Föreläsningsanteckningar till Matematik D

Olof Bergvall Föreläsningsanteckningar till Matematik D Matematiska Institutionen Stockholms Universitet, Stockholm E-mail: olofberg@math.su.se

Innehåll 1 Algebra...................................................... 1 1.1 Tal....................................................... 1 1.2 Räkneregler............................................... 2 1.2.1 Konjugat- och kvadreringsregeln....................... 5 1.3 Polynom.................................................. 6 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck............................ 7 1.5 Ekvationer................................................ 12 1.5.1 Linjära ekvationer.................................... 12 1.5.2 Andragradsekvationer................................ 13 1.5.3 Uppdelning i faktorer................................. 16 1.5.4 Polynomdivision (överkurs)........................... 16 2 Funktioner................................................... 19 2.1 Grundläggande definitioner.................................. 19 2.2 Funktioner, ekvationer och geometri........................... 21 2.3 Linjära funktioner.......................................... 22 2.4 Kvadratiska funktioner...................................... 24 2.5 Ekvationssystem........................................... 27 2.5.1 Linjära ekvationssystem.............................. 27 2.5.2 Icke-linjära ekvationssystem........................... 28 2.6 Olikheter.................................................. 30 3 Potenser och logaritmer........................................ 33 3.1 Potenser som inte är heltal................................... 33 3.2 Exponentialfunktionen...................................... 35 3.3 Ekvationer av typen a x = b.................................. 35 3.4 Logaritmer................................................ 36 3.4.1 Byte av bas......................................... 38 3.4.2 Historisk tillbakablick................................ 40 3.5 Potensekvationer........................................... 41 3.6 Geometriska summor....................................... 42 3.7 Rekursion................................................. 43 v

vi Innehåll 4 Trigonometri.................................................. 45 4.1 Rätvinkliga trianglar........................................ 45 4.2 Enhetscirkeln.............................................. 49 4.3 Areasatsen, sinussatsen och cosinussatsen...................... 51 5 Trigonometriska funktioner..................................... 55 5.1 Trignometriska formler...................................... 55 5.1.1 Konsekvenser av Pythagoras sats....................... 57 5.2 De trigonometriska kurvorna................................. 60 5.3 Trigonometriska ekvationer.................................. 60 6 Derivata...................................................... 63 6.1 Ändringskvot.............................................. 63 6.2 Derivata.................................................. 64 6.3 Tangent och normal......................................... 67 6.4 Derivatan av exponentialfunktionen........................... 68 Lösningar......................................................... 71 Sakregister........................................................ 73 Referenser......................................................... 75

Jag ska nu lära er att multiplicera de okända talen, ett med ett annat, om de står ensamma, eller om tal adderas till dem, eller om tal subtraheras från dem, eller om de subtraheras från tal; och även att addera dem ett till ett annat, och att subtrahera ett från ett annat. Muhammad ibn Musa al-khwarizmi 1Algebra Kortfattat är målet med det här kapitlet att lära oss att räkna med bokstäver. Anledningen till att man vill göra detta är att man sedan kan ersätta bokstäverna i de resulterande formlerna med tal. Man kan på så sätt undvika att göra samma beräkning flera gånger. Det kan också vara ett bra sätt att se matematiska och fysikaliska samband som man annars skulle missa eftersom man fokuserar för mycket på speciella tal. Innan vi börjar med bokstavsräkning ska vi dock prata väldigt kort om tal. 1.1 Tal Det finns många olika sorters tal och det är praktiskt att ha namn på dem. Till att börja med finns det positiva heltal. De positiva heltalen är de tal som anger antal. Till exempel kan man använda det positiva heltalet 3 för att tala om att man har tre äpplen. Om vi även vill kunna säga att vi inte har något äpple måste vi inkludera talet 0, och vi får då de icke-negativa heltalen. Ibland pratar man också om naturliga tal. Beroende på vem som använder ordet kan det antingen betyda positiva heltal eller icke-negativa heltal. Oftast spelar det inte så stor roll, och det är antagligen därför man inte orkat komma överens om vad som är rätt. Ibland kan det dock vara bra att hålla koll på vad som menas. Man kan addera icke-negativa heltal till varandra och man kan även subtrahera mindre icke-negativa heltal från större. Exempelvis är ju 7 5 = 2. Vill vi också kunna dra ifrån större icke-negativa heltal från mindre, som 5 7, måste vi introducera negativa heltal. Mängden av alla positiva heltal, negativa heltal och 0 kallas kort och gott heltalen. 1

2 1 Algebra Hela tal kan multipliceras med varandra och man kan dela ett heltal med ett annat och få ett heltal, så länge täljaren är en multipel av nämnaren. Man säger då att nämnaren är en delare av täljaren. Vill man dela ett heltal med ett annat heltal som inte är en delare måste vi introducera så kallade rationella tal, såsom 7/5. De rationella talen är fullt tillräckliga för att man ska kunna utföra de fyra räknesätten (addition, subtraktion, multiplikation och division). Däremot räcker de inte till om man vill lösa ekvationen x 2 = 2 eller räkna ut omkretsen av en cirkel med radie 1. För dessa tillämpningar behöver man så kallade irrationella tal. Mängden av alla rationella och irrationella tal kallas de reella talen. Ofta brukar man introducera reella tal som oändliga decimalutvecklingar. Man kan då skilja mellan de rationella talen, som har en decimalutveckling som upprepar sig, exempelvis 1/3 = 0,3333..., och irrationella tal som inte har det, exempelvis π = 3,1415... (Naturligtvis kan man inte se om en oändlig decimalutveckling faktiskt upprepar sig eller inte om man inte tittar på oändligt många decimaler, vilket ju är omöjligt i praktiken). 1.2 Räkneregler I den förra sektionen pratade vi om tal och vi vet såklart sedan tidigare mycket om hur man räknar med dem. Vi ska använda detta som inspiration till de räkneregler vi vill ska gälla när vi börjar räkna med bokstäver och algebraiska uttryck. Algebraiska uttryck är uttryck bildade av bokstäver, siffor och de fyra räknesätten. Vi kommer att illustrera med exempel och introducera räknereglerna allt eftersom. Till att börja med vet vi att 5 + 7 = 7 + 5 och 3 + 2 = 2 + 3. Mer allmänt kan vi säga att vi vet att det spelar ingen roll i vilken ordning vi utför addition av reella tal. Ett kortare sätt att säga detta på är att addition kommuterar. Vi vill att detta även ska gälla när vi adderar bokstäver. Vi introducerar därför regeln (Addition kommuterar) a + b = b + a. Här spelar det ingen roll att vi valde just bokstäverna a och b. Vi vill också att det ska gälla för alla andra bokstäver (och symboler, tal och uttryck). Vi tycker alltså att regeln ovan implicerar att x + y = y + x och α + β = β + α. Vi har så klart också att 5 7 = 7 5, 2 3 = 3 2. Mer allmänt gäller: det spelar inte någon roll i vilken ordning vi multiplicerar tal. Alltså säger vi att multiplikation kommuterar. Vi vill även att detta ska gälla när vi räknar med bokstäver: (Multiplikation kommuterar) a b = b a. Till skillnad från addition och multiplikation kommuterar inte subtraktion och division. Vi har ju att 5 7 = 2 och 7 5 = 2 så 5 7 är inte lika med 7 5. Vi har också att 2/3 inte är lika med 3/2. Att något inte kommuterar formulerar vi däremot inte som någon regel.

