Komplexa Tal och Polynom

V1.02:: 11 september 2014 @ 07:48 Komplexa Tal och Polynom En Introduktion Mikael Forsberg

2

Innehåll 1 Komplexa tal 1 1.1 Introduktion till komplexa tal och deras egenskaper................... 1 1.1.1 Definition av komplexa tal............................. 1 1.1.1.1 Komplexa tal i Elkretsteknik...................... 2 1.1.2 De fyra räknesätten................................ 2 1.1.2.1 En paradox?............................... 4 1.1.3 Konjugatet och beloppet till ett komplext tal.................. 4 1.1.3.1 Räkneregler för konjugat och belopp.................. 4 1.1.4 Övningsuppgifter.................................. 6 1.2 Polär form och dess konsekvenser............................. 7 1.2.1 Rektangulär beskrivning av komplexa tal.................... 7 1.2.2 Polär beskrivning av komplexa tal........................ 7 1.2.2.1 Den Trigonometiska formen av den polära beskrivningen...... 7 1.2.2.2 Den Exponentiella formen av den polära beskrivningen....... 8 1.2.2.3 En not om hur man väljer argument för den polära formen..... 8 1.2.3 Hur man växlar mellan polär och rektangulär beskrivning........... 10 1.2.3.1 Från polär beskrivning till rektangulär beskrivning.......... 10 1.2.3.2 Från rektangulär till polär beskrivning:................ 10 1.2.4 Konsekvenser av exponentialformen....................... 11 1.2.4.1 Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal....... 13 1.2.4.2 Potensregler för exponentialfunktionen och De Moivres formel... 15 1.2.5 Övningsuppgifter.................................. 17 1.3 Binomekvationer och hur man löser binomekvationer.................. 18 1.3.1 Vad är en binomekvation?............................. 18 1.3.2 Hur man löser en binomekvation......................... 18 1.3.3 Övningsuppgifter.................................. 22 1.4 Komplexa andragradspolynom.............................. 23 1.4.1 Nollställen till reella andragradspolynom..................... 23 1.4.2 Nollställen till komplexa andragradspolynom.................. 24 1.4.3 Övningsuppgifter.................................. 26 2 Polynom 27 2.1 Vad är ett polynom?.................................... 28 2.2 Varför är polynom viktiga?................................ 29 2.2.1 Polynom är enkla funktioner........................... 29 2.2.2 Polynom är inte för enkla............................. 30 2.3 Nollställen till polynom.................................. 30 2.3.1 Ett vägledande exempel.............................. 31 2.3.2 Polynoms nollställen och Algebrans fundamentalsats.............. 31 2.4 Nollställen till Reella polynom.............................. 36 i

ii INNEHÅLL 2.4.1 Reella polynom................................... 36 2.4.2 Irreducibla faktorer till reella polynom..................... 37 2.5 Hur hittar man egentligen de där förnicklade nollställena?............... 38 2.6 Övningsuppgifter...................................... 42 Svar/lösningar på utvalda övningar 43 Register 53

Kapitel 1 Komplexa tal 1.1 Introduktion till komplexa tal och deras egenskaper De komplexa talen uppstår som ett behov av av att kunna lösa polynomekvationer av typen x 2 + 1 = 0 x 2 = 1 (1.1) Denna ekvation är olöslig om man bara känner till de reella talen. Vi ser ju att ekvationen leder till att vi måste hitta tal sådana att dess kvadrat blir negativ. Om x är reellt tal så gäller ju att x 2 0 vilket betyder att vi måste hitta en ny typ av tal för att kunna lösa (1.1). Man använder sin fantasi (Eng: imagination) och definierar därför den imaginära enheten 1 i som det tal som uppfyller i = 1 vilket ska tolkas som att i 2 = 1 (1.2) och därigenom har man fått en lösning till (1.1). Mha denna imaginära enhet så kan man sedan vidga vårt talsystem enligt vad vi säger i följande avsnitt. 1.1.1 Definition av komplexa tal. Definition 1.1.1. Våra komplexa tal z är tal som kan skrivas på formen z = x + iy, där x, y R och i 2 = 1. x kallas för realdelen till z, Re z = x och y kallas för imaginärdelen till z och betecknas Im z = y. Notera att den imaginära enheten inte är en del av imaginärdelen. Imaginärdelen är det som står tillsammans med i men inte i själv. Mängden av alla komplexa talskriver vi som C = {z : z = x + iy, x, y R} Notera att denna definition är utvidgning av de reella talen eftersom de reella talen är de komplexa tal vars imaginärdel y är noll. Exempel 1.1.2. Låt z = 5 + 3i då har vi att Re z = 5, och Im z = 3 Notera alltså att imaginärdelen inte är 3i, vilket man lätt leds att tro när man stöter på komplexa tal för första gången. 1 I den matematiska traditionen så är det naturligt att beteckna den imaginära enheten med i. I Elektrisk Kretsteori däremot, där man naturligtvis följer traditionerna i Elektromagnetisk teori och därför betecknar elektrisk ström med i så betecknar man den imaginära enheten istället med j för att slippa risken för förväxling. 1

2 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.1.1.1 Komplexa tal i Elkretsteknik Komplexa tal har som vi såg ett ursprung i matematikens önskan att kunna lösa alla typer av polynomekvationer, något som möjligen endast tilltalar matematiker. Man kan därför lätt få uppfattningen att komplexa tal är något abstrakt och oandvändbart. Men faktum är att komplexat tal dyker upp i en mängd tillämpningar. Inte minst inom Elektricitetsläran och speciellt inom elkretsteknik så används komplexa tal flitigt. Ohm s lag, impedans och admittans Ohm s lag uttrycker sambandet mellan spänning och ström genom en ren resistans: u(t) = i(t) R, där u(t) är spänningen, i(t) är strömmen och R resistansen. För en spole med ren induktans L och en kondensator med kapacitans C har vi i stället de respektive sambanden u L (t) = L i (t) i(t) = Cu C(t). Byt R mot Z i Ohm s lag så får vi denna. Sambanden involverar alltså ett beroende av spänningen eller strömmens derivator när det gäller spolar och kondensatorer. Men, genom att introducera komplexa tal och använda dem för att modellera spänningar och strömmar kan man beskriva alla tre fallen i ovan på ett gemensamt sätt som direkt påminner oss om Ohm s lag u(t) = i(t) Z, där Z är kretskomponentens impedans. Impedansen är ett komplext tal som beror av spänning och strömsignalernas vinkelfrekvens dω och vi har Z = R(ω) } {{ } +j X(ω), } {{ } resistans reaktans Impedansen för våra tre kretskomponenter modelleras enligt Z = R + j 0 = R när vi har en ren resistans Z = 0 + j ωl = jωl ren induktans Z = 0 j 1 ωc = j 1 när vi har en ren kapacitans ωc Den imaginära delen av de elektriska komponenterna anger alltså hur komponenten beror av strömmens frekvens vilket är viktigt när man studerar elektriska kretsar med ström vars frekvens ändras. En sådan varierande ström är ju normal i mängder av elektroniska apparater som, telefoner, musikanläggningar och annat. I en telefon finns ju bl.a. en liten mikrofon som regerar på ljuden från din röst och detta ljud varierar ganska mycket i frekvens och det är viktigt att detta ljud hanteras korrekt av telefonens kretsar så att ljudet inte förvrängs av mikrofonkretsen. Sedan ska ju ljudsignalen vidare in i telefonen och skickas vidare i telefonisystemet. Det är ingenjörernas uppgift att hantera och designa alla komponenter i telefonen så att de fungerar tillfredsställande. En viktig grund för sådana ingenjörer att kunna hantera dessa kretsars enklaste komponenter, vilket vi antyder här. 1.1.2 De fyra räknesätten För komplexa tal gäller samma räkneregler som för reella tal. Det är i princip att räkna precis som vanligt men man samlar ihop realdelar och imaginärdelar för sig och så ska man komma ihåg att göra bytet i 2 = 1 varje gång i 2 dyker upp.

