ENVARIABELANALYS NÅGRA EXTRA UPPGIFTER Ärligt talat, så tvivlar jag på att de här kommer att upplevas som mycket lättare än gårdagens, men jag tycker ändå att de är värda att ägna litet tid åt (när man gått igenom de ordinarie övningarna i det röda häftet). Georgi Fredag kl.8- finns jag i D505 (rymmer 50 pers) Arcusfunktioner 5. Visa med figurer varför följande likheter är sanna för alla mellan och. (Varför inte för andra?) Det är lämpligt att dela upp i två fall: 0 resp. 0. arcsin ( ) arcsin arccos ( ) π arccos 6. Samma som föregående, men för nedanstående likheter, som är sanna för alla, även > och < : arctan ( ) arctan arccot ( ) π arccot 7. Förklara varför ½ arccos, 0 arcsin arccos, 0 8. Låt 0 <<och betrakta en rätvinklig triangel med hypotenusa ochenkatetsomär l.e. Vilken vinkel är arccos? Vilken vinkel är arcsin? Uttryck arccos +arcsin sin (arccos ) cos (arcsin ) tan (arcsin ) Potenser och logaritmer. Avgör, med motivering, om följande påstående är sant eller falskt:. Visa att e (ln ) (ln) för alla >0 ln e + ln e ln e + e. För vilka är 4. Bestäm för alla ln ³ e cos < 0? ln lim (ln ) som algebraiska funktioner av, d.v.s. endast med de fyra räknesätten och rotutdragningar, inga trigonometriska eller arcusfunktioner! Hur modiferas resultaten, när <0? 9. Låt >0 och betrakta en rätvinklig triangel med kateter resp. l.e. Vilken vinkel är arctan? Vilken vinkel är arccot? Uttryck arctan + arccot cos (arctan ) sin (arctan ) cot (arctan ) sin (arccot ) som algebraiska funktioner av. Hur modifieras resultaten då <0?
Analys av funktionsgrafer 0. Visa att följande ekvation har eakt en lösning + ln arctan, >. Skissa, med bestämmande av lokala etrempunkter och ev. asymptoter, kurvan y 4. Följande olikhet har en geometrisk tolkning, som bör få dig att genast inse dess riktighet, om du bara tänker på hur grafen y e sett ut alla gånger du sett den uppritad Optimering. Badaren Bosse springer söderut längs en väg parallell med badstranden. En km söderut ligger badbryggan 00 m väster om vägen. Bosse springer 50% snabbare påvägenänidenförrädiskasanden. Vilkenväg (stranden saknar hinder för löpare) skall han springa för att nå bryggan så fort som möjligt? 4. Betrakta figurer bestående av en liksidig triangel ovanpå en rektangel. Bestäm förhållandet mellan rektangelns höjd och bas för den figursomharstörst area för en given omkrets. e >e a + e a ( a), för alla 6 a (a) Försök komma på den tolkningen. (b) Ge någon annan motivering som inte hänvisar till maskinuppritade grafer. 5. En staty är a m hög och står på en b m hög piedestal.hur långt bort från piedestalens fot skall du stå för att statyn skall uppta största möjliga vinkel i din kamera? Anta att kameran hålls c m ovanför marken, att markplanet är helt plant och att c<b.