1.2 Räkneregler 3 Nästa observation vi gör är att (3+5)+7 = 8+7 = 15 och 3+(5+7) = 3+12 = 15, så hur vi placerar paranteserna spelar ingen roll. Detta gäller så klart även om vi ersätter 3,5 och 7 med andra tal. Det kortfattade och matematiska sättet att säga detta på är att addition är associativ. Vi indroducerar därför den associtativa lagen: (Addition är associativ) (a + b) + c = a + (b + c). Associativitet gäller även för multplikation, exempelvis är (2 5) 7 = 70 = 2 (5 7). Vi ger detta en egen regel: (Multiplikation är associativ) (a b) c = a (b c). Att undersöka huruvida subtraktion och division är associativ lämnar vi som ett problem till läsaren. 1.1. Är subtraktion associativ? (Ledtråd: Räkna ut (3 5) 7 och 3 (5 7). Spelar det någon roll var paranteserna sitter?) 1.2. Är division associativ? (Ledtråd: Räkna ut (2/3)/4 och 2/(3/4). Spelar det någon roll var paranteserna sitter?) och Nästa steg är att låta räknesätten börja interagera. Vi har ju till exempel 2 (3 + 4) = 2 7 = 14, 2 3 + 2 4 = 6 + 8 = 14. Vi säger att multiplikation är distributiv över addition. Vi formulerar därför regeln: (Distributiva lagen) a (b + c) = a b + a c. Ett viktigt specialfall är då a = 1. Vi har då ( 1)(b + c) = ( 1)b + ( 1)c. Man brukar ju skriva ( 1)b = b och uttrycket blir då (b + c) = b c. Om man tänker igenom ett exempel med tal verkar regeln ovan rimlig. Vi har ju till exempel att (3 + 5) = 8 vilket ju är lika med 3 5. Vi kan nu räkna ut hur man multiplicerar ihop två summor av två bokstäver. Vi har (a + b) (c + d) = (a + b) c + (a + b) d, med hjälp av distributiva lagen. Multiplikation är kommutativ så (a + b) c + (a + b) d = c (a + b) + d (a + b). Om vi använder distributiva lagen en gång till får vi c (a + b) + d (a + b) = c a + c b + d a + d b.

4 1 Algebra Vi har nu visat (om vi använder kommutativitet av multiplikation igen) (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d, vilket du kanske redan visste. Vi kan även betrakta kvoter av uttryck med bokstäver, det vill säga uttryck på formen a/b eller b a. Precis som tidigare fungerar addition och multiplikation som vid addition och multiplikation av kvoter av tal: a b + c d = a d + b c, bd och a b c d = a c b d. Sådana uttryck kallas rationella uttryck. Man kan även subtrahera och dividera rationella uttryck. Reglerna för detta är a b c d = a d b c, bd och ( ab ) ( cd ) = a b d c = a d b c. Om man adderar samma bokstav flera gånger till sig själv, till exempel a +a+a, kan det lätt bli långa uttryck. Det är därför bekvämt att skriva a + a + a = 3 a. På samma sätt skriver man exempelvis a + a + a + a + a = 5 a. Om man istället multiplicerar ett tal med sig självt ett antal gånger kan man skriva om uttrycket på potensform, till exempel a a a = a 3. Vi skriver ned dessa regler mer allmänt: och, a + + a = n a, }{{} ngånger a } {{ a } = a n. ngånger Vi säger att uttrycket a n har bas a och exponent n. Vi har (1) a m a n = a } {{ a } a } {{ a } mgånger ngånger och = a } {{ a } = a m+n, m+ngånger

1.2 Räkneregler 5 (2) (a m ) n = a } m {{ a m } = a } {{ a } a } {{ a } = a } {{ a } = a m n. ngånger mgånger } {{ mgånger } m ngånger ngånger Vårt mål är, som bekant, att uträkningar med bokstäver ska vara så lika uträkningar med tal som möjligt. Vi har ju exempelvis 3 4 /3 2 = 3 2 = 3 4 2. Vi inför därför regeln (3) a m a n = am n. Notera att om a är ett tal som inte är 0 har vi a n /a n = 1. Men å andra sidan har vi a n /a n = a n n = a 0. Vi definierar därför (4) a 0 = 1, även för bokstäver. Vi får nu att (5) a m = a 0 m = a0 a m = 1 a m. Vi har också reglerna (6) (a b) n = a n b n, och (7) ( a b) n = a n b n. Ekvationerna (1)-(7) ovan brukar gemensamt kallas potenslagarna. Vi lämnar beviset av (6) och (7) till läsaren. 1.3. Kan du visa att (a b) n = a n b n och att ( a b ) n = a n b n med hjälp av de andra räknereglerna? Ett tal som är lite speciellt är 0. Det är inte meningfullt att dela med 0 så vi tillåter inte uttryck på formen a/0. Man kan så klart ta positiva potenser av 0 och vi har då 0 m = 0 där m är ett positivt heltal. Uttrycket 0 0 kan vi inte heller definiera på något vettigt sätt. Man kan argumentera både för att det borde vara 1 och 0, men det bästa är att låta det vara odefinierat. 1.2.1 Konjugat- och kvadreringsregeln Betrakta (a + b) (a b) = (a + b) (a + ( b)). Vi multiplicerar ut paranteserna och får

6 1 Algebra Du kan säkert själv skriva om detta som Vi har alltså a a + a ( b) + b a + b ( b). a 2 b 2. (a + b) (a b) = a 2 b 2. Denna likhet kallas konjugatregeln. Betrakta nu (a + b) 2 = (a + b) (a + b). Vi multiplicerar ut paranteserna och får Vi har alltså likheten som kallas kvadreringsregeln. Exempel. a 2 + a b + b a + b 2 = a 2 + 2a b + b 2. (a + b) 2 = a 2 + 2a b + b 2, Vi ska visa att ( 1) ( 1) = 1. Vi börjar med att notera att 1+( 1) = 0. Distributiva lagen ger ( 1) (1 + ( 1)) = ( 1) 1 + ( 1) ( 1) = 0. Eftersom ( 1) 1 = 1 kan vi skriva om uttrycket ovan som 1 + ( 1) ( 1) = 0. Alltså gäller ( 1) ( 1) = 1. Från och med nu kommer vi ibland att skriva ab istället för a b. 1.3 Polynom En speciell sorts algebraiska uttryck är polynom. Ett polynom i en variabel är ett uttryck på formen p(x) = a n x n + a n 1 n 1 + + a 1x + a 0, där n är ett icke-negativt heltal och bokstäverna a 0,a 1,...,a n 1,a n är tal. Talen a 0,a 1,...,a n 1,a n kallas polynomets koefficienter. Om a n inte är 0 säger vi att polynomet har grad n och a n kallas polynomets högstagradskoefficient. Talet a 0 kallas polynomets konstantterm. Bokstaven x kallas för variabel. Anledningen till detta är att man ofta ersätter x med olika tal. Alltså varierar x, i motsats till konstanterna som ju just är konstanta. Ett polynom på formen ax n där a inte är 0 kallas ett monom. Man kan alltså säga att ett polynom är en summa av monom. Precis som i vilken summa som helst kallas de saker man adderar för termer (eller summander).

