½»¾¹¼ ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ñ ØÖ Ö Ë Ø ÙØ Ö Ú p(a) Ö p(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ ÆÙ ÐÐ Ú Ú ÙÖ Ñ Ò Ò Ò Ö f(a) Ö Ñ Ö ÐÐÑÒÒ ÙÒ Ø ÓÒ Öº Ü ÑÔ Ð Ô ÙÒ Ø ÓÒ Ö f(x) ÓÑ Ò Ú Ö ÒØÖ Ö f(x) = f t (x) = e tx ÓÑ Ö e ta Ö ËÝ Ø Ñ Ó ØÖ Ò ÓÖÑ Ö f(x) = log x X = log A Ö Ð e X = A f(x) = x X = A Ö Ð X 2 = A. Î Ú ÐÐ ØØ Ò Ø ÓÒ Ò Ú f(a) ÐÐ Ú Ö Ò ØØ Ú ÒÐ Ò Ô ÖÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ Ö Ú Ö Ö Ø Ü Ò Ö Ú ØØ Ò ØÓÒ ÖÒ Ú cos A Ó sin A ÐÐ Ú Ö Ò ØØ (cosa) 2 + (sin A) 2 = I, Ø Ö ÓÑ cos 2 z + sin 2 z = 1º ÖÙÒ Ò Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ Ò ÓÖÑ Ð Ö p(a) p Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ð Ò Ú Ô ØØ Ò ØÙÖÐ Ø Ú Ò Ö ØØ p Ñ fº Ú ÐÙ Ö Ò Ú p(a) Ñ ÐÔ Ú π A Ê Ô Ø Ø ÓÒ ÈÓÐÝÒÓÑ Ø p(x) Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò m ÔÙÒ Ø Ò x = α ÓÑÑ p(x) = (x α) m q(x) Ö q(x) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ q(α) 0º Ä ÑÑ Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð Ö ÔÓÐÝÒÓѵ ÄØ p Ú Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö N Ó ÐØ α Cº ÐÐ Ö p(x) = N p (k) (α) (x α) k, ½µ Ó p Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò m α ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ p (k) (α) = 0 Ö k < m Ó p (m) (α) 0. ¾µ ½
Ú Ø Ö ÓÑ p (N+1) (x) = 0 Ö ÐÐ x Ð Ö ½µ Ö Ø Ú Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð Ú ÓÖ Ò Ò Nº ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ú ÓÒ Ø Ø Ö ØØ q(t) := p(α + t) Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö Nº ÐÐØ ÒÒ Ó ÒØ Ö q 0,..., q N ØØ p(α + t) = q(t) = N q k t k. Ø Ð Ö ØØ Ö j N p (j) (α) = q (j) (0) = q j j!, Ú q j = p(j) (α) j! Ø Ò Ö Ô Ø Ò Ø Ð Ö Ú ØØ ÓÑ p(x) = (x α) m q(x) Ö Ú ÓÒ Ú ½µ Ñ (x α) m ØØ. q(x) = N p (k) (α) (x α) k m. À Ö Ò Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÒØ Ö Ú ÒÒ Ö x = α ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ¾µ ÐÐ Öº ÄØ A Ú Ö Ò n n Ñ ØÖ Ñ ÓÐ ÒÚÖ Ò λ 1,..., λ q º Å Ò Ñ ÐÔÓ¹ ÐÝÒÓÑ Ø Ø ÐÐ A Ö π A (x) = (x λ 1 ) s1 (x λ j ) sj (x λ q ) sq, µ Ö s j = Ò Ü Ö λ j Ö ØÓÖÐ Ò Ô Ø Ø Ö Ø ÂÓÖ Ò ÐÓ Ø Ñ ÒÚÖ λ j Ô ÐÐØ ÐÐ Ö s := gradπ A = s 1 +... + s q n. µ Ø ÐÐ Ö π A (A) = 0 Ó Ú Ö ÔÓÐÝÒÓÑ p ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö p(a) = 0 Ö Ð ÖØ Ñ π A º Å ÐÔ Ú ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ö Ú ÓÑ Ð ÖØ Ä ÑÑ ½ ÄØ A Ú Ö ÓÑ ÓÚ Ò Ó ÐØ p Ú Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ú Ö Ðº ÒÒ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r p = r p,a Ñ gradr < s = gradπ A ÒØ ØØ p(a) = r p (A). ¾
Ú Î Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö p Ñ π A p(x) = q(x)π A (x) + r p (x), Ö gradr p < grad π A º ÀÖ Ú Ð Ö p(a) = q(a)π A (A) + r p (A) = q(a) 0 + r p (A) = r p (A). ÈÓÐÝÒÓÑ Ø r Ò Ú ÔÖ Ò Ô Ö Ñ ÒÓÑ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒº ØØ Ö Ó ÒØ Ò ÓÒ ÓÖÑ Ð Ú Ð Ò Ú Ò Ö ØØ p Ñ Ò ÐÐÑÒÒ Ö ÙÒ Ø ÓÒ f Ó ÙØÓÑ Ö ÐÐ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ú ÓÒ Ò Ö Ø ÖÚ Ò ÓÑ p Ö Ø Ö Ø Ðº Ä ÑÑ ¾ ÈÓÐÝÒÓÑ Ø r p Ä ÑÑ ½ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö s = s 1 +...+s q Ú Ø ÓÒ ÖÒ r (k) p (λ j) = p (k) (λ j ), 0 k s j 1, 1 j q. µ Ú Ø ÓÒ Ö ÔÐÙ Ú ÐÐ ÓÖ Ø grad r < s ØÑÑ Ö r ÒØÝ Øº Ú ËØØ w(x) = p(x) r p (x)º ÒÐ Ø Ò Ø ÓÒ Ò Ú r p Ö w(x) Ð ÖØ Ñ π A (x)º ËÔ ÐÐØ Ö Ö Ú Ö j ÔÓÐÝÒÓÑ Ø w ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò s j λ j º Ø Ð Ö ÒÙ Ú Ä ÑÑ ½ ØØ p (k) (λ j ) r (k) p (λ j) = w (k) (λ j ) = 0, 0 k s j. ØØ Ú Ö ØØ r p ÙÔÔ ÝÐÐ Ö Ú Ø ÓÒ ÖÒ µº Ö ØØ Ú ÒØÝ Ø Ò Ó ¹ ÖÚ Ö Ö Ú ØØ ÓÑ r p = r 1 Ó r p = r 2 Ð Ö µ Ó Ö Ö < s ÓÑÑ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ø r 1 r 2 ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò s j λ j º Ø Ð Ö Ú Ð ÑÑ ½ Ò ØØ r 1 r 2 Ö Ð ÖØ Ñ π A ÓÑ Ö Ö = sº Ø Ö ÓÑ grad(r 1 r 2 ) < s Ñ Ø Ø ÐÐ r 1 r 2 = 0º Ü ÑÔ Ð ½ ÄØ A = J 4 (λ) = λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ,