Implicit derivation 6. En sfärisk ballong pumpas upp med p volymsenheter luft per tidsenhet. Hur fort ökar ballongradien? Det beror naturligtvis på hur stor den redan är ange radiens ökningstakt som funktion av dess aktuella värde. Tidigare utdelad stencil. Kedjeregeln framlänges 7. Givet två tal, a och b, båda 6 0, bildar vi f () arctan a + b b a, 6 b a Visa att derivatan f 0 () faktiskt är oberoende av såväl a som b! 8. Derivera f () arcsin ³ p arcsin och visa speciellt att f 0 () 0för alla med < /
Kedjeregeln baklänges I var och en av nedanstående frågor visas tre integraler. I en av de tre har integralen, så när som på en konstant, formen f (g ()) g 0 () Därför får man en klart lättare integral, om man substituerar Alltså t g () dt d g0 () dt g 0 () d f (g ()) g 0 () d f (t) dt Avgör vilken av de tre har denna form och skriv upp hur integralen ser ut efter variabelbytet. 9. sin cos d sin cos d sin d Primitiva funktioner Bestäm primitiva funktioner till. f () 4 ( + ) Tips: Du kan förenkla en del av arbetet, om du observerar att med t är 4 ( + ) t ( + t). Välj ut och beräkna en av dessa integraler 0 0 e d e d 4. Beräkna 4 ln + d 5. Bestäm e e + d 0. d d d. ln d ln d +ln d 4
Integraler: tillämpningar 6. Beräkna volymen av den kropp som begränsas av det plan och den yta, som genereras, när linjen y och grafen y, 0, roterar kring y-aeln. Linjära diff.ekvationer 7. Ange samtliga lösningar till y 0 (t)+πy(t) c e t + c e t + c e t c,c,c givna konstanter 8. Hitta den funktion y (t), som uppfyller y 00 (t)+4y(t) 0 y (0) y 0 (0) 8 och bestäm det största värdet som y (t) kan anta. 9. Bestäm en funktion y (t) som är definierad och kontinuerlig för alla t, begränsad, samt uppfyller ½, för t>0 y 0 (t)+y(t), för t<0 0. När Sherlock Holmes anlände till gården, höll lord Baskervilles döda kropp temperaturen C. En timme senare hade den hunnit kallna till C. Mästerdetektiven antog att kroppstemperaturens ändringstakt är proportionell mot differensen mellan kroppens och omgivningens temperatur, att omgivningens temperatur varit konstant, 0, hela tiden, samt att lorden varit frisk och feberfri, när han mördades, och lyckades uppskatta när mordet begåtts. Vilken uppskattning får du, om du tillämpar Holmes metod? 5
Olinjära separabla diff.ekvationer. Bestäm den allmänna lösningen till y 0 () K ³+y () K given konstant. Pelle cyklar från Navstad till Däckrunda längs Ekerstigen en sträcka på hela 7 km. Första hälften av vägen håller han jämn fart, 4 km/h, men sedan sätter mjölksyran in och hastigheten börjar avta proportionellt mot den totala tillryggalagda sträckan. Hur lång tid tar det för Pelle att komma fram? (Underförstått är att farten ändrar sig kontinuerligt utan språng.) Gränsvärden, Taylorutveckling. Bestäm 4. Bestäm 5. Bestäm approimationer, lim lim sin lim 0 sin 6. Låt N vara ett positivt heltal. Vad är sin (N) sin ungefär lika med när 0? 7. En pendel svänger i ett vertikalplan. Pendeln har längden L och vi betecknar maimala utslagsvinkeln med θ. Visa att för små utslag är pendelns maimala höjd över jämviktsnivån (avståndet mellan de horisontella linjerna i figuren) ungefär Lθ / 8. Bestäm, utan maskin, ett närmevärde till.00004 med 5 decimalers noggrannhet. (Tips: Det blir relativt lätt att räkna för hand om man observerar att 4 ) 6