1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 7 Några exempel på polynom är p 1 (x) = 3x + 5, p 2 (x) = 4x 2 + 12x + 9, p 3 (x) = x 5 + x + 1, p 4 (x) = 3. Om polynomet har grad 1 kallar man det ett förstagradspolynom, om det har grad 2 ett andragradspolynom och så vidare. Till exempel har p 1 grad 1, p 2 har grad 2, p 3 grad 5 och p 4 grad 0. Vi noterar att polynomet 0 inte har någon grad. Förstagradspolynom kallas även linjära, andragradspolynom kallas kvadratiska och tredjegradspolynom kallas kubiska. Om p(x) är ett linjärt polynom utan konstantterm, det vill säga ett polynom på formen p(x) = kx, säger vi att p(x) är proportionellt mot x och vi kallar k polynomets proportionalitetskonstant. Polynom används framför allt till två saker. Dels används de till att beskriva funktioner. Exempelvis, om vi släpper en boll från ett hustak kan vi beskriva bollens position vid tiden t som ett polynom i t. Det andra man ofta gör med polynom är att lösa ekvationer av typen p(x) = 0. I vårt exempel med bollen är vi kanske intresserade av när bollen når marken. Vi får då lösa en ekvation av denna typ. Vi kommer att prata mer om detta senare. 1.4 Att manipulera algebraiska uttryck Det är väldigt bra att kunna skriva om och manipulera algebraiska uttryck så att de får en snyggare form. Här är ligger verkligen skönheten i betraktarens öga, men oftast är man ute efter att få ett så litet och behändigt uttryck som möjligt eller också vill man skriva om ett uttryck på ett sånt sätt att någon viss egenskap blir tydligare, som till exempel när man löser polynomekvationer genom att dela upp polynomet i faktorer. Vi börjar med några enkla exempel: Exempel. Förenkla följande uttryck: (a)5(x + 4), (b)a + 2b (a 3b), (c)(2a + 4b)(3a 3b), (d)(x 2 1)(x 3 + x 2 + x + 1). Lösning:

8 1 Algebra (a) 5(x + 4) = 5 x + 5 4 = = 5x + 20. (b) a + 2b (a 3b) = a + 2b a + 3b = = 5b. (c) (2a + 4b)(3a 3b) = (2a) (3a) (2a) (3b) + (4b) (3a) (4b) (3b) = = 6a 2 6ab + 12ab 12b 2 = = 6a 2 + 6ab 12b 2. Om man vill kan man skriva om 6a 2 + 6ab 12b 2 = 6(a 2 + ab 2b 2 ). Vilket som är enklast beror på situationen. (d) (x 1)(x 3 + x 2 + x + 1) = x x 3 + x x 2 + x x + x 1 x 3 x 2 x 1 = = x 4 + x 3 + x 2 + x x 3 x 2 x 1 = = x 4 1. Om man vill kan man skriva om x 4 1 = (x 2 +1)(x 2 1) = (x 2 +1)(x +1)(x 1). Exempel. Förenkla följande uttryck: (a)(5a + b)(5a b), (b)(5x + y) 2, (c)(5x 2 y 3 ) 2, Lösning: (a) Vi använder konjugatregeln: (5a + b)(5a b) = (5a) 2 b 2 = 25a 2 b 2. (b) Vi använder kvadreringsregeln: (5x + y) 2 = (5x) 2 + 2 (5x) y + y 2 = 25x 2 + 10xy + y 2. (c) Vi använder kvadreringsregeln och potenslagarna: (5x 2 y 3 ) 2 = (5x 2 ) 2 + 2 (5x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 ) 2 = 25x 4 10x 2 y 3 + y 6. Det är viktigt att förstå att man kan använda räknereglerna åt båda hållen. Man kan ju till exempel använda konjugatregeln för att skriva om (x + 2)(x 2) som

1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 9 x 2 4, men man kan också använda den till att skriva om x 2 4 som (x + 2)(x 2). Man använder sig ofta av detta när man faktoriserar algebraiska uttryck. Exempel. Faktorisera följande uttryck så långt som möjligt: (a)36x 2 25, (b)x 2 + 2x + 1, (c)5a 2 + 20a + 20, Lösning: (a) Vi använder konjugatregeln: (b) Vi använder kvadreringsregeln: 36x 2 25 = (6x) 2 5 2 = (6x + 5)(6x 5). x 2 + 2x + 1 = (x + 1) 2. (c) Vi noterar att alla koefficienter är multiplar av 5. Alltså kan vi bryta ut en faktor 5, det vill säga skriva om uttrycket på följande sätt: 5a 2 + 20a + 20 = 5 (a 2 + 4a + 4). Vi noterar nu att a 2 +4a+4 = a 2 +2 a 2+2 2. Vi kan alltså använda kvadreringsregeln för att göra omskrivningen 5 (a 2 + 4a + 4) = 5 (a + 2) 2. Alltså har vi 5a 2 +20a+20 = 5 (a+2) 2 och uttrycket går inte att faktorisera längre än så. Precis som att man gärna skriver om talet 5/15 som 1/3 kan man skriva om rationella uttryck om täljaren och nämnaren har en gemensam faktor. Detta kallas att förkorta. Exempel. Förkorta följande uttryck så långt som möjligt: (a) 8a7 4a 2, (b) 24z(z 1) 8z 8, (c) x2 +6x+9 2(x+3), (d) a+b x. Lösning:

10 1 Algebra (a) Vi använder potenslagarna: 8a 7 4a 2 = 2a7 2 = 2a 5. (b) Vi ser att vi kan bryta ut en faktor 8 i nämnaren: 24z(z 1) 8z 8 = 24z(z 1) 8(z 1) = 3z. (c) Vi kan skriva om täljaren med hjälp av kvadreringsregeln: Vi har nu x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2. x 2 + 6x + 9 2(x + 3) = (x + 3)2 2(x + 3) = x + 3 2. (d) Vi kan inte förkorta uttrycket alls eftersom täljaren och nämnaren inte har några gemensamma faktorer. Vi ska nu titta på hur man utför de fyra räknesätten på rationella uttryck. Det kan kanske tyckas lite konstigt, men det är betydligt lättare att multiplicera och dividera rationella uttryck än att addera och att subtrahera dem men så är det ju även när man räknar med rationella tal. Vi börjar med ett exempel på multiplikation av rationella uttryck. Exempel. Skriv om följande uttryck på gemensamt bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) 3 1 53, (b) x+2 2 x x 2, x (c) x+2 x+2 x. Lösning: (a) (b) 2 x + 2 x x 2 = 1 3 5 3 = 1 5 3 3 = 5 9. 2 x (x + 2) (x 2) = 2x x 2 4. (c) x x + 2 x + 2 x (x + 2) = x (x + 2) x = 1. Vi ska nu se hur man dividerar rationella uttryck.

