2012 The Mad Mathematician s Mathematic Consultancy Bureau Sebastian Genas Optimering av utklippt vinkel för maximal volym på glasstrut Vilken vinkel ska klippas ut ur en cirkulär skiva papper för att få en så stor volym på konerna som bildas av de utklippta sektorerna som möjligt? Vilken vinkel ska klippas ut för att bilda en glasstrut med rätt proportioner?
Frågeställning Denna undersökning har gått ut på att analysera och komma fram till vilken vinkel som är optimal att från en cirkulär skiva papper klippa ut för att få en så stor volym som möjligt på den strut som bildas av den kvarvarande delen. Ett delmoment i uppgiften består av att forma en kon av även den utklippta cirkelsektorn och bestämma den vinkel som ger den största volymen för båda konerna tillsammans. För att lösa problemen används med fördel flera olika metoder, för noggrannhet och för att få en klarare överblick, och den optimala vinkeln bestämdes med hjälp av praktiska mätningar i utklippta pappersstrutar, genom en grafisk undersökning av maximipunkter i GeoGebra, samt algebraiskt genom derivering och granskning av derivatans rötter. Sammanfattning av resultat Efter fysiska mätningar av papperskoner, grafisk och algebraisk lösning blev resultatet att vinkeln som ger störst volym på den kvarvarande struten är 66. Då det gäller att konstruera koner av både den utklippta delen och den kvarvarande är vinklarna 117 och 243 optimala. Här är det två olika värden då det ena är och det andra, vilket ger två likadana strutpar. Lösning genom fysiska mätningar Detta angrepp på problemet gjordes för att få en ungefärlig bild av hur resultaten skulle se ut, och för att få ett tankegrepp om uppgiften på ett praktiskt sätt. Utgångspunkten var ett antal cirklar med radien på lite tjockare papper som det sedan klipptes ut vinklar med jämna 30- och 45-graders mellanrum upp till 180, då mönstret efter ett halvt varv upprepas med den skillnaden att det blir den utklippta sektorn som blir större än den kvarvarande. För att mäta volymen fylldes de utklippta strutarna med vatten som vägdes med hela grams precision. 180 30 Fig. 1 Till den första uppsättningen mätningar användes vatten som de 16 strutarna fylldes med. Vattnet vägdes sedan för att få värdet på volymen (eftersom ett gram vatten motsvarar en ). 2
Fig. 2 Utrustningen som användes till att bilda konerna. Passaren användes för att rita upp papperscirklarna, och de små papperstrianglarna gjordes som mall för att rita upp vinklar med 30- och 45-graders mellanrum. De fyra första värdena på konerna som bildades av den kvarvarande delen blev ytterst opålitliga, då det var svårt att avgöra var gränsen för högsta vattennivån gick, på grund av ytspänningen som uppstod. Dessutom var de strutarna svåra att fylla då de var så flacka och gjorda av papper, att de tenderade att böja sig av vattnets vikt, vilket gjorde mätningarna än mindre precisa. Dessa faktorer gjorde det nödvändigt att göra om mätningarna på ett noggrannare sätt. När mätningarna gjordes om på nytt användes istället för vatten ris för att fylla strutarna, och för att mäta volymen fylldes först struten till brädden med ris som sedan hälldes över i en skål. Riset i skålen mättes med hjälp av ett 50ml mätglas, med hela milliliters precision. Denna metod gav mycket pålitligare resultat då det i detta fall var mycket enklare att uppskatta när konen var full, det blev ingen böjning av konen och inget spill av vatten. Resultat Utklippt vinkel ( ) Kon1 ( ) Kon2 ( ) Båda konerna ( ) 0 0 0 0 30 118 1 119 45 125 5 130 60 132 8 140 90 130 19 149 120 114 35 149 135 111 43 154 150 100 56 156 180 70 70 140 3
Fig. 3 Punktdiagram för Kon1. De röda kryssen är mätningar som gjordes för Kon2 men som kan användas till Kon1 för att de utklippta sektorerna motsvarar kvarvarande sektorer för v >180. Fig. 4 Punktdiagram för båda konernas sammanlagda volym. De röda kryssen har samma volymvärden som de grå, men omvänt då kurvan för den sammanlagda volymen följer samma mönster efter 180, men tvärtom. Som graferna visar verkar det som om det någonstans runt 60 finns ett maximum i volym för Kon1, och runt 150 och för summan av båda konerna. Det är förstås grova uppskattningar av maxpunkternas värden, men syftet med de fysiska mätningarna var precis att få ett approximativt värde och en överblick. 4
