Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Relevanta dokument
Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

Mälardalens högskola Akademin för undervisning, kultur och kommunikation

MMA127 Differential och integralkalkyl II

MMA127 Differential och integralkalkyl II

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

x 2 + x 2 b.) lim x 15 8x + x 2 c.) lim x 2 5x + 6 x 3 + y 3 xy = 7

4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horisontella och vertikala asymptoter till y = 1 x 1 + x, och rita funktionens graf.

x sin(x 2 )dx I 1 = x arctan xdx I 2 = x (x + 1)(x 2 2x + 1) dx

Frågorna 1 till 6 ska svaras med sant eller falskt och ger vardera 1

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 11 oktober 2004

Checklista för funktionsundersökning

LÖSNINGSFÖRSLAG TILL TENTAMEN 2 SF1664

x) 3 = 0. 1 (1 + 2x) Bestäm alla reella tal x som uppfyller att 0 x 2π och att tangenten till kurvan y = sin(cos(x)) är parallell med x-axeln.

10x 3 4x 2 + x. 4. Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter. y = x 1 x + 1

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 12 januari 2015

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Michael Melgaard. Prov i matematik Prog: Datakand., Frist. kurser Derivator o integraler 1MA014

x 1 1/ maximum

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

TENTAMEN. Ten2, Matematik 1 Kurskod HF1903 Skrivtid 13:15-17:15 Fredagen 25 oktober 2013 Tentamen består av 4 sidor

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

Dagens tema är exponentialfunktioner. Egentligen inga nyheter, snarare repetition. Vi vet att alla exponentialfunktioner.

cos( x ) I 1 = x 2 ln xdx I 2 = x + 1 (x 1)(x 2 2x + 2) dx

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

3. Skissa minst en period av funktionskurvan 3y = 4 cos(8x/7). Tydliggör i skissen på enklaste vis det som karakteriserar kurvan.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

(5 + 4x)(5 2y) = (2x y) 2 + (x 2y) ,

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Christoffer Standar LMA033a Matematik BI

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Lördagen den 11 januari, 2014

Teori och teori idag, som igår är det praktik som gäller! 1 (Bokens nr 3216) Figur 1:

Tentamen IX1304 Matematik, Analys , lösningsidéer

MATEMATIKPROV, LÅNG LÄROKURS BESKRIVNING AV GODA SVAR

Prov i matematik Distans, Matematik A Analys UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen

7. Ange och förklara definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = ln(x) 1.

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

f(x) = x 2 g(x) = x3 100 h(x) = x 4 x x 2 x 3 100

Preliminärt lösningsförslag till del I, v1.0

Tentamen : Lösningar. 1. (a) Antingen har täljare och nämnare samma tecken, eller så är täljaren lika med noll. Detta ger två fall:

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

f(x) = x 2 g(x) = x3 100

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

med angivande av definitionsmängd, asymptoter och lokala extrempunkter. x 2 e x =

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

MA2001 Envariabelanalys

ENDIMENSIONELL ANALYS A3/B kl INGA HJÄLPMEDEL. Lösningarna ska vara försedda med ordentliga motiveringar. lim

NpMa3c vt Kravgränser

Institutionen för Matematik, KTH Torbjörn Kolsrud

7x 2 5x + 6 c.) lim x 15 8x + 3x Bestäm eventuella extrempunkter, inflexionspunkter samt horizontella och vertikala asymptoter

Denna tentamen består av två delar. Först sex enklare uppgifter, som vardera ger maximalt 2 poäng. Andra delen består av tre uppgifter, som

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 29 augusti 2005

9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

Kvadratkomplettering

20 Gamla tentamensuppgifter

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A. e 50k = k = ln 1 2. k = ln = ln 2

2x ex dx. 0 = ln3 e

Sidor i boken f(x) = a x 2 +b x+c

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Carl Lundholm MVE475 Inledande Matematisk Analys

MA2001 Envariabelanalys 6 hp Mikael Hindgren Tisdagen den 9 januari Skrivtid:

e x x + lnx 5x 3 4e x (0.4) x 0 e 2x 1 a) lim (0.3) b) lim ( 1 ) k. (0.3) c) lim 2. a) Lös ekvationen e x = 0.

Institutionen för matematik KTH. Tentamensskrivning, , kl B1210 och 5B1230 Matematik IV, för B, M, och I.

