Chalmers Institutionen för Teknisk Fysik Göran Wahnström Tentamen i FTF14 Termodynamik och statistisk fysik för F3 Tid och plats: Måndag 9 jan 212, kl 8.3-12.3 i Väg och vatten -salar. Hjälpmedel: Physics Handbook, BETA, Sammanfattning av kursen FTF14 Termodynamik för F3 (utdelat), Chalmersgodkänd räknare. Jourhavande lärare: Göran Wahnström, tel. 772-3634, 76-11523. Bedömning: Varje uppgift ger maximalt 1 poäng. Till detta adderas eventuella duggapoäng. För godkänt krävs 2 poäng (4:a minst 3 poäng, 5:a minst 4 poäng). Lösningar: Anslås på kurshemsidan. Rättningsgranskning: Onsdag 25 jan 212, kl 12:15-13. i S331, 3:e våningen i byggnad Soliden. 1. Man önskar kyla ned en viss mängd heliumgas. Gasen är placerad i en cylinder vars volym kan regleras med en friktionsfri kolv. Från början har gasen trycket 1 kpa och temperaturen 18 C. Den komprimeras därefter till trycket 8 kpa vid konstant temperatur och sedan låter man den expandera adiabatiskt tillbaks till begynnelsetrycket 1 kpa. Båda processerna får antas ske kvasistatiskt och heliumgasen får behandlas som en idealgas med konstant värmekapacitet. (a) Beräkna sluttemperaturen! (b) Skulle sluttemperaturen blivit högre eller lägre om gasen hade varit syre i stället för helium? 2. Två identiska kroppar har från början temperaturen 1 C och befinner sig i en omgivning som håller den konstanta temperaturen 2 C. Med hjälp av värmemotorer och värmepumpar kan man värma upp den ena kroppen ytterligare samtidigt som den andra kroppen avkyls. Vilken är den högsta temperatur som den kropp som värms upp kan uppnå, om inget arbete tillförs utifrån? De två kropparnas värmekapacitet får antas vara konstanta och lika stora och omgivningens temperatur är hela tiden 2 C. 3. Figuren illustrerar en vanlig princip för luftkonditionering i flygplan. Kall uteluft komprimeras adiabatiskt i en kompressor och därefter avger luften värme vid konstant tryck. Slutligen expanderar den adiabatiskt genom en rotor ( Expander ), som dessutom hjälper till att 1
driva kompressorn. Luften kan behandlas som en idealgas med konstant värmekapacitet och kompressionen och expansionen kan antas ske kvasistatiskt. Antag att uteluften har temperaturen -35 C och trycket 3 kpa, att den i kompressorn komprimeras till trycket 2 kpa och att den när den kommer in i kabinen har temperaturen 18 C och trycket 1 kpa. Bestäm det nettoarbete per kilogram luft som krävs för att driva luftkonditioneringsapparaten! 