DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHETSLAGAR DIMENSIONSANALYS

DIMENSIONSANALYS OCH LIKFORMIGHETSLAGAR DIMENSIONSANALYS Dimensionsanalys är en metod att reducera antalet variabler (och därmed komplexiteten) i ett givet problem. Ger möjlighet att uttrycka teoretiska eller experimentella resultat på sin allra enklaste och mest kompakta form. Är av speciellt intresse då en fullständig matematisk beskrivning av ett problem inte är känd. Däremot krävs då kunskap om (eller känsla för) vilka storheter som inverkar på problemet. Introducerades (på allvar) av Lord Rayleigh på 1880-talet. Fulländades av Buckingham 1914 (Π-teoremet) och Bridgman 1922. LIKFORMIGHETSLAGAR Dimensionsanalys (eller dimensionsbetraktelse av de ekvationer inkl. randvillkor som beskriver det givna problemet) leder till skalningssamband mellan dimensionslösa storheter. Vid fullständig likformighet kan alla variabler i ett strömningsfall sättas i direkt samband med motsvarande variabler i ett annat strömningsfall. För detta krävs både geometrisk likformighet (samma geometriska form i bägge fallen) och dynamisk likformighet (samma utseende på kraftpolygoner i homologa punkter vid homologa tider). Exempel: Strömningskraft F på en omströmmad kropp vid inkompressibel stationär strömning utan inverkan av fria vätskeytor. F = f(l, V, ρ, µ) F ρv 2 L = g ρv L 2, d.v.s. C F = g(re) µ Ch. 5 Strömningslära C. Norberg, LTH

DIMENSIONSANALYS Hörnstenar (axiom): En fysikalisk storhet beror inte av i vilket enhetssystem dess mätetal uttrycks; inte heller dess matematiska beskrivning. Alla termer i ett matematiskt uttryck måste uppfylla dimensionshomogenitet (PDH); ex. s = s o + V o t + g t 2 /2 [m]. Primära dimensioner, M LT Θ-systemet Primär storhet Primär dimension SI-enhet Massa, m M kilogram, kg Längd, L L meter, m Tid, t T sekund, s Temperatur, T Θ kelvin, K Hastighet, V [m/s] {V } = LT 1 Acceleration, a a = dv/dt {a} = {V }/{t} = LT 2 Kraft, F [N] F = ma {F } = {m}{a} = MLT 2 Skjuvspänning, skjuvkraft per areaenhet τ [N/m 2 = Pa] 1 Pa = 1 N/m 2 = 1 (kg m/s 2 )/m 2 {τ} = ML 1 T 2 Dynamisk viskositet, µ τ = µ du vid plan skjuvströmning i tunn spalt dy {µ} = {τ}/{du/dy} = ML 1 T 2 /T 1 = ML 1 T 1 Specifik värmekapacitet, c p [J/(kg K)] 1 J = 1 Nm = 1 kg m 2 /s 2 {c p } = ML 2 T 2 M 1 Θ 1 = L 2 T 2 Θ 1 Ch. 5.2 Strömningslära C. Norberg, LTH

Π TEOREMET (Buckingham, 1914) Om en fysikalisk process är beskriven som ett matematiskt samband mellan n dimensionsvariabler så kan sambandet reduceras till ett mellan k = n j dimensionslösa variabler, s.k. Π grupper, där j är lika med det maximala antalet variabler som tillsammans inte kan bilda en Π grupp; j är alltid mindre än eller lika med det antal primära dimensioner som uppträder i det ursprungliga sambandet. Ursprungligt dimensionssamband: v 1 = f(v 2, v 3, v 4,..., v n ) Primärt enhetssystem (MLTΘ): ˆv i = v i {M} a i {L} b i {T } c i {Θ} d i Dimensionssamband: ˆv 1 = f(ˆv 2, ˆv 3, ˆv 4,..., ˆv n ) Ursprungliga variabler på dimensionslös form: Π = v α 1 1 v α 2 2 v α 3 3 v α n n = n i=1 v α i i ˆΠ = Π {M} 0 {L} 0 {T } 0 {Θ} 0 Dimensionslöst samband: Π 1 = g(π 2, Π 3,..., Π k ), där k = n j j = dimensionsmatrisens ordning (rank) j = storleken på dimensionsmatrisens största (kvadratiska) underdeterminant, j 4. För bevis, se t.ex. R. L. Panton, Incompressible Flow, 3rd edition, Wiley, 2006. Ch. 5.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