Ú Ö ØØ ÂÓÖ Ò ÐÓ Ñ ÒÚÖ λ ØØ π A (λ) = (x λ) 4 Ú q = 1 Ó s = 4º Á ØØ ÐÐ ÐÐ ÐÐØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø r p Ö < 4 Ó ÙÔÔ ÝÐÐ Ú Ø ÓÒ ÖÒ r (k) p (λ) = p(k) (λ), 0 k 3, Ú r p ÐÐ ÑÑ Ö Ú ØÓÖ ÓÑ p ÔÙÒ Ø Ò λ Ø ÐÐ Ó Ñ ÓÖ Ò Ò 3º Î Ò Ö Ö Ø ØØ 3 p (k) (λ) r p (x) = (x λ) k, Ú Ð Ø Ö p(a) = r p (A) = 3 p (k) (λ) (A λi) k. Ø Ö ÓÑ A λi = N Ö (N) k ij = δ j i k Ð Ö ØØ p(a) = p(λ) p p (λ) (λ) p (λ) 2 3! 3 p (k) (λ) 0 p(λ) p p (λ) (λ) N k 2 =. 0 0 p(λ) p (λ) 0 0 0 p(λ) ÅÓØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö ÂÓÖ Ò ÐÓ Ú ÒÒ Ò ØÓÖÐ º ÆÓØ Ö ØØ Ú Ò Ö Ú p(a) = 3 p (k) (λ) φ k (A), µ Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ l (x) = (x λ) l ÙÔÔ ÝÐÐ Ö φ(k) l = δ kl Ó ØØ ÖÐ Ø µ Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ p Ñ Ö Ú ØÓÖ ÙÔÔ Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ò 3 x = λº Ü ÑÔ Ð ¾ ÒØ ØØ π A (x) = (x λ 1 )(x λ 2 ) ØØ s 1 = s 2 = 1 Ó s = 1 + 1 = 2º Î Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r p Ú Ö ¾ Ú Ú Ö Ö Ö Ò Ð Ò ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö r p (λ 1 ) = p(λ 1 ) (λ) r p (λ 2 ) = p(λ 2 ),
Ú r p ÐÐ Ð Ò Ò ÒÓÑ ÔÙÒ Ø ÖÒ (λ 1, p(λ 1 )) Ó (λ 2, p(λ 2 ))º Ä Ò Ò Ò Ò Ö Ú r p (x) = p(λ 1 ) + p(λ 2) p(λ 1 ) λ 2 λ 1 (x λ 1 ) = p(λ 1 ) x λ 2 λ 1 λ 2 + p(λ 2 ) x λ 1 λ 2 λ 1, Ú Ð Ø Ö ÒÒ Ò Ö Ú p(a) = r p (A) = p(λ 1) λ 2 λ 1 (λ 2 I A) + p(λ 2) λ 2 λ 1 (A λ 1 I). p(a) = 2 p(λ j )φ j (A), j=1 Ö φ 1 (x) = λ 2 x φ 2 (x) = x λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 λ 1 ÙÔÔ ÝÐÐ Ö φ j (λ r ) = δ jr º À ÖÐ Ø µ Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ ÓÑ Ö Ò Ö x = λ 1 Ó x = λ 2 º µ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ø ÓÒ Î Ö Ò ÙÒ Ø ÓÒ f Ö Ò Ö Ô Sp(A) ÓÑ ÖÐ Ò µ Ö Ñ Ò Ò p = f Ú ÓÑ Ø Ö 1 j q ÐÐ Ö ØØ f (k) (x) Ü Ø Ö Ö Ó Ö ÓÒØ ÒÙ ÖÐ Ö k s j 1 x Ø ÐÐ Ö Ò ÓÒ Ð Ø Ò Ö Ð Ú Ö Ò λ j º Ø Ö ÒÙ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö Ò Ö f(a) ÓÑ r f (A) Ö r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < s ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö r (k) f (λ j) = f (k) (λ j ), 0 k s j 1, 1 j q. µ Ä ÓÑ Ä ÑÑ ¾ Ò ØØ Ø Ø Ò ÒÒ ØØ ÒØ ÔÓÐÝÒÓѺ Ö ÑÓØ Ú Ö Ú Ú ÖØÝ Ó ÓÑ ØØ Ø ÒÒ Ò Ð Ò Ò Ø Ö ÓÑ Ú Ø Ö Ä ÑÑ ½ ÒØ ÙÒ Ö Ö p ÒØ Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ä ÑÑ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒµ ÄØ λ 1,..., λ q Ó s 1,..., s q Ú Ö ÓÑ Ø Ö Ó ÐØ α jk, 0 k s j 1, 1 j q,
Ú Ö s = s 1 +... + s q ØÝ Ò ÓÑÔÐ Ü Ø Ðº ÒÒ ØØ ÒØÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ r Ú Ö < s ÒØ ØØ r (k) (λ j ) = α jk, 0 k s j 1, 1 j q. µ Ø ÒÒ s ØÝ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ φ jk (x) 0 k s j 1 1 j q Ú Ö < s Ò ØØ ( q sj ) 1 r(x) = α jk φ jk (x). ½¼µ j=1 k=1 ÒÑÖ Ò Ò ÈÓÐÝÒÓÑ Ò φ jk ÐÐ À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ú Ò Ô ÔÙÒ Ø ÖÒ λ 1,..., λ q Ó ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø ÖÒ s 1,..., s q º Ø Ð Ö Ú ½¼µ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø φ j0 k 0 Ö Ð Ò Ò Ò Ø ÐÐ µ α jk = { 1 j = j0, k = k 0 0 ÒÒ Ö º Ø Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ ÓÖÑÐ Ö Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Òº Ö ÔÖ Ø µ ÒÚÒ Ò Ò Ö Ø Ó Ò Ð Ö ØØ ØÑÑ Ñ ÒÓÑ ØØ ØÐÐ ÙÔÔ Ð Ò Ö Ú Ø ÓÒ Ý Ø Ñ Ö Ó ÒØ ÖÒ º Ë Ü ÑÔ Ð Ò Òºµ Ú ËØØ V s = {p C[x] : gradp < s}º Ö V s ØØ ÓÑÔÐ ÜØ Ú ØÓÖÖÙÑ Ñ dim V s = sº ØÖ Ø Ò Ð Ò Ö Ú Ð Ò Ò Ò ρ : V s C s Ú Ò Ú ( ) p p(λ 1 ),..., p(s 1 1) (λ 1 ), p(λ 2 ),..., p(s 2 1) (λ 2 ) (s 1 1)! (s 2 1)!,..., p(λ q),..., p(sq 1) (λ q ). (s q 1)! Ø Ö ÓÑ dim C s = dim V s = s < Ö ρ Ø Ú ÓÑ Ó Ò Ø ÓÑ ρ Ö Ò Ø Ú Ó ρ Ö Ò Ø Ú ÒÐ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ø Ö ÒØÝ Ø Ä ÑÑ ¾º Ü ÑÔ Ð ÄØ λ 1 = 1 s 1 = 4 λ 2 = 2 s 2 = 1 λ 3 = 3 Ó s 3 = 1 ØØ s = s 1 + s 2 + s 3 = 6º ØÑ µ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ñ Ú Ò Ô ÔÙÒ Ø Ö µ ÙØØÖÝ ØØ ÐÐÑÒØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ñ ÐÔ Ú º