1.1. INTRODUKTION TILL KOMPLEXA TAL OCH DERAS EGENSKAPER 3 Addition, subtraktion: Låt z = x + iy och w = u + iv vara två komplexa tal. Då adderas/subtraheras de på följande sätt: z + w = (x + iy) + (u + iv) = x + u + i(y + v), z w = (x + iy) (u + iv) = x u + i(y v) dvs realdel och imaginärdel adderas/subtraheras för sig. Multiplikation: Två komplexa talmultipliceras: z w = (x + iy)(u + iv) = xu + xiv + iyu + i 2 yv = xu yv + i(xv + yu). Observera att vi använde i 2 = 1 i den sista likheten! Division: Vid division handlar det ofta om att skriva om ett bråk så att bråket har ett reellt tal i nämnaren i stället för ett komplext. Låt oss se hur vi gör i fallet z/w: z w = x + iy (x + iy)(u iv) xu + yv + i(yu xv) = = u + iv (u + iv)(u iv) u 2 + v 2, m.a.o. vi förlänger med vad vi kommer kalla för konjugatet till w = u+iv, dvs med w = u iv. Konjugatet är viktigt och vi behandlar detta i nästa avsnitt. Exempel 1.1.3. Förenkla följande uttryck: 3 + 2i (1 i)(2 + i): 3 + 2i [2 + i 2i } {{ } }{{} i 2 ] = 3 + 2i [3 i] = 3i = i = 1 Exempel 1.1.4. Förenkla kvoten 3+i 2 i : 3 + i 2 i = =5+5i=5(1+i) { }} { (3 + i)(2 + i) (2 i)(2 + i) } {{ } =4+1=5 = 1 + i Exempel 1.1.5. I den elektriska kretsteorin arbetar man även med den så kallade admittansen Y som definieras som Y = 1 Z = 1 R + jx = R jx (R + jx)(r jx) = R R 2 + X 2 j } {{ } =G X R 2 + X 2 } {{ } = B = G + jb, där vi använt oss av konjugattricket vi använde vid division. G kallas komponentens konduktans och B dess suseptans

4 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.1.2.1 En paradox? Vi har sett att räkning med komplexa talfungerar precis som räkning med reella tal med den skillnaden att när man får i 2 så byter man det mot 1. Detta utnyttjar alltså att i 2 = 1. Detta brukar ibland tolkas som att i = 1 som man ofta ser som definition av imaginära enheten. Med detta uttryck kan vi då göra räkningen 2 1 }{{} = 1 }{{} = ( 1) ( 1) }{{} = 1 1 }{{} = i i }{{} = 1 (1) (2) (3) (4) (5) Vi tycks alltså, paradoxalt nog, ha bevisat att 1 = 1 vilket uppenbarligen är fel. Detta gör att vi måste fråga oss vad i ovanstående räkning som är fel. Problemet ligger i att rotregeln (som används i likheten (3)) a b = a b inte alltid gäller när a och b är negativa reella tal eller för ickereella komplexa tal. 3 Dessa räkningar är alltså lite riskabla vilket är en av anledningarna att man använder sig av symbolen i och inte 1. 1.1.3 Konjugatet och beloppet till ett komplext tal När vi utvecklade kvoter för komplexa tal i föregående situation så förlängdes kvoten med det så kallade konjugatet till det komplexa tal som stod i nämnaren. Detta visades i exemplen 1.1.4 och 1.1.5. Vi definierade alltså konjugatet z till ett komplext tal z = x + iy genom z = x iy. Geometriskt är detta en spegling av z i den reella axeln, dvs x-axeln. Se figur 1. Absolutbeloppet eller bara beloppet z av ett komplext tal är längden av sträckan mellan origo och vårt tal. I figur 1.1.3 ser vi att vi kan använda Pythagoras sats och få följande uttryck för beloppet: Vi noterar också att z 2 = x 2 + y 2. x 2 + y 2 = (x + iy)(x iy) = z z, och detta blir utgångspunkten för definitionen: Beloppet till det komplexa talet z = x+iy definieras som z = z z, 1.1.3.1 Räkneregler för konjugat och belopp Räkneregler för konjugat: 1. (z + w) = z + w 2 Vi påminner oss om att räknereglerna för potenser för reella tal ger oss rotregeln a b = a b 3 Detta faktum, som man kan studera i en högre kurs i komplex analys, beror på att rotfunktionen inte är kontinuerlig som funktion av en komplex variabel. Se även http://sv.wikipedia.org/wiki/kvadratrot

z 1.1. INTRODUKTION TILL KOMPLEXA TAL OCH DERAS EGENSKAPER 5 y z = x + iy x _ z = x - iy Figur 1.1: Komplexa konjugatet och absolutbeloppet till ett komplext tal 2. zw = z w 3. z w = z w 4. z = z Räkneregler för absolutbelopp: 1. z 2 = zz 2. zw = z w 3. z w = z w 4. z = z Exempel 1.1.6. Låt z = x+iy och w = u+iv. Vi visar konjugaträknergel 1: Vi utgår från vänster led och får z + w = x + iy + u + iv = x + u + i(y + v) = x + u i(y + v) = x iy + u iv = z + w, } {{ } } {{ } z w vilket är precis vad som står i höger led av första konjugaträkneregeln!. I övningsuppgifterna ingår att verifiera övriga räkneregler.

6 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.1.4 Övningsuppgifter Övning 1:1.1 Vad blir realdel och imaginärdel för de komplexa talen a. 3 + 7i b. 3 17i c. 2 Övning 1:1.2 Beräkna z + w, 2z 3w, z w då z = 1 + 2i och w = 2 + 3i Övning 1:1.3 Vi ska utveckla en enkel kvot mellan två komplexa tal 1 + 3i 2 + 5i Idén är att få bårt det komplexa talet i nämnaren. Detta kan man göra genom att multiplcera med nämnartalets konjugat uppe och nere. Nämnartalet är 2 + 5i och dess konjugat får man genom att byta tecken på imaginärdelenoch då får man 2 5i Sedan multiplicerar man täljare och nämnare med detta: 17+i { }} { 1 + 3i 2 + 5i = (1 + 3i)(2 5i) = 17 + i = 17 (2 + 5i)(2 5i) 29 29 + 1 29 i } {{ } 29 Fråga: varför förändras inte uttrycket när vi gör denna multiplikation uppe och nere med 2 5i Övning 1:1.4 Använd idén om förlängning med konjugatet som i föregående uppgift för att beräkna kvoten 1 + 2i 2 + 3i Övning 1:1.6 Om z = 2 3i, var i det komplexa planet ligger z? Rita! Övning 1:1.7 Om s = 1 i och t = 2 + i var i det komplexa planet ligger s + t och s t. Rita! Övning 1:1.8 Plotta de komplexa talen 5+2i, 4 3i och deras konjugat i det komplexa planet. Övning 1:1.9 Om det komplexa talet z ligger i andra kvadranten i vilken kvadrant ligger i så fall dess konjugat z? Övning 1:1.10 I uppgift 3 förklara varför nämnaren blir ett positivt reellt tal. Vad säger det talet? Hur tolkas det? Övning 1:1.11 Verifiera räknereglerna (2) till (4) för konjugatet på sidan 4. Övning 1:1.12 Beräkna absolutbeloppet för de komplexa talen 2 + 3i, 2 3i, 3 + 2i, och 3 2i Övning 1:1.13 Beräkna avståndet till origo för talet 2 + 5i Övning 1:1.14 Vad har talen 1+3i, 1 3i, 3+i och 3 i, 1+3i, 1 3i, 3 + i och 3 i gemensamt? Övning 1:1.15 Verifiera räknereglerna för beloppet på sidan 4. Övning 1:1.5 Plotta följande tal i det komplexa talplanet 1 + 3i, 2 5i, 3 2i, 1 4i

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 7 1.2 Polär form och dess konsekvenser 1.2.1 Rektangulär beskrivning av komplexa tal Det finns framförallt två olika sätt att beskriva komplexa tal; på rektangulär form och på polär form. Den rektangulära formen är den beskrivning vi hittills använt. z = x + iy rektangulär form Den polära formen går ut på att beskriva ett komplext tal mha avståndet till origo samt med den vinkel som linjen mellan origo och det komplexa talet bildar till den reella axeln. Detta illustreras i följande figur z = x + iy= r ( cos φ + isin φ ) r = z y = r sin φ φ x = r cos φ Figur 1.2: Rektangulär och polär beskrivning av komplexa tal I figur två ser vi att vi kan gå mellan de två olika representationerna: 1.2.2 Polär beskrivning av komplexa tal Den polära beskrivningen av ett komplexa tal går ut på att ange talets position genom hur långt från origo talet ligger. Eftersom många punkter har samma avstånd till origo (de bildar en cirkel centrerad i origo) så behöver vi skilja dem åt. Detta gör vi enklast genom att ange den vinkel från positiva reella axeln som talet definierar. Vinkeln som man då får kallas då för argumentet för vårt komplexa tal. 1.2.2.1 Den Trigonometiska formen av den polära beskrivningen Från figur 1.2.1 har vi att det komplexa talet kan skrivas som z = x + iy = r cos φ + ir sin φ = r(cos φ + i sin φ) (1.3) Detta är den så kallade trigonometriska formen för den polära beskrivningen. Oftast är det dock smidigare att använda den exponentiella formen som vi tittar på nedan men den trigonometriska beskrivningen är speciellt användbar när vi vill överföra ett tal på polär beskrivning till rektangulär form.

8 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.2.2.2 Den Exponentiella formen av den polära beskrivningen Man kan visa 4 att de trigonometriska funktionerna i själva verket är real och imaginär del av den komplexa exponentialfunktionen enligt Med detta uttryck kan vi skriva om uttrycket i (1.3) som e iφ = cos φ + i sin φ (1.4) z = re iφ (1.5) och detta är den polära beskrivningens exponentialform. I detta dokument kommer vi ofta benämna den polära beskrivningens exponentialform som den polära formen. Anledningen till att använda exponentialformen är dels att den möjliggör geometrisk tolkning av multiplikation och division vilket hjälper förståelsen för operationer i det komplexa planet. Men framförallt så innebär den exponentiella formen att många räkningar blir enklare och underlättar föresåelsen för hur många trigonometriska samband uppstår. Vi kommer att sed detta i de avsnitt som följer. 1.2.2.3 En not om hur man väljer argument för den polära formen Problemet med den polära formen är att det, till ett givet komplext tal, finns många argument att välja bland. Detta beror på egenskaper för de trigonometriska funktionerna. I detta avsnitt ska vi studera detta för att lära oss förstå argumentvalet bättre, vilket vi kommer ha nytta av senare. Om vi tittar på graferna till sin x och cos x så ser vi att de upprepar sig, dvs de är periodiska funktioner. 1 4 Π 3 Π 2 Π Π Π 2 Π 3 Π 4 Π 1 Figur 1.3: sin x (blått/streckad) och cos x (orange/heldragen) är periodiska vilket man ser från att funktionernas värden upprepas. Det är inte svårt att se att grafsnutten över intervallet [0, 2π] (markerad med fetare linje) upprepas. principalargumentet I figur 1.3 illustreras vad det innebär att sinus och cosinus är periodiska funktioner, med perioden 2π. Periodiciteten innbär att sin(x + 2nπ) = sin x, cos(x + 2nπ) = cos x, där n är ett godtyckligt positivt eller negativt heltal. När vi ska välja argument till den polära beskrivningen till z = x + iy så såg vi att vi söker vinkel ϕ så att x = r cos φ och y = r sin φ. Har vi väl hittat en sådan vinkel (t.ex. genom att beräkna arctan y/x) så får vi andra godtagbara vinklar genom att addera en heltalsmultippel av 2π, vilket är vad ekvationerna (1.6) säger. Om vi väljer argumentet i intervallet ( π, π] = {x : π < x π} 5 så säger vi att vi valt det komplexa talets principalargument. Principalargumentet är den direkta vinkel som vi får genom att starta från positiva reella axeln och sluta vid vårt komplexa tal och utan att korsa över negativa reella axeln. 4 Ett bevis utgår från att lösningarna till en viss differentialekvationsproblem är unik. Eftersom cosinus och sinus är två oberoende lösningar och exponentialfunktionen också löser problemet så måste exponentialfunktionen kunna skrivas som en kombination av cosinus och sinus, som beskrivs av (1.5) 5 Vi använder oss av standard notationen att vanlig parantes anger att talet inte tillhör intervallet och att fyrkantparantes anger att talet tillhör intervallet. Med andra ord så kommer vi skriva intervallet a < x b som (a, b] osv. (1.6)

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 9 Figur 1.4: De svarta punkterna markerar var sitt komplext tal. De heldragna cirkelbågarna visar hur vi väljer principalargumentet. De streckade cirkelbågarna markerar vinklar som inte är principalvinklar eftersom dessa vinklar ligger utanför intervallet ( π, π]. Den högra figuren visar att om det komplexa talet ligger på negativa reella axeln så väljer vi den positiva vinkeln +π, vilket också är markerat med fyrkantparantes i principalintervallet ( π, π]. Genom att addera godtyckligt antal hela varv till principalargumentet så får vi alla andra gångbara argument som vi kan använda för ett givet komplext tal. Detta kommer vi ha nytta av när vi ska lösa binomekvationer längre fram. Exempel 1.2.1. Ange principalargumentet till z = 1 i och ett annat godtagbart argument för detta komplexa tal. -π/4+4π -π/4 1-i Figur 1.5: Principalargumentet för 1 i är π/4. Ett annat argument får vi genom att addera en multippel av 2π till principalargumentet. I figuren har vi adderat 2 2π = 4π och då får vi det nya argumentet π/4 + 4π, som är det argument som är angiven med spiralen. Lösning : Vi har att 1 i ligger i fjärde kvadranten med vinkeln π/4 nedanför den reella axeln. Denna vinkel är negativ eftersom vi rör oss medurs från reella axeln för att komma till vårt komplexa tal. Vårt argument arg z = π/4 ligger i intervallet ( π, π] och är därför principalargumentet för z = 1 i. Ett annat godtagbart argument får vi genom att addera en heltalsmultippel av 2π till vårt argument. Alla sådana argument har därför formen arg z = π/4 + 2πn, n Z

