Barbro Grevholm Begrepp i kartor eller bubblor? Begreppsförståelse är grundläggande för att elever ska erhålla ett gott matematikkunnande. Här beskriver författaren likheter och skillnader mellan tankekartor, begreppskartor och begreppsbubblor. Hon diskuterar också deras styrkor och svagheter samt hur de kan användas i undervisningen. En viktig del i elevers lärande i matematik består av att bygga upp en begreppsförståelse så att kunskaper kan länkas samman och ses i skilda sammanhang. För att stötta eleverna i arbetet med begreppsförståelse har olika typer av kognitiva och visuella hjälpmedel använts. På 1980-talet var så kallade tankekartor (mindmaps) mycket populära, många böcker skrevs i ämnet och det hölls kurser för lärare i hur de kunde använda dem. Långt innan dess hade forskare infört så kallade begreppskartor (concept maps) som inledningsvis användes för att dokumentera och analysera forskningsdata. Snart noterades hur kraftfulla redskap dessa begreppskartor var och de började användas i undervisningen. På 2000-talet har även så kallade begreppsbubblor (concept cartoons) blivit populära och förespråkats inte minst av Skolverket. Vi ska nu se lite närmare på dessa verktyg samt deras styrkor och svagheter. Tankekartor En tankekarta får ofta en spindelvävsliknande form. Det centrala begreppet i kartan omges av grenar åt alla håll som speglar de associationer som kartans ritare har fått. De olika orden i kartan är förenade enbart genom linjer och en annan läsare vet inte hur den som ritade tänkte sig sambanden. Följande är en sammanfattning av tankekartans egenskaper och möjligheter till användning: översiktlig skiss av ett område mental kartbild av ett fenomen hur nyckelord och begrepp knyts samman stödord till en muntlig presentation redovisning sammanfattning självdiagnos efter studier repetition. Nämnaren nr 2 2014 11
Tankekarta över begreppet procent. Från begreppet procent i centrum går det ut fem grenar. Två av dem delar sig i sin tur i fler grenar från något fenomen längs vägen. De första associationerna hos den som ritat har varit hundradel, rabatt på en vara, moms, alkoholhalt och en beskrivning av hur procentandelen kan beräknas. I någon mening ger kartan en ögonblicksbild av hur den som ritat just då ser på begreppet procent. Kartorna är helt individuella och både måste och ska alltid accepteras som den uppfattning den som ritar har om begreppet. Då flera elever jämför sina kartor kan intressanta diskussioner uppstå och som kanske leder till att någon av dem senare vill rita om sin karta. Eleven har då ändrat sin uppfattning på något sätt eller upptäckt något som inte tidigare var medtaget i tankekartan. Begreppskartor Begreppskartor kan vara av många olika slag men jag vill här presentera dem enligt den beskrivning som gavs av forskaren Joseph Novak 1998. Begreppskartan är en bild som representerar en persons kunskaper vid ett visst tillfälle uttryckta genom påståenden. Dessa länkar olika begrepp till varandra med hjälp av länkord som oftast är verb. Begreppen är i regel substantiv och hierarkiskt strukturerade i kartan. Länkarna visar hur de olika begreppen är förbundna med varandra i ett nätverk, en kognitiv struktur. Länkorden har en viktig roll i att ge mening åt kartans delar och skiljer begreppskartor från tankekartor. Begreppskartor kan, förutom i forskning, användas vid undervisning, inlärning, diagnosticering och bedömning. De skiljer sig från tankekartor genom att de både är byggda av kunskapspåståenden och är hierarkiska. När man läser en begreppskarta bildar orden och länkarna meningar som ger påståenden som innehåller kunskap. Konstruktion av kunskap är en komplex produkt av den mänskliga kapaciteten, den kulturella kontexten och förändringar i utvecklingen av relevanta kunskapsstrukturer samt verktyg för att erövra ny 12 Nämnaren nr 2 2014
