M12 Mekanikens grunder Steg 2 Krafter och moment

M12 Mekanikens grunder Steg 2 Krafter och moment Namn: Kurs: Datum: Lektion 1:

2 Mekanikens grunder Kraft Exempel 1 Ex. 1 Rymdfärjan Columbus har just placerat ut den sista satelliten för denna gång och skall nu ges en acceleration på15 m/s 2. Hur stor kraft måste raketmotorn avge om rymdfärjans massa är 18 ton? Givet: Accelerationen = 15 m/s 2 Massan = 18000 kg Sökt: Hur stor kraft från raketmotorn? Lösning: Kraftekvationen : F m a (1) Numeriskt : (1) ger: F 18000 15 270000 N Rimligt? : Ja SVAR: Raketmotorn måste ge en dragkraft på 270 kn. Rita själv en figur här ovan och rita också in en kraftpil. Lektionsuppgifter 1201. En tegelsten med massan 5 kg ligger på marken. Beräkna tyngdkraften och rita in den som en kraftpil i din figur. SVAR: 49,1 N 1202. En kälke befinner sig på en mycket hal is (friktionen kan försummas). Du vill ge den en acceleration på 1,5 m/s 2. Hur stor kraft måste du knuffa på med om kälken väger 80 kg? SVAR: 120 N

Krafter och moment Steg 2 3 1203. Rymdfärjan i exempel 1 skall bromsas in med retardationen 0,75 m/s 2, hur stor kraft måste bromsraketen avge? Rymdfärjans massa var 18 ton. SVAR: 13,5 kn Exempel 2 Ex. 2 Två lådor ligger på varandra. Den undre väger 150 kg och den övre väger 75 kg. Hur stor är den sammanlagda tyngdkraften? Givet: Massa 1 = 150 kg Massa 2 = 75 kg Tyngdfaktorn g = 9,82 m/s 2 Rita in totala tyngdkraften som en streckad kraftpil! Sökt: Sammanlagda tyngdkraften. Lösning: Tyngden (G) : Numeriskt : G m g (1) G 2 (1) ger: G 1 150 9,82 1473 (N) (2) (1) ger: G 2 75 9,82 737 (N) (3) G 1 Totala Tyngdkraften blir då : G1 G2 1473 737 2210 Gtot (N) Rimligt? : Ja SVAR: Sammanlagda tyngdkraften blir 2210 N. Lektionsuppgifter forts. 1204. En balk ligger upplagd på två stöd. Balken är 4 meter lång. På den vänstra halvan ligger tegelstenar tätt travade till en höjd av 1 meter och en meter från högra sidan står en man. Rita två figurer, en med tegelstenar och gubbe och en med kraftpilar. Beräkna tyngdkrafternas storlek. Tegelstensmuren väger 200 kg/m och mannen 75 kg. SVAR: Murens tyngd är totalt 3928 N vilket motsvara 1964 N/m, Mannens tyngd är 737 N.

4 Mekanikens grunder 1205. Din lillebrors tivoliballong (vätgasballong) är fastknuten i en sandlådehink. I hinken finns sand och tillsammans med hinken själv är den totala massan 0,68 kg. ballongens lyftkraft är 3,6 N. Beräkna totala tyngden, (hink med sand). Rita in kraftpilar, tre stycken. SVAR: 3,08 N riktad nedåt. 1206. Lillebror tömmer hinken. Hinken har massan 0,3 kg. Beräkna total tyngden och rita figur med kraftpilar. Varför gråter lillebror? SVAR: 0,65 N riktad uppåt.

Krafter och moment Steg 2 5 Kraftmoment Lektion 2:

6 Mekanikens grunder Exempel 3 Ex. 3 Topplocksbultarna på en bilmotor skall dras med ett vridmoment på 100 Nm. Hylsnyckelskaftet är 0,5 m hur stor kraft erfordras? Givet: Moment M A = 100 Nm Momentarm (r) = 0,5 m Sökt: Erforderlig kraft F. Lösning: Momentet : MA F r (1) (1) ger: Numeriskt : F MA (2) r Rita själv figuren! (2) ger: 100 F 200 (N) 0,5 (3) Rimligt? : Ja SVAR: Den erforderliga kraften är 200 N.. Lektionsuppgifter forts. 1207. För att lossa en mutter erfordrades ett moment på 120 Nm. Hur stor hävarm behöver du om du bara orkar dra med 400 N? SVAR: 0,3 m 1208. På äldre segelfartyg hade man ankarspel (för att hissa ankaret) som drevs av människokraft. Flera sjömännen hjälptes åt genom att trycka sig mot sin spak och med stor möda vrida det stora spelet runt. Hur stort vridmoment kan 6 sjömän åstadkomma om de var och en orkade trycka med 700 N och