Potenser och logaritmer: lösn.. Falskt. Eftersom ln och därmed (ln ) antar alla reella värden, så är påståendet faktiskt ekvivalent med att e för alla. Alternativt kan man tänka på att enklaste tänkbara värde på som man kan sätta in,, ger e 0 ivänsterledetoch0 0 i högerledet. OBS. Blanda inte in ln ln här (ln ) är någonting annat! Skulle man vilja skriva om vänsterledet med utnyttjande av logaritmoch potenslagar så får det bli e (ln ) e ln (ln ) e ln (ln ) ln ln ln ln Arcusfunktioner 5. Att likheterna inte kan vara sanna för andra än, är klart redan från början därför att arccos och arcsin inte är definierade för andra det finns inga vinklar med sin- /cos-värden > eller <. Första likheten: Avsätt talet på y-aeln. Dra en horisontell linje genom den avsatta punkten. Markera dess skärning med enhetscirkeln. Var finns nu vinklarna vars sin-värde är lika med det givna? Vilken av dessa vinklar är den som betecknas med arcsin? Gör nu samma sak med i stället för. Konstatera att vinklarna arcsin och arcsin ( ) alltid är spegelbilder av varandra i -aeln.. ln e ³ e ln / lne 0.5 - -0.5 0 0.5 ln e ln e + ln e + ln e ln e + e e ln e + e ln e + e. För nästan alla. Logaritmen ger negativa värden då argumentet är <, och eftersom eponentialfunktionen är positiv för alla, så har vi att e cos <. Men å andra sidan är logaritmen väldefinierad endast för positiva argument. Eftersom cos 0, är är e cos och därmed e cos 0, men likhet antas för de för vilka cos 0. Alltså: vänsterledet är < 0 för alla utom för ± π, ± π, ±5 π,... då det inte är definierat. 4. ln (ln ) ln (ln ) (ln ) 0, eftersom ln -0.5-6. Utnyttja de två figurerna med enhetscirkeln i Persson&Böiers, sid.8. Men, till skillnad mot där, har du nu i stället för tan resp. cot, medan vinklarna är arctan resp. arccot i stället för. Glöm inte att kontrollera att likheterna stämmer även när tan- /cot-värdena är negativa! 7. Låt θ arcsin. Det gäller π θ π sin θ p cos θ sin θ p (Plustecken p.g.a. att θ ligger i intervallet π, π.) Alltså arccos p arccos (cos θ) som skall vara den vinkel i intervallet [0, π] som har samma cos-värde som θ. Om 0 θ π, d.v.s. 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p arcsin 7
Om däremot π θ 0, så är arccos (cos θ) θ arccos p arcsin för θ och θ har samma cos-värde och det är nu θ som tillhör intervallet [0, π]. 8. Vinkeln mellan hypotenusan och -kateten är arccos, den andra vinkeln som är < 90 är arcsin. 9. arccos +arcsin π sin (arccos ) p cos (arcsin ) p tan (arcsin ) Fallet <0 kan vi återföra till det här med hjälp av resultaten i frågor 5 och 6: arccos ( ) + arcsin ( ) π arccos arcsin π π π igen sin (arccos ( )) sin(π arccos ) sin (arccos ) p q ( ) så även den andra likheten är sann för alla. arctan + arccot π cos (arctan ) sin (arctan ) + + cot (arctan ) sin (arccot ) + Funktionsgrafer: lösn. 0. Betrakta differensen mellan vänster- och högerled: + f () ln arctan Ett tal är lösning till den givna ekvationen om och endast om det är ett nollställe till f (). Men f 0 () + + > 0 för > + Alltså är f () väande för >. Med tanke på att f () ln arctan arctan < 0 lim f () (ty arctan % π +, medan ln % ) så måste grafen av f korsa -aeln eakt en gång.. Polynomdivision (utan uppställning): 4 4 + + ger direkt att y är asymptot när ±. En rationell funktion är definierad och kontinuerlig och begränsad i alla punkter utom i ev. nollställen till nämnaren. Här är det enda nollstället och det kompenseras inte av något nollställe i täljaren, så är en lodrät asymptot. f 0 () 4 4 ( ) 6 4 ( ) 4 ( ) 0 + 4 f 0 + 0 0 + f % 0 & & 4 4 % 4-4 - 0 4 - -4 8
