Mer om analytisk geometri

1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare i kursen om linjär algebra Vi börjar med -matriser och definerar då En permutation av element är ett sätt att ordna talen Tex är alla permutationer av tre element följande: Definition: Determinanten av en -matris är en summa där varje term är Vi låter summan fortsätta tills vi har gått igenom alla permutationer av tre tal och varje gång vi byter plats på två av talen i permutationen så ändrar vi tecken Egentligen kan man få permutationen från på många olika sätt genom att göra succesiva platsbyten men hur man än gör så får man samma tecken ovan Samma definition fungerar för -matriser För att beräkna en determinant kan man också utveckla längst en rad eller en kolonn Vi börjar med teckenschemat som vi får genom att starta med i längst upp till vänster och sedan ändrar vi tecken varje gång vi förflyttar oss ett steg höger eller ner Låt vara den matris man får om man stryker rad och kolonn från matrisen som består av talen Säg att vi väljer att utveckla längst den tredje kolonnen Vi parar då ihop tal från matrisen determinanter av och tecken från ovanstående matris och får då följande formel: Det finns också en regel som är giltig enbart för -matriser som heter Sarrus regel Se sid 580 i Adams eller http://enwikipediaorg/wiki/rule_of_sarrus

2 Onsdag v 5 ex (Example 2) Beräkna Denna determinant kan beräknas genom att utveckla längst den andra raden Vi får då Definition: Låt vara en funktion från till eller till Vi säger att är linjär om för alla och Övning: Visa att följande två egenskaper tillsammans är ekvivalenta med ovanstående: 1) för alla 2) för alla ex Några linjära funktioner är tex speglingar translationer skalningar och rotationer En linjär funktion är tex projektioner på koordinataxlarna dvs Determinantens egenskaper: För att förkorta vårt skrivsätt kommer vi att skriva då vi avser determinanten av matrisen vars rader är vektorerna och Vi har följande egenskaper 1) Om vi byter plats på två av raderna så byter determinanten tecken tex Alltså är determinanten noll om två av raderna är lika: 2) Funktionen är linjär i var och en av de tre variablerna Tex Alltså kan vi addera en multipel av en radrad till en annan utan att påverka determinantens värde: Nyfikna läsare kan själva kontrollera med definitionen att dessa egenskaper gäller Orientering i rummet: Antag att är tre vektorer som inte ligger i ett plan Vi kan då sätta in tre koordinataxlar längst dessa Det vanliga koordinatsystemet hör ihop med standardbasen Vi säger att är en bas eller ett koordinatsystem För att definera orientering av ett koordinatsystem så måste även vi hålla koll på ordningen av de tre vektorerna

3 Onsdag v 5 Intuitiv definition: Koordinatsystemet har positiv orientering om en vektor måste vridas moturs (betraktat från spetsen av ) från till i planet som innehåller dessa två vektorer då vridningen löper genom den kortaste vägen (högst ett halvt varv) Orienteringen är negativ om rotationen sker medurs Vi vet att denna definition har en mening eftersom vi har alla bott i Rigorös definition: Koordinatsystemet och negativ om i minst 18år!! har positiv orientering om Den enda nackdelen med den rigorösa definitionen är att den inte ger lika mycket geometrisk inblick ex Systemet har positiv orientering men och har negativ orientering Allmänt gäller det att om man byter ordning på två av vektorerna eller byter tecken på en av dem så ändras orienteringen Detta ger att om man permuterar cykliskt dvs flyttar sista elementet först eller första sist så ändras inte orienteringen Tex är positivt orienterat ex Adams (och många andra) definerar positiv orientering på ett lite flummigt sätt; Koordinatsystemet är positivt orienterat om systemet (på höger hand) kan vridas så att det överlappar det förstnämnda Systemet är negativt orienterat om samma sak gäller för vänster hand Ett annat sätt att bilda sig intuition är att är positivt orienterat om följande gäller: Om man vrider en (normal) skruv från till (med en vinkel på mindre än ) så förflyttas skruven längst med den positiva -axeln Kryssprodukt: Till skillnad från skalärprodukt är kryssprodukten eller vektorprodukten en operation som tar två vektorer och ger en ny vektor Alltså: kryssprodukten av två vektorer och är en vektor som vi skriver Definition: För två vektorer vars mellanliggande vinkel är låt vara den unika vektor som uppfyller 1) 2) 3) är positivt orienterat Vi definerar då För att göra denna definition bör vi motivera att det finns en unik vektor med dessa egenskaper Om någon av och är noll så är och vi bryr oss inte om villkor 3) Annars gäller det att villkor 2) är ett linjärt ekvationssystem med två ekvationer och tre variabler (komponenterna av ) Detta system kommer ha exakt en fri variabel eftersom inte är parallell med Alltså är lösningsmängden en linje Två av punkterna på denna linje uppfyller villkor 1) och bara en av dem uppfyller villkor 3)