1.4 Att manipulera algebraiska uttryck 11 Exempel. Skriv om följande uttryck på ett enda bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) ( 1 3) ( 5 3), x+2) ( x+2), x x+2) ( x+2 (b) ( 2 (c) ( x x ). Lösning: (a) (b) (c) ( x x+2 ( x+2 x ) ( 2 x+2 ( x x+2 ) ( 13 ) ( 53 ) = 1 3 3 5 = 1 3 3 5 = 1 5. ) = 2 x + 2 x + 2 = x ) = x x + 2 x x + 2 = 2 (x + 2) (x + 2) x = 2 x. x2 (x + 2) 2 = x 2 x 2 + 4x + 4. Vi ska nu se några exempel på att addera och subtrahera algebraiska uttryck. Det är väldigt enkelt att addera två uttryck som har samma nämnare, exempelvis a c + b c = a+b c. Det svåra är när de har olika nämnare. Man skriver då om de olika bråken så att de får samma nämnare. Den allmänna regeln, som vi gick igenom tidigare, är a b + d c = a d b d + b d b c = ad+bc bd. Vi säger att vi förlänger de rationella uttrycken så att de får en gemensam nämnare. Exempel. Skriv om följande uttryck på gemensamt bråkstreck och förkorta så långt som möjligt: (a) 1 3 + 5 3, (b) 3 1 + 5 2, (c) x 2 2 x 2 x, (d) 2 x x + x+2 x. Lösning: (a) Vi vet såklart att 1/3 +5/3 = 6/3 = 2, men vi ska trots det använda den lite mer komplicerade regeln för att öva. Vi har

12 1 Algebra 1 3 + 5 3 = 1 3 + 5 3 = 3 + 15 = 18 3 3 9 9 = 2. (b) Vi har 1 3 + 5 2 = 1 2 + 3 5 = 2 + 15 = 17 3 2 6 6. (c) Eftersom båda termerna har samma nämnare har vi direkt 2 x 2 x x 2 = 2 x x 2 = x + 2 x 2. Vill vi istället använda den lite mer komplicerade regeln blir uträkningen 2 x 2 x x 2 (d) Vi har ( 2) (x 2) x (x 2) ( 2 x)(x 2) = (x 2) 2 = (x 2) 2 = 2 x x 2 = x + 2 x 2. x 2 x + x + 2 x x + (2 x) (x + 2) = = x2 + (2 2 x 2 ) x (2 x) x 2x x 2 = 4 2x x 2. Notera att vi kan se de rationella uttrycken ovan som funktioner genom att ersätta x med tal. Dock måste vi se till att nämnaren inte blir 0. I (d), till exempel, kan vi inte ersätta x med 0 eller 2 eftersom nämnaren är 0 för dessa värden på x. Funktionen 4 2x x 2 är alltså inte definierad för dessa värden på x. 1.5 Ekvationer Vi ska nu använda det vi lärt oss hittills för att lösa ekvationer av typen p(x) = 0, där p(x) är ett polynom. Det kan tyckas vara lite fegt att anta att högerledet är noll. Ett modigare problem skulle kanske vara att lösa ekvationer på formen p(x) = q(x) där både p(x) och q(x) är polynom. Men p(x) q(x) är också ett polynom och p(x) q(x) = 0 precis då p(x) = q(x) så vi förlorar inget på att bara titta på det, till synes, enklare problemet. 1.5.1 Linjära ekvationer Det enklaste fallet är när p(x) är ett linjärt polynom, det vill säga på formen p(x) = ax + b. Ekvationen kallas då en linjär ekvation. Det första steget för att lösa ax + b = 0 är att flytta över b till andra sidan, det vill säga dra ifrån b från bägge sidor så att vi får ax = b. Om a inte är 0 kan vi nu dividera båda sidor med a. Vi får då x = a b vilket är lösningen.

1.5 Ekvationer 13 Exempel. Vi vill åka till Örebro och söker efter en resa. Vi ser att ett tåg går klockan 15:07 från Stockholms Central och kommer fram till Örebro Central, 196 kilmoter därifrån, klockan 17:04. Vi undrar därför, såklart, vilken medelhastighet tåget har (uttryckt i km/h)? Lösning: Vi vill ställa upp en ekvation på formen ax + b = 0 och sedan lösa den. I detta fall är det dock lite lättare att ställa upp en ekvation på formen ax = b, vilket ju i princip är samma sak. Vi kallar därför tågets medelhastighet för x, tiden tåget behöver för att komma fram för a och sträckan det färdas för b. Tåget behöver uppenbarligen 1 timme och 57 minuter på sig för att komma fram. En timme är 60 minuter, så tåget behöver 60 + 57 = 117 minuter eller 117 60 timmar. Sträckan det färdas är helt enkelt 196 kilometer. Vi har alltså ekvationen 117 60 x = 196. Från vår diskussion ovan ser vi att lösningen är x = 196 ) = ( 117 60 ( 196 ) ( 1 117 60 Vi har att 117 = 3 39 och 60 = 3 20 så 196 60 117 = ) = 196 1 60 117 196 20 39 = 3920 39. = 196 60 117. Tåget har alltså en medelhastighet på 100 + 20 39 kilometer i timmen. Följande problem kan vara lärorikt att tänka igenom. 1.4. Låt a och b vara (reella) tal. Lös ekvationen ax+b = 0. Måste vi anta något om a och/eller b? Har ekvationen alltid samma antal lösningar? 1.5.2 Andragradsekvationer Det näst lättaste fallet är så kallade andragradsekvationer, det vill säga ekvationer på formen ax 2 + bx + c = 0. Den enklaste typen av andragradsekvationer är de av typen x 2 = d, som ju har lösningarna x = ± d. När vi vet detta är det heller inte svårt att lösa ekvationer av typen (x + k) 2 = d. Vi ser först att x + k = ± d och när vi väl vet det ser vi att x = k ± d. Detta är en väldigt viktig observation för att lösa den allmänna ekvationen. Om a skulle vara 0 kan vi skriva ekvationen som bx + c = 0 vilket ju är en linjär ekvation som vi redan vet hur man löser. Vi antar därför att a inte är 0. Första steget

14 1 Algebra för att lösa ekvationen är att dela båda led med a vilket ger x 2 + b a x+ a c = 0. Vi döper om b a = p och a=q c så att vi har ekvationen x2 + px + q = 0. Vi skulle vilja ha en ekvation på formen (x + k) 2 = d, för sådana vet vi hur man löser. Vi ska därför använda kvadreringsregeln på ett klurigt sätt för att skriva om ekvationen på denna form. Minns att (x + k) 2 = x 2 + 2kx + k 2. Vi ser att x 2 + px nästan har formen (x + p ( p ) 2 2 )2 = x 2 + px +, 2 skillnaden är bara att det senare uttrycket har en extra term ( p 2 ) 2. Men vi kan ju lägga till 0 = ( p 2 ) 2 ( p 2 ) 2 till x 2 + px utan att förändra det. Vi har alltså ( p ) 2 ( p ) 2 ( x 2 + px = x 2 + px + = x + p ) 2 ( p ) 2. 2 2 2 2 Vi stoppar in detta i ekvationen x 2 + px + q = 0 vilket ger ( x + p ) 2 ( p ) 2 + q = 0. 2 2 Vi kan nu flytta över konstanttermerna i högerledet och får då ( x + p ) 2 ( p ) 2 = q, 2 2 vilket är en ekvation på formen (x + k) 2 = d som vi ju vet hur man löser. Vi har alltså x = p 2 ± ( p 2 ) 2 q, den så kallade pq-formeln. Uttryckt i a och b är lösningen ( x = b ) b 2 2a ± c 2a a. Notera att vi bara har reella lösningar om ( b 2a ) 2 c a 0 eftersom man ju bara kan dra kvadratroten ur positiva tal (om man inte vill introducera komplexa tal). Tänk på att x 2 = 36 har lösningarna x = ±6 men x 2 = 36 har ingen lösning. Metoden vi använde för att härleda pq-formeln kallas kvadratkomplettering. Många (däribland jag) anser att det ger mer insikt att använda kvadratkomplettering direkt istället för att memorera pq-formeln, men var och en gör så klart som den vill. Kvadratkomplettering är dock en mycket användbar metod att behärska och om man tänkt sig att läsa någon form av matematik vid universitet så kommer man att behöva lära sig den förr eller senare. Exempel. Lös följande ekvationer:

