Lösningar till tentamensskrivning i Matematik I, F636(5B,5B3) Tisdagen den 9 augusti 8, kl 4-9 Hjälpmedel: BETA, Mathematics Handbook Redovisa lösningarna på ett sådant sätt att beräkningar och resonemang är lätta att följa varen skall ges på reell form arje uppgift ger maximalt 4 poäng Betygsgränser A: 3-36, B: 7-3, C: 3-6, D: 9-, E: 5-8, FX: 3-4 Betygsgränser 5: 3-36, 4: 3-9, 3: 5- Beräkna dubbelintegralen 3e -x3 dx dy y Integranden är svår att integrera med avseende på y Däremot går det bra att integrera med avseende på x i ritar upp området och kastar om integrationsordningen y y=x^ x x 3e -x3 dx dy = 3e -x3 dy dx = 3x e -x 3 dx = y x = y = x = 3e -x3 dx dy = e y e AR: Dubbelintegralen x [ e ] -x3 = e = e x = Beräkna volymen av den kropp som begränsas av ytorna z = x + y och z = y olymen ges av integralen = dxdydz, där är det aktuella området Integrera först med avseende på z y = dz dxdy D z= x +y xy { }dxdy = y x y = 4 (x + (y ) ) dxdy i bestämmer skärningen mellan paraboloiden z = x + y och planet z = y kärningens projektion på xy-planet ges av cirkeln x + y = y Inför polära koordinater utgående från cirkelns centrum Cirkelns ekvation kan skrivas: x + (y ) = e
x = r cost ätt: y r : = rsint dxdy= rdrdt t : π = 4 r rdrdt = π 4 4 4 = π 3 D rt AR: Den sökta volymen är = π 3 volymsenheter 3 Beräkna flödet av vektorfältet v = grad(x 3 + y 3 + z 3 ) ut ur cylindern given av olikheterna x + y 9, z Flödet ges av integralen v n ˆ d i använder divergenssatsen, vilket går bra då villkoren är uppfyllda i får v n ˆ d = divvdxdydz v = grad (x 3 + y 3 + z 3 ) = (3x,3 y,3z ) divv = div(3x,3y,3z ) = 6x + 6y + 6z Integrera först med avseende på z, där är det av inneslutna området v n ˆ d = divvdxdydz= (6x + 6y + 6z)dz z= dxdy v n ˆ d { }dxdy = 8x +8y + 3( ( ) ) Delar av integranden är udda funktioner och området är origosymmetriskt vilket ger att dess bidrag till integralen är noll i får då v n ˆ d = 9dxdy= 9 Områdets area = 9 π3 = 8π AR: Det sökta flödet är v n ˆ d = 8π 4 Bestäm, på explicit form, alla lösningar till differentialekvationen dy dx = y 9 Den givna differentialekvationen är separabel a) onstantlösningar: y = ±3 b) i bestämmer nu icke-konstanta lösningar och för dessa gäller att y ±3 dy Omforma differentialekvationen: y 9 dy dx =, (y + 3)(y 3) dx =, y + 3 + y 3 dy dx = 6 Integrera med avseende på x: ln y + 3 + ln y 3 = 6x + ln C, y 3 y + 3 = ±C e6x = Ce 6x, y = 3Ce6 x + 3 Ce 6x AR: Differentialekvationen har konstantlösningarna y = ±3 samt lösningarna y = 3Ce6 x + 3 Ce 6x
5 För ett linjärt system X = AX, där A är en konstant x-matris har egenvärdena bestämts Matrisens determinant är skild ifrån noll lassificera systemets kritiska punkt med avseende på typ och stabilitet/instabilitet då följande egenvärden erhållits: a), = ±i b), = 5 ± 3 c), = 3 ± i d) = 3 ± 5, a) Egenvärdena är rent imaginära Detta innebär att den kritiska punkten, origo, är en center och därmed stabil b) Egenvärdena är skilda och positiva Detta innebär att den kritiska punkten, origo, är en instabil nod c) Egenvärdena är komplexa och med en realdel som är negativ Detta innebär att den kritiska punkten, origo, är en stabil spiral d) Egenvärdena har olika tecken Detta innebär att den kritiska punkten, origo, är en sadelpunkt och därmed instabil AR: a) Center och stabil b) Instabil nod c) tabil spiral d) adelpunkt och därmed instabil 6 Bestäm den lösning till differentialekvationen y + 6 y + 9y = 4e 3t som uppfyller villkoren y() = 9 och y () = 7 Laplacetransformera