4. Några viktiga summations- och integrationsformler.

Arbetsmaterial 3, Signaler&System I, HT4/E.. 4. Några viktiga summations- och integrationsformler. Först en repetition: 4. Geometriska serier För godtyckliga komplexa tal a och k gäller a + ak + ak 2 + + ak n n termer = s = k n a k, om k, a n, om k =. Bevis: Om a + ak + ak 2 + + ak n = s, så är ak + ak 2 + + ak n + ak n = ks, varav efter subtraktion, a( k n ) = ( k)s a kn k, (om k ). Om k =, så är s summan av n st tal a, d.v.s. = na. (4.) Övningar: 4. Summera a. 3 + 2 9 + 4 27 + 8 8 + + 299 3, b. 3 2 9 + 4 27 8 8 + 2 99 3. 4.2 I sambandet + k + k2 + k 3 + + k n k + k 2 k 3 + kn = 2 är n ett udda heltal. Bestäm k. 4.3 En bank ger ränta p% årligen med ränteutbetalning vid årets slut. Varje år under sammanlagt n år sätts a kr in på ett konto den 2 januari. Hur stort blir kapitalet efter det n :te årets slut om inga uttag görs? 4.4 Summera x n + x n y + x n 2 y 2 + + x 2 y n 2 + xy n + y n, då n är ett heltal 2. 4.5 Verifiera att summan e Mt + e (M )t + + e t + + e t + + e (M )t + e Mt för t kan skrivas där är antalet termer i summan. e t/2 e t/2 e t/2 e t/2 = sinh t/2 sinh t/2, 4.6 Summan (4.) ovan är tydligen en polynom i variabeln k och måste därför vara kontinuerlig. Speciellt måste summans värde för k = vara = lim a kn k k, Verifiera detta genom att direkt beräkna gränsvärdet t.ex. med hjälp av l'hospitals regel. 4.7 Vilket värde har lim t sinh t/2 sinh t/2? De komplexa exponentialfunktionerna av typen e jωt, där ω och t är reella, tilldrar sig ett speciellt intresse inom signalteorin. Vi skall i de följande avsnitten titta närmare på vissa enkla summor och integraler av sådana funktioner. Det visar sig nämligen att det finns oväntade samband mellan sådana summor och δ-pulserna. Sambanden är hörnstenar inom den matematiska teori fourieranalysen som spelar en stor roll inom signalteorin. 9

4.2 Summation av harmoniska vågor (e jωt -funktioner), pulståg 4.2. Först en kommentar till vissa variabelval: Värdet av funktionen e jωt, där ω t är reellt, är som vi vet ett komplext tal med belopp och med argumentvinkeln ω t mätt i radianer. Om t har tidsdimension så kan man åskådliggöra funktionen som en rörlig pekare fäst i origo i planet. ekaren snurrar med en vinkelhastighet på ω radianer/sek moturs om ω >. Att man oftast valt just radianmåttet som vinkelmått beror bl.a. på att deriveringsformlerna för den komplexa exponentialfunktionen (och därmed sinus- och cosinusfunktionerna) blir speciellt enkla. Exempelvis är som bekant d dv sin v = cos v, om v mäts i radianer, medan d π dv sin v = 8 cos v, om v mäts i grader. Trots att radianmåttet verkar vara bäst i matematiska sammanhang kan det i vissa fall ändå vara fördelaktigt att välja ett annat vinkelmått. Ett naturligt sådant är att ta ett varv som enhet. Ett varv motsvarar då radianer respektive 36. En pekare som roterar f varv/sek (dvs. f Herz) har då en vinkelhastighet på f radianer/sek. Vi har alltså ω = f. 4.2.2 Summation av harmoniska funktioner Vi tittar nu närmare på summor av heltalspotenser av e jωt -funktioner. För att hyfsa formlerna litet sätter vi ω t = α och α = ft = β. Summan S (α) = e jmα + e j(m )α + + e jα + + e jα + + e j(m )α + e jmα M = e jnα. n = M är en geometrisk serie med kvot e jα, första term e jmα och med stycken termer, där är det udda talet 2M +. För e jα får man därför summan S (α) = e jmα ej(2m +)α e jα = e jmα ej(2m+)α/2 e jα/2 ej(2m +)α/2 e j(2m +)α/2 e jα/2 e jα/2 = e = j(2m +)α/2 e j(2m +)α/2 sin α/2 e jα/2 e jα/2 = sin α/2. För e jα =, dvs α = heltal, är summan istället =. Notera att termerna i summan alla är -periodiska i variabeln α, detsamma gäller då förstås också summan. Väljer man i stället varvfrekvensen f som vinkelmått, så får man istället den -periodiska summan: S (β) = sin π β sin πβ utom när β = heltal, då summan =. Summan är tydligen alltid reell och som funktion av α har dess graf principutseendet: -4π - -2-2 β Funktionen är periodisk med periodlängd, och dess -ställen i intervallet < α < ( < β < ) är α = /, 4π/,, ( )/ (β = /, 2/,, ( )/ ) ( Man kan visa att 4π α I figuren är =. 2