DIMENSIONSANALYS RECEPT 1. Skriv ut och räkna de n variabler som beskriver problemet, dimensionssamband v 1 = f(v 2, v 3,..., v n ). Funktionsvariablerna v 2, v 3,..., v n måste kunna varieras oberoende av varandra. 2. Skriv ut dimensionen för varje variabel i det valda primära enhetssystemet, MLT Θ (rekommenderas) eller F LT Θ. 3. Ta reda på j. Gissa först att j = antalet primära dimensioner och leta efter j variabler som tillsammans inte kan bilda en dimensionslös kombination (Π-grupp). Om inte, reducera j med ett och leta igen, o.s.v. 4. Välj ut j funktionsvariabler som innehåller alla primära dimensioner och som tillsammans inte kan bilda en Π-grupp. Använd om möjligt variabler som kan förväntas ha generell inverkan. 5. Lägg till en extra variabel till de j variablerna enligt punkten ovan och bilda en produkt med faktorer av potenstyp. Exponenten för den extra variabeln kan väljas fritt (skild ifrån noll). Ekvationssystemet som uppstår för de övriga exponenterna går nu att lösa. Upprepa tills antalet Π-grupper uppgår till n j. 6. Skriv ut det dimensionslösa sambandet samt kontrollera att varje Π- grupp verkligen är dimensionslös. Storhet Symbol M LT Θ F LT Θ Längd L L L Area A L 2 L 2 Volym V L 3 L 3 Hastighet, ljudhastighet V, a LT 1 LT 1 Volymflöde Q L 3 T 1 L 3 T 1 Massflöde ṁ MT 1 FTL 1 Tryck, spänning p, σ ML 1 T 2 FL 2 Töjningshastighet ǫ T 1 T 1 Vinkel θ Vinkelhastighet ω T 1 T 1 Dynamisk viskositet µ ML 1 T 1 FTL 2 Kinematisk viskositet ν L 2 T 1 L 2 T 1 Ytspänningskoefficient Υ MT 2 FL 1 Kraft F MLT 2 F Vridmoment M ML 2 T 2 FL Effekt P ML 2 T 3 FLT 1 Arbete, energi W, E ML 2 T 2 FL Densitet ρ ML 3 FT 2 L 4 Temperatur T Θ Θ Specifik värmekapacitet c p, c v L 2 T 2 Θ 1 L 2 T 2 Θ 1 Värmekonduktivitet k MLT 3 Θ 1 FT 1 Θ 1 Volymsutvidgningskoeff. β Θ 1 Θ 1 Ch. 5.3 Strömningslära C. Norberg, LTH

RAYLEIGHS METOD Rayleighs metod kan användas i fall då reduktionsgraden j är lika med antalet primära dimensioner, vilket är det absolut vanligaste. Antag nu att vi funnit att så är fallet. Med den utvalda gruppen av variabler som tillsammans inte kan bilda en Π-grupp går det då att bilda skalningsvariabler för respektive primär dimension. Med dessa skalas helt enkelt övriga variabler. Exempel. Antag att strömningskraften F på en båt är helt dominerat av motståndet från vattnet. Båtens längd i vattenlinjen är l, vattendjupet H. Båtens våtlagda yta har karakteristisk ytråhet ǫ, båtens konstanta fart är U. Vattnets densitet är ρ, dess viskositet µ, ytspänningskoefficienten mellan luft och vatten Υ, tyngdacceleration g. Följande dimensionssamband (n = 9) antas gälla: F = f(ρ,u,l,µ,g,υ,h,ǫ) Observera att t.ex. våtlagd area (A) inte togs med, denna kan ju inte varieras oberoende av l (A l 2 ), däremot kan givetvis A ersätta l. Antalet primära dimensioner är tre (massa, längd, tid) vilket också är reduktionsgraden, ρ, U och l kan t.ex. inte tillsammans bilda en Π-grupp (j = 3). Enligt Π-teoremet skall det gå att finna sex oberoende dimensionslösa grupper (k = n j = 6). Använd nu ρl 3 som mass-skala, l som längdskala och l/u som tidsskala, d.v.s. M = ρl 3, L = l, T = l/u Kraften F har dimension MLT 2 vilket innebär att F/( M L T 2 ) är dimensionslös. Insättning ger Π 1 = F/(ρl 2 U 2 ). Viskositet µ har dimension ML 1 T 1, d.v.s. Π 2 = µ/( M L 1 T 1 ) = µ/(ρul) = Re 1. På motsvarande sätt fås övriga Π-grupper, Π 3 = gl/u 2, Π 4 = Υ/(ρU 2 l), Π 5 = H/l, Π 6 = ǫ/l, d.v.s. F ρl 2 U 2 = g(re,fr,we,h/l,ǫ/l) Re = ρul µ U2, Fr = g l, We = ρu2 l Υ Observera att uppsättningen Π-grupper inte är unik. Alla kombinationer Π a 1 Πb 2 med rationella exponenter är möjliga. Kommentar. Ytspänningens inverkan på strömningsmotståndet är av betydelse endast vid låga Webers tal, som tumregel när We < 10. Vid vattenströmning (ρ 10 3 kg/m 3, Υ 0.07 N/m) inses ur definitionen av We att detta endast är möjligt vid låga hastigheter i kombination med små dimensioner. Med hastighet U = 5 m/s (ca. 10 knop), l = 6 m och 20-gradigt vatten (Υ = 0.073 N/m) fås We = 2 10 6. För en liten modellbåt med längd l = 0.4 m i samma vatten är effekter av ytspänning av betydelse om båtens hastighet är lägre än ca. 4 cm/s. Ibland används följande definition av Froudes tal (Ch. 10): ˆFr = Π 1/2 3 Π 1/2 5 = U gh Ch. 5 Strömningslära C. Norberg, LTH

