Reglerteknik M3 Inlämningsuppgift 3 Lp II, 006 Namn:... Personnr:... Namn:... Personnr:... Uppskattad tid, per person, för att lösa inlämningsuppgiften:... Godkänd Datum:... Signatur:... Påskriften av denna framsida bör sparas som kvitto på att inlämningsuppgiften är godkänd. Avdelningen för reglerteknik, automation och mekatronik Institutionen för signaler och system Chalmers tekniska högskola
Syfte I den här tredje och sista inlämningsuppgiften skall ni lära er att designa regulatorer och analysera det resulterande återkopplade systemet. Redovisning Inlämningsuppgiften löses i tvåmannagrupper och lämnas in med försättsblad (första sidan) i ett exemplar. Starta gärna individuellt och jämka sedan samman lösningarna två och två. Varje grupp ska lämna in en egenhändig lösning. Eftersom detta moment är en del i examinationen så är plagiering förbjudet, vid misstanke om plagiering kommer fallet att rapporteras vidare för att eventuellt senare behandlas av Chalmers disciplinnämnd. Lös en uppgift per blad och skriv bara på ena sidan av bladet. Inlämningsuppgiften består av obligatoriska uppgifter som skall redovisas och lämnas in. Redogörelser lämnas i den gröna brevlådan strax innanför huvudingången till avdelningen för reglerteknik och automation. Rättade uppgifter läggs i boxarna till höger om den gröna brevlådan. Observera att retur förekommer. Inlämning skall ske senast onsdagen den 13 december. Rättade uppgifter återlämnas måndagen den 18 december. Eventuell retur skall lämnas in senast fredagen december. 1
} Pendelkonfiguration Furutapendeln i figur 1 illustreras med dess viktigaste komponenter betecknade i figur 1. Armens respektive pendelns vinkelutslag, ϕ a respektive ϕ p, mäts med vinkelgivare. ϕ p = 0 motvarar mot att pendeln står rakt upp. Dessa givarsignaler skickas in i datorn via ett A/D kort och läses in i Matlabs grafiska toolbox Simulink. I Simulink implementeras regulatorn som styr pendeln. Ut från Simulink skickas en motorspänning u som styrsignal, via D/A kortet och förstärkare, till den ankarstyrda DC-motorn. Följande ytterligare beteckningar används i figuren: T d är momentet genererat av den ankarstyrda DC-motorn, l a och l p är armens respektive pendelns längd, m p är pendelns massa med tyngdpunkt på mitten av pendeln, d.v.s l p /. Armens massa antages försumbar. Vinkelgivare pendel ϕ a T d Ankarstyrd DC-motor Arm l a Vinkelgivare arm mp } l p ϕ p Pendel Givarsignalerna ϕ a och ϕ p Motorspänning u Figur 1: Illustration av Furutapendeln med dess viktiga komponenter. I förra uppgiften beräkande vi överföringsfunktionerna för den linjäriserade modellen från motorspänningen u till armens respektive pendelns vinkelläge i fallet då all vridfriktion försummas. Dessa blir om man räknar symboliskt G a (s) = ϕa(s) U(s) = G p (s) = ϕp(s) U(s) = b 1 (a 31 s +a 34 a 51 a 31 a 54 ) s{s 4 a 11 s 3 (a 54 +a 13 a 31 )s +a 11 a 54 s a 13 (a 34 a 51 a 31 a 54 )} b 1 a 51 s s 4 a 11 s 3 (a 54 +a 13 a 31 )s +a 11 a 54 s a 13 (a 34 a 51 a 31 a 54 )
där a 11 = R a /L a a 13 = K u /L a a 31 = KmJ 3 J 0 J 3 J a 34 = J M J 0 J 3 J a 51 = KmJ J 0 J 3 J a 54 = ± J 0M J 0 J 3 J b 1 = 1/L a och J 0 = J a + m p l a J = 1 m pl a l p J 3 = J p + 1 4 m pl p M = 1 m pgl p där översta respektive nedersta tecknet i elementen a 51 och a 54 motsvaras av jämviktsläget rakt upp respektive rakt ner. Notera att vi satt ett (tilde) ovanför överföringsfunktionen från spänning u til armens vinkelläge ϕ a, eftersom vi senare skall använda G a (s) som beteckning för en annan överföringsfunktion. I den här sista inlämningsuppgiften skall regulatorer designas och det återkopplade systemet analyseras. För att hålla nere omfattningen så kommer vi enbart att behandla fallet då pendeln hänger rakt ner. I detta fall kan vi tänka oss pendeln som en byggarbetskran där det gäller att så snabbt som möjligt flytta material mellan två positioner på marken. För att det ska vara säkert för personalen på marken så får inte material svaja omkring hur som helst och med lite enkel reglerteknik kan man förflytta lasten på snabbt och säkert. Vi använder återigen följande parametervärden för pendeln: Regulatorstruktur l a = 0.33 [m] l p = 0.353 [m] m p = 0.019 [kg] J a = 0.0016 [kgm ] J p = 7.89 10 4 [kgm ] b a = 0 [Nm/rad/s] b p = 0 [Nm/rad/s] R a = 0.39 [Ω] L a = 0.56 10 3 [H] K m = 5.57 10 [Nm/A] K u = 5.59 10 [V/rad/s] Eftersom vi har två stycken utsignaler som vi mäter, armvinkeln ϕ a och pendelvinkeln ϕ p, är ett sätt att reglera systemet att designa en regulator med återkoppling av pendelvinkeln ϕ p så att det resulterande slutna systemet får önskade egenskaper. Sedan kan armvinkeln ϕ a återkopplas och ytterligare en regulator designas så att det erhållna återkopplade systemet får önskade egenskaper. Denna typ av regulatorstruktur kallas för kaskadreglering och illustreras i figur, där G p och G a = G p G ap är överföringsfunktionerna givet tidigare. Överföringsfunktionen 3