10 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL För att få ett nytt argument så behöver vi bara ange ett av dem så vi kan välja t.ex. n = 10 10100 dvs n är en googolplex, men vi hade kunnat ta någon av 2, 1, 1 eller något annat av de oändligt många heltalen också. Men för att få ett nytt argument så måste vi dock undvika att välja heltalet n = 0 eftersom vi då får just principalargumentet. Avsnitt 1.2.3.2 erbjuder fler exempel på hur man räknar fram principal och andra argument för ett komplext tal. 1.2.3 Hur man växlar mellan polär och rektangulär beskrivning Vi ska nu se hur man gör för att, för ett givet komplext tal, byta från rektangulär till polär beskrivning och tvärt om. Vi börjar med hur man överför från polär form till rektangulär eftersom detta är enklast. 1.2.3.1 Från polär beskrivning till rektangulär beskrivning Vi startar alltså med ett komplext tal på polär beskrivning där talet alltså ges mha absolutbelopp z och vinkel/argument ϕ och vi vill överföra detta till rektangulära beskrivining. Tack vare den trigonometriska beskrivningen (1.3) så har vi att z kan uttryckas som z = r cos ϕ + ir sin ϕ M.a.o. så gäller att z = r cos ϕ + ir sin ϕ, som är den trigonometriska formen. Men detta kan ses som en formel för att överföra från polär till rektangulär form: sätter vi in den aktuella radien r och det aktuella argumentet ϕ och utför räkningarna så har vi ett tal på rektangulär form. Vi visar hur detta fungerar i följande exempel: Exempel 1.2.2. Ett komplext tal z har absolutbelopp r = z = 3 och argument ϕ = 30 = π/6 rad. Beräkna talets rektangulära uttryck. Vi har att z = r cos ϕ + i r sin ϕ = 3 cos π/6 +i 3 sin π/6 = 3 3 3 + i } {{ } } {{ } 2 2 = 3 2 ( 3 + i) =1/2 = 3 /2 1.2.3.2 Från rektangulär till polär beskrivning: Utgångspunkten är här ett komplext tal på formen z = x + iy och vi vill beskriva z mha beloppet och vinkeln ϕ. Vi kan utnyttja vår triangeltrigonometri och få z = x 2 + y 2 ϕ = arctan( y x ) Problemet med detta är att arctan bara antar värden i intervallet [ π/2, π/2], vilket gör att vi inte kan beräkna argumentet rakt av i andra och tredje kvadranten ty där är argumentet större än π/2, respektive mindre än π/2. I dessa kvadranter behöver vi vara försiktiga och vi visar i exempel 1.2.4 hur man går till väga i dessa kvadranter.

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 11 Exempel 1.2.3. Skriv det komplexa talet z = 3 + i på polär form. Vi har att beloppet blir För argumentet så har vi att Den polära formen blir alltså z = ( 3 ) 2 + 1 2 = 3 + 1 = 4 = 2 tan ϕ = 1 3 = ϕ = arctan 1 3 = π/6 = 30 På miniräknaren står arctan som tan 1 2 cos 30 + 2i sin 30 } {{ = 2 cos π/6 + 2i sin π/6 = 2e } iπ/6 } {{ } i grader i radianer Exempel 1.2.4. Beräkna trigonometrisk och exponentiell form av den polära beskrivningen för talet z = 3 + i och w = 1 3 i. När vi använder inversa tangensfunktionen så får vi vinklarna ( ) ( 1 µ = arctan ) 3 = π/6, och β = arctan = π/3 3 1 Att vinkeln µ är negativ betyder att den är orienterad medurs vilket i figur 1.6 är markerad med en pil. Från figuren ser vi också att dessa vinklar inte utgår från positiva reella axeln och därför inte är argumenten till z och w. Från figuren framgår också att argumenten blir ett halvt varv minus respektive vinkel, dvs arg z = π µ = 5π/6 arg w = (π β) = 2π/3 1.2.4 Konsekvenser av exponentialformen I komplex analys visar man att exponentialfunktionen kan vidgas så att den gäller för komplexa tal, dvs så att e z har betydelse för z C och att de vanliga räknereglerna för exponentialfunktionen fortsätter att gälla. Detta innebär att för z = x + iy så ger potensräknereglerna att e z = e x+iy = e x e iy. Den sista faktorn e iy är speciellt intressant eftersom man också kan visa likheten 6 e iϕ = cos ϕ + i sin ϕ (1.7) Som vi redan sett så kan alltså ett komplext tal z = x + iy skrivas som som z = z (cos ϕ + i sin ϕ) = z e iϕ, som är mycket smidigt att räkna med tack vare exponentialfunktionens många räkneregler. 6 Likheten (1.7) kan t.ex. visas genom att båda led löser samma differentialekvation och utnyttjar att differentialekvationer kan bevisas ha entydig lösning. Se t.ex Saff och Snider : Fundamentals of Complex Analysis. Men detta ligger en ganska bra bit utanför denna kurs.

12 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL z arg z µ ß arg w w Figur 1.6: argument och vinklar för z = 3 + i och w = 1 3 i

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 13 En viktig observation är också att beloppet av e iϕ är lika med ett, tack vare den s.k. trigonometriska ettan": e iϕ 2 = (cos ϕ + i sin ϕ)(cos ϕ i sin ϕ) = = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ + i(sin ϕ cos ϕ cos ϕ sin ϕ) = } {{ } =sin ϕ cos ϕ } {{ } =0 = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 Trigonometriska ettan Geometriskt så betyder detta att e iϕ alltid ligger på en cirkel med radien 1 centrerad i origo. ϕ anger då vinkeln från positiva reella axeln till talets position på denna cirkel. Den här bilden hjälper oss också att se vad som händer, rent geometriskt när vi multiplicerar två tal med varandra. Detta studerar vi närmre i nästa avsnitt. 1.2.4.1 Geometrisk tolkning av multiplikation av komplexa tal Låt oss betrakta två komplexa tal a och b och låt dem vara givna på polär form: a = re α b = Re β Multiplicerar vi dessa tal så får vi ett nytt komplext tal, c säg, och för detta gäller c = ab = re iα Re iβ = rre i(α+β) Eftersom den trigonometriska ettan ger oss att e iϕ = 1 för alla vinklar, så har vi att c=a b r R b =α+β R r a α β Figur 1.7: Geometrisk tolkning av komplex multiplikation: När de två komplexa talen a = re iα och b = Re iβ multipliceras som får man ett nytt komplext tal, betecknat med c = a b = r Re i(α+β). c s belopp är produkten av a s och b s belopp. Argumentet för c, i figuren betecknad med γ, är summan av a s och b s argument. c = rr γ = α + β,