Ú Ð Ò Ò Ò ρ Ú Ø Ú Ð ÑÑ Ò ØØ ÐÐ Ö Ú Ö V 6 p ρ(p) = p(1) p (1) p (1 2 p (1) 3! p(2) p(3) C 6, V 6 = {p : p(x) = z 1 + z 2 x + z 3 x 2 +... + z 6 x 5 }. ØØ ØÑÑ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò φ 10 φ 11 φ 12 φ 13 φ 20 φ 30 ÒÒ Ö ØØ ØÑÑ p Ú Ó ÒØ ÖÒ z 1,..., z 6 ØØ ρ(p) = I l 1 l 6º ØØ Ö Ô Ð ÐÐ Ú ÔÖÓ Ð Ñ Ø ØØ ÒÒ p ØØ ρ(p) = Y = [y 1 y 2... y 6 ] T º Ø Ò Ò ÖÒ Ö Ò Ð ØØ Ò Ü ØÐÐ Ø Ö ØÚ ÓÑ Ú ÐÐ Ö Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö ψ 1,..., ψ 6 º Î Ò ÙÔÔ ØØ z 1,..., z 6 ÓÑ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö p Ñ Ú Ò Ô Ò e j = x j 1 1 j 6 Ñ Ò y 1,..., y 6 Ö ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö Y Ñ Ú Ò Ô Ò f j = I j 1 j 6 Ö C 6 º Ø ÒÒ ÐÐØ Ò Ñ ØÖ B ρ Ú Ð Ò Ò Ñ ØÖ Ò Ö ρ Ñ Ú Ò Ô Ö Ò ØØ B ρ Z = B ρ z 1 z 2 z 3 z 4 z 5 z 6 = y 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6. Ä ÑÑ Ö ÒØ Ö Ö ØØ B ρ Ö ÒÚ ÖØ Ö Ö Ú Ö Z = Bρ 1 Y º ËÔ ÐÐØ Ó ÒØ ÖÒ Z j Ú Ö Ò ÑÓØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ψ j Ú Z j = Bρ 1 I j = ( ) Bρ 1 j. ÇÑ Ú ØØ Ö H = B 1 ρ ÐÐ Ö ÐÐØ ψ j (x) = H kj x k 1, 1 j 6. ½½µ k=1
Ø Ø Ö ØÖ ØØ Ö Ò B ρ Ó H ÚÖØ Ðк Ú p(x) = 6 k=1 z kx k 1 Ð Ö Ñ Ð Ø Ö Ò Ò µ ØØ p (m) (x) m! = k=1 (k 1)...(k m) z k x k 1 m = m! k=m+1 ( ) k 1 x k 1 m z k, m Ó ÐÐØ ÐÐ Ö p(1) p (1) p (1 2 p (1) 3! p(2) p(3) = ( ) k 1 1 k 1 z k 0 ( ) k 1 1 k 2 z k 1 ( ) k 1 1 k 3 z k 2 ( ) k 1 1 k 4 z k 3 ( ) k 1 2 k 1 z k 0 ( ) k 1 3 k 1 z k 0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=1 k=1 = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 6 10 0 0 0 1 4 10 1 2 4 8 16 32 1 3 9 27 81 243 Z, Ú Ö Ö B ρ = 1 1 1 1 1 1 0 1 2 3 4 5 0 0 1 3 6 10 0 0 0 1 4 10 1 2 4 8 16 32 1 3 9 27 81 243 ÐØ ÖÒ Ø ÚØ Ò Ú ÒÚÒ ØØ ÓÐÓÒÒ j A ρ ÐÐ ÒÒ ÐÐ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö ρ(e j ) Ö e j (x) = x j 1 º