b S (β) dβ, om intervallet a < β < b innehåller precis en heltalspunkt, då., om intervallet a< β < b inte innehåller någon heltalspunkt, a Funktionen kommer alltså för stora att approximativt motsvara enhetspulser vid punkterna β = heltal. Funktionen representerar ett så kallat pulståg enhetspulståget. 2 δ (β n) n = 2 β Resultatet kan med hjälp av generaliserade funktioner uttryckas Övning: e jnβ = δ(β n) (4.2) n = n = 4.8 Skala (4.2) genom att sätta β = t/t (t variabel, T konstant > ). Utnyttja sambandet (6) för att verifiera att och speciellt e jnt /T = T δ(t nt) (T-periodiska fallet) (4.2 ) n = n = e jnt = δ(t n) (-periodiska fallet) (4.2 ) n = n = Sambanden (4.2) (4.2 ) är alltså likheter mellan generaliserade funktioner och är med den klassiska analysens synsätt meningslösheter. Exempelvis är vänsterleden divergenta serier 2 som saknar (klassisk) summa! Inte desto mindre kan man använda sambanden för att förhållandevis lätt härleda klassiska resultat som är mycket svåra att få fram med andra metoder. Exempel 4. Om man t.ex. multiplicerar ekvationen (4.2 ) med en funktion x(t) som är kontinuerlig åtminstone i punkterna n, n =, ±, ±2, ±3,, får man n = x(t) e jnt = n = x(t)δ(t n) = x(n)δ(t n) (4.3) n = och sedan integrerar leden över hela reella axeln, så får man en mycket generell summationsformel : 2 En i klassisk mening konvergent series termer måste. Termerna i summan i vänster led har alla beloppet så den kan inte vara konvergent. 2

n = x(t) e jnt dt = n = x(t)δ(t n) dt = x(n) (4.4) n = Anmärkning: Detta samband är (ett speciellt fall) av den s.k. oissonska summationsformeln. För att den skall vara giltig i klassisk mening måste funktionen x(t) ha en del snällhetsegenskaper (krav på konvergens av ytterledens summor och integral t.ex.). Vi går dock inte in på detta närmare här. Litet slarvigt kan man säga att den i praktiskt förekommande fall stämmer om ytterleden är meningsfulla från klassisk synpunkt. För exempelvis de fall då funktionen x är = utanför intervallet t men inom detta intervall, förutom att vara kontinuerlig i t = och ±, varierar på ett godtyckligt sätt, x(t) t så förenklas högerledet i (4.4) till en enda term x() och man får sambandet: T.ex; Om c n = om t < a, Låt x(t) = rect 2a (t) =, om t > a, n = Integralen i vänsterledet är inte svår att beräkna: c n = x(t) e jnt dt = a a och för n = : c = x(t) dt = a dt = 2a. a x(t) e jnt dt, så är cn = x() (4.5) n = där < a <. Då vet vi enligt ovan att x(t) e jnt dt = x() =. e jnt dt = Om n = e jnt jn a a = ejna e jna jn Noterar man att c n = c n, så kan summan, vars värde vi vet är, skrivas = 2 sin na n n = cn = c + 2 n = Man får alltså sambandet cn = 2a + 2 n = 2 sin na n = 22

n = sin na n = π a 2, för < a <. Observerar man att vänsterledet, som funktion av a, är -periodiskt och att det för a = är =, så förstår man att summan är = den -periodiska fortsättningen av funktionen y(a) = (π a)/2 om < a <,, om a =, n = sin na n π/2 π π π/2 a Övning: 4.9 lotta (t.ex med hjälp av MatLab) graferna för M n = sin na n, då M =, 5 respektive. 4. Använd resultaten från övning 3.9b (sid 8) och exempel 3.6 (sid 7) för att visa att n sin n + cos n n = n 2 = 4 och sin n n cos n n = n 3 = π 4 6. *4. Låt x(t) = t 2 om t < π,, om t > π,. Vilken serie och seriesumma ger sambandet (4.2 ) med detta x(t)? 4.3 Sampling multiplikation med pulståg Inkommande kontinuerligt definierade signaler x(t) kan i allmänhet inte avläsas vid alla tidpunkter. Mer realistiskt är att de avläses vid tidpunkter t = nt, n =, ±, ±2, : Man säger då att man samplar signalen med sampelavståndet T. Sampelvärdena ges då av följden x[n] = x(nt), n =, ±, ±2, Anmärkningsvärt nog kan motsvarande analytiska procedur koncist uttryckas med hjälp av pulstågs- funktionen, δ(t nt). Den samplade signalen svarar nämligen mot pulståget: n = x(nt) δ(t nt) = x(t) δ(t nt) = x(t) δ(t nt) n = n = n = 23

x(t) 2T T T 2T t x(nt) δ(t nt) = x(t) δ(t nt) n = n = Sampling med samplingsavståndet T av en kontinuerlig signal svarar mot att signalen multipliceras med pulståget T (t) = δ(t nt). n = Övningar 4.2 Låt x(t) = cos t. Skriv upp analytiska uttryck för sampelfunktionerna för sampelavstånden T = π/2 respektive π. Vilka är följderna av sampelvärden i de båda fallen? 4.3 Låt x T (t) vara samplingen av signalen x(t) med sampelavståndet T. a. Beräkna I T = x T (t) dt. b. Vad bör gränsvärdet lim T I T rimligtvis ha för värde? (Rita figur!) T + 4.4 eriodisk fortsättning faltning med pulståg Det visar sig att också operationen att bilda den -periodiska fortsättningen till en signal har att göra med pulståget δ(t n): Låt x(t) vara den -periodiska fortsättningen av funktionen y(t): 3 n = x(t) = y(t n) n = 3 Se sidan 6 i arbetsmaterial. 24