14 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL dvs produktens vinkel är summan av faktorernas vinklar och produktens belopp är produkten av faktorernas belopp! Vi illustrerar detta i figur 3. Exempel 1.2.5. Beskriv geometriskt vad som händer när vi multiplicerar den imaginära enheten med sig själv. Vad händer när vi multiplicerar ett godtyckligt komplext tal med sig själv? Den imaginära enheten uppfyller i = e iπ/2. När vi beräknar produkten i 2 så får vi i 2 = e iπ/2 e iπ/2 = e iπ/2+iπ/2 = e iπ = 1 Vid denna kvadrering så fördubblas alltså vinkeln och geometriskt så hamnar vi då i punkten 1. Ett allmänt komplext tal z kan skrivas på polär form som z = re iϕ för någon vinkel ϕ. Kvadrering ger oss z = re iϕ re iϕ = r 2 e 2iϕ så här har vi också en dubblering av vinkeln. Men för detta tal har får vi också en ändring i absolutbeloppet då z 2 = r 2. Detta gäller även för i 2 men detta syntes kanske inte eftersom i = 1 och då gäller också att dess kvadrat också får beloppet ett. I exemplet ovan såg vi att kvadrering gav en dubblering av vinkeln. Eftersom kvadratroten är en sorts motsats 7 till kvadrering så kan man undra om inte rotdragning skulle ge oss en halvering av vinkeln. Ett argument för att detta är sant ges i följande exempel: Exempel 1.2.6. Låt x > 0. Då har vi att roten ur x är det positiva tal, betecknat med x, som har egenskapen att ( x ) 2 = x. Vi ska nu använda den geometriska tolkningen av multiplikation med komplexa tal för att ge en idé om vad roten ur ett komplext tal skulle kunna vara. För roten z av ett komplext tal z så måste gälla att ( z ) 2 = z Om vi sätter z = Re i(ϕ+2πn) och eftersom z ska vara ett komplext tal så kan vi skriva det på polär form som z = re iα och då har vi att ( z ) 2 = r 2 e i2α = Re i(ϕ+2πn) = z Eftersom e iφ = 1 så har vi att de två sidornas belopp måste överensstämma r 2 = R r = R = z Sedan måste även de båda sidornas argument överensstämma vilket ger oss 2α = ϕ + 2πn α = ϕ/2 + πn, n Z, där n = 0 och n = 1 ger två unika argument, som genererar två olika lösningar. Argumentet för n = 0 och n = 2 skiljer sig åt med en multipel av 2π och kommer därför att ge samma punkt i det komplexa talplanet. Vi har alltså att z = z e i(ϕ/2+nπ = z e iϕ e inπ = ± z e iϕ, vilket följer eftersom { e inπ 1 om n jämn = 1 om n udda. 7 Mer precist, kvadratroten är inversen till kvadrering av ett positivt tal

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 15 Sammanfattar vi detta så har vi att roten ur ett komplext tal är ett tal vars argument är hälften av talets argument och har ett belopp som är roten ur talets belopp. a 2 = z = z = a = z e (i arg z)/2 Exempel 1.2.7. Ett exempel på föregående exempel: Beräkna i. Vi har att i = 1 och arg i = π/2. Föregående exempel ger oss därför att i = ± e (i arg 2 i)/2 = ±e iπ/4 = ±(cos π/4 + i sin π/4) = ± (1 + i) } {{ } } {{ } 2 = 2 /2 = 2 /2 1.2.4.2 Potensregler för exponentialfunktionen och De Moivres formel I föregående avsnitt så konstaterade vi att multiplikation av komplexa tal kan tolkas geometriskt som att beloppen multipliceras och att argumenten adderas. Anledningen till att argumenten adderas berodde på potensregeln e iα e iβ = e i(α+β) (1.8) Exempel 1.2.8. Om vi överför vänster och höger led av (1.8) på trigonometrisk form och förenklar så får vi V L = }{{} e iα }{{} e iβ cos α+i sin α cos β+i sin β = cos α cos β sin α sin β + i(cos α sin β + sin α cos β) (1.9) HL = e i(α+β) = cos(α + β) + i sin(α + β) (1.10) Höger och vänster led är två komplexa tal och om vi samlar ihop de båda ledens real och imaginärdelar var för sig så får vi de trigonometriska formlerna cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β realdelen imaginärdelen (1.11) I övning 25 så får ni modifiera ovanstående räkningar för att ta hand om situationen där β subtraheras från α. Att kunna använda potensregler är en av de stora fördelarna med den exponentiella formen av den polära beskrivningen. Vi ska här titta på ytterligare en potensregel och här kommer vi ytterligare ett exempel på se varför den exponentiella formen är speciellt användbar. Vi har potensregeln 8 ( e iϕ) n = e iϕ n (1.12) Om vi överför (1.12) till trigonometrisk form så får vi den så kallade demoivres formel: (cos ϕ + i sin ϕ) n = cos nϕ + i sin nϕ (1.13) Vi har alltså visat att demoivres formel helt enkelt är en enkel konsekvens av en potensräkneregel. Däremot är demoivres formel långt ifrån trivial om man ser den från ett trigonometriskt perspektiv, vilket vi kan få en idé av från följande exempel. 8 Potensregeln (1.12) kan enkelt motiveras: Se övning??

16 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL Exempel 1.2.9. Om vi tar n = 2 i de Moivres formel (1.13) så får vi, där vänster led utvecklats cos 2 ϕ sin 2 ϕ + 2i cos ϕ sin ϕ = cos 2ϕ + i sin 2ϕ. Eftersom två komplexa talär lika precis om deras real och imaginärdelar är lika så ger denna likhet oss två väl bekanta trigonometriska formler cos 2ϕ = cos 2 ϕ sin 2 ϕ realdelen sin 2ϕ = 2 cos ϕ sin ϕ imaginärdelen Exempel 1.2.10. Om vi låter n = 3 i demoivres formel så har vi för vänster led att (cos ϕ + i sin ϕ) 3 = binomialsatsen/ Pascals triangel ger = cos 3 ϕ + 3i cos 2 ϕ sin ϕ 3 cos ϕ sin 2 ϕ i sin 3 ϕ = = cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin 2 ϕ + i(3 cos 2 ϕ sin ϕ sin 3 ϕ). Och då tar demoivres formen cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin 2 ϕ + i(3 cos 2 ϕ sin ϕ sin 3 ϕ) = cos 3ϕ + i sin 3ϕ Detta ger oss de trigonometriska formlerna cos 3ϕ = cos 3 ϕ 3 cos ϕ sin 2 ϕ sin 3ϕ = 3 cos 2 ϕ sin ϕ sin 3 ϕ DeMoivres formel kommer alltså från en egentligen en ganska enkel egenskap för exponentialfunktionen. Exponentialformen för den polära beskrivningen är således väldigt användbar och ger oss ett relativt enkelt sätt att vid behov kunna härleda en del komplicerade trigonometriska samband. Vi ska nu gå vidare och studera hur den exponentiella polära formen kan användas för att hitta nollställen till en viss typ av polynom.

1.2. POLÄR FORM OCH DESS KONSEKVENSER 17 1.2.5 Övningsuppgifter Övning 1:2.16 Skriv talet z = 3e iπ/3 på rektangulär form. Övning 1:2.17 a. ) Skriv z = 2e iπ/3 på rektangulär form. Övning 1:2.25 Använd idéerna i exempel 1.2.8 för att härleda de trigonometriska formlerna. cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β sin(α β) = cos α sin β + sin α cos β realdelen imaginärdelen b. ) Skriv w = 1 + i på polär form. Övning 1:2.18 Skriv talet z = 1 + i på polär form, ange alla möjliga argument samt principalargumentet. Övning 1:2.19 Låt z = 3 + 4i och w = 2 3i. Lös följande deluppgifter: a.) Beräkna (z + w)(z w) b.) Beräkna ( 1 + i 2 ) 100. Övning 1:2.20 Bestäm z och arg z och skriv z i trigonometrisk och exponentiell form då z = 3 i. Övning 1:2.21 Bestäm z och arg z och skriv z ( i trigonometrisk ) och exponentiell form för z = 3 2 3 i. Övning 1:2.22 Beräkna principalargumentet för z = 1 + i 3 samt beräkna ett argument för z som ligger i intervallet (3π, 5π]. Övning 1:2.23 Om z är ett komplext tal vars principalargumentuppfyller 0 < α < π/6 och w ett tal som har argumentet π/4 < α < π/2. Var måste i så fall z w och z/w ligga? Övning 1:2.24 Bevisa potensregeln (1.12). Hint: tolka ( e iϕ) n som en multiplikation med flera faktorer och använd en annan potensregel.

