KTH, Avdelningen för matematik F2, Stockholm, 2 april 2014
Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Lösningsbegreppet Betrakta ekvationen Definition En lösning på ett intervall I är en funktion x 1 (t) x 2 (t) X =. x n (t) X = A(t)X + F(t). (1) vars element är differentierbara och uppfyller systemet (1) på I.
Lösningsbegreppet Begynnelsevärdesproblem Begynnelsevärdesproblem Betrakta begynnelsevärdesproblemet X =A(t)X + F(t), (2) X(t 0 ) =X 0. (3) Sats (Existens och entydighet) Om elementen i A(t) och F(t) är kontinuerliga funktioner på ett intervall I som innehåller t 0, så finns det en unik lösning till (2) (3) på I.
Sats Om X 1,..., X k är en mängd lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X (4) på ett intervall I, så är även X = c 1 X 1 +... c k X k, där c 1,..., c k är konstanter, en lösning till (4) på I.
Antaganden Från och med nu förutsätts elementen i A(t) och F(t) vara kontinuerliga funktioner på ett gemensamt intervall I. Vidare antas A(t) vara en n n-matris för varje t i I.
Definition Låt X 1,..., X k vara lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X på I. Då sägs mängden vara linjärt beroende på intervallet om det finns konstanter c 1,..., c k, inte alla noll, sådana att c 1 X 1 (t) + + c k X k (t) = 0 för alla t i intervallet. Om mängden inte är linjärt beroende på intervallet så sägs den vara linjärt oberoende.
Wronskianen Sats Låt X 1 = x 11 (t). x n1 (t),..., X n = x 1n (t). x nn (t) vara n lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X på I. Då är lösningarna linjärt oberoende på I om och endast om Wronskianen x 11 x 1n W (X 1,..., X n ) =.. 0 x n1 x nn för varje t i I.
Definition Låt X 1,..., X n vara n stycken linjärt oberoende lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X (5) på I. Då sägs X 1,..., X n vara en fundamentalmängd av lösningar på intervallet I. Sats Det finns en fundamentalmängd av lösningar till det linjära homogena systemet (5) på I.
, homogena fallet Sats Låt X 1,..., X n vara en fundamentalmängd av lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X på I. Då ges den allmänna lösningen till det linjära homogena systemet av c 1 X 1 + + c n X n, där c 1,..., c n är godtyckliga konstanter.
, inhomogena fallet Sats Låt X 1,..., X n vara en fundamentalmängd av lösningar till det linjära homogena systemet X = A(t)X på I. Låt X p vara en partikulärlösning till det linjära inhomogena systemet X = A(t)X + F(t) på I. Då ges den allmänna lösningen till det linjära inhomogena systemet av c 1 X 1 + + c n X n + X p, där c 1,..., c n är godtyckliga konstanter.