y(t + 3) y(t + 2) y(t + ) y(t) y(t ) y(t 2) y(t 3) x(t) Nu har man att y(t n) = x(t) = n = 3 2 2 y(τ)δ(t τ n) dτ = där (t) är pulståget n = y(τ)δ(t τ n) dτ, varför δ(t n) y(τ) δ(t τ n) dτ = n = 3 t y(τ) (t τ ) dτ. (4.6) Den räkneoperation man gör med funktionerna x(t) och (t) i högra ledet i (4.6) är exempel på en så kallad faltning (eng. convolution). Allmänt definieras faltning y*z mellan två funktioner y(t) och z(t) av (y*z)(t) = y(τ) z(t τ ) dτ. (4.7) Faltningen skall ses som ett räknesätt mellan funktioner som producerar en ny funktion ur två givna. Den visar sig spela en viktig roll i fourieranalysen. Sammanfattningsvis: Övning -periodisk fortsättning av en signal svarar mot att signalen faltas med pulståget 4.4 Förenkla (sin t rect (t)) * n = δ(t n). n = δ(t 2nπ). (Rita figur!) 4.5 Beräkna y(3π/4) då y(t) = (sin t rect π (t)) * n = δ(t nπ). (Rita figur!) 25

5. Fourierserier och fourierutveckling 5. Syntes- och analysekvationerna (OW (3.), 3.3., 3.3.2) 4 Låt x(t) vara en -periodisk funktion. Funktionen x (t) = x(t) rect (t) beskriver då x:s värden i fundamentalintervallet /2 < t < /2 och x(t) är den -periodiska fortsättningen av x (t). x (t) x(t) t d.v.s. x(t) = /2 /2 x (τ) (t τ ) dτ, där (t) = δ(t n) n = Summationsformeln (4.2): e jnt = δ(t n), n = n = gör det möjligt att skriva om uttrycket för x(t): x(t) = x (τ) e jn ( t τ) dτ = n = n = x (τ) ejn ( t τ) dτ. Här är e jn ( t τ) = e jnt e jn τ, där den första faktorn tydligen är oberoende av integrationsvariabeln τ, alltså x(t) = n = x (τ) e jn τ dτ e jnt. Men x (τ ) = utanför intervallet /2 τ < /2 och = x(τ) inom det intervallet, varför /2 vilket ger x (τ) e jn τ dτ = x(t) = där a n = /2 an e jnt, n = /2 /2 x(τ) e jn τ dτ, x(τ) e jn τ dτ. Detta är (den komplexa varianten) av Fouriers sats mom serieutveckling av -periodiska funktioner. Den första ekvationen kallas syntesekvationen och den andra analysekvationen. För periodiska funktioner med godtycklig period finns förstås motsvarande samband: 4 Se också Olles kompemdium Komplexa funktioner, sid 6-62. 26

x(t) = där a n = Speciellt för -periodiska funktioner blir det an e jnt /, (4.8) n = /2 /2 x(τ) e jn τ/ dτ. (5 (4.9) där a n = x(t) = an e nt, (4.8 ) n = π π x(τ) e jn τ dτ. (4.9 ) Relationerna är mycket anmärkningsvärda bland annat eftersom x(t) får ha ett godtyckligt beteende i intervallet /2 t /2: Varje generaliserad funktion definierad i intervallet /2 t /2 kan enligt (FS) skrivas som en (oändlig) linjär kombination av de komplexa exponentialfunktionerna (e jt / ) 3, (e jt / ) 2, (e jt / ),, e jt /, (e jt / ) 2, (e jt / ) 3,, d.v.s. av heltalspotenserna av funktionen e jt / = cos (t/) + j sin (t/). Man kan visa att inga andra koefficienter än fourierkoefficienterna duger i syntesekvationen. Mot varje generaliserad funktion x(t) i intervallet /2 t /2 svarar alltså en unik en oändlig följd av (komplexa) tal, funktionens så kallade spektrum: a 3, a 2, a, a, a, a 2, som tillsammans innehåller all information om funktionen x(t). rocessen, att gå från en periodisk funktion till dess spektrum, är en transformation (eller transform), ). Om man vill framhäva detta kan man skriva analysekva- den så kallade fourierserietransformen ( tionen som: x(t) a n = /2 x(τ) e jn τ/ dτ, n =, ±, ±2, /2 Syntesekvationen, som ju omvänt anger vilken periodisk funktion som har spektret a n, kan skrivas på motsvarande sätt: a n x(t) = an e jnt /. n = Exempel 5.: Funktionen y(t) =, då t <, =, om t < 2, har, då den utvecklas i en 2-periodisk fourierserie fourierkoefficienterna a n = 2 y(τ) e jn τ/2 dτ = 2 e πj n τ dτ = Om n = e πjn τ j n τ = = e πjn j n = = Obs att e πjn = ( ) n, = om n jämnt, = om n udda = om n jämnt och = πjn om n udda. 5 Sambanden återfinns i Oppenheim-Willsky på sid 9, där T spelar rollen av periodlängd. 27

För n = får man a = 2 e dτ = 2. Funktionen och beloppet av dess fourierkoefficienter a n x(t) /π /2 /π /3π /3π 3 2 2 Syntesekvationen får utseendet t 3 2 2 n y(t) = 2 + πj 7 e 7πjt 5 e 5πjt 3 e 3πjt e πjt + e πjt + 3 e 3πjt + 5 e 5πjt + Antalet termer i serien är oändligt och likheten är i första hand en likhet i generaliserad mening men man kan förvänta sig att ändliga avsnitt av serien, som y M (t) = 2 + M πj n e πjnt n = M n udda med ökande M ger bättre och bättre approximationer till y(t). Så är också fallet med undantag för t-värden nära diskontinuitetspunkter som t =. M = 5 M = y(t) och dess 2-periodiska fortsättning, approximationerna y och y. 5 Exempel 5.2: För x(t) = δ(t), /2 t < /2 får man fourierkoefficienterna /2 a n = /2 Den -periodiska fortsättningen av δ(t) är pulståget d.v.s. vi återfår sambandet (4.2) ovan. n = δ(τ) e jn τ dτ =. n = δ(t n) = e jnt, n = δ(t n), varför syntesekvationen ger 28