18 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.3 Binomekvationer och hur man löser binomekvationer 1.3.1 Vad är en binomekvation? Ett binom är ett polynom med två termer, eftersom vi antar att m n så kan vi anta att m > n: b(z) = a 1 z m + a 2 z n, m > n. När man ska hitta nollställen till detta binom så börjar man med att faktorisera binomet: z n (a 1 z m n + a 2 ) Den första faktorn ger nollstället 0, medan den andra faktorn ger andra nollställen. När vi i fortsättningen talar om ett binom menar vi ett polynom av typen p(z) = az n b, (1.14) ty de intressanta nollställena till ett allmänt binom kommer alltid från ett sådant binom, vilket var vad vi visade i ovan. Nollställena till ett binom uppfyller ekvationen och detta är vår prototyp av en binomekvation. az n b = 0, (1.15) 1.3.2 Hur man löser en binomekvation Vi visar nu hur man går tillväga för att lösa en binomekvation. Nyckeln är att skriva om binomekvationen på polär form och att skriva upp samtliga argument för det komplexa talet c. Exempel 1.3.1. Genom att sätta c = b/a kan den binomiska ekvationen (1.15) kan skrivas på formen z n = c, och denna ska vi nu lösa! Tricket här är att utrycka allt på polär form. När vi skriver c på polär form har vi uppräkneligt många val av argument. Om vi väljer en vinkel α 0 i principalområdet (α 0 ( π, π]) så kan vi skriva alla andra möjliga vinklar som α = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... Med c = r så får vi c = re i(α0+2πn), N = 0, ±1, ±2,.... Skriver vi z = Re iφ, så får vi ekvationen R n e inφ = re i(α0+2πn) Detta leder till ett system av två ekvationer, en för beloppet och en för argumentet: R n = r (beloppen lika) nφ = α 0 + 2πN, N = 0, ±1, ±2,.... Den första ekvationen leder till att R = r 1 n. Den andra leder till att φ = α 0 n + 2π N, N = 0, ±1, ±2,.... n

1.3. BINOMEKVATIONER OCH HUR MAN LÖSER BINOMEKVATIONER 19 Notera att eftersom e i(θ+2mπ) = e iθ, för alla heltal m (e iθ är 2π periodisk eftersom cosinus och sinus är det) så gäller att endast n stycken av ovanstående vinklar är olika. Därför får vi n stycken olika lösningar till vår binomekvation: z = r 1 n e i( α 0 n + 2π n N), N = 0, 1,..., n 1. Exempel 1.3.2. Lös ekvationen z 4 + 1 = 0 Lösning:: Ekvationen, som kan skrivas som z 4 = 1, blir på polär form z 4 e 4iθ = e i(π+2πk), k godtyckligt heltal Ekvation för beloppet:: z = 1 Ekvation för argumentet:: 4θ = π + 2πk θ = π/4 + kπ/2 Fyra på varandra följande värden på k ger våra fyra lösningar för argumentet. Lösningen sammanställs nu som z = e i(π/4+kπ/2), där k = 0, 1, 2, 3. k=1, 5, 9,... k=0, 4, 8,... -1 k=2, 6, 10,... k=3, 7, 11,... Figur 1.8: För varje heltalsvärde på k så får vi en av de fyra svarta punkterna. Notera att de är jämnt utspridda på cirkeln och att den första (k = 0) har argument som är en fjärdedel av argumentet för vårt högerled 1. Exempel 1.3.3. Lös ekvationen z 2 = 1 + i 3. Lösning:: Börja med att ställa upp ekvationen på polär form, där vi noterar att 1 + 3 i = ( 1) 2 + ( 3 ) 2 e 2π/3+2πk = 2e 2π/3+2πk Vi får Detta ger oss en ekvation för beloppet: ( z e iθ ) 2 = z 2 e 2iθ = 2e 2π/3+2πk z 2 = 2 z = 2

20 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL -1+i 3 k=0, 2, 4,... 2 2 k=1, 3, 5,... Figur 1.9: Den yttre ocrafärgade cirkeln har radien 2 som är beloppet 1 + i 3 = 2. Den inre svarta cirkeln har radien 2. Lösningarna till vår binomekvation ligger på denna inre cirkel. Notera att de svarta punkterna kan tolkas som ± 1 + i 3 i enlighet med exemplen 1.2.6 och 1.2.7 och en ekvation för argumentet e 2iθ = e (2π/3+2πk)i θ = π/3 + πk, k = 0, 1 Vi får alltså argumenten π/3 och 4π/3 och lösningarna blir därför z = 2 e iπ/3 = ( 1 + i ) 3 2 6 2 = 2 2 + i 2 och z = 2 e i4π/3 = z = 2 e iπ/3 }{{} e iπ = ( ) 2 6 2 e iπ/3 = 2 + i 2 = 1 Exempel 1.3.4. Lös ekvationen z 5 = 3 + i Lösning:: Skriv ekvationen på polär form: r 5 e 5θ = 2e i(5π/6+2πk) Detta ger oss att beloppet för z blir z = r = 2 1 5 5 = 2. Argumentet blir θ = π 6 + k 2π 5 = 30 + k 72, k = 0, 1, 2, 3, 4. Se fig 1.10

1.3. BINOMEKVATIONER OCH HUR MAN LÖSER BINOMEKVATIONER 21 150 3-i k=2, 7, 12... k=1, 6, 11,... k=0, 5,10,... 2 30 k=-2, 3, 8,... k=-1, 4, 9,... Figur 1.10: Figur till uppgift 1.3.4: Här ligger rötterna på den inre cirkeln som har radien 5 2 1.15. Punkterna är jämnt utspridda med vinkeln 72 = 360/5 mellan sig. Den första punkten, dvs för k = 0 har ett argument som är en femtedel av argumentet för 3 i (som är 150 ) och blir därför 30.

22 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.3.3 Övningsuppgifter Övning 1:3.26 Lös binomekvationen z 3 + 8 = 0 Rita lösningarna i det komplexa planet och ange lösningarna både på polär och rektangulär form. Övning 1:3.27 Lös binomekvationen z 5 = 243(1 i) 2 Övning 1:3.28 Lös binomekvationen z 5 = i. Övning 1:3.29 Lös binomekvationen z 5 = 32(1 + i) 2 Övning 1:3.30 Lös ekvationen z 5 = 32 2 (1 i) Övning 1:3.31 Lös ekvationen z 5 = 1. Övning 1:3.32 I ett försök att tolka vad femteroten av ett komplext ickereellt tal ska betyda så ställer vi upp ekvationen z = 5 1 + i Beräkna alla möjliga lösningar till detta genom att tolka ekvationen som en binomekvation och sedan lösa binomekvationen.