Î Ö Ñ ÐÔ Ú Å ØÐ µ 30 60 24 48 48 2 H = Bρ 1 = 1 199 206 140 184 208 9 336 320 272 272 352 16 16 274 260 232 192 288 14. 106 100 88 64 112 6 15 14 12 8 16 1 ÀÖÙÖ Ò Ú Ø Ü ÚÐ ÓÐÓÒÒ ØØ φ 30 (x) = ψ 6 (x) = 1 16 ( 2 + 9x 16x2 + 14x 3 6x 4 + x 5 ). ØØ Ò ØÓÖ Ö ψ 6 (x) = 1 16 (x 1)4 (x 2), ½¾µ Ú Ö Ú Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ ψ 6 (1) = ψ 6 (1) = ψ 6 (1) 2! = ψ 6 (1) 3! = ψ 6 (2) = 0 ψ 6 (3) = 1. µ ÇÑ p V 6 ÐÐ Ö p(x) = 3 p (k) (1) φ 1k (x) + p(2)φ 20 (x) + p(3)φ 30 (x), ½ µ ØÝ ÐÐÒ Ò Ñ ÐÐ Ò Ö¹ Ó ÚÒ Ø ÖÐ Ö ØØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ú ÓÖ Ò Ò Ñ Ò Ø x = 1 ÑØ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò x = 2 Ó x = 3º Ò Ö ÐÐØ Ð Ö Ñ (x 1) 4 (x 2)(x 3)º ÓÖÑ Ð ½ µ Ö ØØ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò ÙØ Ö Ò Ö V 6 Ò ØØ ÓÓÖ Ò Ø ÖÒ Ö p Ú ρ(p)º ÒÑÖ Ò Ò Ö Ø ÐÐ Ü ÑÔÐ Ø ½µ Ö ØØ H = Bρ 1 Ô Ö Ø ÓÒ ÐÐ ÓÖÑ ÒÚÒ ØØ detb ρ Bρ 1 = adjb ρ Ö Ò Ñ ØÖ Ñ ÐØ Ð Ð Ñ Òغ ¾µ Î ÙÒ Ö Ú Ø Ò ÓÖÑ ÐÒ ½¾µ Ò Ø Ò Ö Ø Ø Ö ÓÑ Ú ÒÒ Ö ÐÐ ÒÓÐÐ ØÐÐ Ò Ñ ÓÖ Ò Ò Ö Ö ψ 6 º ÅÓØ Ú Ö Ò ÐÐ Ö Ö ψ 4 Ó ψ 5 º Ö ÑÓØ Ö Ø ÚÖ Ö ØØ ÔÐÓ Ö Ñ ψ 1 ψ 2 Ó ψ 3 Ö Øº
Ò Ø ÓÒ Ú f(a) Ä ÑÑ Ö ÒØ Ö Ö ØØ ÓÑ f Ö Ò Ö Ô ËÔ(A) Ó φ jk 0 k < s j 1 j q Ø Ò Ö À ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ñ Ú Ò Ô ÒÚÖ Ò Ö A Ó Ö Ò Ü Ð Ö r f (x) = q j=1 ( sj 1 ) f (k) (λ j ) φ jk (x) ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ ÓÑ ÙÔÔ ÝÐÐ Ö µº Ð Ò Ò Ø ÓÒ Ð Ö ÐÐØ Ñ Ò Ò ÙÐÐ Ò Ø ÓÒ º½ ÒØ ØØ f(x) Ö Ò Ö Ô ËÔ(A)º Ò Ö f(a) ÒÓÑ ( q sj ) 1 f (k) (λ j ) f(a) = r f (A) = φ jk (A). ½ µ Î Ö Ö Ø ØØ g(a) = f(a) ÓÑ j=1 g (k) (λ j ) = f (k) (λ j ), 0 k < s j, 1 j q. ½ µ Ø Ð Ö Ú Ì ÝÐÓÖ ÓÖÑ Ð ØØ Ú ÐÐ ÓÖ Ö ÙÔÔ ÝÐÐ ÓÑ f(x) g(x) = o( x λ j s j 1 ) ÒÖ x = λ j, 1 j q, ½ µ Ú ÓÑ f(x) g(x) lim x λ j x λ j = 0, 1 j q. s j 1 Ò Ø ÓÒ Î Ö ØØ ÙÒ Ø ÓÒ ÖÒ f Ó g Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ Ú ¹ Ò Ô Sp(A) Ö Ú Ø f g Ô Sp(A) ÓÑ Ö Ò Ö Ô Sp(A) Ó ½ µ ÐÐ Öº Å ÒÒ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ö Ð ÑÑ ØØ Ø Ø ÐÐ Ú Ö ÙÒ Ø ÓÒ f ÓÑ Ö Ò Ö Ô Sp(A) ÒÒ ØØ ÒØÝ Ø ÔÓÐÝÒÓÑ r f Ú Ö < s ÒØ ØØ f r f Ô Sp(A) Ó Ò Ø ÓÒ º½ ØØ f(a) = r f (A)º Ø Ø Ö ØÖ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ Ú Ð Ò Ò Ò f f(a) ÖÐ Ø ÑÒ Ú Ö Ö Ò Ô ÖÒ Ó ÙÒ Ø ÓÒ Ò fº ØØ Ö ÒØ Ö Ú Ð Ò Ø Öº ½¼