Funktionen δ (t n) n = och dess fourierkoefficienter a k 3 2 2 t 3 2 2 (Snarlika exempel finns i OW sid 92 95, se särskilt exempel 3.5.) k Övning : 5.a. Bestäm fourierkoefficienterna till de -periodiska funktionerna sin t och cos t. b. Bestäm fourierkofficienterna till den -periodiska fortsättningen till δ(t). Vilken blir syntesekvationen i detta fall? Om x(t) redan är en -periodisk funktion, så är x(t) identisk med den -periodiska fortsättningen av funktionen y(t) = x(t), t <. Syntesekvationen ger därför att Eftersom integralen c + c x(t) = ak e jnt /, då < t <. n = x(t) dt är oberoende av c om x(t) är -periodisk, 6 så spelar det ingen roll vilket intervall av längd man integrerar över. OW använder beteckningen för sådana integrationer. Analysekvationen kan då skrivas: a n = x(τ) e jn τ/ dτ. (4.9 ) Exempel 5.3 roblem: Beräkna fourierseriekoefficienterna till den -periodiska funktion x(t) som är = (π t )/2, då < t < π och = (π + t)/2 då π < t <, och skriv upp motsvarande syntesekvation. Lösning: Grafen för denna funktion består av räta-linjestycken: x(t) π/2 π π π/2 t och vi ser att det är enklare att beskriva x(t) som den -periodiska fortsättningen av den funktion som i intervallet < t < antar värdena (π t )/2 6 Kan visas formellt genom att man deriverar integralen med avseende på c och utnyttjar att x(c + ) = x(t). Genomför gärna detta! 29

Väljer man nu i (4.9 ) integrationsintervallet < t <, så får man a n = x(τ) e jn τ π τ dτ = 2 e jn τ dτ Med hjälp av partiell integration och med tanke på att e ±2jn π = : 4π π τ e jn τ jn τ = 4π jn e jn τ dτ = 2 4jn + 4π (jn) 2 e jn τ τ = Detta om n. Om n istället är = så får man integralen = 2 4jn + = 2jn Syntesekvationen får formen: x(t) = n = n π τ 2 2jn ejnt = n = dτ = 4π (π τ) 2 2 =. τ = 2jn (ejnt e jnt ) = n = (7 n sin nt 5.2 Fourierserier på reell form (ZC.2) Om x(t) är en -periodisk reell signal, så följer efter konjugering 8 av syntesekvationen att x(t) = x*(t) = n = x(t) = an e jnt / n = a* n e jnt / = Byt n mot n = a* n e jnt / n = Eftersom fourierkoefficienterna är unika, så måste detta innebära att a n = a* n. Detta medför att om vi parar ihop den n:te termen i syntesekvationen med den ( n:te (n ), så kan vi skriva om dem: a n e jnt / + a n e jnt / = a n e jnt / + (a n e jnt / ) * = 2 Re (a n e jnt / ) = 2 Re (a n (cos (nt/) + j sin (nt/)) = u n cos (nt/) + v n sin (nt/), där u n = 2 Re a n och v n = 2 Im a n. Eftersom fourierkoefficienterna kan skrivas a n = x(τ) e jn τ/ dτ = x(τ) cos (nτ/) dτ j x(τ) sin (nτ/) dτ, Här avläser man, för reella x(t), a n -koefficienternas real- och imaginärdelar, vilket ger u n = 2 x(τ) cos (nτ/) dτ och v n = 2 x(τ) sin (nτ/) dτ. Kalkylen ovan omfattade inte fallet k =, men för detta n-värde har man 7 Jämför med resultatet i exempel 4.. 8 Konjugatet till ett komplext tal a + jb (a och b reella) är som bekant talet a jb. Konjugatet till z betecknas i kurslitteraturen med z*. 3

a = x(τ) dτ, som är ett reellt tal. Sammanfattningsvis kan man alltså skriva syntesekvationen på formen x(t) = u 2 + n = där (de reella) fourierkoefficienterna ges av u n = 2 ( u k cos (nt/) + v k sin (nt/)), x(τ) cos (nτ/) dτ, n och v n = 2 x(τ) sin (nτ/) dτ, n. Anmärkning 2: Detta är den historiskt sett ursprungliga formulering av Fouriers sats. Zill-Cullen kap.2 3, arbetar uteslutande med denna. Det som här betecknats u n och v n kallas i ZC a k och b k. Vi har satt u = 2a bara för att slippa särbehandla fallet n = i fourierkoefficientformeln. Exempel 5.4: Den 2-periodiska funktionen y(t) i exempel 5. har de komplexa fourierkoefficienterna a n =, om n jämnt och = j πn, om n udda samt a = 2. De reella fourierkoefficienterna är därför u n =, om n och u =, och man får den reella syntesekvationen v n =, om n jämnt och = 2 πn, om n udda x(t) = 2 + 2 π n sin(πnt)) = 2 + 2 π n = sin 3πt sin 5πt sin πt + 3 + 5 +. n udda Anmärkning 3: Observera den inte så självklara summationsformel som man får om man t.ex. sätter t = /2 i det sistnämnda sambandet. Eftersom x(/2) = och sin (2n + )π/2 = sin (π/2 + nπ) = ( ) n, så är = 2 + 2 π 3 + 5 7 +, d.v.s. 3 + 5 7 + = π 4. Övning 5.2: Bestäm den komplexa och den reella fourierserien för den -periodiska funktion som är = i intervallet π/2 < t < π/2 och = då π/2 < t < 3π/2. 5.3 Egenskaper hos fourierserietransformen Mellan en periodisk funktion och dess fourierkoefficienter finns många rätt enkla samband. Några exempel: Om den -periodiska signalerna x(t) och y(t) har fourierseriekoefficienterna a n resp. b n, n =, ±, ±2,, så gäller att 3