1.4. KOMPLEXA ANDRAGRADSPOLYNOM 23 1.4 Komplexa andragradspolynom I detta avsnitt ska vi studera andragradspolynom. Sådana bör alla ha sett redan i gymnasiet men vi börjar med vi börjar ändå med en kort sammanfattning av det vi bör kunna från gymnasiet och introducerar också kvadratkomplettering som vi använder för att härleda den s.k. pq-formeln som de flesta brukar känna igen från gymnasiet. Efter det så ska vi se hur vi kan hantera andragradspolynomen med utgångspunkt från de komplexa talen och visa hur vi beräknar nollställen till komplexa andragradspolynom. 1.4.1 Nollställen till reella andragradspolynom I gymnasiet lärde vi oss att beräkna nollställen till reella andragradspolynom, dvs polynom på formen p(x) = x 2 + px + q, där p, q är reella tal. Ett nollställe är ett tal, ett värde på x så att polynomet blir noll, dvs som uppfyller p(x) = x 2 + px + q = 0. I gymnasiet använde de flesta sig av den så kallade p q formeln för att beräkna dessa nollställen. Här formulerar vi det som att vi använder oss av följande sats. Theorem 1.4.1. Om p(x) = x 2 + px + q, är ett reellt andragradspolynom så ges dess nollställen av x = p 2 ± p 2 4 q detta är två varianter av pq-formeln (1.16) = p 2 ± 1 2 p2 4q Vi ska nu bevisa denna sats. Beviset använder sig av så kallad kvadratkomplettering, något som är nyttigt att kunna. Bevis. Vi ska lösa ut x så att x 2 + px + q = 0. Vi börjar med att förlänga uttrycket på ett par ställen så att en del av uttrycket kan identifieras som en kvadrat Vi har nu förenklat uttrycket till att bli x 2 + 2 1 p2 px + p2 } {{ 2 4 } 4 + q = 0 =(x+ p 2 ) 2 ( x + p ) 2 p 2 2 4 + q = 0 Det är dessa steg som kallas för kvadratkomplettering. Tack vare denna kvadratkomplettering kan vi nu skriva ( x + p ) 2 p 2 = 2 4 q x + p p 2 = ± 2 4 q x = p 2 ± 1 p2 4q 2 vilket är den önskade pq-formeln

24 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL P q-formeln hjälper oss alltså att beräkna nollställena till reella andragradspolynom. Sådana nollställen kan naturligtvis bli ickereella vilket inträffar om den så kallade diskriminanten p 2 4q är mindre än noll. Problemet med detta är bara att om vi har ett ickereellt andragradspolynom så är p och q i allmänhet ickereella komplexa tal och då faller pq-formeln på att man behöver beräkna roten ur ett komplext tal. Vi har varit inne och nuddat vid en idé om roten av ett komplext tal men vi har inte alls rett ut saken tillräckligt. 9 Det här betyder att vi inte kan använda oss av pq formeln när vi ska studera den komplexa andragradsekvationen. Däremot kommer kvadratkompletteringen att vara till nytta, som vi ska se i nästa avsnitt. 1.4.2 Nollställen till komplexa andragradspolynom Nu ska vi lära oss hitta nollställena till ett polynom som har komplexa koefficienter. Det är vanligt att beteckna variabeln med z för att markera att man arbetar med helkomplexa polynom. p(z) = z 2 + cz + d, c, d C För att beräkna nollställena till p så sätter vi polynomet lika med noll och försöker lösa ut z z 2 + cz + d = 0 Eftersom koeffecienterna c och d i allmänhet är ickereella så kan vi alltså inte använda pq formeln, eftersom vi inte riktigt hur man ska beräkna roten ur ett komplext tal. Men vi kan använda oss av kvadratkomplettering, så låt oss börja med att göra de nödvändiga förlängningarna för c och d: som leder till kvadratkompletteringen c = 2 1 2 c och d = 0 + d = c2 4 c2 +d } {{ 4 } =0 z 2 + cz + d = z 2 + 2 1 2 cz + c2 c2 } {{ 4 } 4 + d = 0 (z + c ) 2 = c2 } {{ 2 } 4 d =(z+ c 2 )2 =w Vi gör substitutionen w = z + c 2 (1.17) i vänster led. I höger led har vi ett uttryck som när vi räknar ihop det (c och d är kända komplexa tal) så blir ett konkret tal på rektangulär form. Höger led blir alltså a + ib för två reella tal a och b. Detta leder till att vår ekvation kan skrivas w 2 = a + ib. För vår komplexa variabel w så använder vi dess rektangulära form w = x+iy och då blir ekvationen x 2 y 2 + i 2xy = a + ib Eftersom två komplexa tal är lika precis om både deras realdelar och deras imaginärdelar är lika så får vi följande system av reella ekvationer: 2xy = b imaginärdelen x 2 y 2 = a realdelen x 2 + y 2 = a 2 + b 2 ekvation för beloppet, 9 Man får vänta med arbeta med den komplexa rotfunktionen till en kurs i komplex analys/analytiska funktioner som ligger längre fram i en matematikutbildning.

1.4. KOMPLEXA ANDRAGRADSPOLYNOM 25 där den tredje ekvation kommer från att w 2 = a + ib som ger att båda sidors belopp måste vara lika, dvs w 2 = a + ib och detta är precis den tredje ekvationen. Denna ekvation är inte alldeles nödvändig men den gör räkningarna enklare. Vi kan t.ex. addera den andra ekvationen med den tredje rakt av och då får man 2x 2 = a + a 2 + b 2 ur vilken man kan lösa ut x. Man får då två värden på x och från första ekvationen så ger vardera värdet på x var sitt värde på y och då har vi två värden på w = x + iy. För varje värde på w så beräknar vi slutligen z från substitutionen (1.17), vilket ger oss lösningen till vår andragradsekvation. Låt oss titta på ett exempel: Exempel 1.4.2. Vi låter p(z) = z 2 + (1 + i)z (6 + 2i). 1. Vi börjar med att kvadratkomplettera i ekvationen p(z) = 0: som, efter förenklingar, blir (z + 1 2 (1 + i))2 1 4 (1 + i)2 (6 + 2i) = 0, (z + 1 2 (1 + i))2 = 6 + 5 2 i. I uppgift 33 så får ni som uppgift att reda ut detaljerna för denna kvadratkomplettering. 2. Genom att göra substitutionen w = z + 1 2 (1 + i) så får vi den enkla ekvationen w 2 = 6 + 5 2 i. 3. Sätt nu w = x + iy så ger ekvationerna för real och imaginärdelar att x 2 y 2 = 6, och 2xy = 5 2. 4. Ekvation för beloppet:: Att två komplexa talär lika betyder att deras belopp också är lika. Vi får: w 2 = w 2 = ww = x 2 + y 2, 6 + 5 2 i = 36 + 25 4 = 144 + 25 4 = 13 2. 5. Vi löser systemet med de tre ekvationerna: Följande ekvationssystem ger lätt lösningar för x 2 och y 2 : x 2 + y 2 = 13 2 x 2 y 2 = 6. För x så adderas ekvationerna och för y så subtraherar vi den andra ekvationen från den första. Man får då x 2 = 25 4 och y2 = 1 4, dvs x = ± 5 2 och y = ± 1 2. Ekvationen för imaginärdelen visar att x och y har samma tecken och detta hjälper oss att para ihop dem så att rätt y kombineras med rätt x. Detta ger oss att w = ± ( 5 2 + i 2) 1. 6. Substituera tillbaka: Nu var det ju z vi sökte och vi har att z = w 1 2 (1 + i) så vi får att { z = 1 2 (1 + i) ± (5 2 + i1 2 ) = 2 (+) 3 i. ( )

26 KAPITEL 1. KOMPLEXA TAL 1.4.3 Övningsuppgifter Övning 1:4.33 Utför detaljerna för kvadratkompletteringen i exempel 1.4.2 Övning 1:4.34 Beräkna nollställena till polynomet z 2 3z+11+ 3i. Övning 1:4.35 Lös ekvationen z 2 + (3 2i)z 6i = 0. Övning 1:4.36 Lös ekvationen z 2 4iz 4 2i = 0.