1.5 Ekvationer 15 (a)x 2 = 25, (b)(x + 2) 2 = 25, (c)x 2 + 6x + 5 = 0 genom att använda pq-formeln, (d)x 2 + 6x + 5 = 0 genom kvadratkomplettering. Lösning: (a) Man kan direkt se att x = ±5. (b) Vi såg i (a) att x 2 = 25 har lösningarna x = ±5. Alltså är x + 2 = ±5. Vi ser nu att x = 5 och x = 3 är ekvationens lösningar. (c) Vi stoppar in p = 6 och q = 5 i pq-formeln: (6 x = 6 2 2 2) ± 5 = 3 ± 3 2 5 = 3 ± 9 5 = 3 ± 4 = 3 ± 2. Vi har alltså lösningarna x = 5 och x = 1. (d) Vi har x 2 + 6x + 5 = (x + 3) 2 3 2 + 5 = (x + 3) 2 4. Vi vill alltså lösa ekvationen (x + 3) 2 4 = 0 eller (x + 3) 2 = 4. Vi ser direkt att x + 3 = ±2 så x = 3 ± 2, det vill säga x = 5 och x 1 är ekvationens lösningar. Precis som att linjära ekvationer har en lösning (åtminstone om koefficenten framför x är nollskilld) så har andragradsekvationer oftast två lösningar. Vad som menas med oftast illustreras kanske bäst med ett exempel. Exempel. Hur många (reella) lösningar har följande ekvationer? (a)x 2 6x + 5 = 0, (b)x 2 4x + 4 = 0, (c)x 2 + 6x + 10 = 0. Lösning: (a) Vi använder kvadratkomplettering för att lösa ekvationen. x 2 6x + 5 = (x 3) 2 ( 3) 2 + 5 = (x 3) 2 4. Vi har alltså att (x 3) 2 = 4 eller x = 3±2. Alltså har ekvationen 2 lösningar: x = 1 och x = 5. (b) Vi använder kvadratkomplettering: x 2 4x + 4 = (x 2) 2 ( 2) 2 + 4 = (x 2) 2. Vi har alltså (x 2) 2 = 0 så x = 2. Ekvationen har alltså bara en lösning, men med multiplicitet 2. Allmänt så har ett polynom p(x) ett nollställe med multiplicitet n i a om man kan faktorisera p(x) = (x a) n q(x) där q(x) är något polynom.

16 1 Algebra (c) Vi använder återigen kvadratkomplettering: x 2 + 6x + 10 = (x + 3) 2 9 + 10 = (x 3) 2 + 1. Vi vill alltså lösa ekvationen (x 3) 2 + 1 = 0 eller (x 3) 2 = 1. Men denna ekvation har ingen lösning. 1.5.3 Uppdelning i faktorer Om vi kan skriva ett polynom p(x) som en produkt av två andra polynom q(x) och r(x) så vet vi att p(x) är noll precis då antingen q(x) eller r(x) är noll (eller båda). Detta är en väldigt enkel observation, men den är likväl väldigt viktig eftersom det oftast är mycket lättare att hitta nollställen till polynom av lägre grad. Till exempel är det ju mycket lättare att lösa förstagradsekvationer än andragradsekvationer. Omvänt så gäller det att om x = a är ett nollställe till p(x) så delar x a polynomet p(x), det vill säga det finns något polynom q(x) så att p(x) = (x a)q(x). Detta resultat brukar kallas faktorsatsen och kan vara mycket användbart. För tydlighets skull formulerar vi detta som en sats: Sats. Om ett polynom p(x) kan skrivas som p(x) = q(x) r(x) är p(x) = 0 då antingen q(x) = 0 eller r(x) = 0. Omvänt, om p(x) har ett nollställe då x = a kan p(x) faktoriseras som p(x) = (x a) q(x) för något polynom q(x). 1.5.4 Polynomdivision (överkurs) För att få ut så mycket som möjligt från faktorsatsen är det viktigt att kunna dividera polynom med varandra. Vi ska illustrera hur detta går till väga med ett exempel. Exempel. Dela x 3 + x 2 x 1 med x 1. Lösning: Vi vill hitta ett polynom q(x) så att (x 1)q(x) = x 3 + x 2 x 1. Första steget i att hitta detta polynom är att multiplicera x 1 med ett lämpligt monom, det vill säga ett polynom på formen ax n, så att ax ( x 1) har samma högstagradsterm som x 3 + x 2 x 1, alltså x 3. Vi ser att det sökta monomet är x 2. Vi kommer ihåg q 1 (x) = x 2 och drar bort x 2 (x 1) = x 3 x 2 från x 3 + x 2 x 1 och får 2x 2 x 1 kvar. Vi vill nu hitta ett monom så att ax m (x 1) har högstagradsterm 2x 2. Det sökta monomet är alltså 2x. Vi lägger till 2x till q 1 (x) = x 2 och får q 2 (x) = x 2 + 2x. Vi drar nu ifrån 2x(x 1) = 2x 2 2x från 2x 2 x 1 och får x 1. Vi vill nu hitta ett monom så att ax m (x 1) = x 1 men det är ju helt enkelt 1. Vi lägger till 1 till

1.5 Ekvationer 17 q 2 (x) = x 2 + 2x och får q 3 (x) = x 2 + 2x + 1 och drar sedan ifrån 1(x 1) = x 1 från x 1 och får 0. Eftersom vi inte har något kvar slutar procedured här. Detta lät kanske lite krångligt men det är ganska lätt när man gjort det några gånger. Ett bra sätt att skriva ned vad som händer är följande, som ibland kallas liggande stolen eller långdivision : x 3 + x 2 x 1 = ( x 1 )( x 2 + 2x + 1 ) x 3 + x 2 2x 2 x 2x 2 + 2x x 1 x + 1 0 Vi ska nu se några exempel på hur man kan hitta nollställen till polynom genom faktorisering. Exempel. Lös följande ekvationer (a)(x 1)(x 2)(x 3)(x 4)(x 5) = 0, (b)(x 2 2x + 1)(x 2 6x + 5) = 0, (c)x 3 6x 2 + 11x 6 = 0. Lösning: (a) Vänsterledet är ett polynom av grad 5 och det är oftast extremt svårt att hitta nollställen till sådana. Det finns till och med en sats som säger att det går att hitta någon lösningsformel av samma typ som pq-formeln för ekvationer av grad 5 och högre. Här har vi emellertid fått en faktorisering av polynomet så vi ser direkt att lösningarna till ekvationen är x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 och x = 5. (b) Polynomet i vänsterledet är en produkt av polynomen x 2 2x + 1 och x 2 6x + 5. Vi kan därför istället lösa de två ekvationerna x 2 2x + 1 = 0 och x 2 6x + 5 = 0. Eftersom x 2 2x + 1 = (x 1) 2 har den första ekvationen lösningen x = 1 (med multiplicitet 2). För att lösa den andra ekvationen använder vi kvadratkomplettering och får x 2 6x + 5 = (x 3) 2 9 + 5 = (x 3) 2 4, så (x 3) 2 = 4 eller x = 3±2. Alltså måste x = 1 eller x = 5. Ekvationen (x 2 2x+ 1)(x 2 6x + 5) = 0 har alltså lösningarna x = 1 (med multiplicitet 2 + 1 = 3) och x = 5 (med multiplicitet 1). (c) Här har vi ingen faktorisering, och vi vet inte hur man löser tredjegradsekvationer. Det går däremot att se direkt att x = 1 är en lösning. Vi vill därför dela x 3 6x 2 + 11x 6 med x 1. Vi gör detta och får