funktionen A x(t) + B y(t), A och B konstanta x (t) har fourierseriekoefficienterna A a n + B b n n j a n x (t) 4π2 n 2 x (m) (t) x(t c) 2 n j a n m an e n jc / a n δ(t n) n = an = Notera att sambanden som rör derivering och translation blir speciellt enkla för -periodiska funktioner. Ytterligare några egenskaper finns listade i OW sid 26 och i övre halvan av Table 4.2 på sid 329.. Förutom att de har stort pricipellt intresse kan de ofta användas för att förenkla räknarbete. Tabell över den reella varianten av fourierserierna finns också i handboken β. Exempel 5.5: roblem: Bestäm fourierutvecklingen till den 2-periodiska funktion som i intervallet t ges av x(t) = ht/d, då t d, h( t)/( d), då d t och för vilken x( t) = x(t). h d h x(t) t Lösning: Syntesekvationen har utseendet x(t) = an e πjnt, där fourierkoefficienterna kan beräknas n = direkt ur analysekvationen. Enklare blir det dock om man observerar att x och framför allt x är betydligt enklare funktioner än x: x (t) = = h/d, då t < d, (Rita grafen!) h/( d), då d < t. och x (t) = h d h d (δ(t + d) δ(t d)) = h d( d) (δ(t + d) δ(t d)). ( ) Deriverar man syntesekvationen 2 ggr får man att x (t) = (πj n) 2 a n e πjnt. Här avläser man att x :s n = fourierkoefficienter (πj n) 2 a n = π 2 n 2 a n erhålls ur π 2 n 2 a n = 2 x (t) e πjnt dt = = h 2d( d) h 2d( d) (eπjnd e πjnd ) = jh d( d) 32 δ(t + d) e πjnt dt δ(t d) e πjnt dt = sin (πnd), varav för n :

jh a n = π 2 n 2 sin (πnd), d( d) Återstår att beräkna a som enligt analysekvationen är = 2 x(t) dt, d.v.s. funktionens medelvärde över en period. Detta medelvärde är i det här fallet uppenbarligen =. Vi får alltså fourierserien jh x(t) = π 2 sin (πnd) d( d) n = n 2 e πjnt. n Anmärkning: Alternativt kan man få fram resultatet utgående från uttrycket för andraderivatan ( ) och egenskapstabellen ovan: De 2-periodiska fortsättningarna av respektive funktioner nedan har enligt tabellen de angivna koefficienterna: δ(t ) 2, n =, ±, ±2,, δ(t ± d) e ±πn jd 2, n =, ±, ±2,, h x (t) d( d) (e πn jd e +πn jd ) 2 = h j d( d) För n : x(t) a n = π 2 n 2 h j d( d) sin πnd För n = får vi som nyss direkt ur analysekvationen att a =. Detta ger svaret ovan. sin πnd, n =, ±, ±2,, För ytterligare exempel se OW s. 26 29. Övning 5.3 Bestäm fourierkoefficienterna till funktionen i exempel 5.3 med hjälp av någon av beräkningsmetoderna som användes i exempel 5.5. 5.4 Samband mellan fourierserier och minstakvadratapproximation. (Se också ZC kap.) artialsummor till en funktions fourierserie ger ofta kusligt bra approximationer till funktionen (jmfr exempel 5. ovan). Detta kan i på sätt och vis förklaras av att fourierutvecklingen i viss mening är optimal. Informellt kan man förstå hur detta hänger ihop via en geometrisk analogi, som för övrigt också ligger till grund för det generella approximationsförfarande som går under namnet minstakvadratmetoden. u 2 u 2 c 2 v u v o u c v v o V Anta att u, u 2 och v är tre vektorer i rummet sådana att u och u 2 spänner upp ett plan V. Om v ligger i detta plan, så kan v skrivas som en linjär kombination av u och u 2 v = c u + c 2 u 2 (4.) Vektorerna u och u 2 kan ses som en bas för ett koordinatsystem i planet V och koefficienterna c och c 2 som koordinaterna för vektorn v i den basen. Dessa är särskilt lätta att beräkna om vektorerna u och u 2 är vinkelräta mot varandra, dvs då den skalära produkten u u 2 =. Man har nämligen då att u v = c u u + c 2 u u 2 = c u 2, varav c = (u v )/ u 2 och på samma sätt c 2 = (u 2 v )/ u 2 2 (4.) 33

