KTH Teoretisk Fysik Tentamen i 5A131/5A135 Fysikens matematiska metoder Tisdagen den 16 januari 27, kl 8:-13: Anteckna på varje blad: namn, utbildningslinje, årskurs och problemnummer. Notera på första tentabladet om du har hemtal tillgodo från tidigare kurs, och vilken termin kursen gick! Tillåtna hjälpmedel: Examinator: Lösningsföreslag: Motivera utförligt! 1) Teoretisk fysiks formelsamling 2) BETA 3) NBS Handbook of Mathematical Functions 4) Josefsson, Formel- och tabellsamling i matematik 5) Tefyma 6) Spiegel, Mathematical Handbook 7) Zwillinger, CRC Standard Mathematical Tables and Formulae Obs! Miniräknare är ej tillåten. Edwin Langmann (tel: 5537 8173 epost: langmann@kth.se) Kommer att finnas på kurshemsidan, http://courses.physics.kth.se/5a135/ Otillräckliga motiveringar medför poängavdrag. Inför och förklara själv konstanter och symboler du behöver! 1. (a) Bestäm lösningen u = u(x, t) till ekvationen u t au xx βu = för t > och x L med följande rand- och begynnelsevillkor u x (, t) = u x (L, t) =, u(x, ) = U δ(x L/2), där a >, β > och U > är konstanter, och β < a(π/l) 2. (2p). (b) Kompletera i detalj följande tolkningen av modellen i (a): Problemet i (a) kan tolkas som en modell för en bakteriepopulation i...som växer och sprider sig... Tolkningen skall till större delen vara formulerad i ord och så detaljerad att modellen är entydigt specificerad, dvs., alla matematiska symboler skall förklaras, och alla termer i differentialekvationen och alla villkor skall tolkas (1p). 2. (a) Bestäm en funktion f = f(x, t), < x < L och t >, som uppfyller och f tt (x, t) c 2 f xx (x, t) = A sin(ωt) f(, t) = f(l, t) = ; L, c, A och Ω < cπ/l är positiva konstanter. (2p). (b) Ange en rimlig fysikalisk tolkning av problemet i (a). Ditt svar skall vara till större delen formulerat i ord och så detaljerad att den matematiska modellen är fullständig specificerad. (1p).
3. Ett homogent klot med radie R och konstant temperatur T flyttas vid tiden t = till en omgivning med konstant temperatur T 1 > T (t.ex. ett köttbulle tas ut från frysen). Beräkna temperaturens tidsutveckling inom klotet efter flyttningen först i en enkel modell enligt (a) nedan, och sedan enligt en förfinat modell enligt (b): (a) Anta att klotets randtemperatur är lika med omgivningens temperatur. (b) Anta att Newtons avsvalningslag gäller vid klotets rand. Jämför lösningar och diskutera när modellen i (a) är en bra approximation till modellen i (b). 4. (a) Beräkna den stationära temperaturfördelningen i en cylindrisk, homogen, mycket lång stav som ligger i z >, med konstant temperatur T vid randytorna z = (=bottenskivan) och r = R (mantelytan), och som värms av en värmekälla h(z) = ρ e αz, z ; r, ϕ, z är cylinderkoordinater, och ρ > och α > är konstanter. (2p) (b) Definiera Greensfunktionen till problemet i (a) (1p). 5. Begränsningsytan S : z = p(x, y) av en homogen vätska med totalvolymen V i en behållare som omsluter regionen z >, (x, y) Ω (= område i xy-planet) kan beräknas från följande variationsprincip: potentiella energin E hos vätskan är minimal, med vätskans totalvolymen Vol fixerad till V. Vi antar att V är tillräklig stor att p(x, y) > (x, y) Ω. Potentiella energin är E = ρg zdv + γ ds V där V är volymen z p(x, y), (x, y) Ω som intas av vätskan, ρ > är massdensiteten, γ är ytspänningskoefficienten, g är tyngdaccelerationen, och Vol = dv = V. V (a) Ange en fysikalisk tolkning av E ovan. Anta att Ω är ett rektangel x L, y a, där a är så liten att p är oberoende av y: p = p(x). Visa att E och Vol ovan då blir ( ρg E[p] = a dx 2 p(x)2 + γ ) 1 + p (x) 2, Vol[p] = a dxp(x). (b) Bestäm en enkel appoximationslösning till variationsprincipen ovan på följande sätt: Gör en ansats p(x) = p + α x och bestäm variationsparameterna p > och α så att E[p] är ett extremum med Vol[p] fixerad till V. Visa att din lösning är ett minimum. (c) Bestäm den exakta lösningen p(x) till variationspricipen ovan. Ledning: Härled Euler-Lagrange ekvationen och randvillkor från variationsprincipen och beräkna lösningen. Du kan anta att p(x) = p( x). Det är möjligt att härleda en integralframställning x = p(x) p() S dx(...), och du behöver inte beräkna integralen. Om din lösning har denna form så ange också ekvationerna som definierar p() och andra konstanter du behöver. LYCKA TILL!