Kapitel 2 Polynom 27

28 KAPITEL 2. POLYNOM 2.1 Vad är ett polynom? Ett polynom är ett uttryck på formen a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 I figur 2.1 så definieras begreppen koeffecient, gradtal och konstantterm. För att precisera så är polynomets gradtal det största värde på n så att koeffecienten a n 0. Exempel 2.1.1. Polynomet x 3 + x + 1 har tre nollskillda koeffecienter a 3 = 1, a 1 = 1 och slutligen konstanttermen a 0 = 1 och gradtalet är 3 eftersom detta är det största värde med en nollskilld koeffecient. Detta betyder att polynomet inte har gradtalet 4 eftersom a 4 = 0 Polynomets koeffecienter Polynom polynomets gradtal (förutsätter att koeffecienten framför inte är noll) polynomets konstantterm Figur 2.1: Definition av polynom och några av dess tillhörande termer. Exempel 2.1.2. Nollpolynomet är det unika polynom där alla koeffecienter är noll. Detta polynom är noll för alla x och är alltså identiskt med noll och vi skriver p(x) 0 Exempel 2.1.3. Ett monom är ett polynom som bara har en enda nollskilld term a n x n. Konstanttermen kan skrivas som a 0 x 0 och är alltså ett monom med grad noll. Ett binom är, som vi såg i kapitel??, ett polynom med två termer: a m z m + a n z n. Exempel 2.1.4. Ett moniskt polynom av grad n är ett polynom av typen x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0,

2.2. VARFÖR ÄR POLYNOM VIKTIGA? 29 dvs koeffecienten för termen med det högsta gradtalet är 1. Vi kommer ofta att arbeta med moniska polynom och varje ickemoniskt polynom kan göras om till ett moniskt polynom genom att dividera med högstagradskoeffecienten. En sådan division förändrar inte polynomets nollställen vilket visas av ( 0 = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a ) 0 a n a n a n vilket fungerar eftersom a n 0 Exempel 2.1.5. Ett polynom är reellt om alla polynomets koeffecienter är reella tal. Exempelvis så är x 31 + 3 x 17 + πx 2 + e π ett reellt polynom, (och moniskt eftersom högsta termen är 1 x 31 ). Exempel 2.1.6. För att förtydliga att ett polynom inte ska betraktas som ett reellt polynom utan som ett allmänt komplext polynom så använder vi variabeln z a n z n + a n 1 z n 1 + + a 1 z + a 0, koeffecienterna kan då vara godtyckliga komplexa tal. 2.2 Varför är polynom viktiga? Som vi ska se så är polynom enkla typer av funktioner eftersom det bara krävs våra fyra räknesätt för att beräkna ett polynoms värde. Men det som gör polynom viktiga är att de kan användas för att approximera en stor mängd andra, mer komplicerade funktioner. De mer avancerade funktionerna, som exponentialfunktioner och trigonometriska behövs för att de modellerar viktiga saker från verkligheten och används därför för att analysera konkreta problem. Varje gång vi använder, t.ex. en miniräknare för att beräkna sinus av en vinkel så använder miniräknaren i själva verket ett polynom för att beräkna detta värde. På så vis används polynomen används för att ge konkreta siffror till modellerna. 2.2.1 Polynom är enkla funktioner Den första anledningen till att polynomfunktionerna är viktiga är att de är enkla. Givet våra fyra räknesätt så kan man alltid beräkna värdena för funktionerna. Exempel 2.2.1. Låt oss ta polynomet p(x) = x 7 + 3x 5 + 2x 4 x + 3. Detta är inte det allra enklaste polynomet men det är ändå rätt enkelt att beräkna värdet för polynomet. Säg att vi är intresserade av värdena för funktionen då x = 2. Vi har p(2) = 2 } 2 2 {{ 2 2 2 2 } + } 3 2 2 {{ 2 2 2 } + } 2 2 {{ 2 2 2 } 2 + 3 = 257. =2 7 =128 =3 2 5 =3 32=96 2 2 4 =2 16=32 Beräkningen av polynomets värde involverade bara multiplikation, addition och subtraktion. I denna mening är alltså polynom enkla: det krävs bara våra fyra räknesätt för att beräkna värdet för ett polynom. Division kommer också behövas om vi ska beräkna värden för exempelvis x = 3/7. I praktiken kan det naturligtvis bli omständigt att beräkna värdet för polynomet då x är att allmänt decimaltal men i princip är det alltså bara våra fyra räknesätt. Det är skillnad om vi som exempel tar andra elementära funktioner som exponentialfunktioner, logaritmer och trigonometriska funktioner. Dessa definieras på andra sätt och för att utvärderas exakt så behöver man beräkna oändliga summor av tal, något som oftast är ganska invecklat.

30 KAPITEL 2. POLYNOM 2.2.2 Polynom är inte för enkla Om polynomen bara vore enkla så kanske de inte skulle vara värda så mycket. Faktum är att polynomen inte är för enkla. Det visar sig nämligen att man med polynom kan approximera de flesta andra vanliga (deriverbara) funktioner med godtycklig precision. För att beräkna värdet av sin x så kan man istället beräkna värdet av ett speciellt polynom, det s.k. Taylorpolynomet. Man gör då ett fel men genom att välja tillräckligt hög gradtal på Taylorpolynomet 1 så kan man göra en beräkning som uppfyller vilken i förväg fastställd noggrannhet som helst. Exempel 2.2.2. Vi ger de 20 första decimalerna för sin 1: sin }{{} 1 = 0.84147098480789650665... 1 radian Låt oss nu jämföra detta med Taylorpolynomen till sin x med olika gradtal p 3 (x) p 5 (x) p 7 (x) = x x3 6, p 3(1) = 1 1/6 = 5/6 = 0.83333333... = x5 120 x3 6 + x, p 5(1) = 0.841666666... = x7 5040 + x5 120 x3 6 + x p 7(1) = 0.841468254..... p 21 (x) = x 21 51090942171709440000 x 19 x 17 355687428096000 x 15 1307674368000 + x 13 6227020800 x11 39916800 + x9 362880 x7 5040 + x5 120 x3 6 + x. 121645100408832000 + p 21(1) = 0.84147098480789650665... För att få en decimals noggrannhet så behöver man alltså bara beräkna två termer, vilket är fullt möjligt att göra för hand. Med högre krav på noggrannhet så blir arbetsinsatsen större. Vi ser t.ex. att sjundegradspolynomet ger oss ett värde med fyra decimalers noggrannhet. För att få 20 decimalers noggrannhet är man tvingad att välja Taylorpolynomet av grad 21 När man använder en miniräknare (eller telefon!) för att beräkna sin x så använder sig miniräknaren av Taylorpolynom för att göra beräkningarna. Miniräknarföretagets ingenjörer har då programmerat in ett Taylorpolynom av tillräckligt högt gradtal för att ge den noggrannhet som minräknarens display kan visa. Programmeringen blir relativt enkel tack vare att polynom kan beräknas enbart med de fyra räknesätten, som vi beskrev i föregående avsnitt. 2.3 Nollställen till polynom I detta avsnitt så förklarar vi att ett polynom med grad n har precis n stycken nollställen. Dessutom är det viktigt att dessa nollställen kan användas för att skriva polynomet som en produkt av förstagradspolynom. För att göra detta så behöver vi resultaten från de s.k. faktorsatsen och algebrans fundamentalsats. Vi behöver också lära oss polynomdivision och divisionsalgoritmen. Det här ger oss kunskaper som behövs i all matematikanvändning. 1 I kursen Envariabelanalys ma034a så går man genom Taylorpolynom och approximation mer noggrannt. Där lär man sig speciellt hur man räknar ut Taylorpolynomet för en funktion.