Om v inte ligger i planet V så finns ingen möjlighet att uttrycka v med hjälp av u och u 2 som i (4.). Däremot finns det i planet V en vektor v som ligger närmast v, nämligen den för vilken v v är vinkelrät mot planet, och alltså också mot u och u 2. Detta innebär att om v = c u + c 2 u 2, så måste (v v ) u k = (v c u c 2 u 2 ) u k =, k =, 2. Detta ger igen sambanden (4.) och man kan sammanfatta: Den vektor i planet som ligger närmast v ges av v = u v u 2 u + u 2 v u 2 2 u 2 och felet man gör då man approximerar v v ges av v v. Enligt ythagoras' sats (se fig) blir detta: v v 2 = v 2 c u 2 c 2 u 2 2 = v 2 c 2 u 2 c 2 2 u 2 2. Man ser också att v 2 c 2 u 2 + c 2 2 u 2 2. (4.2) Om speciellt v ligger i planet V, så kommer v = v och felet vara =, d.v.s likhet gäller v 2 = c 2 u 2 + c 2 2 u 2 2 (4.3) Förfarandet kan utan vidare generaliseras till vektorer i R n och till flera basvektorer u k än två och även till vektorer i C n med komplexa koordinater om man definierar skalärprodukt av två sådana vektorer med koordinater x = (x, x 2,,x n ) och y = (y, y 2,,y n ) enligt x y = Normen (längden), x, av en vektor definieras då av n k = xk y k *. x 2 n = x x = xk 2. k = Anmärkningsvärt nog kan allt detta generaliseras till att handla om funktioner i stället för vektorer! Detta om man definierar skalärprodukt mellan två funktioner x(t) och y(t) som (x(t), y(t)) = b c x(t) y * (t) dt, där b < t < c är ett passande intervall 9 (4.4) och i analogi därmed normen av x(t), x(t), enligt x(t) 2 = (x(t), x(t)) = b c x(t) 2 dt. (4.5) Man får en koppling mellan detta och fourierserieutveckling av -periodiska funktioner om man definierar skalärprodukten och norm som i (4.4) och (4.6) med ett integrationsintervall av längd : (x(t), y(t)) = x(t) y * (t) dt och x(t) 2 = x(t) 2 dt. (4.6) Signalerna x(t) och y(t) kan tas godtyckliga så när som på att deras normer enligt (4.5) är ändliga, d,v,s att x(t) 2 och y(t) 2 är integrabla och integralen ifråga är konvergent. Man brukar säga att sådana signaler har en ändlig energi. Mer om detta längre fram. 9 Beteckningen (x(t), y(t)) för skalärprodukten av två funktioner är rätt vedertagen. Observera att beteckningen x(t) y(t) inte är lämplig eftersom den ju allmänt används när man multiplicerar två funktioner som vanligt. 34

Syntesekvationen x(t) = an e jnt / (4.7) n = kan då uppfattas som att vektorn x(t) är en linjär kombination av (de oändligt många) vektorerna v n (t) = e jnt /, n =, ±, ±2, där a n, n =, ±, ±2,, är motsvarande koefficienter. Syntesekvationen uttrycker att alla funktioner exakt kan skrivas som en sådan linjär kombination av basfunktionerna v n (t). Eller annorlunda uttryckt: Vektorn x(t) ligger i det rum som vektorerna e jnt /, n =, ±, ±2,, spänner upp. För dessa basfunktioner gäller nu att deras parvisa skalära produkter är = : (v m (t), v n (t)) = e jmt / e jnt / dt = e j(m n ) t / dt = Om m n = = e j(m n ) t / j(m n) = e j(m n ) j(m n) Basfunktionerna är alltså parvis vinkelräta. För normerna gäller v n (t) 2 = =, eftersom e jk = för varje heltal k. e jnt / e jnt / dt = dt =, d.v.s. basfunktionernas normer är alla =. Detta betyder att koefficienterna a n i syntesekvationen bör kunna beräknas enligt principen (4.) ovan vilket inte är något annat än just analysekvationen. Vidare: artialsummorna till fourierserien, a n = (x(t), v n(t)) v n (t) 2 = x(t) e jnt / dt (4.8) M dvs. x M (t) = ak e jnt /, n = M kan uppfattas som den bästa approximation till x(t) som man kan få genom att linjärkombinera de 2M + funktionerna e jnt /, n =, ±,, ±M, på samma sätt som v approximerar v i den geometriska betraktelsen ovan. Felet vid approximationen mäts då med normen x(t) x M (t) 2. Tänker man på x(t) som en signal, så är normkvadraten ett mått på energin/period i signalen. För signalen x M kommer alltså bortfallet, i förhållande till signalen x(t), energimässigt att vara så litet som möjligt. Sambandet (4.5) ovan ( ythagoras' sats ) kommer i fourierseriesammanhang att få utseendet x(t) 2 dt = x(t) 2 = an 2 v n (t) 2 = an 2. (4.9) n = n = Likheten kallas i dessa sammanhang arsevals relation. En energimässig tolkning av den är att: Obs att om x(t) exempelvis är en elektrisk signal där x är strömstyrkan, så kommer x 2 att vara proportionell mot effekten och tidsintegralen mot något med dimension effekt tid, dvs energi. 35