4. För fasta oordnade material har man funnit ett linjärt temperaturbidrag till värmekapaciteten vid låga temperaturer. Detta gäller även för isolatorer. Den gängse förklaringen till detta fenomen är att vissa atomer, eller grupper av atomer, i materialet rör sig mellan två närliggande potentialminima med en viss energiskillnad ɛ. Varje sådan atom, eller grupp av atomer, kan därför approximeras med ett tvånivåsystem med energiskillnaden ɛ. Oordningen medför dock att storleken av energiskillnaden ɛ varierar slumpmässigt för de olika tvånivåsystemen. Antag att sannolikheten att finna ett tvånivåsystem med energiskillnaden ɛ ges av fördelningsfunktion { 1/ɛ om ɛ ρ(ɛ) = /2 < ɛ < ɛ /2 annars där ɛ är en systemberoende parameter. Visa att detta leder till ett linjärt temperaturberoende om kt ɛ! Ledning: Beräkna först värmekapaciteten C V (ɛ) för ett diskret tvånivåsystem med en given energiskillnad ɛ. Teckna därefter medelvärdet av C V (ɛ) med hjälp av ovanstående fördelningsfunktion ρ(ɛ) och visa att av detta följer att värmekapaciteten blir proportionell mot temperaturen om kt ɛ. 5. Neutrinon är en elementarpartikel som saknar elektrisk laddning. Den har halvtaligt spinn och är därför en fermion. Man har länge trott att den är masslös och färdas med ljusets hastighet. Numera är man dock inte lika säker på att den har vilomassan noll och i september förra året rönte det stor uppmärksamhet när ett antal forskare dessutom hävdade att neutrinon kunde färdas fortare än ljuset. Vi ska här dock anta att neutrinon är masslös och rör sig med ljusets hastighet. Den skiljer sig dock från fotonen i åtminstone tre avseenden: i) Den har spinnet s=1/2 vilket betyder att den är en fermion istället för en boson. ii) Antalet neutriner i ett slutet system är konstant (om vi bortser från möjligheten till reaktioner med andra elementarpartiklar). För fotoner gäller att antalet varierar med temperaturen. iii) En neutrino har bara en inre frihetsgrad associerad med spinnet, fotonen har två. Betrakta nu ett system bestående av N neutriner i en behållare med volymen V vid temperaturen T. Bestäm systemets medelenergi (a) i gränsen T, och (b) i gränsen T! 2
ÐÑ Ö ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ò Ö Ì Ò Ý Ö Ò Ï Ò ØÖ Ñ Ì ÒØ Ì ½ ¼ Ì ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ó Ø Ø Ø Ý Ö ÅÒ Ò Ò»½ ¾¼½¾ ½º Ö Ò Ø ÔÖÓ Ò Ö Ú ØØ = 18 C = 291.15 K P i = 8 kpa P f = 1 kpa Ö Ö Ø ÖØØ ÑÔ Ö ØÙÖ Ò P i Ø ÖØØÖÝ Ø Ó P f ÐÙØØÖÝ Øº Î Ö ÐÙØØ ÑÔ ¹ Ö ØÙÖ Ò T f º Á Ò Ø ÔÖÓ Ö Ú Ð Ø Ö ØØ ØØ Ö ØØ PV γ = konstant P γ 1 γ T = konstant γ = c p γ 1 = c p c v = 2 c v γ c p f + 2 ( ) 2 Pi f+2 T f = P f Ö Ð ÙÑ Ö f = 3 Ó Ú Ö T f = 146 º Ö ÝÖ Ö f > 3 Ó Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ð Ö Ö º ¾º Î Ö ØØ = 1 T = 2 Ó Ú Ö ÐÙØØ ÑÔ Ö ØÙÖ Ò T f Ö ÖÓÔÔ º ÒÒ ÓÑÑ Ö ØØ Ú Ö ÓÑ Ø Ö Ø Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò Ó ÖÓÔÔ ÙÒ Ø Ø ÐÐ T º Ö ÖÒ ÚÖÑ Ò Ø Ö ÙÔÔ ÚÖÑ Ò Q A = C( T ) Q B = C(T f ) Ö C Ö ÚÖÑ Ô Ø Ø Òº Ò ÚÖÑ ÓÑ Ú Ø ÐÐ ÓÑ ÚÒ Ò Ò Ö Q = Q A Q B ½
