ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XV. Föreläsning XV. Mikael P. Sundqvist



Relevanta dokument
MA2001 Envariabelanalys

SF1625 Envariabelanalys

LMA222a. Fredrik Lindgren. 17 februari 2014

Envariabelanalys: Vera Koponen. Envariabelanalys, vt Uppsala Universitet. Vera Koponen Föreläsning 5-6

DERIVATA. = lim. x n 2 h h n. 2

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

Läsanvisningar till kapitel 6 i Naturlig matematik. Avsnitt 6.6 ingår inte.

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 17, H15

LMA515 Matematik, del B Sammanställning av lärmål

Lektion 3. Partiella derivator, differentierbarhet och tangentplan till en yta, normalen i en punkt till en yta, kedjeregeln

MA2001 Envariabelanalys

Föreläsning 7. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 13 november 2018

Tavelpresentation - Flervariabelanalys. 1E January 2017

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys

x 2 5x + 4 2x 3 + 3x 2 + 4x + 5. d. lim 2. Kan funktionen f definieras i punkten x = 1 så att f blir kontinuerlig i denna punkt? a.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

2 Funktioner från R n till R m, linjära, inversa och implicita funktioner

Några viktiga satser om deriverbara funktioner.

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

Meningslöst nonsens. December 14, 2014

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

Tavelpresentation. Gustav Hallberg Jesper Strömberg Anthon Odengard Nils Tornberg Fredrik Blomgren Alexander Engblom. Januari 2018

Studietips infö r kömmande tentamen TEN1 inöm kursen TNIU22

MAA7 Derivatan. 2. Funktionens egenskaper. 2.1 Repetition av grundbegerepp

Studietips inför kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Viktiga begrepp, satser och typiska problem i kursen MVE460, 2015.

201. (A) Beräkna derivatorna till följande funktioner och förenkla så långt som möjligt: a. x 7 5x b. (x 2 x) 4. x 2 +1 x + 1 x 2 (x + 1) 2 f.

Kapitel 8. Derivata. 8.1 Inledning till derivata

SF1625 Envariabelanalys

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

SF1625 Envariabelanalys

5. Förklara varför sannolikheten att en slumpvis vald lottorad har 7 rätt är x + x 2 innehåller termen 14x. Bestäm

+ 5a 16b b 5 då a = 1 2 och b = 1 3. n = 0 där n = 1, 2, 3,. 2 + ( 1)n n

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

M0038M Differentialkalkyl, Lekt 16, H15

Kap Implicit givna funktioner

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Modul 2 Mål och Sammanfattning

Matematik 4 Kap 3 Derivator och integraler

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

TMV225+TMV176 Inledande matematik M, TD Sammanfattning. Läsanvisningar inför tentamen.

MVE035. Sammanfattning LV 1. Blom, Max. Engström, Anne. Cvetkovic Destouni, Sofia. Kåreklint, Jakob. Hee, Lilian.

Modul 1 Mål och Sammanfattning

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

Teorifrå gor kåp

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Envariabelanalys 5B1147 MATLAB-laboration Derivator

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING XII. Föreläsning XII. Mikael P. Sundqvist

Kontrollskrivning 25 nov 2013

Läsanvisningar till kapitel

Anteckningar för kursen "Analys i en Variabel"

SF1626 Flervariabelanalys

1.Introduktion i Analys

x 1 1/ maximum

Meningslöst nonsens. November 19, 2014

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

FÖRELÄSNING 2 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Föreläsning 6. SF1625 Envariabelanalys. Hans Thunberg, 9 november 2018

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

Studietips info r kommande tentamen TEN1 inom kursen TNIU22

Maclaurins och Taylors formler. Standardutvecklingar (fortsättning), entydighet, numerisk beräkning av vissa uttryck, beräkning

FÖRELÄSNING 1 ANALYS MN1 DISTANS HT06

Lipschitz-kontinuitet

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Instuderingsfrågor för Endimensionell analys kurs B1

Repetitionsfrågor i Flervariabelanalys, Ht 2009

Flervariabelanalys E2, Vecka 2 Ht08

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Tentamen i Envariabelanalys 1

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys

x +y +z = 2 2x +y = 3 y +2z = 1 x = 1 + t y = 1 2t z = t 3x 2 + 3y 2 y = 0 y = x2 y 2.

= 0 vara en given ekvation där F ( x,

Lektion 6, Envariabelanalys den 14 oktober Låt oss krympa f:s definitionsmängd till en liten omgivning av x = x 2.

Föreläsning 1. X kallas för funktionens definitionsmängd, mängden av funktionens alla värden kallas funktionens värdemängd.

ENVARIABELANALYS, ht 2003 (version 17 nov) Kursansvarig: tel ,

Institutionen för Matematik. SF1625 Envariabelanalys. Lars Filipsson. Modul 1

TNA003 Analys I för ED, MT, KTS

Uppgifter inför KS4 den 11 april Matematik II för CL. SF1613.