Lösningsföreslag till FYSMAT Tentamen den 16 januari 27 1. (a) Vi utvecklar funktionen u i egenfunktioner f = f n som löser problemet f (x) = k 2 f(x), f () = f (a) =, i.e., f n (x) = cos(k n x), k n = n π, n =, 1, 2, 3.... a Detta ger u(x, t) = RV är då uppfyllda, och PDE och BV ger och n= c n (t) cos(k n x). n= ( c n (t) + akn 2 c n(t) βc n (t) ) cos(k n x) = n= c n () cos(k n x) = U δ(x L/2) c n () cos 2 (k n x)dx = U δ(x L/2) cos(k n x)dx = U cos(k n L/2) = U ( 1) n. Detta är ekvivalent med ODE problemet (pga. att funktionerna f n utgör ett fullständigt ortogonalsystem) c n(t) + ak 2 nc n (t) βc n (t) =, c () = U /L, c n> () = 2U ( 1) n /L som har lösningen c (t) = U e βt /L, c n> (t) = 2U e (ak2 n β)t /L. Obs. att u(x, t) = U L ( e βt + 2 ) ( 1) n cos(k n x)e (ak2 n β)t, k n = n π L. U(t) = u(x, t)dx = U e βt. (b) Problemet i (a) kan modellera bakterier som växer och förflyttar sig i ett näringsmedel som befinner sig i en rektangulär behållare x L och y a, där a är så liten att bakteriens täthet u (= antal per längdenhet) vid tiden t och i positionen (x, y) är oberoende av y: u = u(x, t). Bakterierna uppfyller kontinuitetsekvationen u t + j = h(t, x) där bakterieströmmen är j = a u med diffusionskonstanten a, och källtätheten är h = βu: ju mer bakterier det finns desto mer bakterier produceras. Totala mängden U(t) av bakterier i behållaren växer som U(t) = U()e βt, och ln(2)β är därför tiden så bakteriemängden fördubblats.
Detta ger u t a u βu = och PDE i (a) ovan om u = u(x, t). Bakterieströmmen vid behållarens rand är noll: j(t, ) = j(t, L) = där j(x, t) = au x (x, t). Detta ger RV. u(x, ) = U δ(x L/) betyder att vid tiden t = är totala bakteriemängden U koncentrerad i punkten x = L/2. 2. (a) Ansatsen ger ODE med Almänna lösningen till ODE är f(x, t) = sin(ωt)g(x) Ω 2 g c 2 g = A g() = g(l) =. g(x) = A Ω 2 + c 1 sin(kx) + c 2 cos(kx), k = Ω/c, och randvillkoren ger A Ω 2 + c 2 =, A Ω 2 + c 1 sin(kl) + c 2 cos(kl) =. f(x, t) = A ( 1 + cos(kx) + 1 cos(kl) ) sin(kx) sin(ωt). Ω 2 sin(kl) [ Alternativ lösning: Ansatsen f(x, t) = c n (t) sin(k n x), k n = nπ/l uppfyller RV, och PDE ger c n(t) + (ck n ) 2 c n (t) = b n sin(ωt), b n = 2 L A sin(k n x)dx = 2A [1 cos(k n L) Lk n } {{ } =( 1) n ]. Ansatsen c n (t) = a n sin(ωt) ger en partikulärlösning till ODE ovan: ] c n (t) = f(x, t) = sin(ωt) b n (ck n ) 2 Ω 2 sin(ωt).,3,5... 4A Lk n ((k n c) 2 Ω 2 ) sin(k nx). (b) Exempel 3.7 i kursboken. Vi har inga begynnelsevillkor, och därför är lösningen inte entydig: lösningen ovan är en partikulärlösning.