4 Onsdag v 5 Vi ser att och direkt från villkor 1) Pga det första exemplet ovan ser vi också att och Alltså kan vi beräkna kryssprodukten för alla kombinationer av För att kunna beräkna produkter av heltal måste man kunna multiplikationstabellen På samma sätt måste man kunna denna multiplikationstabell för att kunna beräkna kryssprodukter För att förstå kryssprodukten bättre inför vi den så kallade skalära trippelprodukten Definition: Den skalära trippelprodukten av tre vektorer är Parallellepipeden som spänns upp av vektorerna och är skev version av ett rätblock så att fyra av hörnen är och Sats (Parallellepipedens volym): Låt vara volymen av rätblocket ovan och vara orienteringen av dvs Då är och Bevis: Om de tre vektorerna ligger i ett plan så är båda sidor noll eftersom är vinkelrät mot detta plan Annars beräknar vi volymen Observera att på grund av areasatsen Antag att är vinkeln mellan och Då är Tecknet av beror på om vinkeln är spetsig eller trubbig Alltså är Det återstår att bestämma tecknet; På grund av determinantens två egenskaper kan vi flytta vart vi vill så länge vi inte passerar planet utan att ändra tecknet av På andra sidan av planet ändras dock detta tecken (också pga determinantens egenskaper!) Antag nu tex att Då vet vi att Enligt definitionen av kryssprodukt så är Alltså ligger och på samma sida så dvs Om istället så är så och ligger på olika sidor och då är QED Lemma 1: Låt och vara två vektorer Om för så är Bevis: Observera att På samma sätt är och Sats: Vektorprodukten lagen är linjär i båda variabler Speciellt gäller den distributiva Bevis: Vi nöjer oss med att bevisa det andra påståendet ty det är inte långt ifrån Enligt lemmat räcker det att visa att där är en godtycklig vektor Satsen om parallellepipedens volym ger att cykliska permutationer ej påverkar skalär trippelprodukt eftersom de varken ändrar eller Vi får därför där vi har använt distributiva lagen för skalärprodukt (denna är mycket lättare att bevisa)

5 Onsdag v 5 Denna sats ger ett effektivt sätt att beräkna kryssprodukter Det gäller att där högerledet inte är en riktig determinant men beräknas som om det vore en Vi kontrollerar att detta stämmer: För att kolla att detta stämmer sätter vi in i vänster led och motsvarande för Vi använder sedan att kryssprodukten är linjär och att etc Sedan är det bara att jämföra med determinanten i högerledet Övning: Gör detta ex Beräkna Metoden ovan ger att vi bara behöver beräkna följande formella determinant: *Följande lemma och sats är frivillig läsning* Lemma 2: Antag att och är linjära funktioner så att Då är för alla vektorer Bevis: Eftersom får vi att Sats (Determinant är Skalär trippelprodukt): Låt vara godtyckliga vektorer Då är Bevis: Både högerled och vänsterled är linjära funktioner i var och en av de tre variablerna; För vänsterledet följer detta från att både skalärprodukten och kryssprodukten är linjära i båda sina variabler På samma sätt som i lemma 2 får vi nu att för alla om vi lyckas visa det för specialfallet där Låt vara orienteringen av och vara volymen av motsvarande parallellepiped Det finns två fall: Fall 1: Talen är alla olika Då är Enligt satsen ovan är VL så vi vill visa att Om så är båda sidor Annars måste vi göra ett antal parvisa platsbyten på raderna tills detta gäller men varje gång vi byter plats på två rader ändras både tecknet av determinanten och orienteringen Fall 2: Två av talen är lika Då är alltså är VL Då en av raderna i determinanten upprepas gäller också att