ÒØÖÓÔ ÖÒ Ö Ò Ö S A = S B = T Tf C dt T C dt T = C ln T = C ln T f S = Q T = C 2 T T f T Å Ü Ñ Ð ÐÙØØ ÑÔ Ö ØÙÖ Ö ÐÐ S tot = Ú ÆÙÑ Ö Ø Ö Ö Ò Ö T f = 137 º ln T + ln T f + 2 T T f T = T f = 2 + T [ ln T T f T 2 i ] 1 º P 1 = 3 kpa = 35 C = 238.15 K P 2 = 2 kpa P 3 = P 2 P 4 = 1 kpa T 4 = 18 C = 291.15 K ËØ Ò Ñ ÐÐ Ò ½ Ó ¾ ÑØ Ñ ÐÐ Ò Ó Ö Ø ÔÖÓ Ö Ú Ð Ø ÒÒ Ö ØØ Ú Ö P γ 1 γ T = konstant Ö γ Ö Ò ØÓÑÖ Ð Ö ½º º Î Ö T 2 = T 1 ( P2 P 1 T 3 = T 4 ( P3 P 4 ) γ 1 γ ) γ 1 γ = 49.5 K = 354.9 K Ö Ø Ø Ö ÐÔÖÓ ÖÒ ÓÑÔÖ ÓÒ Ó ÜÔ Ò ÓÒ Ð Ö w comp = c p (T 2 T 1 ) w exp = c p (T 3 T 4 ) ÒÚÒ Ö Ú c p = 1.1 » Ö Ú w tot = w comp w exp = 19 » º º Î Ö Ö Ñ ØØ Ö Ò ÚÖÑ Ô Ø Ø Ò Ö ØØ ØÚÒ Ú Ý Ø Ñ Ñ Ò Ö ÐÐÒ ǫº Ø Ö ÓÑ ÚÖÑ Ô Ø Ø Ò ÒØ ÖÓÖ Ô ÒÓÐÐÒ Ú Ò Ö Ò ØØ Ö Ú Ò Ø ÐÐ ØÒ Ø Ò Ö Ø ÐÐ Ó Ò Ö Ø ÐÐ ØÒ Ø Ø ÐÐ ǫº ØØ Ö Ø ÐÐ ØÒ ÙÑÑ Ò Z(ǫ) = 1 + e βǫ, ¾
Ú Ð Ø Ö Ñ Ð Ò Ö Ò Ē(ǫ) = lnz(ǫ) β = ǫ 1 + e βǫ, Ú Ð Ø Ö ÚÖÑ Ô Ø Ø Ò c v (ǫ) = Ē T = β Ē T β = ǫ 2 e βǫ kβ2 (1 + e βǫ ) 2 Å ÐÚÖ Ø Ö ÚÖÑ Ô Ø Ø Ò ÒÙ Ú ØØ ÙÑÑ Ö Ú Ö ÐÐ ØÚÒ Ú Ý Ø Ñ c v = 1 N = kβ2 ǫ N c v (ǫ) i=1 ( x = ǫ x 2β dx β x = ǫ β 2β dǫρ(ǫ)c v (ǫ) = kβ2 ) 2 e x (1 + e x ) 2 = k βǫ ǫ x ǫ /2 x dx ǫ /2 ǫ 2 e βǫ dǫ (1 + e βǫ ) 2 x2 e x (1 + e x ) 2. Î Ö Ú Ø ØØ βǫ 1 x 1 Ó Ø Ö ÓÑ ÒØ Ö Ò Ò Ö Ò Ø ÑÓØ Ö ØÓÖ ÔÓ Ø Ú Ó Ò Ø Ú µ x Ò Ú Ñ ÓØØ ÑÚ Ø Ö ØØ ÖÒ ÖÒ Ñ ± c v = k βǫ x2 e x dx (1 + e x ) 2. ÁÒØ Ö Ð Ò ÖÓÖ ÒÙ ÒØ ÐÒ Ö Ô Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Ò ÙØ Ò Ö Ò ÓØ ØÑØ Ñ Ò Ó Òص ÚÖ Iº Î Ö ÐÐØ c v = k I = Ik2 T T, βǫ ǫ Ó ÐÐØ Ö ÚÖÑ Ô Ø Ø Ò ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ ÐÐ ÑÓØ Ø ÑÔ Ö ØÙÖ Òº º Ø Ö ÓÑ Ò ÙØÖ ÒÓ Ö ÖÑ ÓÒ Ö ÐÐ Ú ÒÚÒ ÖÑ ¹ Ö Ö ÐÒ Ò Ò n FD = 1 e (ǫ µ)/k BT + 1 Ò ØÓØ Ð Ò Ö Ò Ö Ò Ö Ð Ø Ú Ø ÖÑ ÓÒ Ñ Ò ÒØ ÖÒ Ö Ø Ö Ò Ö ¹ Ú V 4πǫ 3 /(hc) 3 e (ǫ µ)/kbt + 1 dǫ Õº º Ë ÖÓ Ö³ Ì ÖÑ Ð È Ý µº ØØ Ò Ö Ú ÓÑ ÓÑ Ú Ð Ø Ö Ó ØØ Ø ÐÐ ØÒ ØØ Ø Ò Ö ( ) 4πV ǫ 2 ǫ (hc) 3 n FD dǫ g(ǫ) = 4π ǫ2 (hc) 3V
µ Ö T Ö Ú { 1 ÓÑ ǫ < µ(t = ) ǫf n FD = ÓÑ ǫ > ǫ F Î Ð Ø Ö Ó Ò Ö Ò Ð Ö µ T Ö Ú N = ǫ F = ǫf ǫf g(ǫ)dǫ = 4π ǫ3 (hc) 3V F 3 ( ) 3 1/3 ( ) N 1/3 hc 4π V g(ǫ)ǫdǫ = 4π (hc) 3V ǫ4 F 4 = 3 4 Nǫ F n FD e µ/k BT e ǫ/k BT Î Ð Ø Ö N = Ó Ò Ö Ò Ð Ö g(ǫ)dǫe µ/k BT e ǫ/k BT = 4π (hc) 3V eµ/k BT 2(k B T) 3 g(ǫ)dǫǫe µ/k BT e ǫ/k BT = N k BT 2 3! = 3Nk BT