3. (a) Låt T = T(r, t) vara klotets temperatur vid tiden t och vid avståndet r från klotets medelpunkt: t > och r < R. Vi antar att väreledningsekvationen gäller: T t = a T, dvs. i sfäriska koordinater (obs. att T är oberoende av vinklarna θ och ϕ) T t = ar 2 r (r 2 r T) där r = / r och a > är klotets värmediffusivitet. Vi har följande rand- och begynnelsevillkor: T(R, t) = T 1, T(r, ) = T. Randvillkoren kan göras homogena genom ansatsen T(r, t) = u(r, t) + T 1. Detta ger u t = ar 2 r (r 2 r u), u(r, t) =, u(r, ) = (T 1 T ). Vi skall beräkna egenvärden λ n och egenfunktioner ϕ n till operatorn 1 d r 2 dr (r2 d ) dr med de givna RV i hilbertrummet L 2 (r 2, [, R]). Obs. viktfunktionen: skalärprodukten är (f g) = r2 f(r)g(r). Egenfunktionerna är (jämför med Exempel 3.16 i kursboken) ϕ n (r) = j (k n r) = sin(k nr), n = 1, 2,... k n r där ϕ n (R) = ger Ansatsen PDE, och BV ger k n = nπ R. u(r, t) = c n (t)ϕ n (r), c n(t) + ak 2 nc n (t) =, c n () = (ϕ n T T 1 ) (ϕ n, ϕ n ) = (T T 1 ) drr2 sin(k n r)/(k n r) drr2 (sin(k n r)/(k n r)) 2 dvs., = (T T 1 ) 2k n R drr sin(k n r), c n (t) = c n ()e ak2 n t, c n () = (T T 1 )2( 1) n+1. T(r, t) = T 1 (T 1 T ) 2( 1) n+1 sin(k n r) e ak2 nt, k n = n π k n r L. (b) Modellen är samma som i (a), bara RV generaliseras till λt r (R, t) = α(t 1 T(R, t)) med värmeövergångskoefficienten α och värmeledningsförmågan λ (sid. 27 och 8 i kursboken). Med T(r, t) = T 1 + u(r, t) får vi problemet u t = ar 2 r (r 2 r u), u(r, t) βu r (R, t) =, u(r, ) = (T 1 T ), där β = λ α.
Problemet i (a) motsvarar gränsfallet β =. Lösningen är samma som i (a), med skillnaden att egenfunktionerna u n (r) = j (kr) nu skall uppfylla RV j (k n R) βk n j (k nr) =, dvs. (efter enkla räkningar) tan(k n r) = βk nr r + β, som nu bestämmar värderna på k n : Enligt Sturm-Liouville satsen finns där lösningar k 1 < k 2 <.... Lösningen till våra PDE problem blir då T(r, t) = T 1 (T 1 T ) sin(k n r) a n e ak2 nt k n r där a n = k drr sin(k nr) n dr sin2 (k n r) = = 2 cos(k n R)R R + β β cos(k n R). 4. (a) Stavens temperatur T = T(r, z) i cylinderkoordinater, r R och < z <, är oberoende av vinkeln ϕ, och u(r, z) = T(r, z) T uppfyller u = h och u r=r = u z= =, dvs., u rr (r, z) + r 1 u r (r, z) + u zz (r, z) = ρ e αz2, u(r, z) = u(r, ) =, u(r, t) <. Vi beräkna egenvärden λ n och egenfunktioner ϕ n till operatorn 1 d (r d ) = d2 r dr dr d2 + 1 d r dr r med de givna RV i hilbertrummet L 2 (r, [, R]). Obs. viktfunktionen: skalärprodukten är (f g) = rf(r)g(r). Detta ger ϕ n (r) = J (k n r), k n = α,n R och λ n = k 2 n med nollställena α,n till Besselfunktionen J, n = 1, 2,... (jfm. Exempel 3.2 i kursboken). Utvecklingen ger u(r, z) = c n (z)ϕ n (r) där k 2 n c n(z) + c n (z) = a n(z) = (ϕ n h) (ϕ n, ϕ n ) = drrj (k n r)ρ e αz2 drrj (k n r) 2 = a n e αz, c n () = a n = ρ drrj (k n r) drrj (k n r) 2. ODE problemet ovan kan lösas med Laplaces transform och spegling, men jag tycker det är enklare att lösa problemet direkt: allmäna homogena lösningen till ODE ovan är c hom n (z) = A n e knz + B n e knz,