SF1664 Tillämpad envariabelanalys med numeriska metoder Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag v1.1. Högskolan i Skövde (SK) Svensk version Tentamen i matematik

MAA123 Grundläggande vektoralgebra

Fler uppgifter på andragradsfunktioner

SF1626 Flervariabelanalys Tentamen Tisdagen den 12 januari 2016

5. Förklara och ange definitionsmängden och värdemängden för funktionen f definierad enligt. f(x) = x 2

5B1134 Matematik och modeller Lösningsförslag till tentamen den 13 januari T = 1 ab sin γ. b sin β = , 956 0, 695 0, 891

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

2x 2 3x 2 4x 2 5x 2. lim. Lösning. Detta är ett gränsvärde av typen

När vi blickar tillbaka på föregående del av kursen påminns vi av en del moment som man aldrig får tappa bort. x 2 x 1 +2 = 1. x 1

Tentamen i Matematisk analys MVE045, Lösningsförslag

Lösningsförslag till Tentamen i SF1602 för CFATE 1 den 20 december 2008 kl 8-13

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

i utvecklingen av (( x + x ) n för n =1,2,3º. = 0 där n = 1,2,3,

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Genomgånget på föreläsningarna

2. Förklara vad ekvationen 4x(x + 1) = 8y + 11 beskriver, och gör en skiss av detta.

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Jonny Lindström MVE475 Inledande Matematisk Analys

4x 2 dx = [polynomdivision] 2x x + 1 dx. (sin 2 (x) ) 2. = cos 2 (x) ) 2. t = cos(x),

Namn Klass Personnummer (ej fyra sista)

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson, Sebastian Pöder

Gamla tentemensuppgifter

Transkript:

Mälardalens högskola Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MAA4 Grundläggande kalkyl ÖVN3 Lösningsförslag.6.8 4.3 6.3 Hjälpmedel: Endast skrivmaterial. (Gradskiva är tillåtet.) Poäng: Denna tentamen ger maximalt 3 poäng. 3 poäng: U. 4 3 poäng: G. Frågor kan ställas till: Hillevi Gavel, som nås på telefon 73 763 7 88 Övriga anvisningar: Skriv läsbart. Förklara alla resonemang som inte är trivialt uppenbara. Se till att det framgår vad svaret på frågan är. Om du inte kan lösa en uppgift fullständigt men har några idéer, skriv då ner dem. Det kan ge delpoäng.. Bestäm (a) e cos t sin t dt Fall för substitution: ucos t e cos t sin t dt du sin t dt dusin t dt e u du e u C e cos t C (3p) Rättningsnorm: Valt lämplig substitution: p. Korrekt genomfört substitutionen: p. Korrekt löst och återsubstituerat i den integral man kom fram till: p. x x (b) 4x 4x x 3 dx (5p) Fall för partialbråksuppdelning. Börja med att faktorisera nämnaren: 4x 4x x 3 x(x 4x4) x(x ) En upprepad förstagradsfaktor. Ansätt, och sätt så tillbaka på gemensamt bråkstreck: x x x(x ) A x B x C A (x ) xb(x ) (x ) x(x ) x(x )(x ) xc x(x ) Ax 4Ax4A Bx BxCx x(x ) Identifiering av koefficienter ger A B A3 4A BC B 4 4A C Nu går det att lösa integralen: x x ( 3 4x 4x x dx 3 x 4 ) x dx (x ) (A B)x ( 4A BC)x(4A) x(x ) 3 ln x 4 ln x (x ) C Rättningsnorm: Faktorisering och ansats: p. Multiplikation och separation efter gradtal: p. Ekvationssystemslösning: p. Integrering: p, p om man misslyckats med en av termerna. Inga avdrag för följdfel; gör man t.ex. fel i multiplikationen får man ju fel ekvationssystem, men får poäng om det är korrekt löst.

MAA4 Lösning Sida (av 5). Vi har m staket, och ska använda detta till att avgränsa en hage med fyra lika stora rektangulära fållor på en stor äng. Det verkar gå att göra detta på två olika sätt: Vilket av alternativen ska vi välja, och vilka mått bör vi ge fållorna, om vi vill hägna in ett så stort område som möjligt? (8p) Vi ser efter vad som är det maximala möjliga området i de båda alternativen: Alternativ : Kalla bredden på en fålla för x och höjden för y. Vi ska maximera A4xy givet att 8x5y. A(x)4x 8x 5 8x 3 5 x Detta är ett andragradsuttryck, med negativ koefficient på andragradstermen. Ett sådant ( ledsen mun ) har ett max med derivatan noll. (Maxpunkten ligger mitt emellan nollställena, och kan därför tas fram utan derivering, om man vill det.) A (x)8 64 8 5 x x 5 64 5 6,5 m y m 4 Maxarean blir 4 6,5 5 m. Alternativ : Använd samma beteckningar. Vi ska maximera A 4xy givet att 6x 6y. A(x)4x 6x 6 Samma argument om maximum: A (x) 3 3 x 4x 8x x 3 8 5 5 8,33 m y 3 3 8,33 m Den här hagen ska alltså göras kvadratisk. Maxarean blir 4( 5 /3) 5 /9 m. Det andra alternativet gav ett max på 5 5 / m, så detta är något bättre. Svar: Ta alternativ, och gör allt kvadratiskt. Rättningsnorm: Korrekt analys av ena alternativet: p för formulerande av korrekt funktion, p för analysen av den. Korrekt analys av andra alternativet: p. Svar konsistent med de resultat man kommit fram till: p. 3. Kurvorna y x x och yx 4x 3 avgränsar tillsammans ett ändligt område. (a) Skissa området, och bestäm skärningspunkterna mellan kurvorna. (3p) Uttrycket med absolutbelopp ger en kurva som ser ut som y x x med de delar som är nere i det negativa området uppvikta, så det kan vara enklast att utgå därifrån. Annars kan man göra upp värdetabell på vanligt sätt. Det andra uttrycket hanteras enklast med värdetabell.