Ë Ø ½ = Ë Ø º Ó Òµ ÒØ ØØ f Ó g Ö Ò Ö Ô Sp(A)º ÐÐ Ö ØØ ½º (f + g)(a) = f(a) + g(a)º ¾º (fg)(a) = f(a)g(a)º º f(s 1 AS) = S 1 f(a)sº º ÇÑ f g Ô Sp(A) Ö f(a) = g(a)º Ü ÑÔ Ð Å f(x) = cosx Ó g(x) = i sin x ØØ (f + g)(x) = e ix Ó (fg)(x) = i 2 sin 2x Ö ½º ØØ eia = cosa + i sin A Ó ¾º ØØ sin(2a) = 2 cosasin Aº Ø Ö ÓÑ (fg)(x) = (gf)(x) Ò Ò Ø Ð Ø Ò Ó Ö Ú sin(2a) = 2 sinacosaº È ÑÑ ØØ Ò ØØ f(a)g(a) = g(a)f(a) ÐÐÑÒغ Ü ÑÔ Ð Ö Ò Ò Ú f(a) Ú ÂÓÖ Ò ÒÓÖÑ Ð ÓÖѵ ÇÑ A = SJS 1 Ö J m1 (µ 1 ) 0 0... 0 0 J m2 (µ 2 ) 0... 0 J = 0 0 J m3 (µ 3 )... 0 º º º º ºº º 0 0 0... J mp (µ p ) ÐÐ Ö f(a) = Sf(J)S 1 = Sr f (J)S 1 r f (J m1 (µ 1 )) 0 0... 0 0 r f (J m2 (µ 2 )) 0... 0 = S 0 0 r f (J m3 (µ 3 ))... 0 º º º ºº º º 0 0 0... r f (J mp (µ p )) f(j m1 (µ 1 )) 0 0... 0 0 f(j m2 (µ 2 )) 0... 0 = S 0 0 f(j m3 (µ 3 ))... 0 S 1, º º º º ºº º 0 0 0... f(j mp (µ p )) ½½ S 1
Ö Ú ÒÚÒØ ØØ r f (J) = Blkdiag(r f (J m1 (µ 1 )),..., r f (J mp (µ p ))) Ø Ö ÓÑ r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ØØ r f f Ô ËÔ(J mk (µ k )) Ø Ö ÓÑ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÔÓÐÝÒÓÑ Ò Ö ÐÓ Ò Ð Ö Ñ Ò Ñ ÐÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ö Aº ÐÓ Ò f(j) Ö ÑÑ ÓÖÑ ÓÑ Ñ ØÖ Ò Ü ÑÔ Ð ½ Ø Ñ p Ö ØØ Ú fº Ë Ø ¾ ÒØ ØØ g Ö Ò Ö Ô Sp(A) Ó ØØ f Ö Ò Ö Ô ËÔ(g(A))º ÐÐ Ö f(g(a)) = (f g)(a), Ö (f g)(x) = f(g(x))º Ü ÑÔ Ð Å g(x) = log x Ø Ü ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ò Ò Ó f(y) = e y Ö Ú (f g)(x) = xº ÐÐØ ÐÐ Ö e log A = A ÓÑ log A Ö Ò Ö º Ö ÑÓØ ÐÐ Ö Ó Ø log(e A ) A Ø Ö ÓÑ Ø Ü g(f(2πi)) = log(e 2πi ) = log 1 = 0 2πi ÓÑ Ú ÒÚÒ Ö ÔÖ Ò Ô Ð Ö Ò Òº ÇÑ Ú Ø Ú Ø ½ µ Ö Ö Ò Ð Öº µ Ð Ö Ú ØØ r f (S 1 AS) = S 1 r f (A)S Ø Ö ÓÑ r f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓѺ Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö Ñ Ö Ð ÑÑ º½ Ó Òµ ØØ r f + r g f + g Ó r f r g fg ½µ Ó ¾µ Ö Ú Ú Ð ÒØ Ñ (r f + r g )(A) = r f (A) + r g (A) (r f r g )(A) = r f (A)r g (A), Ú Ð Ø Ö ÒØ Ø Ö ÓÑ Ú Ö Ò Ú Ø