kunskap, menar Novak. Han hävdar att begrepp spelar en central roll i både lärandets psykologi och teorier om kunskap. För de flesta är ordet begrepp en självklarhet som de inte närmare tänkt på meningen av. Frågar vi en elev eller lärare vad de menar med begrepp är det inte alltid de har ett svar till hands. Hur skulle du själv beskriva innebörden i ordet begrepp? Novak definierar ett begrepp som uppfattade regelbundenheter i händelser eller objekt och som vi har infört en etikett eller benämning för. Etiketten kan vara ett ord eller en symbol. Novak har använt begreppskartor som ett verktyg för att representera strukturer eller ramverk av begrepp och påståenden som härletts från kliniska intervjuer eller konstruerats av lärande personer. Begreppskartor har också visat sig vara användbara verktyg vid planering av undervisning och för att hjälpa elever att lära sig hur de lär. Begreppskartan skiljer sig från tankekartan där läsaren måste gissa hur ritaren har associerat. Tankekartan är alltså inte meningsbärande på samma sätt som en begreppskarta. Låt oss se på en begreppskarta över procent. I bilden återfinner vi en del av den information som finns i tankekartan men här finns också en översikt över några vanliga typer av problem om procent samt antydan om hur de löses. Vi ser tydligt hierarkin av begrepp och underliggande begrepp. Terminologi belyses i den vänstra länken som förklarar vad procent betyder och hur det kan skrivas med ord, som bråk och som decimaltal. I de tre mittersta länkarna visas de vanliga byggstenar som används i procentuppgifter, dvs procenttalet, delen och det hela samt hur de kan användas i problemtyperna. I den högra länken belyses några vanliga problemsituaitoner där procent används. En begreppskarta kan alltid byggas vidare och kopplas samman med andra begreppkartor för att påvisa ytterligare samband i de matematiska kunskaperna. Begreppskarta över begreppet procent. Nämnaren nr 2 2014 13
Begreppsbubblor Begreppsbubbla om procenträkning (fritt efter teckning i Limit 1:2, s 14) Begreppsbubblor är inspirerade av tecknade serier och består av bilder där personer säger eller tänker saker om något matematiskt begrepp eller problem. I det ideala fallet är det autentiska uttalanden av elever om fenomenet i fråga. Bilden kan användas för att stimulera ett samtal i klassen om vad eleverna på illustrationen egentligen säger. Därmed kan elever få syn på hur andra tänker om ett matematiskt begrepp eller hur man kan gå olika vägar för att finna en lösning. I bilden här nedan berättar tre elever hur de gör då de räknar med procent. Den första eleven går vägen via att först beräkna hur mycket en procent är och så använda det för att beräkna den aktuella procentdelen. Den andra eleven skriver om procenttalet i decimalform och multiplicerar sedan med det aktuella talet medan den tredje eleven först dividerar procenttalet med hundra och därefter multiplicerar med det hela. Ett samtal om dessa metoder kan få elever att se skillnaderna och att det är möjligt att välja olika vägar beroende på vilket som förefaller enklast i ett visst fall. Det verkar som om begreppsbubblor hittills varit mer populära i de naturvetenskapliga ämnena än i matematik. Forskare pekar på att begreppsbubblor har fördelen att man direkt kan lyfta fram möjliga missförstånd, men att det sker på bekostnad av att man inte, som i begreppskartan, ger eleven möjlighet att avslöja bredden eller djupet i sin förståelse. I regel blir inte begreppsbubblorna lika tydligt fokuserade på ett givet begrepp, vilket är fallet med en begreppskarta. Det förefaller också som om de sätt på vilka man kan använda en begreppskarta är betydligt fler och mer varierade. Jag ska nu avrunda med att diskutera hur begreppkartor kan användas i undervisningen. Hur kan begreppskartor användas? I forskningslitteratur finns en rad olika sätt att använda begreppskartor beskrivna. Vid inledningen av ett nytt avsnitt i undervisningen kan läraren börja med att kartlägga elevernas förkunskaper genom att de får berätta allt de vet genom påståenden. Dessa påståenden kan skrivas upp på tavlan och därefter sammanfogas i en begreppskarta. Kartan blir ett synligt bevis på klassens utgångsläge inför nya kunskaper. Efter det att klassen arbetat igenom det nya avsnittet kan en ny karta ritas. Jämförelse med den tidigare kartan kan då synliggöra nya kunskapsstrukturer och begrepp. Detta är då exempel på kartor som innehåller en grupps samlade kunskaper. I en jämförelse blir det tydligt för både lärare och elever om några luckor finns i associationerna mellan begrepp eller om elever har olika uppfattning om hur begreppen ska länkas samman. 14 Nämnaren nr 2 2014