. a) Högerledet är ekvationen för tangenten till y e ipunkten(a, e a ). I alla bilder av grafen y e, som du sett, buktar eponentialkurvan så att den ligger över var och en av sina tangenter det är också det olikheten säger. b) Sätt Optimering: lösn.. Låt v Bosses hastighet i sanden. f () e e a ( a) e a ½ f 0 () e e a < 0, för <a är > 0, för >a Alltså har f minimum i a, d.v.s. f () f (a) 0 med likhet endast för a. Det ger olikheten. Om hanq först springer meter längs vägen och sedan snedar 00 + (000 ) m i sanden rakt mot bryggan, så blir den totala löptiden q.5v + 00 + (000 ) v Vilket gör detta uttryck minimalt? är frågan. Av fysikaliska skäl är det klart att det finns ett minimum i intervallet 0 <<000. Där måste derivatan vara 0. Konstanten v inverkar inte kan brytas ut och strykas. Vidare blir räkningarna enklare, om vi arbetar med s 000 : f (s) 000 s + p 00.5 + s f 0 (s).5 + s 00 + s f 0 (s) 0.5 s 00 + s 00 + s.5 s s 00/.5 79 m Således skall Bosse först springa 8 m längs vägen ochsedansnedainmotbryggan. 4. Låt h rektangelns höjd b triangelns sida Omkretsen Arean L b +h bh + b b b L b + b b 9
Ã! bl + 4 b Ã! bl b 4 {z } >0 Derivera m.a.p. b : Ã! L b 4 Maimum fås då Ã! 4 b h b (b +h) ³ 4 + h b Implicit derivation: lösn. 6. V 4 πr dv 4 dr πr dt dt p 4πr dr dt dr dt p 4πr 5. Låt det horisontella avståndet från kamera till piedestal. Vinkeln är då arctan a + b c arctan b c f () så vårt problem är att bestämma maimum av f () när >0. Sätt b c d och studera derivatan f 0 () + a+d a + d + d d (a + d) +(a + d) + d [gör liknämnigt] + d ³ +(a + d) (a + d) + d d ³ +(a + d) ( + d ) Nämnaren är > 0 så det räcker att titta på täljaren: (d (a + d)) + d (a + d) (a + d) d a + d (a + d)((a + d) d) a + d (a + d) a Den är < 0 för små, > 0 för stora, och 0då p d (a + d) p (b c)(a + b c) vilket alltså ger maimum och är det sökta avståndet. (Kontrollera gärna att svaret har dimensionen längd!) 0
Kedjeregeln framlänges Kedjeregeln baklänges 7. f 0 () 8. +³ a+b b a a + b (b a) +(a + b) a + b (a + b )(+ ) + ³ D arcsin ³ p q D b (b a) (a + b)( a) (b a) ³ p 9. 0. sin cos d sin t cos d dt t dt d t d dt dt t p 4 ( ) p + ( ) 4 +4 4. ln d ln t d dt t dt Vår derivata är alltså 4 +4 4 4 +4 4 Skall det här vara 0, så måste uttrycket inom parenteserna vara 0, d.v.s. 4 +4 4 vilket är ekvivalent med ½ 4 +4 4 > 0 Men detta är ju faktiskt sant då < / < /, d.v.s.
Primitiva funktioner: lösn.. Partialbråksuppdela t ( + t) A t + B t + C +t At ( + t)+b ( + t)+ct Sätt in t 0, så fås B Sätt in t, så fås C Sätt in, t.e. t, så fås A Alltså (sätt nu t i uppdelningen) 4 ( + ) d 4 ( + ) + 4 + + +arctan + C. e är eempel på en funktion vars primitiv inte kan uttryckas med elementära funktioner, se [PB, sid.65]. e däremot går bra, eftersom faktorn är, så när som på en konstant, derivatan av eponenten: 0 e e ( ) De D e X e d lim e d X 0 lim e X X 0 lim X e X + 5. 9 4 4ln ln ( ) + ln ln ln e e t e + d e d dt Partialbråksuppdelning med ansats ger t t + A t + B t + t dt t +t t + dt t ( ln t + ln t )+C ln e + ln e + C ln e + + C Alternativ: Förkorta med e ochkännigenettuttryck av typen f 0 () /f () D ln f () (övn. LTH,5.9c) e e e + d e e + e d ln e + e + C 4. Byt integrationsvariabel först så att integranderna ser enklare ut: + t (t ) t +, 4 t + 4 d (t ) dt 4 ln + d Partiell integration ger nu h i (t ) ln t 4ln ln 4ln ln t + t (t ) ln tdt (t ) t dt dt t t +lnt