MA2047 Algebra och diskret matematik

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Onsdagen den 5 juni, 2013

Välkommen till MVE340 Matematik B för Sjöingenjörer. Kursinnehåll i stora drag. Kurslitteratur MVE Carl-Henrik Fant MV, Chalmers 1

x = a är nödvändigt villkor för deriverbarhet i denna x = a } { f är högerkontinuerlig i punkten x = a } { f är vänsterkontinuerlig i punkten

Ledtrå dår till lektionsuppgifter

UPPGIFTER KAPITEL 2 ÄNDRINGSKVOT OCH DERIVATA KAPITEL 3 DERIVERINGSREGLER

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 12 januari 2005

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Kapitel 5: Primitiva funktioner

R AKNE OVNING VECKA 2 David Heintz, 13 november 2002

Transkript:

Föreläsning XV Mikael P. Sundqvist

Förändring och lutning Till snälla funktioner kan man prata om förändring. Med det menar vi lutningen på den linje som tangerar grafen (se den blå linjen). Den röda och den lila linjen går igenom (a, f(a)) och en annan punkt på kurvan y = f(x). Då den andra punkten närmar sig a tycks lutningen för linjen bättre överens med lutningen för den blå linjen. Den lila linjen har en riktningskoef- y f(a+h) f(a) a a + h x ficient f(a + h) f(a) (a + h) a = f(a + h) f(a) h

Deriverbarhet och derivata Definition 10.1 Antag att f är definierad i en omgivning av a. Om gränsvärdet f(a + h) f(a) lim h 0 h existerar (ändligt!) säger vi att f är deriverbar i a. Själva gränsvärdet kallar vi för derivatan av f i punkten a, och betecknas f (a). Om f är deriverbar i hela sin definitionsmängd så säger vi att f är deriverbar. Funktionen f (det vill säga x f (x)) kallas för derivatan av f. OBS Det förekommer flera beteckningar för derivatan, Df, df dx, d dx f.

Exempel Exempel 10.1 Bestäm derivatan av f(x) = x n, där n = 1, 2,. Exempel 10.2 Funktionen f(x) = x är inte deriverbar i x = 0. y x

Ett monster En kontinuerlig, men ingenstans deriverbar funktion: Magisteruppsats om sådana funktioner. Endast kuriosa?

Vad är detta? Börskursen för ett känt företag.

Höger- och vänsterderivata Högerderivata f + (a) = lim h 0 + f(a + h) f(a) h Högerderivata f (a) = lim h 0 f(a + h) f(a) h OBS Absolutbeloppsfunktionen har alltså både en högerderivata och vänsterderivata i x = 0. Men eftersom de ej är lika så existerar inte derivatan i x = 0.

Exempel Exempel Funktionen f(x) = x 1/3 (definierad även för negativa x!) är ej deriverbar i x = 0. y x

Tangent och normal Tangentens ekvation y y f(a) = f (a)(x a) Normalens ekvation f(a) y f(a) = 1 (x a) f (a) a x Exempel Bestäm ekvationer för tangent och normal till f(x) = x 2 i punkten (2, f(2)).

Deriverbarhet medför kontinuitet Repetition f är kontinuerlig om f(x) f(a) då x a för alla a D f. Detta kan vi skriva som att f(a + h) f(a) då h 0 för alla a D f. Sats 10.1 Om f är deriverbar i en punkt a så är f kontinuerlig i a. OBS Omvändningen gäller inte! Till exempel är f(x) = x kontinuerlig i x = 0 men inte deriverbar i x = 0.

Hjälp av standardgränsvärden Exempel 10.3 Låt oss använda standardgränsvärdet e lim h 1 h 0 h = 1 för att visa att f(x) = e x har derivata f (x) = e x.

Räkneregler med derivata Sats 10.2 Antag att f och g är deriverbara i punkten x. Då är även f + g, f g och f/g (om g(x) 0) deriverbara i x med (f + g) (x) = f (x) + g (x) (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( f f (x)g(x) f(x)g (x) ) (x) =. g g(x) 2 Exempel 10.9 Beräkna D(e x + x 2 ), D(e x x 2 ) och D(e x /x 2 ).

Derivering är linjär! Låter vi g(x) = c, så får vi i regeln för multiplikation att det vill säga D(f c) = D(f)c + fd(c) = cd(f), D(cf) = cd(f). Dett tillsammans med den första regeln ger: D(f + g) = D(f) + D(g) D(cf) = cd(f) Dessa två villkor säger att derivering är en linjär operation, något vi kommer att studera närmare i kursen Linjär algebra.

Kedjeregeln Sats 10.3 (Kedjeregeln) Antag att funktionen g är deriverbara i punkten x och att f är deriverbar i punkten y = g(x). Då är den sammansatta funktionen f g deriverbar i punkten x, och (f g) (x) = f (g(x)) g (x). Anmärkningar Med z = f(y) = f(g(x)) skrivs kedjeregeln ofta dz dx = dz dy dy dx. g (x) i satsen kallas för inre derivata. Exempel 10.10 Beräkna derivatan av e x2 och (4x 1) 2.

Derivata av invers Sats 10.4 Antag att funktionen f är injektiv med invers f 1. Om f är deriverbar i punkten x med f (x) 0, så är f 1 deriverbar i punkten y = f(x) med derivatan (f 1 ) (y) = 1 f (x). Exempel 10.11 (med bonus) Beräkna derivatan av ln x genom att använda inversen. Beräkna derivatan av ln x genom att använda standardgränsvärdet ln(1 + t) lim t 0 t = 1.

Ett avslutande exempel Exempel 10.12 Beräkna derivatan av funktionen f(x) = x x, x > 0. y 1 x