differentialekvationen: s Y(s) sy() y () + 6(sY(s) y()) + 9Y(s) = 4 s +3 Insättning av villkoren och hyfsning ger: (s + 6s + 9)Y(s) 9s 7 6(9) = 4 Hyfsning ger: Y(s) = s + 3, (s + 3) Y(s) = 9s + 6 + 4 s + 3 9s + 6 (s + 3) + 4 9(s + 3) + 34 3 = + (s + 3) (s + 3) Återtransformering ger: y(t) = e 3t (9 + 34t + t ) 4 (s + 3) = 9 3 s + 3 + 34 (s + 3) + 4 (s + 3) 3 AR: Den sökta lösningen är y(t) = e 3t (9 + 34t + t ) 7 Bestäm allmänna lösningen till systemet X = 3 X + e t i bestämmer först två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet och använder därefter variation av parametrar för att bestämma en partikulärlösning till det inhomogena systemet Den allmänna lösningen är summan av allmänna homogena lösningen och en partikulärlösning För att erhålla lösningar till det homogena systemet bestämmer vi egenvärdena till matrisen =det(a I) = 3 A= 3 Bestäm en egenvektor till respektive egenvärde i söker icke-triviala lösningar till systemet = 3 + = ( )( ), =, = 3 v =
= v =, vilka ges av v = r, r R = v =, vilka ges av v = r, r R Två linjärt oberoende lösningar till det homogena systemet är X = e t och X = et Den allmänna homogena lösningen ges av: X h = c X + c X = c e t + c et = et e t e t e t c ariation av parametrar innebär att vi behöver en fundamentalmatris Φ = et e t e t e t En partikulärlösning erhålles som X p = Φ Φ dt e t Inversen till fundamentalmatrisen blir Φ = e t e t = e t e t e 3t e t e t e t e t Φ dt = e t e t dt = et, X p = et + te t t e t + te t Den allmänna lösningen är: X = X h + X p = c e t + c et + et + te t = et e t C+ et + te t e t + te t e t e t e t + te t AR: Den allmänna lösningen är X = et e t C + et + te t e t e t e t + te t c 8 Bestäm fourierserien för funktionen som är -periodisk och definieras av f(t) = sin t för < t < Fourierserien för en -periodisk är på formen a + a cos n t n / + b sin n t n / = a + { a cosnt + b n n sin nt } n = n= Den givna funktionen kan omformas till f (t) = sin t = cost Detta är fourierserien för den givna funktionen = cost AR: Den sökta fourierserien är cost Anm Fourierkoefficienterna för den jämna funktionen, då är b n =, kan beräknas enligt a = / / sin tdt och a n = / / sin t cosntdt
9 Det har ösregnat under en längre tid atten har helt fyllt ett m långt och m brett dike Dikets vertikala genomskärningsprofil har -form, i form av en halv kvadrat, delad längs en horisontell diagonal, m lång Regnet har upphört vid tidpunkten t = a) Antag att diket nedtill är helt tätt så att vattnet endast kan försvinna genom avdunstning uppåt Låt (t) vara vattenvolymen vid tiden t >, med t mätt i dagar isa att (t) uppfyller en differentialekvation på formen d dt = k, k =positiv konstant, om avdunstningshastigheten(i m 3 /dag) är proportionell mot den fria vattenytans area b) Bestäm (t) om () = m 3 (=helt fyllt dike) och () = 99 m 3 c) När är diket torrlagt? ( 99 9,95 ) a) Låt h vara vattenståndet i det triangulära diket Då är tvärsnittets area A = h = h attenvolymen är: (t) = A = h, h = Avdunstningshastigheten d dt = k h = k b) Differentialekvationen d dt Den fria vattenytans area är h = k = k är separabel Den triviala lösningen saknar intresse För att få icke-triviala lösningar omformas differentialekvationen till: Integration ger: = kt + C illkoret () = ger C = illkoret () = 99 och C = ger 99 = k +, k = 99 d dt = k { } Insättning av konstanterna ger: = ( 99)t +, = ( 99)t c) Diket är tomt då = vilket inträffar för t = 99 = ( + 99) 99 AR: a) e ovan b) = { ( 99)t} c) Diket är torrlagt efter 99,5 dagar =( + 99) 99,5