G ap = G a /G p blir därmed G ap (s) = a 31s + a 34 a 51 a 31 a 54 a 51 s Regulatorn F a (s) designas för den ekvivalenta överföringsfunktionen G a (s) = (F p (s)g p (s)/(1 + F p (s)g p (s))g ap (s) ϕ ref a Kaskadregulator Yttre återkoppling Inre återkoppling Furutapendel + e p F a ϕ ref p + e p F p u G p ϕ p G ap ϕ a - - Figur : Kaskadreglering av Furutapendeln. I den inre återkopplingen mäts pendelvinkeln ϕ p och en regulator F p (s) designas för G p (s) så att det resulterande återkopplade systemet får önskade egenskaper. I den yttre återkopplingen mäts armvinkeln ϕ a och en regulator F a (s) designas för den ekvivalenta överföringsfunktionen G a (s) = F p (s)g p (s)/(1 + F p (s)g p (s))g ap (s) så att det resulterande återkopplade systemet får önskade egenskaper. Referenssignalen i regulatorn är en önskad armvinkel ϕ ref a. I uppgiften ska vi designa två regulatorer, F p och F a. F p ska vara av filtrerad PD-typ, d.v.s. F p (s) = K p 1 + sτ d 1 + sτ d /b och F a av PI-typ, d.v.s. 1 + T i s F a (s) = K i. s Hjälpfiler För att designa regulatorerna F p (s) och F a (s) och studera responsen i tidsplanet utnyttjar ni lämpligen följande hjälpfiler som finns att ladda hem från kurshemsidan. PendelReglering.mdl inluppg3.m 4
Figur 3: Utseende i Simulink när ni startar filen PendelReglering i Matlab. Den första filen (PendelReglering.mdl) är modell- och kaskadregulatorn enligt figur implementerad i Simulink enligt figur 3. För en given design av regulatorerna F a (s) och F p (s) (båda markerade i figuren) kan ni simulera beteendet hos det reglerade systemet. Ni kan antingen evaluera regulatordesignen för den linjäriserade pendelmodellen eller den olinjära pendeldynamiken genom att slå om switchen som väljer modell. Den andra filen (inluppg3.m) definierar konstanterna ovan och de initialtillstånd som behövs i simuleringarna samt definierar de överföringsfunktioner som behövs för att kunna analysera de återkopplade systemen i Matlab. 5
Uppgifter Uppgift 1 Uppgift Ladda hem samtliga filer i lämplig Matlab-katalog. Studera dels Simulinkfilen PendelReglering.mdl och dels filen inluppg3.m så att ni förstår hur de fungerar och vilket resultat som visas. Bestäm parametrarna i PD-regulatorn så att det inre återkopplade systemet blir stabilt. Designa enligt principen Flytta punkt i Nyquistdiagrammet som gåtts igenom på föreläsning och även är beskriven i boken. Låt ω c = 0.6ω G150, där G i detta fall är processen i den inre återkopplingen, dvs. G p. ω G150 är frekvensen för G då fasvridningen är 150. För den här typen av process så blir fasmarginalen automatiskt väldigt stor. Välj därför parametrarna i PD-regulatorn så att den maximala positiva fasvridingen som PD-regulatorn bidrar med är 0 grader. Försäkra dig om att den regulator du fick är stabil genom att undersöka var de polerna för det inre återkopplade systemet hamnade. Ange vilket w c, b, τ d och K p du fick. Tips: När ni ska läsa av w c så använd Matlab för att rita bodediagram. Notera att ni kan klicka med musen på fas och amplitudkurvan för att få hjälp att läsa av aktuell frekvens samt fas och amplitud. I Bodediagrammet så ges amplitudförstärkningen i db kom ihåg att G db = 0log G. När ni tittar på fasen i bodediagrammet kan det i Matlab se ut som om fasen gör ett hopp då den kommer till 180 - detta gör den inte i verkligheten utan det beror på att Matlab räknar med arctanfunktionen och arctan håller inte reda på i vilken kvadrant i det komplexa talplanet man befinner sig i - i själva verket fortsätter fasen ner under 180. Överföringsfunktionerna finns definierade i inluppg3.m. Uppgift 3 Bestäm nu parametrarna i PI-regulatorn så att det yttre återkopplade systemet blir stabilt. Tänk på att vad som är processen som styrs nu är annorlunda än tidigare eftersom processen som ska styras nu är överföringsfunktionen från ϕ ref p till ϕ a. Designa en regulator enligt principen Flytta punkt i Nyquistdiagrammet som gåtts igenom på föreläsning och även är beskriven i boken. Låt ω c = 0.4ω G150, där G i detta fall är den det inre återkopplade systemet ihop med G ap. Låt fasmarginalen i detta fall vara ϕ m = 50 o. Försäkra dig om att den regulator du fick är stabil genom att undersöka var de polerna för det yttre återkopplade systemet hamnade. Ange vilket ω c, K i och T i du fick. 6
Uppgift 4 Testa regulatordesignen på både den linjära och olinjära pendeldynamiken, genom att ändra switchen som väljer modell i Simulinkmodellen. Hur fungerar designen? Varför var det rimligt att designa regulatorn för det olinjära systemet med hjälp av en linjär approximation av processen? Uppgift 5 En viktig praktisk aspekt är att regulatorn inte genererar för stora styrsignaler. Vad är det maximala värdet på styrsignalen? 7