Chalmers tekniska högskola Datum: 7--8 kl. 8.. Tentamen Telefonvakt: Milo Viviani MVE5, TKSAM- Tentan rättas och bedöms anonymt. Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper. Fyll i omslaget ordentligt. För godkänt krävs 5 poäng på del. För betyget 4 krävs 5 poäng totalt, varav minst 6 poäng på del. För betyget 5 krävs 45 poäng totalt, varav minst 8 poäng på del. Varje godkänd dugga ger.5 bonuspoäng till del. ösningar läggs ut på kursens hemsida. Resultat meddelas via adok. Del (godkäntnivå). Avgör om följande följd (a) och serier (b) - (c) är divergenta eller konvergenta. Om kon- (6p) vergent, beräkna gränsvärde eller summan. { cos(n) + } (a) (b) + (c) n n 7 n n n n + ösning: (a) åt a n = cos(n)+ n, då a n = cos(n)+ n n konvergerar följd till. n= för n. Därför (b) åt a n = n + n+ och b n = n. Då a n b n, för varje n, och så n a n n b n. Därför är serien n a n divergent, eftersom n b n är det. (Du kan kontrollera detta med integreraltestet) (c) Användning av egenskaperna hos de exponentiella funktionerna ger: ( ) 6 n n n 7 n =. 49 Detta ger oss en konvergent geometrisk serie på grund av 6 49 <. Så vi får att summan av serien är: n n 7 n = 6 = 49 49 n=. (a) Bestäm Maclaurinpolynomet av grad 4 till f(x) = cos(sin(x)). (p) (b) Bestäm konvergensradien för Maclaurinserien till f. ösning: (a) Med hjälp av den kända formeln för Maclaurinserier av sin(x) och cos(x), tar vi bara termer upp till grad 4:: (p) åt y(x) := x, z(y) := y y 6 z(y(x)) = x 4x sin(x) x x 6 cos(x) x + x4 4. och P (z) := z + z4 4. åt oss först ersätta y i z för att få. Ersätt sedan z till P för att få P (z(y(x))) = (x 4x ) 4x (x + )4 4.
Påminner om formlerna (a + b) = a + ab + b, (a + b) 4 = a 4 + 4a b + 6a b + 4ab + b 4 vi får: och ) (x 4x = (x) (x) 4x + ( 4x ) ) 4 (x 4x = (x) 4 + Q(x) där Q(x) har högre grad än 4. Eftersom den sista termen i den första formeln har högre grad än 4, kommer vi inte att överväga det i Maclaurin-formeln. Slutligen får vi Maclaurin polynom av grad 4 för f: T 4 (x) = ) ((x) (x) 4x + 4 (x)4 = x + x4 (b) Konvergensradie för funktioner med Maclaurinserie med konvergensradien R = är R =.. (a) Bestäm enhetsvektorerna T(t), N(t), B(t) (dvs tangent, normal och binormal) för kurvan r(t) = cos(t ), sin(t ), t for t >. (b) Hitta krökningen i t = och längden för kurvan r(t) = t, t, t för t [, π]. ösning: (a) Använda definitionerna av T(t), N(t), B(t), vi får: (p) (p) T(t) = sin(t ), cos(t ), N(t) = cos(t ), sin(t ), B(t) = sin(t ), cos(t ), (b) Eftersom kurvan är en rak linje, kan vi dra slutsatsen att dess krökning κ(t) är konstant. Så κ() =. Dessutom kan dess längd beräknas som avståndet mellan r(π) och r(), dvs, r(π) r() = π. 4. (a) Hitta den linjära approximationen av f(x, y) = x y + x cos(y ) i punkten (,). (p) (b) Skissa några av nivåkurvorna till f(x, y) = x + y för x, y. (p) ösning: (a)den linjära approximationen i punkten (, ) ges av (x, y) = f(, ) + f x (, )(x ) + f y (, )y.
Vi har f(, ) =, f x (, ) =, f y (, ) =. Då, (b) (x, y) = + (x ) + y = x + y. 5. Bestäm de stationära punkterna till f(x, y) = x 4 + y 4 x y. Använd andraderivatatestet (5p) för att om möjligt bestämma deras karaktär. ösning: Stationär punkt betyder f(x, y) =, vilket ger ekvationssystemet: { 4x 4xy = 4y x = { x(x y) = y x = Så vi får lösningarna: ) (, ), (± 4,. För att klassificera dem beräknar vi Hessian matrisen: H(x, y) = För (x, y) = (, ), får vi H(, ) = [ ], så vi kan inte avgöra något med andra deri- vatkriterier. För (x, y) = 4 6 ( 4 4 (± 4, ), vi har H (± 4 ) = 6 >, så (± 4 [ x ] 4y 4x 4x y.,, ) = 4 4 4 4 4 6 ) är minimum punkter.. Då 4 > och
6. ös vågekvationen: (6p) u tt (x, t) = u xx (x, t) for < x < 4, t > u(, t) = u(4, t) = for t u(x, ) = sin( π 4 x) for x 4 u t (x, ) = cos( π 4 x) for x 4 ösning: Vågekvationen är homogen med Dirichlet-villkor. Från teori vet vi att lösningen har följande form: u(x, t) = Begynnelse vilkoren ger a n och b n för alla n : och a n = b n = nπ ( a n cos nπt 4 + b n sin nπt ) sin nπx 4 4. 4 4 sin π nπx x sin 4 4 dx. cos π nπx x sin 4 4 dx. Integralerna ger a =, a n = för n och b =, b n = 8 π ( ) n + n för n. Var god vänd blad!
