 Hz. a) eräkna spolens induktans och resistans b) eräkna fasvinkeln mellan spänningen och strömmen vid vardera frekvensen a) mpedansen är Z = + vilket ger ekvationerna vid vardera frekvensen ( ) ωc ω = + (ω) = Z ω = Z ω (46) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 48
i löser ut induktansen esistansen för spolen blir b) Z ω = Z ω (ω ω ) = Z Z = = = π Z Z ω ω = Z Z π f f 6 3 7 mh 5 Z (πf ) 8.6 Ω 8 Ω Fasvinkeln mellan spänningen och strömmen ges av ( φ = tan ωc ω ) ( ) ω = tan lektromagnetism, Kai Nordlund 9 49 X.6. nducerade elektriska fältet i har lärt oss att när en ledare rör sig i ett magnetfält, induceras en spänning mellan ändorna p.g.a. den magnetiska kraften på laddningarna. fall ledaren står stilla, induceras ändå en spänning ifall det magnetiska flödet ändrar. ad är det nu som får laddningarna att flytta på sig i ledaren? bilden nedan har vi en solenoid (arean A och n varv per längd) genom vilken magnetfältet ökar med hastigheten dφ M /. unt solenoiden finns en rund krets med en spänningsmätare., d/ Magnetfältet in i solenoiden fick vi tidigare som: = µ n, så att det magnetiska flödet genom runda kretsen blir ind = dφ M = µ n A d Den inducerade strömmen är = ind /, där är kretsens resistans. lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5 (47) vilket ger för de båda fallen att spänningen är före strömmen ( ) φ = tan πf - ( ) φ = tan πf -6 Kraften som får laddningarna att röra på sig i kretsen är ett inducerat elektriskt fält från det magnetiska flödet som förändras med tiden. idare, så måste det inducerade fältet vara icke konservativt, eftersom när en laddning q går runt kretsen, så måste elfältet gånger laddningen vara lika med den inducerade spänningen dl = ind (48) Tankenöt: Skulle ett inducerat elfält finnas runt solenoiden ifall den inte omges av kretsen? Jo, det skulle det. Det inducerade elfältet som den magnetiska flödesförändringen i solenoiden fått till stånd finns runt solenoiden oberoende om vi har en krets runt den eller inte. elektromagnetismens grunder definierades spänningen för ett konstant elfält längs en sträcka l som: = l. fall elfältet inte är konstant, blir spänningen integralen: = dl. Det elektriska fältet är konservativt, eftersom vilken sluten integral som helst blir alltid noll dl = (49) Detta utnyttjas i bl.a. Kirchhoffs andra lag som ger att spännings- eller potentialskillnaden runt en sluten krets är alltid noll: i i =. Då ekvationerna (??) of (??) förenas ser vi att det inducerade elektriska fältet inte är konservativt ind = dφ M = dl (5) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 5
Den viktiga sammanfattning blir: tt föränderligt magnetfält inducerar ett elektriskt fält i rymden dl = dφ M = d da (5) där berättar att man integrerar den magnetiska flödesdensiteten över en sluten yta. da betecknar areaelementet. xempel: n cyklotronmagnet består av två cirkulära polytor med radien 5 cm. När magneten sätts på, ökar strömmen lineärt under s tills fältet når toppvärdet T. Under denna tid existerar ett inducerat elektriskt fält. a) eräkna elfältet som en funktion av d/ på avståndet r från magnetens mitt. b) eräkna elfältet för r = 4 cm. c) Upprepa a-fallet för r större än magnetens radie dl = πr = π d = d r a) lektromagnetism, Kai Nordlund 9 53 lektromagnetism, Kai Nordlund 9 55 dl = dφ M = πr d Det inducerade elektriska fältet är konstant runt hela ringen dl = πr = πr d πr = r d b) vilket ger det inducerade elfältet d = ( ) T s = T/s =.4 m T/s = -. /m c) r > lektromagnetism, Kai Nordlund 9 54