och en partikulärlösning kan beräknas med ansatsen c part n (z) = konst. e αz. Detta ger allmänna lösningen c n (z) = A n e knz + B n e knz a n k 2 n α2e αz. Villkoren c n (z) < och c n () = ger B n = och A n = a n /(k 2 n α2 ), dvs., c n (z) = a n k 2 n α2 ( e k nz e αz) = a n k n + α e knz e αz. k n α OBS att lösningen är väldefinierad även om k n = α (med l Hospitals regel). a n e knz e αz u n (r, z) = J n (k n r) k n + α k n α med a n ovan och k n = α,n /R. Anmärkning: a n kan beräknas: a n = 2ρ k n RJ 1 (k n R). (b) Greensfunktionen G = G(r,r ), r,r Ω(=cylindern), är definierad genom r G(r,r ) = δ 3 (r r ), G(r,r ) r Ω I cylinderkoordinater blir detta G = G(r, ϕ, z, r, ϕ, z ) och G rr + r 1 G r + G zz = 1 r δ(r r )δ(ϕ ϕ )δ(z z ) där G r=r = G z= =, G <, G ϕ ϕ+2π = G = G ϕ ϕ +2π r, r, < R, ϕ, ϕ R, z, z < (med G ϕ ϕ+2π menas G(r, ϕ + 2π, z, r, ϕ, z )). 5. (a) och S Ω ds = ger funktionalen E[p]. zdv = Vol = Vi skall därför extremera dx a dx a dx dy p(x) dzz = 1 2 a p(x) 2 dy 1 + p 2x + p2y = a dx 1 + p (x) 2 a dy E λ(vol V ) = a p(x) dz = a dxp(x). dxf(p(x), p (x)) J[p]
där F(p, p ) = 1 2 ρgp2 + γ 1 + (p ) 2 λ(p h); λ är en Lagrangemultiplikator och h = V /(2La) en parameter som bestämmer totala volymen (så att V = dx a dyh). Ansatsen p(x) = p + α x ger och E = 2a ( ρg dx 2 (p + αx) 2 + γ ) 1 + α 2 ( ρg ) = 2aL 6αL ((p + αl) 3 p 3 ) + γl 1 + α 2 λ(p h + αl/2) Villkoret Vol V = ger Vol V =... = 2aL(p + αl/2 h). p = h αl/2. Obs att vi antar att h är så stor att p >. Vi skall därför minimera funktionen G(α) := E/(2aL) p =h αl/2 = ρg( h2 2 + (αl)2 24 ) + γ 1 + α 2 som bara beror på α 2. Vi skriver G(α) = G() + ρgl 2 g(a 2 ), g(ξ) = α2 24 + γ 1 + ξ, γ = γ ρgl 2. Det är enkelt att se att g(ξ) har sitt absoluta minimum i ξ = om γ > 1 12 och i ξ = γ 2 1 om γ < 1 12. Om γ ρgh2 12 så är p(x) = h (konstant) lösningen som ger lägsta energin. Om γ < ρgh2 12 så är p(x) = h αl/2 + αx, α = ± γ 2 /(12ρgh) 2 1 lösningen som ger lägsta energin; h > α L/2. (c) Euler-Lagrange ekvationen är dvs., p(±l) är inte fixerade, och därför E p(x) = d dx E p (x) ρgp(x) λ = γ d p (x) dx 1 + p (x) 2. F p (x) = x=±l dvs., p (±L) =.
Euler-Lagrange ekvationen ekv. har första integralen C = F p F = ρgp(x)2 p 2 Obs. att detta är consistent med p( x) = p(x). Villkoret p (±L) = ger p(l) = p() p 1 och 1 + γ λp(x). ( ) 1 + p (x) 2 C = ρgp2 1 2 + γ λp 1. Ekv. (*) ovan kan separeras p γ (x) = ± 2 (C + λp(x) ρgp(x) 2 /2) 1. 2 och ger x = p(x) p dp. γ 2 1 (C+λp ρgp 2 /2) 2 Konstanten p bestäms genom att sätta x = L ovan, L = p1 p dp, γ 2 1 (C+λp ρgp 2 /2) 2 och λ genom a p(x)dx = V.