18 1 Algebra x 3 6x 2 + 11x 6 = ( x 1 )( x 2 5x + 6 ) x 3 + x 2 5x 2 + 11x 5x 2 5x 6x 6 6x + 6 0 Kvoten är alltså x 2 5x+6. Vi vill nu hitta lösningarna till ekvationen x 2 5x+6 = 0. Vi använder vår favoritmetod för att lösa andragradsekvationer och får då att x = 2 och x = 3 är lösningarna. Ekvationen x 3 6x 2 + 11x 6 = 0 har alltså lösningarna x = 1, x = 2 och x = 3.

2 Funktioner Målet med detta kapitel är att introducera funktioner och relaterade begrepp såsom definitionsmängd, värdemängd och grafer. Vi kommer även se några exempel på hur man kan använda funktioner för att ställa upp matematiska modeller. 2.1 Grundläggande definitioner Funktionsbegreppet är utan tvekan något av det viktigaste och mest fundamentala inom matematiken. Trots detta är det ett relativt nytt begrepp. Det sägs ofta att Galileo Galilei var den första att använda sig av funktioner, exempelvis för att uttrycka samband som det i citatet ovan. Ordet funktion uppfanns emellertid inte förrän omkring år 1700 av Gottfried Wilhelm von Leibniz, ungefär 100 år efter Galilei. Detta kan jämföras med tal, som fanns i mesopotamien redan 3400 år f.kr., och algebra som fått sitt namn från en arabisk lärobok från 800-talet. Anledningen till detta är antagligen att funktionsbegreppet är betydligt mer abstrakt än tal och formler. En funktion kan vara många, vitt skillda saker. Exempelvis kan en funktion vara ett sätt att få ett tal från ett annat, såsom funktionen som sänder talet x till talet x 2. En annan funktion sänder en bil till dess färg och en tredje sänder en person till sin ålder. Möjligheterna är, bokstavligt talat, oändliga. Vi ska därför, en gång för alla, tala om vad vi menar med ordet funktion. För att kunna göra detta är det bekvämt att känna till ett annat viktigt matematiskt begrepp: mängder. En mängd är, precis som man skulle kunna tro, helt enkelt en samling objekt. Objekten i en mängd brukar kallas för element. Vi kan nu tala om vad en funktion är: 19

20 2 Funktioner En funktion är ett sätt att för varje element i en mängd ge ett element i en annan mängd. Om vi kallar funktionen för f så tar alltså f ett element, som vi kan kalla a, i en mängd, som vi kallar A, och ger ett element i en annan mängd, som vi ger namnet B. Elementet som f tilldelar a brukar betecknas f (a). En funktion fungerar alltså lite som en maskin som tillverkar något. Mängden A är då det som man ska stoppa in i maskinen och mängden B är det f tillverkar. Exempel. Vi kan låta A vara mängden av bilar, B vara mängden av färger och f vara funktionen som till varje bil associerar dess färg. Exempel. Vi kan låta A vara mängen av mäniskor, B vara mängden av icke-negativa heltal och f vara funktionen som till varje person associerar hennes ålder (i hela år). Exempel. Vi kan låta A vara de reella talen, B vara de icke-negativa reella talen och f vara funktionen som tar talet a till talet a 2. Mängden vi kallar A i exemplen ovan, det vill säga mängden av saker som vi stoppar in i funktionen f, kallas funktionens definitionsmängd. Mängden B, det vill säga mängden av saker som f kan ge, kallas funktionens värdemängd. Ofta brukar man slarva lite när man specificerar värdemängden och kalla någon mängd som innehåller den egentliga värdemängden för värdemängd. Exempelvis säger man ofta att funktionen som tar talet a till talet a 2 är en funktion från de reella talen till de reella talen, trots att den egentligen bara tar icke-negativa värden. De funktioner vi kommer att titta på kommer att ha olika mängder av tal som definitions- och värdemängder. Dessutom kommer de att ges av formler, det vill säga uttryck med symboler som talar om hur vi kan räkna ut funktionsvärdet från ett givet tal. Detta är ett mycket effektivt och vanligt sätt att ge funktioner. Exempel. När vi talar om funktionen f (x) = x 2 menar vi funktionen som tar ett tal x och ger talet x 2. Vi får alltså reda på hur vi räknar ut funktionsvärdet från talet x: multiplicera x med sig själv. Om man ger en funktion som en formel är det vanligt att man inte är så noga med att tala om definitionsmängd eller värdemängd. Man anser då att definitionsmängden är de tal där formeln fungerar. Värdemängden är helt enkelt de tal man får när man stoppar in olika tal i funktionen. När man gör på detta sätt säger man att definitionsmängden (eller värdemängden) är implicit definierad. Exempel.

2.2 Funktioner, ekvationer och geometri 21 1 Vi ska titta på funktionen f (x) = 2(x 1)(x 2). Formeln som definierar f fungerar fint för alla tal där nämnaren inte är noll. Alltså är definitionsmängden alla reella tal utom 1 och 2. Värdemängden är mycket svårare att bestämma, men man kan visa att f antar alla tal som är mindre än eller lika med 2 och alla tal som är större än 0. Du har säkert sett uttryck som y = f (x) och höra att y är en funktion av x. Vi vet nu precis vad detta betyder: för varje värde på x har vi precis ett värde på y. När man skriver på detta sätt ser man även y som en variabel. Dock är ju y sammanlänkad med x genom funktionen f. Därför brukar man kalla y för en beroende variabel, till skillnad från x som är en oberoende variabel. 2.2 Funktioner, ekvationer och geometri Tal, formler och funktioner är förtås väldigt viktiga och intressanta i sig själva, men det kan ofta vara både lättare och mer intuitivt att tänka på dem geometriskt. Nyckeln till att kunna göra detta är det så kallade kartesiska koordinatsystemet. Detta har fått sitt namn av den franske matematikern och filosofen René Descartes som ju annars är mest känd för citatet Je pense, donc je suis. ( Jag tänker, alltså är jag. ). Det Descartes gjorde var att han tänkte sig de reella talen som en lång linje med 0 i mitten, ordnade så att större tal står till höger om mindre tal. Han tog sedan två kopior av den reella linjen och la den ena ovanpå den andra så att de korsade varandra i 0. Han fick på så sätt ett geometriskt sätt att beskriva par av tal, (x,y). För att hitta punkten svarande mot (x,y) letar man först upp x på den fösta reella linjen. Därefter drar man en rät linje paralell med den andra reella linjen och genom x. Sedan letar man upp y på den andra reella linjen och drar en rät linje parallel med den första rella linjen. Vi har nu ritat två linjer som skär varandra i en punkt. Det är denna punkt som svarar mot (x,y). Den första kopian av reella linjen brukar kallas x-axeln och den andra kopian för y-axeln. Vi kan nu tänka på tal och ekvationer geometriskt! Exempelvis, om f är en funktion från de reella talen till de reella talen kan vi till varje reellt tal x associera punkten (x, f (x)). Vi får då grafen till funktionen f. Grafen av en funktion är en kurva i planet. Vi ser två exempel på grafer nedan. Innan vi börjar diskutera kopplingen mellan geometri och nollställen är det viktigt att ha klart för sig vad skillnaden mellan ekvationer och funktioner är. En funktion är, som sagt, en metod att för varje element i någon mängd, tilldela ett element i en annan mängd. En ekvation däremot är ett uttryck på formen f (x) = g(x), där f och g är funktioner. Eftersom h(x) = f (x) g(x) också är en funktion brukar man skriva h(x) = 0 istället. Man kan alltså säga att en ekvation är frågan När är funktionen f lika med 0? Den geometriska tolkningen av vad lösningarna till en ekvation är blir nu enkel: lösningarna är de punkter där grafen till funktionen f skär x-axeln. Lösningarna till ekvationen f (x) = 0 kallas även nollställena till funktionen f.