Elevers lärande En elev som vet hur begreppskartor ritas och fått en viss vana att göra det kan använda verktyget i sitt eget lärande. När ett nytt avsnitt bearbetats kan eleven försöka rita sin egen karta över de nya kunskaperna. Det visar sig att kartorna blir högst individuella. Steg för steg kan eleven rita in sin egen kunskapsutveckling och se om det sker nytt lärande eller inte. I samtal med läraren kan eleven diskutera om hans karta stämmer med en mera allmän syn på begreppen eller om han kanske fått en vag eller oklar bild av hur begreppen hänger samman. För att skapa utmaningar i lärandet kan läraren låta elever rita sina egna enskilda begreppskartor och därefter be dem att i små grupper jämföra sina kartor. Elever upptäcker likheter och skillnader och värdefulla diskussioner uppstår om varför de har olika uppfattningar på vissa punkter. Det kan leda till att någon elev ändrar uppfattning och ser nya möjligheter att förstå begreppssambanden. Elever kan upptäcka att vissa kartor är rikare än andra och har fler länkar. De kan få impulser att införliva fler delar i sin egen karta och på så sätt utvidga sin syn på begreppen inom området. I samtalen får elever tillfälle att utveckla ett matematiskt språk och får ge uttryck för hur de tänker matematiskt och motivera det för kamraterna. Resonemang och samtal av detta slag är väsentliga för lärandet, något som Alan Schoenfeld påpekade redan 1992. Lärares användning Kartorna kan användas för läraren att skapa sig en bild av hur en elev tänker. De fungerar då som ett alternativt diagnosinstrument, som kan användas upprepade gånger. Lärare kan använda begreppskartor för sin egen del. Att rita en karta inför ett nytt avsnitt innebär att du som lärare tydliggör för dig själv vilka centrala begrepp och delbegrepp du vill behandla och hur du ser sambanden mellan dem. Det kan tydliggöra vissa kopplingar som du annars kanske inte hade betonat så starkt. Om elever ska få en god begreppsuppfattning måste de få de viktiga begreppen belysta ur olika aspekter så att de får en rik och nyanserad begreppsbild. I undervisningen Sammanfattningsvis ger jag här en översikt över hur begreppskartor kan fungera i undervisningen. I en grupp eller klass kan en begreppskarta användas som inledning eller brainstorm för att diagnosticera kunskaper vid genomgång för att se var man fogar ny kunskap till den tidigare som startpunkt för jämförelser och diskussion som avslutning, för att sammanfatta och ge en helhetsbild. Enskilda elever kan använda begreppskartan för att skapa egen överblick kunna visa hur ny kunskap utvecklas och fogas till den tidigare göra jämförelser vid samtal med kamrater Nämnaren nr 2 2014 15
utveckla sitt språk inom ämnet se var det finns luckor i kunskaperna eller outvecklade föreställningar dokumentera sina kunskaper kunna iaktta sin egen utveckling över tid sammanfatta sina studier repetera vid ett senare tillfälle. För läraren själv kan begreppkartan komma till nytta för att skapa överblick vid förberedelser av undervisningen granska sin egen bild av kunskaper inom ett område prioritera vid val av stoff strukturera undervisningen diagnosticera en elevs utveckling bedöma och examinera elevers kunskaper. Begreppskartor är kraftfulla verktyg men man måste själv ha prövat på att använda dem för att verkligen känna deras styrka. Det finns kostnadsfri datorprogamvara tillgänglig på nätet, exempelvis Cmap, cmap.ihmc.us, som låter användaren enkelt rita tydliga och bra kartor. Lärare som har prövat tankekartor, begreppskartor och begreppsbubblor kan säkert finna fler fördelar och nackdelar med dem än de som har diskuterats här. Alla tre verktygen har sina något olika användningsområden men kan också nyttjas tillsammans så att eleverna får valmöjligheter. Personligen anser jag att begreppkartor är ett av de mest kraftfulla verktygen för att stödja elevers lärande i matematik. Litteratur Andersson, A. (2002). Begreppskartor ett verktyg för bättre förståelse. Nämnaren 2002:2. Andrén, K. & Östman, M. (2012) Begreppsbubblor. Nämnaren 2012:2. Grevholm, B. (2008). Concept maps as research tool in mathematics education. I A. J. Cañas, P. Reiska, M. Åhlberg & J. D. Novak (red). Concept Mapping: Connecting Educators. Proc. of the Third Int. Conference on Concept Mapping. (s 290 297). Tallin: Tallin University. Tillgänglig 140408 på cmc.ihmc.us/cmc2008papers/cmc2008-p301.pdf Novak, J. D. (1998). Learning, creating and using knowledge. Mahwah, New Jersey: Lawrence Erlbaum. Schoenfeld, A. (1992). Learning to think mathematically: Problem solving, metacognition and sense-making in mathematics. I D. A. Grouws (red). Handbook for research on mathematics teaching and learning. New York: Macmillan. 16 Nämnaren nr 2 2014