Integraler: tillämpningar: lösn. 6. V 0 π dy π 0.8 0.6 y 0.4 0. 0 y 4 dy 5 π - -0.5 0 0.5 - Linjära diff.ekvationer 7. y y h + y p Ae πt + c π e t + c π e t + c π A godtycklig konstant 8. Karaktäristiska ekvationen r +40 har rötterna ±i. Alltså är den allmänna lösningen y (t) A cos t + B sin t Begynnelsevillkoren är uppfyllda omm ½ A B 4 Enligt hjälpvinkelomskrivningen (PB, sid.77), finss vinkel δ, sådan att Härur avläses att 9. Utnyttja att där A cos t + B sin t p A + B sin (t + δ) 5sin(t + δ) y ma 5 y y h + y p, y h (godtycklig konstant) e t (eftersom r + är karaktäristiskt polynom), samt att en ekvation av typen y 0 + ay b, a, b konstanter uppenbarligen har partikulärlöningen y b/a, så fås y (t) ½ Ae t +, t > 0 Be t, t < 0 A, B konstanter Eftersom e t när t, så krävs att B 0, för att funktionen skall vara begränsad. Då är alltså y för alla negativa t, och för att få kontinuitet i t 0, skall Ae t +, när t 0. DetgördetnärA. Svar: ½ e y (t) t +, t 0, t 0
0. Låt y (t) kroppstemperaturen som funktion av tiden t, där t 0 svarar mot tiden för polisens ankomst. Kroppstemperaturens ändringstakt ges av derivatan y 0 (t) och vi antar alltså att y 0 (t) k (y (t) 0), k konstant Kan lösas med y h + y p, eller med integrerande faktor, eller som en separabel ekv., eller genom att betrakta z y 0 som obekant funktion och observera att (y 0) 0 y 0 och utnyttja vad man borde kunna utantill att Inte riktigt nära 4 p.g.a. att 5/ inte är så litet (jämfört med ). Men ta med en term till i utvecklingen av täljaren, ln ( + ) : ln + 5 ln + 5 ln 5 5, 5 5 5 5 4 som skiljer sig från 4 med endast /4! z 0 (t) kz (t) har lösningen z (t) z (0) e kt Alltså (y 0) 0 k (y 0) y 0 ( 0) e kt Vi vet nu att, om vi mäter tiden i timmar, så skall y (), d.v.s. 0 e k e k k ln och söker t sådant att y (t) 7(levande människas kroppstemperatur) 7 0 e kt kt ln 7 t ln 7 ln 4 visar det sig, om man utnyttjar maskin Negativt tal p.g.a. vårt val av nollpunkt. Om vi utnyttjar att ln ln (/), så kan vi formulera svaret: ln 7 / ln timmar före polisens ankomst skulle NN ha mördats, om alla våra antaganden håller. Anm. Jag passar på att visa hur Taylorutveckling skulle kunna utnyttjas till att få ett närmevärde på kvoten: ln 7 ln ln + 5 ln [ln ( + ) ] 5 5 4
Olinjära diff.ekvationer. En separabel ekvation: y 0 +y K dy +y Kd dy +y Kd arctan y K + C y tan (C K), C godt. konst. Gränsvärden, Taylorutveckling approimationer,. För stora har vi och + (/) (/) 0 när, så det hela. Låt t 0svara mot tidpunkten då Pelles fart börjar avta. Sätt s (t) vid tiden t tillryggalagd sträcka. Pelles fart ges då av s 0 (t), alltså skall det enligt förutsättningen gälla s 0 (t) k s (t),t>0, s (0) 6 kkonstant, En separabel diff.ekvation - syns kanske bättre om vi använder det alternativa skrivsättet för derivata: ds dt k s sds kdt sds kdt s kt + C, där C 6 fås ur s (0) 6 Prop.konstanten k kan vi få genom att utnyttja att farten ändrar sig kontinuerligt, alltså 4. 5. sin sin när, eftersom 0 då sin och lim 0 alternativt med Taylorutveckling: sin à B ()! B () sin så sin 0 när 0 k s (0) s0 (0) 4 k 6 4 Frågan är nu: när blir s 7: 7 6 4 t + 6 t ( 6) 6 6 4 6 9 6 4 4 Den andra halvan tar alltså timmar och en kvart. Den första halvan tar 6/4 en och en halv timme. Totalt: tre timmar och tre kvart. 6. sin (N) sin eftersom sin sin (N) N N, N så kvoten närmar sig talet N, när närmar sig 0. 7. Den omtalade höjden är L L cos θ L ( cos θ) L θ +... Lθ ommanendasttarmeddetvåförstatermernaitaylorutvecklingen av cos. 5
8. Sätt in 0 5 i Taylorutvecklingen ( + ) / + + + +... + + 4 5 7 4 + 7 8 5... + 0 5 4 0 0 + 4 6 0 5 + 5 7 8 0 0 + 7 8 0 0 5... + 0 5 0 0 +4 0 5 0 0 0 +... Addera termer så länge de är stora nog att inverka de första 5 decimalerna:.0000.000099998.00009999800004, vilket blir svaret Resterande termer är för små för att vara intressanta. 6