avståndet in till centrum var 1100 mm? SVAR: 4,62 knm Övningsuppgifter (G) Krafter och moment Steg 2 7 1209. En satelit som svävar i tyngdlöshet väger 180 kg dess position skall justeras och därför beslutar man att accelerera sateliten under några sekunder för att ge den en lämplig hastighet. Accelerationen skall vara 2,0 m/s2. Hur stor kraft måste raketmotorn avge? SVAR: 360 N 1210. På en låda står en hink. Lådans tyngdkraft är 1500 N. Hur många kg måste man lägga i hinken för att totala tyngdkraften skall bli 1650 N? (Försumma hinkens egenvikt) SVAR: 15,3 kg 1211. Ett maskinfundament som vilar på luftkuddar väger 2500 kg. Du skall ge det en acceleration på 0,1 m/s2. Hur stor kraft måste du använda? SVAR: 250 N 1212. En finlandsfärja har massan 40000 ton. En vindstilla dag får du för dig att försöka rubba färjan där den ligger förtöjd vid kaj med slacka tampar. Du orkar uppskattningsvis åstadkomma en kraft på ca 4500 N genom att ställa dig på en av förtöjningarna. Kommer du att lyckas och med vilken acceleration kommer färjan att röra sig? SVAR: 0,0001125 m/s2 1213. En varmluftsballong förankrad vid marken har en lyftkraft på 6000 N. Egenvikten är 300 kg och lasten 175 kg. Hur stor kraft är det i förankringslinan? SVAR: 1336 N 1214. Du har lovat hjälpa till med att byta till vinterhjul på familjens bil. Glad i hågen tar du dig ann uppgiften men det visar sig att du inte orkar lossa hjulmuttrarna med den nyckel som ligger i bilen.

8 Mekanikens grunder Hur gör du för att öka din vridkraft? 1215. När du till slut lyckas lossa en mutter har du använt 50 kg med en nyckellängd på 0,5 m. Hur stort vridande moment behövdes? SVAR: 245,5 Nm 1216. På din cykel sitter pedalen med 20 cm hävarm. När blir momentet som störst och hur stort, om du väger 65 kg? SVAR: 127,7 Nm 1217. Test Om du vet svaren på följande frågor kan du gå vidare till VG-nivån. Svaren får du av din handledare! 12G1 Vilken enhet har kraft? 12G7 Vilken bokstav betecknar vridmoment? 12G2 Med vilken bokstav betecknas kraft i allmänhet? 12G8 Nämn två sätt att öka det vridande momentet! 12G3 Vad kan man göra med en kraft? 12G9 Hur räknar man ut momentet? 12G4 Hur ritar man en kraft i figuren? 12G5 12G6 Vilka krafter får man addera utan vidare? Hur kan man åstadkomma vridning? 12G10 Vilken enhet har moment? 12G11 Vad menas med ett vridmoments riktning? Teori del

Storheter och enheter Vi använder oss genomgående av SI-systemets storheter och enheter. Krafter och moment Steg 2 9 Ex. på namn på storheter är längd, massa, kraft och varje storhet har också en bokstav eller storhetsbeteckning, exempelvis m för massa och F för kraft (G för tyngdkraft). Enheterna har på motsvarande sätt både namn och beteckningar, exempelvis kg för kilogram och m för meter. Två sätt att skriva samma sak: storhet Enhetsbeteckning Storhetsbeteckning mätetal Massan = 24 kilogram eller m = 24 kg mätetal enhet Mer om krafter Vi skall utvidga resonemanget om tyngdkraften till att gälla krafter i allmänhet. Kraft Storheten kraft är av fundamental betydelse inom mekaniken. En uppfattning om vad kraft är får man, då man håller en kropp upplyft. Den attraktion, som jorden utövar på kroppen, tyngdkraften, ger upphov till en muskelansträngning, när vi på detta sätt hindrar kroppen från att falla till marken. Vår muskelkraft håller jämvikt med tyngdkraften. Om vi uppfattar tyngden som en kraft, kan vi definiera storheten kraft på följande sätt: En kraft är varje påverkan på en kropp som kan hålla jämvikt med tyngdkraften eller andra krafter. Ett alternativt sätt att definiera storheten kraft framgår av följande resonemang. Om en kropp släpps från en viss höjd över marken, kommer den att utföra en rätlinjig rörelse med ökande hastighet. Orsaken till denna accelererade rörelse är jordens dragningskraft på kroppen. Kraften ger sig tillkänna genom sin accelererande verkan på kroppen. Definitionen blir följaktligen: En kraft är den enda storhet som kan orsaka hastighetsändring (acceleration).