Energin/period hos en signal = summan av delsvängningarnas energier/period. Exempel 5.6: Om en signal skickas igenom ett så kallat (idealt) högpassfilte, så släpps alla harmoniska frekvenser från och med en viss nivå (brytfrekvensen B) igenom utan att påverka vare sig amplitud eller fas, medan inga harmoniska frekvenser under denna nivå tillåts passera. roblem: Signalen i exempel 5. där t mäts i millisekunder (ms) skickas igenom ett högpassfilter med B = khz. Hur stor andel av signalens energi har då den filtrerade signalen? Lösning: Om y(t) är ursprungssignalen och ŷ(t) är den filtrade, så är den efterfrågade energiandelen ŷ(t) 2 y(t) 2 Den harmoniska signalen e πjnt har frekvensen n/2 khz. I vårt speciella fall filtreras alla med n/2 <, d.v.s. n < 2 bort (obs att grundfrekvensen = 2 khz eftersom t mäts i ms). Den bortfiltrarde delen av signalen är därmed och den filtrerade arsevals relation utsäger att y(t) ŷ(t) = y (t) = 2 + πj ŷ(t) 2 = 2 π 2 n = n 2 = y(t) 2 2 + πj n udda, 3 2 Men y(t) 2 = n e πjnt = πj e πjt + 2 + πj e πjt n = ŷ(t) = πj n e πjnt n = n udda, 3 n = y(t) 2 dt = n e πjnt 2 = y(t) 2 2 π 2 + 4 + π 2. 2 dt =, varav vi får den sökta energiandelen: ŷ(t) 2 y(t) 2 = 2 4 π 2 9,5%. Den matematiska substansen i arsevals relation är betydande, vilket något litet framgår av nästa exempel. Exempel 5.7: Enligt exempel 5. har vi för den 2-periodiska funktionen y(t) =, då < t <, =, om < t < 2, att y(t) = 2 + πj 7 e 7πjt 5 e 5πjt 3 e 3πjt e πjt + e πjt + 3 e 3πjt + 5 e 5πjt + arsevals relation ger då att där som i föregående exempel y(t) 2 = y(t) 2 = 2 2 2 + n = πjn 2 = 2 + 2 2 n = (πn) 2, n udda n udda 2 y(t) 2 dt = dt =, 36

varav = 2 + 4 π 2 n = n 2, d.v.s. + 3 2 + 5 2 + π2 72 + = 8, n udda ett resultat som inte är så lätt att få fram utan hjälp av fourierserieteorin. 5.5 Andra ortogonala funktionsserier Det är ortogonaliteten hos de harmoniska funktionerna e jnt /, n =, ±, ±2,, som huvudsakligen är ansvarig för giltigheten av formelparet (4.7) och (4.8). Motsvarande relationer har man också för andra basfunktioner med parvis ortogonala funktioner. Exempel 5.8: roblem: a. Bestäm konstanten c så att funktionerna p (t) = och p (t) = t + c, t, är ortogonala med avseende på den skalära produkten (x(t), y(t)) = x(t) y*(t) dt. Bestäm sedan motsvarnde normer p (t) och p (t) (enligt (4.6)). b. Låt x(t) vara någon funktion definierad på intervallet t, Ange formler för hur konstanterna a och a skall beräknas för att funktionen xˆ(t) = a p (t) + a p (t) approximerar funktionen x(t) så, att energidifferensen x(t) xˆ(t) är så liten som möjligt. c. Bestäm det polynom av grad som i energidifferensmening approximerar x(t) = t 3 på bästa sätt. Lösning: a. (p (t), p (t)) = = (t + c) dt = 2 + c c = 2, p (t) 2 = p (t) 2 = 2 dt = p (t) =, (t 2 ) 2 dt = (t /2) 3 3 = 2 p (t) = 2. p p 37

b. a = (x(t), p (t)) p (t) 2 = x(t) dt = x(t) dt, a = (x(t), p (t)) p (t) 2 = /2 x(t) (t /2) dt = 2 x(t) (t /2) dt, c. Eftersom varje polynom av grad kan skrivas på formen a p (t) + a p (t) bestämmer vi först koefficienterna a och a för det bästa polynomet. Enligt b. a = t 3 dt = 4, a = 2 t 3 (t /2) dt = x(t) = t 3 (9t 2)/ = 2 5 8 = 9. t Den bästa förstgradsapproximationen till t 3 är alltså xˆ(t) = 4 + 9 t 2 = 9 t 5 Övningar: 5.4 a. Förenkla koefficienterna i fourierserien för signalen i exempel 5.5 för det fall att d = /2 och h = /2. b. Ett (idealt) lågpassfilter släpper igenom alla harmoniska signaler upp till en viss frekvens B ograverade och ingen av de harmoniska signalerna med högre frekvens. Man vill konstruera ett lågpassfilter så att andelen förlorad energi vid filtrering av signalen i a-uppgiften blir mindre än %. Hur skall brytfrekvensen B då väljas? Variabeln t mäts i ms. Du kan börja med att verifiera att om B [khz] väljs i intervallet M + /2 < B < M + 3/2 (M heltal ), så kommer andelen förlorad energi att vara 96 π 4 M m = (2m+) 4. 5.5 a. Bestäm konstanterna b och c så att p 2 (t) = t 2 + bt + c, t, är ortogonal mot polynomen p (t) och p (t) i exempel 5.8. b. Bestäm det polynom xˆ2(t) av grad 2 som approximerar funktionen x(t) = t 3, t, så att energiavvikelsen xˆ2(t) x(t) är så liten som möjligt. Du kan lämpligen skriva det sökta polynomet på formen a p (t) + a p (t) + a 2 p 2 (t) och först bestämma a 2. (Obs att konstanterna a och a redan beräknades i exemplet.) 5.6 Låt q (t) = och q (t) = sgn t, t. a. Verifiera att dessa funktioner är ortogonala mot varandra med avseende på skalärprodukten (x(t), y(t)) = x(t) y*(t) dt och bestäm funktionernas normer. (Rita graferna!) b. Verifiera att varje funktion y(t) som är konstant på intervallen < t < och < t < (med eventuellt olika konstanter i de båda intervallen) kan skrivas på formen y(t) = a q (t) + a q (t), a och a konstanter. c. Använd resultaten från a- och b-uppgifterna för att bestämma den i ovannämnda intervall konstanta funktion som approximerar x(t) = t 2 t, t med minsta möjliga energiavvikelse. 38