ØØ (p+q)(a) = p(a)+q(a) Ó (pq)(a) = p(a)q(a) ÓÑ p Ó q Ö ÔÓÐÝÒÓѺ Ë Ø ¾ Ú Ô Ð ÖØ Ø ØØ Ø Ö ÐØØ ØØ ÓÒØÖÓÐÐ Ö ØØ (p q)(a) = p(q(a)) ÓÑ p Ó q Ö ÔÓÐÝÒÓÑ Ó ÒÓÑ ÙÔÔÖ Ô ÒÚÒ Ò Ò Ú Ö ÐÒ Ð Ö Ø ØØ f g r f r g Ô Sp(A)º Ö Ò Ò Ú f(a) Ñ ÐÔ Ú p A ÒØ ØØ Ú Ö ÒÒ Ö Ø Ö Ø Ö Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø p A Ó ÒØ Ñ Ò Ñ Ð¹ ÔÓÐÝÒÓÑ Ø π A Ú ÒÚÖ Ò λ j Ó Ö Ð Ö µ ÑÙÐØ ÔÐ Ø Ø Ö m j Ñ Ò ÒØ Ö Ò Ü s j m j º ½¾
Ò Ú Ñ ÐÔ Ú ÖÑ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ñ Ú Ò Ô λ j Ó m j 1 j q ØÑÑ ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ r f Ú Ö < n = m 1 +...+m q ÒØ ØØ r (k) f (λ j) = f (k) (λ j ), 0 k m j 1, 1 j q. ½ µ Ú ÐÐ ÓÖ ÒÒ ØØ Ö Ú ÐÐ ÓÖ Ò µ Ú Ö Ö r f f Ô Sp(A) Ó ÐÐØ f(a) = r f (A)º Ö Ö Ð Ò ØØ Ð ÔÔ ØÑÑ Ò Ü Ò s j Ö Ú Ø Ð ÒÓÑ ØØ Ö¹ Ñ Ø ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ò Ð Ö Ñ Ö Ö Ø Ñ n ØÝ Ò ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Ú Ö < n ØÐÐ Ø Ö s < n ØÝ Ò Ú Ö < sº ÇÑ A Ö ØÓÖ ÐÐ Ö Ö ØÓÖ Ð Ñ ÒØ Ö Ø ÙØÓÑ Ò ØÓÖ Ò Ð ØØ Ú ÒÚÒ ÓÒ Ø ÔÓØ Ò Ö Ú A ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÔÓÐÝÒÓÑ Òº ÙÒ Ø ÓÒ Ø ÓÖ Ø Ñ ØÓ Ö ÇÚ Ò Ò Ö Ú f(a) Ú ÓÖÑ Ð µº Ê ÓÒ Ñ Ò Ø Ò ÑÑ Ò ØØ f Ö ØØ ÔÓÐÝÒÓÑ Ö f(a) Ò Ò ØÙÖÐ Ò Ø ÓÒº Å ÐÔ ÔÓÐÝÒÓѹ Ú ÓÒ Ñ Ñ Ò Ñ ÐÔÓÐÝÒÓÑ Ø π A Ú Ú ØØ ÓÖÑ ÐÒ µ ÐÐ Ö ØØ ÐÐ Ó ÖÐ Ø Ö Ñ Ò Ò Ö Ú Ö f ÓÑ Ö Ò Ö Ø Ô Sp(A)º Ö Ò ÐÝØ ÙÒ Ø ÓÒ Ö ÒÒ Ø Ó Ò Ö Ö Ñ ØÐÐÒ Ò Ö Ú f(x) Ú Ð Ø Ô ØØ Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö ØØ Ö ØØ Ú Ö ÐÒ x Ñ Ñ ØÖ Ò A ÒÑÐ Ò ½µ Ì ÝÐÓÖÙØÚ Ð Ò f(x) = f (k) (α) (x α) k, x α < R, ½ µ ÓÑ f Ö Ò ÐÝØ Ö Ð Ú Ò x α < R Ó ¾µ Ù Ý ÒØ Ö Ð ÓÖÑ Ð f(x) = 1 f(z) 2πi z x dz, ½ µ ÓÑ C Ö Ò Ò Ð ÐÙØ Ò ÔÓ Ø ÚØ ÓÖ ÒØ Ö ÙÖÚ ÖÙÒØ x C Ó f Ö Ò ÐÝØ Ô Ó ÒÒ Ò Ö Cº ÀÖ Ö Ø Ò ØÙÖÐ Ø ØØ Ö ÝØ x k ÑÓØ A k Ö Ô Ø Ú (z x) 1 ÑÓØ (zi A) 1 Ú C f(a) = f (k) (α) (A αi) k, ¾¼µ ½
Ö Ô Ø Ú f(a) = 1 f(z)(zi A) 1 dz. ¾½µ 2πi C Ø Ú Ö Ø ÖÒ º Ó º Ó Ò ØØ ØØ ÙÒ Ö Ö ÙÒ Ö Ú ÖÙØ ØØÒ Ò Ö ØØ Sp(A) Ö ÒÒ ÐÐ Ø Ö Ð Ú Ò x α < R Ö Ô Ø Ú ØØ ÙÖÚ Ò C ÓÑ ÐÙØ Ö Sp(A) Ó Ö ÑÑ Ñ ØÖ f(a) ÓÑ Ø Ö º ½