22 2 Funktioner y x Figur 2.1 Grafen av funktionen f (x) = x(x + 1)(x 1) y x Figur 2.2 Grafen av funktionen f (x) = 1 2(x 1)(x 2) 2.3 Linjära funktioner Låt p(x) vara ett polynom i variabeln x. Om vi ersätter x med ett tal och använder räknereglerna vi lärde oss i förra kapitlet får vi ett nytt tal. På detta sätt kan vi alltså se ett polynom som en funktion. Om p(x) är ett polynom av grad 1 brukar man kalla den motsvarande funktionen för en linjär funktion och om p(x) har grad 2 brukar man kalla den motsvarande funktionen kvadratisk. Man kan så klart prata om kubiska och kvartiska funktioner, och så vidare, men vi ska koncentrera oss på de linjära och kvadratiska funktionerna eftersom de är enklast och de som är vanligast i tillämpningar. Ett linjärt polynom har formen p(x) = kx + m. Koefficienten framför x kallas funktionens lutning eller riktningskoefficient. Detta beror på att k talar om hur många steg i y-led man måste ta uppåt om man tar ett steg framåt i x-led. Om k är stort måste man ta många steg uppåt och linjen lutar brant och om k är väldigt litet lutar linjen inte mycket alls. Vi ser exempel på detta i figuren nedan. Om vi stoppar in x = 0 i uttrycket kx + m får vi bara m kvar. Vi kan alltså tolka konstanttermen som den punkt där funktionens graf skär y-axeln. Omvänt kan man vara intresserad av att räkna ut vilken funktion som gett upphov till en viss linje. För detta behöver man kunna räkna ut lutningen (förstagradskoeffi-

2.3 Linjära funktioner 23 y y = 3x + 1. y = 1 3 x x Figur 2.3 Graferna till funtionerna 3x + 1 och 1 3 x. cienten) och konstanttermen. Lutningen är, som sagt, antalet steg man ska ta i y-led för varje steg i x-led. Om vi har två punkter (x 0,y 0 ) och (x 1,y 1 ) kan vi få fram lutningen genom Lutningen k = Antal steg i y-led mellan y 0 och y 1 Antal steg i x-led mellan x 0 och x 1 = y 1 y 0 x 1 x 0. Polynomet som gav upphoov till linjen, p(x) = kx + m, antar ju värdet y 0 då x = x 0. Alltså har vi kx 0 + m = y 0. Men vi har ju räknat ut k och x 0 och y 0 är två givna tal. Alltså kan vi räkna ut m som m = y 0 kx 0. Vi ska illustrera detta med ett konkret exempel. Exempel. Bestäm det polynom som ger upphov till en rät linje som går genom punkterna (x 0,y 0 ) = (1,1) och (x 1,y 1 ) = (2,3). Lösning: Vi vill bestämma lutningen, k, och konstanttermen, m. Vi börjar genom att bestämma lutningen: k = y 1 y 0 = 3 1 x 1 x 0 2 1 = 2 1 = 2. Vi vet nu att polynomet har formen p(x) = 2x + m. Vi vet också att p(1) = 1. Alltså har vi p(1) = 2 1 + m = 1. Om vi löser denna ekvation får vi att m = 1. Alltså är polynomet vi söker p(x) = 2x 1. Som vi har pratat om tidigare, skriver man ibland y = f (x) och kallar y för en beroende variabel. Om f (x) är en linjär funktion brukar man kalla sambandet y = kx + m för räta linjens ekvation. Detta verkar motsäga den distinktion mellan funktioner och ekvationer vi gjorde tidigare, och det är helt riktigt om man faktiskt betraktar y som en funktion av x. Anledningen till att uttrycket y = kx + m fått sitt

24 2 Funktioner namn är att man inte ser y som en funktion av x utan uttrycket y = kx+m som en ekvation i två variabler. Denna ekvation har dock inte en unik lösning, utan en lösning för varje värde på x (eller y). Mängden av alla lösningar till ekvationen y = kx + m (eller, ekvivalent, y kx m = 0) är en linje i planet. Detta förklarar varför inte namnet är så opassande som man först skulle kunna tycka. Antag att vi har fått ekvationen för en linje given, y = kx + m, och att vi vet att punkten (x 0,y 0 ) ligger på linjen. Alltså gäller y 0 = kx 0 + m och därmed y y 0 = kx + m (kx 0 + m) = kx kx 0 = k(x x 0 ). Vi har alltså y y 0 = k(x x 0 ). Detta uttryck kallas enpunktsformen av räta linjens ekvation. 2.4 Kvadratiska funktioner Om p(x) är ett polynom av andra graden kallas den motsvarande funktionen för kvadratisk. Grafen till en kvadratisk funktion kallas en parabel. Vi ser några exempel på parabler nedan. y y = x 2. x y = x 2 + 2x 1 Figur 2.4 Graferna till funtionerna f (x) = x 2 och f (x) = x 2 + 2x 1. Vi ser i figuren ovan att en parabel har en så kallad maximi- eller minimipunkt. En maximipunkt är en punkt sådan att till vänster om punkten är grafen växande och till höger är den avtagande. En minimipunkt definieras på det motsatta sättet: en punkt sådan att till vänster är funtionen avtagande och till höger är den växande. I figuren ovan har y = x 2 en minimipunkt i (0,0) medan y = x 2 +2x 1 har en maximipunkt i (1, 0). Anledningen till att man kallar maximipukter för just maximipunkter är att en kvadratisk funktion antar sitt största värde i den punkten. Självklart har namnet minimipunkter en liknande förklaring. Om x 2 termen har en positiv koef-