DIMENSIONSLÖSA EKVATIONER Betrakta inkompressibel strömning av en Newtonsk fluid vid försumbara temperaturdifferenser (konstanta ämnesstorheter). Rörelseekvationer (Cartesiska koordinater, z-riktning uppåt): V = 0 ρ dv = (p + ρg z) + µ 2 V dt Randvillkor: (a) fasta ytor, V = V solid, (b) in- och utlopp, hastighet V och tryck p kända, (c) fri vätskeyta vid z = η, w = dη/dt och p = p a Υ(Rx 1 + Ry 1 ), där R x och R y är krökningsradier. Studera t.ex. en ubåt som går med konstant fart på periskopdjup. Ubåten ger upphov till vågbildning på vattenytan. Långt uppströms och långt nedströms båten kan strömningen anses opåverkad. Ubåtens fart U samt alla dess dimensioner är kända, speciellt då t.ex. dess längd l. Ämnesstorheter antas kända. Inför följande skalningar: V = V/U, t = tu/l, x = x/l, y = y/l, z = z/l, = l. Tryckfältets variationer antas tröghetsdominerade vilket innebär att de skalar naturligt med ρu 2. Eftersom trycket ingår som en gradient kan ett konstant tryck läggas till eller dras ifrån. Kavitation (lokal kokning) uppträder om trycket understiger ångtrycket vid ifrågavarande temperatur (= p v ). Inför därför följande skalning för tryckfältet: p = (p p v + ρg z)/(ρu 2 ). Dimensionslösa rörelseekvationer inkl. randvillkor: V = 0 dv = p + Re 1 2 V dt (a) V = Vsolid, (b) V ; p kända, (c) z = η w = dη /dt och p = Ca+Fr 1 η We 1 (Rx 1 +R 1 y ); Re = ρul/µ, Fr = U2 /(gl), We = ρu 2 l/υ, Ca = (p a p v )/(ρu 2 ). För tryckfältet gäller då t.ex. p = f(x, y, z, t ; Re, Fr, We, Ca), o.s.v. Ch. 5.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

DIMENSIONSLÖSA TAL Reynolds tal O. Reynolds (1842 1912), Eng. Re = ρ V L µ Froudes tal Fr = V 2 gl W. Froude (1810 1879), Eng. Eulers tal L. Euler (1707 1783), Sch. Tryckkoefficient Eu = p p ref ρ V 2 C p = p p a ρ V 2 /2 tröghetskrafter viskösa krafter tröghetskrafter gravitationskrafter tryckdifferens 2 dynamiskt tryck tryckdifferens dynamiskt tryck Webers tal M. Weber (1871 1951), Ty. Machs tal E. Mach (1838 1916), Öst. We = ρ V 2 L Υ Ma = V a Ekmans tal Ek = µ ρ ΩL 2 V. W. Ekman (1874 1954), Sv. Rossbys tal C.-G. A. Rossby (1898 1957), Sv. Ro = V ΩL Fannings friktionsfaktor c f = 2 τ w ρ V 2 tröghetskrafter ytspänningskrafter str. hastighet ljudhastighet viskösa krafter Corioliskrafter tröghetskrafter Corioliskrafter väggfriktion dynamiskt tryck J. T. Fanning (1837 1911), USA Darcys friktionsfaktor f = 4 c f 4 rörfriktion dynamiskt tryck H. P. G. Darcy (1805 1858), Fr. Strouhals tal St = ω L 2 πv dim. lös virvel- C. Strouhal (1850 1922), Tj. frekvens V = karakteristisk hastighet (m s 1 ) L = karakteristisk längd (m) ρ = densitet (kg m 3 ) µ = dynamisk viskositet (kg m 1 s 1 ) g = tyngdacceleration (m s 2 ) p = statiskt tryck (kg s 2 m 1 ) p a = omgivningstryck (kg s 2 m 1 ) Υ = ytspänningskoefficient (kg s 2 ) a = ljudhastighet (m s 1 ) Ω = rotationshastighet (s 1 ) ω = vinkelfrekvens (s 1 ) τ w = väggskjuvspänning (kg s 2 m 1 ) Ch. 5.4 Strömningslära C. Norberg, LTH