Grafisk lösning genom optimering av graf En grafisk lösning av problemet ger ett precist och överblickbart resultat av uppgiften, men för att kunna lösa uppgiften grafiskt med hjälp av GeoGebra, måste ett uttryck för konernas volym ställas upp. När sedan de essentiella uttrycken hittats skrivs de in som funktioner av vinkeln, och med radien som förändringsbar parameter. För att hitta de punkter där grafen når sitt maximum (inom intervallet 0 < v < 2π) används GeoGebras inbyggda funktion för maxpunkter, där funktion och sökintervall anges. Kon1 Omkrets för Kon1: Radie för Kon1: Höjd för Kon1: ( ) ( ) Konens sida Radien Basytans area för Kon1: ( ) Volym för Kon1: Höjden Basytan Kon2 Omkrets för Kon2: Radie för Kon2: Höjd för Kon2: ( ) ( ) Konens sida Radien 5
Basyta för Kon2: ( ) Basytan Volym för Kon2: Höjden Volym för båda konerna tillsammans: Resultat Som grafen visar har funktionen för Kon1 två maxpunkter, varav den ena är ogenomförbar praktiskt då det syns att den vinkeln är långt över 2π; det är svårt att klippa ut mer än 360 ur en papperscirkel. En avläsning av -värdet för den andra maxpunkten ger dock en optimal vinkel 1.5130 radianer. Fig. 5 Grafen för Kon1. 6
Fig. 6 Vinkeln som bildar den största struten (för Kon1). Fig. 7 Graferna för Kon1 (höger) och Kon2 (vänster). 7
Fig. 8 Grafen för de båda konernas sammanlagda volym (graferna i Fig. 7 summerade). Funktionen där volymerna för Kon1 och Kon2 är summerade visar att det finns två olika optimala utklippta vinklar inom det rimliga intervallet. Den första punkten har vinkeln 2.0358 radianer, och den andra 4.2473. Vi ser här att det andra värdet är, vilket stämmer då de utklippta strutarna blir identiska med de två olika vinklarna. Fig. 9 Vinkeln som ger den största totala volymen för de två konerna. 8
Algebraisk lösning Problemet löstes även på algebraisk väg genom att derivera uttrycken för konernas volym och sätta derivatan lika med 0, för att få fram rötterna och alltså eventuella maxpunkter i uttrycket för volymen. Denna lösningsmetod användes för att säkerställa resultatet från de tidigare metoderna, och för att få ett noggrant resultat. För att få fram uttrycken för volymernas derivator användes sökmotorn Wolfram Alpha som verktyg. Maxvolym för Kon1 ( ) Fig. 10 Grafen för Kon1 och dess derivata. Grafisk kontroll i GeoGebra visar att uttrycket för derivatan verkligen stämmer. Derivatan för volymen av Kon1 sätts lika med 0 för att hitta extrempunkter: 9
Lösning med hjälp av Wolphram Alpha ger (Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet) ( ) ( ) (Oväsentligt då det ligger utanför det undersökta intervallet) För att kontrollera att det vid 66 verkligen finns en maximipunkt, kan en närliggande punkt på grafen för undersökas, om det är en maximipunkt borde volymens värde vara lägre för den närliggande punkten. Detta tyder på att det vid 66 är störst volym för en utklippt strut. Maxvolym för båda konerna ( ) ( ) Fig. 11 Graf för båda konernas volym och dess derivata. 10
Derivatan för summan av de båda konernas volym sätts lika med 0 för att hitta extrempunkter, och förenklas för att underlätta sökandet i W A: ( ) ( ) Nämnarna multipliceras med motsatt term för att få samma nämnare och kunna stryka dessa Faktorerna med kan strykas då det bara är en konstant faktoriseras ut och divideras bort och ger När detta uttryck matas in i W A blir resultatet Alla dessa värden ligger i det tillåtna intervallet, och för att kontrollera ifall dessa är maximi- eller minimipunkter används samma metod som för Kon1. Detta visar att det vid 180 är en minimipunkt och att det vid 117 och 243 är maximipunkter, vilka alltså är lösningar för problemet. 11