2.4 Kvadratiska funktioner 25 ficient så har funktionen ett minimivärde och om koefficienten framför x 2 är negativ har funktionen en maximipunkt. Man kan även se att parabler är symmetriska kring sina maximi- respektive minimipunkter. Med symmetriska menas att om man drar en lodrät linje (d.v.s. en linje paralell med y-axeln) och speglar ena halvan av grafen i linjen så får man andra halvan. Man kan tänka på en spegling som att man lägger en spegel i linjen och tittar på grafens spegelbild. Kommentar Man kan göra samma definitioner av maximi- och minimipunkter för funktioner som inte nödvändigtvis är kvadratiska. Då gäller dock inte att dessa punkter är störst, respektive minst. Däremot är de störst, respektive minst, i ett litet område omkring punkten. Man kallar dem därför istället för lokala maximi- resp. minipunkter. Orden maximi- resp. minimivärde är reserverade för de allra största resp. minsta värdena funtionen tar. Problem av typen Hitta det x som gör att f (x) är så stort som möjligt kallas maximeringsproblem. På samma sätt kallas problem av typen Hitta det x som gör att f (x) är så litet som möjligt för minimeringsproblem. Maximierings- och minimeringsproblem har samlingsnamnet optimeringsproblem. Vi kommer att prata mycket mer om optimeringsproblem när vi kommer till kapitlet om derivata men vi kan redan nu lösa optimeringsproblem om funktionen vi vill optimera är ett kvadratiskt polynom. Om f är en kvadratisk funktion finns det åtminstone 4 olika sätt att hitta f :s maximi- eller minimivärden. Det första är derivering, och det ska vi prata om senare. De andra tre ska vi titta på nu. Exempel (Optimering med hjälp av kvadratkomplettering). Har f (x) = 2x 2 + 2x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det? Lösning: Koefficienten framför x 2 är 2 så f har ett minimivärde. Vi skriver om f som f (x) = 2(x 2 + x + 1). Vi kvadratkompletterar uttrycket i parantesen: ( x 2 + x + 1 = x + 2) 1 2 ( ) 1 2 ( + 1 = x + 1 ) 2 + 3 2 2 4. Eftersom en kvadrat aldrig kan vara negativ antar uttrycket sitt minsta värde då ( x + 1 2 ) 2 = 0, d.v.s för x = 1 2. Då är uttrycket 3 4. Funktionen f har alltså 2 34 = 3 2 som sitt minsta värde. Exempel (Optimering med hjälp av symmetri). Har f (x) = x 2 + 6x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det?

26 2 Funktioner Lösning: Koefficienten framför x 2 är 1 så f har ett minimivärde. Vi gör nu följande observation: Anta att vi har två olika värden x 0 och x 1 sådana att f (x 0 ) = f (x 1 ). Eftersom f är symmetrisk måste minimivärdet ligga mittemellan x 0 och x 1. Alltså är antas f :s minimivärde i x 0+x 1 2 och är f ( x 0 +x 1 ) 2. Vi provar med x = 2 och x = 4. Vi får f (2) = ( 2) 2 + 6 ( 2) + 2 = 6 och f ( 4) = ( 4) 2 6 ( 4)+2 = 6. Alltså antas minimat i x = ( 2)+( 4) 2 = 3 och är f ( 3) = ( 3) 2 + 6 ( 3) + 2 = 7. Exempel (Optimering med hjälp av graf). Har f (x) = 3x 2 + 6x + 2 ett maximi- eller minimivärde? Vilket, och för vilket värde på x antas det? Lösning: Vi ritar grafen: Vi ser att funktionen har maximivärdet 4 som antas då x = 1. y x y = 2x 2 + 4x + 2 Figur 2.5 Graferna till funtionerna f (x) = x 2 och f (x) = x 2 + 2x 1. Exemplen ovan kan lätt lura en att tro att det är betydligt lättare att lösa optimeringsproblem med hjälp av graf än med hjälp av symmetri, vilket i sin tur är mycket lättare än kvadratkomplettering. Detta är inte sant. För att kunna rita grafen behöver man egentligen lösa optimeringsproblemet så detta är egentligen ingen lösning. Det vi gör i praktiken är egentligen att låta en dator eller miniräknare lösa problemet åt oss. Det kan naturligtvis vara praktiskt, men om man har en miniräknare eller dator finns det bättre sätt än att läsa ut maximivärdet ur en graf. I exemplet där vi utnyttjade symmetri behövde vi hitta två värden på x där funktionen antog samma värde. Detta åstadkom vi genom att chansa. Man kan så klart vara ganska duktig på att chansa, men oftast finns det inget som garanterar att man någonsin hittar två x som uppfyller vårt krav. Däremot, om man direkt ser två sådana är så klart den här metoden väldigt effektiv. Den enda metoden vi kan just nu som alltid fungerar är kvadratkomplettering. När vi lärt oss derivera kommer vi att kunna en till.

2.5 Ekvationssystem 27 2.5 Ekvationssystem Om man vill att flera ekvationer samtidigt ska vara uppfyllda får man ett så kallat ekvationssystem. Att lösa ekvationssystemet f (x) = 0 och g(x) = 0 betyder geometriskt att hitta skärningen mellan grafen av f och grafen av g. 2.5.1 Linjära ekvationssystem Den enklaste typen av ekvationssystem är de där alla ekvationer är linjära ekvationer, d.v.s. då man vill hitta skärningen mellan linjer. Sådana ekvationssystem kallas linjära ekvationssystem. Vi ska lära oss två metoder för att lösa linjära ekvationssystem: substutitionsmetoden och additionsmetoden. Exempel (Substutitionsmetoden)). Bestäm skärningen mellan linjerna y = 3x + 2 och y = 5x + 3. Lösning: Vi byter ut y mot 5x+3 i ekvationen y = 3x+2. Vi får då ekvationen 5x+3 = 3x+2. Vi förenklar ekvationen till 2x = 1 och får därmed att x = 1 2. Vi stoppar in x = 2 1 i uttrycket y = 3x+2 och får att y = 2 3 +2 = 1 2. Alltså skär linjen y = 3x+2 linjen y = 5x + 3 i punkten ( 1 2, 1 2 ). y y = 5x + 3 y = 3x + 2 x Figur 2.6 Linjen y = 3x + 2 skär linjen y = 5x + 3 i punkten ( 1 2, 1 2 ). Vi ska nu få se ett exempel med additionsmetoden. Många brukar tycka att additionsmetoden verkar lite krångligare än substitutionsmetoden, men när man blivit van vid att använda är den oftast enklare än substitutionsmetoden och uträkningarna blir tydligare. Exempel (Additionsmetoden). För vilka x och y gäller y = x + 1 och 2y = 3x + 1.

28 2 Funktioner Lösning: Vi börjar med att multiplicera ekvationen y = x+1 med 2 för att koefficienten framför y ska vara samma i båda ekvationerna. Vi får då 2y = 2(x + 1) = 2x + 2. Vi vill alltså lösa ekvationerna 2y = 2x + 2 och 2y = 3x + 1. Vi drar nu ifrån den första av dessa ekvationer från den andra: 0 = 3x + 1 (2x + 2) = x 1. Vi vill nu lösa ekvationen x 1 = 0 som ju har lösningen x = 1. Vi sätter in detta värde på x i uttrycket y = x + 1 och får y = 2. Båda ekvationerna är alltså uppfyllda då x = 1 och y = 2. y 2y = 3x + 1 y = x + 1 x Figur 2.7 Linjen y = x + 1 skär linjen 2y = 3x + 1 i punkten (1,2). 2.5.2 Icke-linjära ekvationssystem Om minst en av ekvationerna i ett ekvationssystem inte är linjär kallas ekvationssystemet icke-linjärt. Icke-linjära ekvationssystem är oftast mycket svårare än linjära ekvationssystem. Ofta är de till och med så svåra att man inte kan lösa dem alls. Då får man använda något som kallas numeriska metoder och en dator eller miniräknare för att få fram en approximativ lösning. Ett exempel på en sådan metod är när du ritar upp två kurvor i din miniräknare och ser när de skär varandra. Det finns dock betydligt effektivare metoder som man får lära sig om man läser lite mer matematik.