10 Mekanikens grunder Enheten för kraft är enligt SI-systemet 1 newton (N). Som exempel på krafter kan också nämnas sådana reaktionskrafter och friktionskrafter, som uppkommer i kontaktytan mellan två kroppar, dragkrafter i linor, drag och tryckkrafter i stänger, tryckkrafter från gaser och vätskor, magnetiska och elektriska krafter. Om vi vill räkna ut den kraft som behövs för att ge en kropp en viss acceleration måste vi också känna till kroppens massa. Den almänna kraftekvationen skrivs: F m a Jämför med tyngdkraften : G m g Tyngdkraften beteknas med G men krafter i största almännhet betecknas me F (force). Kraftpil Skalär En storhet som är fullständigt bestämd av sin storlek (mätetal och enhet) kallas skalär. Exempel på skalärer är tid, temperatur, längd, yta, volym, massa. Vektor Längd = storlek En storhet, som för att fullständigt definieras måste anges med såväl storlek som riktning kallas vektorstorhet eller kortare, vektor. Till sådana storheter räknas förflyttning, hastighet, acceleration., kraft etc. Man kan åskådligöra en vektor geometriskt med en pil. Pilens längd anger vektorns storlek i en viss skala och pilspetsen dess riktning. Är exempelvis vektorn en kraft, kan vi låta en cm av pilens längd motsvara ett visst antal newton, säg 100 N. Kraftskalan anges då på följande sätt: 1 cm = 100 N. Detta läser vi: En cm motsvarar 100 newton. Idealiseringar i mekaniken Vid analytisk behandling av fysikaliska förlopp måste idealiseringar (förenklingar) göras. Härvid ersätts aktuella fysikaliska fenomen och verkliga kroppar med tänkta, förenklade modeller. Man har härigenom möjlighet att bortse från sådana storheter., som obetydligt påverkar de sökta sambanden, men som skulle göra beräkningarna mycket komplicerad eller rent av omöjlig. Man måste givetvis vara säker på, att de beräknade resultaten genom idealiseringarna ej avviker allt för mycket från verkligheten. De modeller (figurer) vi använder vid problemlösning är ofta exempel på förenklingar. Q

Krafter och moment Steg 2 11 Utbredd kraft Den snö som belastar ett hustak är ett exempel på en utbredd kraft. Utbredda krafter brukar betecknas med Q och ritas som många pilar bredvid varandra. Punktkraft Punktkrafter ritas med kraftpilar. Punktkrafter betecknas med bokstäverna F (vilken kraft som hellst), G (tyngdkrafter). I bland väljer man att se utbredda laster som punktlaster och då behåller man beteckningen Q, se figuren till höger. En vanlig förenkling inom mekaniken är att räkna med punktkrafter trots att alla belastningar i verkligheten är utbredda. Den belastning som en person stående på ett tak utgör, förenklas ofta till en punktbelastning trots att personen har två fötter. En sådan punktkraft betecknas med F. Q

12 Mekanikens grunder Grundsatser för krafter När vi studerar krafters verkan på en partikel eller på en stel kropp, bygger vi upp våra teorier på två grundsatser. Dessa satser är axiom, dvs. de kan ej bevisas utan grundar sig på erfarenhet. De lagar som formuleras med hjälp av dessa grundsatser är således fysikaliskt giltiga i samma utsträckning som axiomen. Vi skall först redovisa dessa två grundsatser samt därefter härleda en viktig följdsats för stela kroppar. Sats I Två krafter som angriper i en och samma punkt kan samansättas enligt parallellogramsatsen. Parallellogramsatsen lyder: Resultanten F R till två krafter F 1 och F 2 som angriper i samma punkt, är diagonal i den parallellogram som kan bildas med F 1 och F 2 som sidor. Konstruktionen framgår direkt av figur M12-1 Resultanten F R är i det här fallet en kraft, som har samma verkan som krafterna F 1 och F 2 dvs. är utbytbar med dessa. Krafterna F 1 och F 2 benämns komposanter. Fig : M12-1 Fig : M12-2 F 1 F R F 2 Sats 2 Två lika stora och motriktade krafter, som verkar utefter samma verkningslinje, upphäver varandras verkan på en stel kropp. Se figur M12-2 Med hjälp av sats 2 kan vi omedelbart härleda en viktig följdsats: Sats 3 En kraft kan förskjutas utefter sin verkningslinje utan att dess verkan på en stel kropp förändras.