Reflektioner kring lösningsmetoderna Att med hjälp av mätningar i riktiga pappersstrutar försöka få ett exakt resultat är så gott som förgäves, men det var som nämnt tidigare inte heller riktigt meningen i denna undersökning, utan mer som ett komplement till mer precisa lösningsmetoder. Att med hjälp av GeoGebra rita upp en graf och beräkna dess maxpunkter och att lösa uppgiften algebraiskt är då bättre angreppssätt. Att lösa problemet grafiskt var det mest effektiva sättet, samtidigt som ett precist svar fås, då det bara var att ställa upp de nödvändiga uttrycken och sedan utföra ett kommando i GeoGebra. Att med algebra lösa uppgiften är förstås snyggare och renare, men ett mycket krångligare alternativ då man måste hålla på med att derivera uttrycken och sedan lösa den ekvationen. Att göra det för hand är oerhört tidskrävande, men att göra det med Wolfram Alpha kan ge krångliga och onödigt invecklade uttryck då sökmotorn inte alltid kan hitta den enklaste formen på lösningen. I undersökningens gång var det något problematiskt att få de algebraiska uttrycken att överensstämma med varandra, men till slut lyckades jag förenkla situationen genom att istället för att mata in hela det långa uttrycket skriva in en förenklad variant utan konstanter, som bara kan läggas på i efterhand. Detta gjorde det möjligt att slutföra processen och få ett svar med precision. Slutsatsen när det gäller lösningsmetoderna är alltså att när det handlar om sådana här långa uttryck är det lättare att lösa det hela genom att rita grafen och endast utföra ett kommando för att få fram svaret. Att med algebra lösa den kan resultera i ett svar i exakt form, men det tar tid och är egentligen oväsentligt i den här typen av problem. Förslag till utökning av problemet: Vilken vinkel ska klippas ut för att få en lagom glasstrut? Frågeställningen som ställdes inför problemlösningen tar upp hur volymen för strutar som klipps ut av papper optimeras, men ingenting specifikt om glasstrutar. Därför följer här en undersökning om vilken vinkel som ska skäras ut ur en cirkulär skiva strutdeg för att bilda en lagom glasstrut av den utskurna delen. Först måste kriterierna för en lagom glasstrut redas ut. En lagom strut är: En strut som har radien glasskulans radie 3cm. Då syns halva kulan och det får plats med en kula till om så önskas. Att strutdegen när struten formas överlappar lite grann och gör konens radie lite mindre är egentligen bra, då syns kulan mer och glassen ser större ut. Dessutom vill man helst äta av glassen ett tag innan man börjar knapra på struten. En strut som är tillräckligt hög för att sitta bra i handen. Om man ser på strutar i glasskiosker är höjden på dem ungefärligen 15cm. En strut med de proportioner att det går att tillverka så många strutar som möjligt på så lite cirkulär strutdeg som möjligt. Det är därför önskvärt att kunna skapa fyra eller fem strutar av en skiva deg. 12
Radien och den utklippta vinkeln måste alltså bestämmas för att bilda en strut enligt dessa krav. Vi har konens radie given, samt konens höjd (på ett ungefär), vilket medför att vi kan räkna ut cirkelns radie med hjälp av Pythagoras sats (cirkelns radie är konens sidolängd). Så cm För att få fram vilken vinkel som ger en bra strut sätts det vi vet, radie, in i uttrycket för omkretsen för Kon2 och konens önskade Det betyder att det går att skapa cirka fem stycken strutar ur en cirkulär skiva strutdeg med radien 15.3 cm. För att degen ska gå jämnt ut måste varje strut skäras med vinkel, vilket endast påverkar strutens proportioner marginellt. 13
Referenser Wolphram Alpha, sökning på derivative of (x² sqrt(1 - x² / (4π²))). Hämtad 2012-06- 03 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%28x²+sqrt%281+- +x²+%2f+%284π²%29%29% Wolphram Alpha, sökning på derivative of ( π - x)² sqrt(1 - ( π - x)² / (4π²)). Hämtad 2012-06-03 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=derivative+of+%282%cf%80+- +x%29%c2%b2+sqrt%281+-+%282%cf%80+- +x%29%c2%b2+%2f+%284%cf%80%c2%b2%29%29 Wolphram Alpha, sökning på 0=(r³ ( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²)) / ( 4π² sqrt((4π - x) x)). Hämtad 2012-06-03 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3d%28r%c2%b3+%282%cf%80+- +x%29+%283x%c2%b2+- +12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29%29+%2F+%2824%CF%80%C2%B2+s qrt%28%284%cf%80+-+x%29+x%29%29 Wolphram Alpha, sökning på 0=( π - x) (3x² - 1 π x + 4π²) sqrt(4π² - x²) + (8π² x - 3x³) sqrt((4π - x) x). Hämtad 2012-06-03 från http://www.wolframalpha.com/input/?i=0%3d%282%cf%80+- +x%29+%283x%c2%b2+- +12%CF%80+x+%2B+4%CF%80%C2%B2%29+sqrt%284%CF%80%C2%B2+- +x%c2%b2%29+%2b+%288%cf%80%c2%b2+x+- +3x%C2%B3%29+sqrt%28%284%CF%80+-+x%29+x%29 John Dahlberg, muntlig kommentar. 2012-05-24 14