5.6 Konvergensfrågor Eftersom likheten i syntesekvationen är en likhet mellan generaliserade funktioner är det inte självklart att likheten gäller i klassisk mening, d.v.s. att M x(t) = lim an e jnt, M n = M där limesbegreppet är som i den vanliga analysen. Detta problem är inte alldeles enkelt att reda ut, men tillräckliga villkor finns uppskrivna i kurslitteraturen: Condition 3 i OW. s. 97 98. Ett något enklare villkor, som nästan alltid är uppfyllt i alla praktiskt förekommande fall ges i följande sats: Om x(t) och x (t) (2 är styckvis kontinuerliga och har höger- och vänstergränsvärden i alla punkter så är lim M M n = M an e jnt = x(t+) + x(t ) 2 Konvergens råder därför i praktiken alltid, med undantag för de ställen där x(t) är diskontinuerlig. Där blir seriesumman i stället = värdet mitt i språngintervallet. I sådana punkter uppträder också en komplikation som kallas Gibbs fenomen (se OW sid 98 2.) Förutsättningarna i konvergenssatsen ovan kan inte tas bort. Man känner exempelvis till kontinuerliga periodiska funktioner vars fourierserier inte konvergerar över huvud taget. Situationen kan kännas en smula obekväm! En litet djupare fundering på saken kan vara som följer: Konvergensbegreppet används här egentligen mest för att på ett precist sätt kunna uttrycka att olika funktioner ligger nära varandra : får betyda att lim M M n = M an e jnt = x(t) M an e jnt ligger godtyckligt nära x(t) för tillräckligt stora värden på M. n = M Om gränsvärdeslikheten inte skulle stämma i en enda speciell punkt så skulle partialsummorna enligt detta inte ligga nära varandra. Ur signalteoretisk synpunkt är detta dock ingen särskilt lyckat. Två signaler som är lika så när som vid en enda tidpunkt skulle knappast i praktiken kunna skiljas från varandra man vill kunna betrakta dem som lika! Ett bättre sätt att hantera detta är att som mått på graden av närhet ta energin (under en period) hos differensen mellan signalerna. Att värden på M, får då betyda att M n = M. an e jnt ligger godtyckligt nära x(t) för tillräckligt stora lim M an e jnt x(t) 2 =, (4.2) M n = M där definieras som i (4.6) Viktigare för signalteorin än ovannämnda konvergenssats är man faktiskt kan bevisa att: Se också Zill-Cullen: sats., sid 492. 2 Derivatan i klassisk mening ingen generaliserad funktion avses här. 39

Likheten (4.2) gäller för alla -periodiska signaler med ändlig energi/period, dvs om bara x(t) 2 = x(t) 2 dt. < Inga speciella krav på kontinuitet eller deriverbarhet behövs för detta! Beviset för den satsen ligger utanför den här kursens ram. Övning 5.7 I ett tabellverk hittar man att om a n = ( ) n +jn π et +n2 så är x(t) = coth π = sinh π, då π < t < π. a, Bestäm de exakta värdena av x(), x(4) och x(π). b. Bestäm med hjälp av resultatet i a-uppgiften det exakta värdet av summan n = +n 2 4

4. a. 2 3, b. 5 2 3 4.2 3. 4.3 a p n + + p n + + + p + = a p + p n +. 4.7. (Summan av serien i uppgift 4.5 för t =, d.v.s. summan av 2M + = st. :or.) 4. 4 + 9 6 + + ( )n n 2 4.2 n =. + = ( ) n n = n 2 cos (n π/2) δ(t n π/2) respektive n = = π2 2. cos (n π) δ(t n π) = ( ) n δ(t nπ) n = Följderna av sampelvärden: respektive n= 5 4 3 2 2 3 4 5 6,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4.3 a. x(nt), b. n = 4.4 sin t. 4.5 sin ( π/4) = 2. x(t) dt. 5.a För sin t: a = /(2j), a = /(2j), a n = för övriga n. För cos t: a = a = /2, a n = för övriga n. 5.b a k = för alla k. Syntesekvationen: δ(t/ n) = e jnt/. n = n = 5.2. Komplex fourierserie: 2 + sin (nπ/2) πn 5.4 a. 2j π 2 k = n = n ( ) k (2k+) 2 ej(2k+)πt e jnt, reell fourierserie: 2 + 2sin (nπ/2) πn n = cos nt. b. Om B > 5 Hz så kommer andelen förlorad energi att vara <.3 % (om B < 5 Hz så kommer andelen att vara >,4%. 5.5 a. b =, c = /6. b. 3 2 t2 3 5 t + 2 (Konstanten a 2 = 3/2), x 2 (t) x(t) t S3:

5.6 a. q (t) = q (t) = 2, b. Om y(t) = c om < t < och = c + om < t < så är a = (c + + c )/2 och a = (c + c )/2. c. y(t) = 5/6 då < t < och = /6 om < t <. x(t) = t2 t 5/6 /6 t 5.7 a. x() = π sinh π, +jn b. π coth π = x(π) = n = n = +n 2 = π coth π 2. π e(4 ) x(4) = sinh π, x(π) = π 2 e π sinh π + e π sinh π = π coth π +n 2 = n = +n 2 + j n = n +n 2 = 2 n = +n2 + + j S3:2