Del (överbetygsnivå) 7. Bland alla cylindrar (rät cirkulär) vars totala begränsningsyta (mantelytan och de två (6p) basytorna) har arean S, bestäm volymen V av den cylinder med maximal volym. ösning: åt x = r radien på cylindern och y = h sin höjden. Funktionen att maximera, dvs volymen av cylindern, ges av funktionen f(x, y) = πx y, medan bivillkor ges av ytan g(x, y) = πxy + πx S =, för x >, y >. Med hjälp av agrange-multiplikatorerna får vi systemet: πxy = λ(πy + 4πx) πx = πλx πxy + πx = S Från den första ekvationen, får vi λ = x/, vars substituerade i den första ger y = x. Därför erhålls den största volymen när höjden sammanfaller med diametern. Efter ersättning i den sista ekvationen (begränsningen), får vi: x = S 6π, ( ) S / V max = π. 6π 8. Avgör om följande serie är konvergent eller divergent. Om konvergent, beräkna summan. (5p) ösning: åt a n = n a n + a n+ = n n + och S N Upprepning av denna process, får vi: n n + = N a n för alla N. Vi har, för varje n,. Så, för alla n, har vi a n + a n+ + a n+ = n + n S N = N n n + = N +, n +. för alla N. Ta gränsvärde för N, och se att serie konvergerar mot. [Denna typ av serie heter telescoperande serie].
9. ös inhomogena värmeledningsekvationen: (5p) med inhomogena Dirichlet randvillkor. u t = 4u xx + 4x, < x <, t > u(, t) =, u(, t) = u(x, ) = x ösning: Ekvationen är icke-homogen på grund av det icke-homogena Dirichletvillkoret. Ansätt alltså en lösning på formen u(x, t) = v(x, t) + s(x). Detta ger v t = 4v xx + 4s + 4x. För att v(x, t) ska uppfylla värmeledningsekvationen krävs att s (x) = 6x. Dessutom ska s(x) uppfylla randvillkoren s() = och s() =. Detta ger s(x) = x + x. v(x, t) uppfyller därmed det homogena Dirichletproblemet. Dessutom får vi från begynnelsevillkoret att v t = 4v xx, < x <, t > v(, t) =, v(, t) = v(x, ) = x ( x + x ) = x x Variabelseparation ger nu att v(x, t) är på formen Begynnelsevillkoret för v ger b n = v(x, t) = b n e 4n π t sin(nπx). (x x) sin(nπx)dx = ( )n (nπ) Alltså, vilket ger v(x, t) = π ( ) n e 4n π t sin(nπx), n u(x, t) = x + x + π ( ) n e 4n π t sin(nπx) n ycka till! Milo
Formelblad MVE5, HT-6 Trigonometri cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y tan(x + y) = Integraler x a dx sin x dx cos x dx e x dx tan x + tan y tan x tan y = xa+ a + + C, = cos x + C = tan x + C = e x + C a x + a dx = a arctan x a + C, a a x dx = arcsin x a + C, a > a + x dx = ln x + x + a + C, a cos x cos y = (cos(x y) + cos(x + y)) sin x sin y = (cos(x y) cos(x + y)) sin x cos y = (sin(x y) + sin(x + y)) x dx = ln x + C cos x dx = sin x + C sin x dx = cot x + C a x dx = ax ln a + C f (x) f(x) dx = ln f(x) + C a x dx = x a x + a arcsin x + C, a > a a + x dx = ( x a + x + a ln x + ) x + a + C Maclaurinutvecklingar e x = sin x = cos x = ( + x) α = ln( + x) = arctan x = k= x k k! ( ) k x k (k )! k= k= k= ( ) k xk = + x + x! + x! +... = x x! + x5 5! x7 7! +... = x! + x4 4! x6 6! +... (k)! ( ) α x k α(α ) = + αx + +... x <, k! ( ) k= ( ) k= k xk k k xk k = x x + x x4 4 +... < x = x x + x5 5 x7 7 +... x ( ) α α(α )... (α k + ) = k k(k )...
Fourierserier Jämn funktion f(x) = f( x) Udda funktion f(x) = f( x) Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av a + där Fourierkoefficienterna ges av a n = a n cos nπx + b n sin nπx f(x) cos nπx dx b n = f(x) sin nπx dx Den komplex Fourierserien av en -periodisk funktion f(x) ges av n= c n e inπx/ där de komplexa Fourierkoefficienterna ges av c n = f(x)e inπx/ dx Sinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av b n sin nπx, b n = f(x) sin nπx dx Cosinusserien av f(x) definierad på intervallet x [, ] ges av a + a n cos nπx, a n = f(x) cos nπx dx Parsevals identitet för en -periodisk funktion f(x) f(x) dx = a + a n + b n