VINKELRÄTT ANSTRÖMMAD CYLINDER STROUHALS TAL Fig. 5.2 Periodisk virvelbildning (vortex shedding) nedströms en vinkelrätt anströmmad cirkulär cylinder. Överst: von Kármáns virvelgata (Kármán vortex street) visualiserad i vatten, laminär strömning, Re = 140 (d = 1 cm); fotografi av S. Taneda. Underst: Strouhals tal vs. Reynolds tal; mätningar av C. Norberg. Re = ρv d µ Reynolds tal, St = f S d V Strouhals tal V = anströmningshastighet, d = diameter, f S = virvelfrekvens Ch. 5 Strömningslära C. Norberg, LTH

LIKFORMIGHETSLAGAR Hur kan resultat från modellförsök (index m) överföras till fullskala (index p)? Antag att följande unika samband mellan dimensionslösa variabler är giltig i en viss strömningssituation: Π 1 = g(π 2, Π 3,..., Π k ) Π 1 innehåller den beroende variabeln av intresse, t.ex. virvelfrekvens, ex. Π 1 = St = f S d/v. Rent matematiskt gäller då: (Π i ) m = (Π i ) p, i = 2, 3,..., k (Π 1 ) p = (Π 1 ) m d.v.s. strömningsförhållanden vid modellförsök uppvisar fullständig likformighet med förhållanden i fullskala (eller någon annan skala) om alla dimensionslösa parametrar har samma värden i bägge fallen. Geometrisk likformighet: modell och prototyp är geometriskt likformiga om alla rumsliga dimensioner står i visst konstant förhållande till varandra i bägge fallen, L m /L p = α = konst. Geometrisk likformighet innefattar också att alla vinklar gentemot omgivningen t.ex. tyngdkraftsfältet, strömningsriktning, o.s.v. är samma. I modellen av en flygplansvinge ovan till höger är alla rumsliga dimensioner en tiondel av de för den verkliga vingen till vänster (prototypen), L m /L p = 1/10. Observera att vingens anfallsvinkel gentemot anströmningen är densamma, 10, inte 1. Eftersom alla dimensioner skalats i samma förhållande måste även t.ex. vingens nosradie och dess ytråhet vara en tiondel av fullskalans. Positioner med samma skalade rumskoordinater kallas homologa punkter. Ch. 5.5 Strömningslära C. Norberg, LTH

LIKFORMIGHETSLAGAR... Kinematisk likformighet: utöver geometrisk likformighet skall också hastighetsskalorna (alt. tidsskalorna) mellan modell och prototyp stå i ett visst konstant förhållande, V m /V p = β = konst. (alt. t m /t p = α/β = konst.). Dynamisk likformighet: Utöver geometrisk likformighet skall alla krafter som verkar i modellskalan stå i samma proportion till motsvarande i prototypskalan; med andra ord: kraftpolygoner verkande på fluidpartiklar i homologa punkter vid homologa tider ser likadana ut. Om detta är uppfyllt gäller också kinematisk likformighet ty (F i ) m /(F i ) p = a m /a p = (V 2 m/l m )/(V 2 p /L p ) = β 2 /α = konst. där F i är en kraft verkande på en fluidpartikel. Ch. 5.5 Strömningslära C. Norberg, LTH

STRÖMNING KRING EN SLÄT SFÄR STRÖMNINGSMOTSTÅND F D = f(ρ, V, d, µ) F D ρv 2 d = g ρv d 2 = g(re) µ Frontarea, A = πd 2 /4 d 2 C D = 2F D ρv 2 A = ĝ(re) C D = motståndskoefficient (eng. drag coefficient) C D Re 2 = 8F D ρv 2 πd 2 ρ 2 V 2 d 2 µ 2 = 8ρF D πµ 2 = g(re) Ch. 5.5 Strömningslära C. Norberg, LTH