Krafter och moment Steg 2 13 Med andra ord det spelar ingen roll om vi skjuter på eller drar bilen i ett rep när den behöver hjälp till verkstaden! Summering av krafter Som du redan lagt märke till kan krafter som är riktade åt samma håll summeras genom vanlig addition. Men om krafterna är riktade åt olika håll måste vi göra på ett annat sätt. Grafisk metod Sats 3 ovan betyder att vi kan flytta kraftpilar framåt eller bakåt, vi kan alltså ordna dem så att de startar i samma punkt se Figur M12-4. Fig : M12-4 Fig : M12-5 F 1 Verknings -linje F 1 F R F 2 F 2 Nästa steg är att rita en parallellogram enligt Figur M12-5. Om vi ritar noggrant och med kraftskala kommer vi att kunna mäta resultantens längd och med hjälp av kraftskalan räkna ut resultantens storlek. Det är det som kallas summering av krafter med grafisk metod.

14 Mekanikens grunder Kraftpar och Moment Om du varit med om att byta hjul på en bil har du kanske använt ett så kallat fälgkors för att lossa respektive dra åt hjulmuttrarna, ett verktyg som används som på bilden. Bild: M12-6 På ena sidan trycker man och på andra drar man. Resultatet blir en vridkraft på muttern. Två krafter som hjälps åt på detta vis kallas för ett kraftpar och vridkraften kallas med ett annat ord för moment. Ett moment kan också åstadkommas som nästa bild visar. Bild M12-7 Alla som har bytt hjul på en bil vet att man måste lossa muttrarna som håller fast hjulen innan man hissar upp hjulet med domkraften. Om man glömmer det och ändå försöker vrida loss en av muttrarna kommer hela hjulet att snurra trots att du vrider på en av muttrarna. Resultatet blir det samma oavsett vilken mutter du försöker lossa. Förklaringen är att inte bara muttern utan även hjulet utsätts för ett moment. Vi återkommer till detta längre fram.

Krafter och moment Steg 2 15 Övningsuppgifter (VG) 1218. Beräkna resultanten och rita ut den till höger! 12 N 5 N 1219. Beräkna resultanten och rita ut den till höger! 12 N 5 N 1220. Beräkna resultanten och rita ut den till höger! 12 N 5 N 1221. Sök resultanten till följande krafter! 60 N 90 N 120 N 1222. Sök resultanten till följande krafter! 100 N 80 N 40 N 90 N 1223. Sök resultanten till följande krafter! 55 N 72,5 N 22 N 31,4 N

16 Mekanikens grunder 1224. Två lådor med massorna m 1 = 30 kg och m 2 = 80 kg är upphängda i en lina enligt figuren. Hur stor kraft verkar vid linans A infästning A? m 1 SVAR: 1081 N m 2 1225. Tre lådor med massorna m 1 = 10 kg, m 2 = 20 kg och m 3 = 30 kg är upplagda på ett bord. Hur stor kraft verkar på bordet? m 1 m 2 m 3 SVAR: 590 N 1226. Beräkna momentet på grund av kraftparet i figuren. 1 kn 1 m 1 kn SVAR: 1 knm

Krafter och moment Steg 2 17 Självtest (VG) Vilken enhetsbeteckning har newton? Hur räknar man ut F? Hur räknar man ut ett kraftmoment? Hur många newton är 1 kn? Vad betyder begreppet momentarm, kan du ange ett annat ord?. Vad menas med idealisering inom mekaniken?. Vad menas med en krafts verkningslinje? Om du adderar två komposanter, vad får du då? Vad är skillnaden mellan en vektor och en skalär storhet? Vad innebär förskjutningssatsen? Nämn några vektor-storheter. Ge exempel på utbredda krafter. Ange några exempel på skalära storheter. Hur kan jag påstå att punktkrafter egentligen inte finns? SVAR till uppgifter på sidan 15 1217: 7 N riktad åt höger. 1218: 17 N riktad åt vänster. 1219: 17 N riktad åt höger. 1220: 30 N riktad åt vänster. 1221: 230 N riktad åt höger. 1222: 74,1 N riktad åt vänster.

18 Mekanikens grunder Övningsuppgifter (MVG) Här följer några lite svårare uppgifter att öva på innan du tar dig ann inlämningsuppgift (MVG). 1227. En stång med massan m 1 = 25 kg bär upp en massa m 2 = 50 kg vid B Hur stor kraft F måste utvecklas vid punkten A? A m 1 SVAR: 736,5 N B m 2 1228. Hur stor måste krafterna vara för att momentet skall bli 10 knm? F 0,5 m F SVAR: 20 kn 1229. Bestäm resultanten till krafterna F1 och F2 (grafiskt). Kraftskala: 1 cm = 10 N SVAR: (fråga handledaren) 1230. Bestäm resultanten till krafterna F1 och F2 (grafiskt). Kraftskala: 1 cm = 10 N SVAR: (fråga handledaren) Lycka till!