MAA4 Lösning Sida 3 (av 5) 4 3 3 4 3 4 Skärningspunkterna är (, 3) och (3, 3); framgår ur bild, och ur det välkända utseendet hos parablar framgår att det inte kan finnas flera. Rättningsnorm: Kurvor: p. (p för delvis korrekta bilder, t.ex. en där de skarpa hörnen på den röda kurvan är snygga böjar.) p för skärningspunkterna. (b) Bestäm områdets area. (5p) Den röda kurvan är överkurva i hela området, men beräkningen måste ändå delas upp p.g.a. absolutbeloppet: A ( x x (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( (x x) (x 4x 3) ) dx Symmetri ger dock att första och sista integralen är lika, så det räcker att beräkna den ena av dem och fördubbla. I I 3 I ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( x x3) dx [ 3 x3 x 3x ] 3 ( 3 33 3 3 3) ( 3 3 3 ) 5 3 ( (x x) (x 4x 3) ) dx ( 3x 6x3) dx [ x 3 3x 3x ] ( 3 3 3 ) ( 3 3 3 ) Svar: Arean är 5 3 4 3 3,3 a.e. (Anm. Decimalapproximationen kan vara bra om man vill göra en rimlighetskontroll genom att räkna rutor i figuren.) Rättningsnorm: Inga avdrag för rena räknefel i sista steget, om man inte får ett fullständigt orimligt resultat. Rättningsnorm: Kan man inte hantera absolutbeloppet men gör allt annat rätt så ges p. Annars: Rätt integral: p. Uppdelning: p. Lösning och sammanställning av svar: 3p, avdrag vid integreringsfel och teckenfel men inte vid rena räknefel.

MAA4 Lösning Sida 4 (av 5) 4. Integralen f (x) dx approximeras med summan (a) Beräkna summan. Svaret ska förenklas. Låt i gå från till 6: 6 cos( iπ 6 ) 6 i 6 cos( iπ 6 ) 6 cos(π 6 ) 6 cos(π 6 ) 6 cos(3π 6 ) 6 i (p) cos( 4π 6 ) 6 cos(5π 6 ) 6 cos(6π 6 ) 6 3 ( )( 3 )( ) 6 6 Rättningsnorm: Rätt tolkning av summauttrycket: p. Korrekt beräkning av det man tolkat uttrycket som (förutsatt att det är ungefär jämnsvårt med det korrekta uttrycket): p. (b) Funktionen f i approximationen ovan är strängt avtagande på intervallet [, ], och approximationen är gjord med hjälp av funktionsvärdena i delintervallens högra ändpunkter. Är det approximerade värdet större eller mindre än det verkliga värdet på integralen? Motivera, rita gärna figur. (p) Illustration: Då man tar funktionsvärdet i högerkanten på delintervallet på en avtagande funktion så får man det lägsta värdet i delintervallet. Då blir summan en underskattning. Så det här värdet är lägre än det verkliga. Rättningsnorm: Rätt svar ( mindre ): p. Begriplig och korrekt motivering: p. Funktionen g definieras som g(x) x (t t ) dt x (c) För vilket värde på x antar g(x) sitt största värde? Motivera noga, rita gärna figur. (4p) Metod : Integralen motsvarar arean under kurvan yt t, från t till tx, med delar under x-axeln räknade som negativa. Kurvan ser ut så här:

MAA4 Lösning Sida 5 (av 5) Vi måste få maximalt värde om vi ser till att få med hela det positiva området och inget av det negativa. Detta får vi om vi sätter övre gränsen till. Metod : Ska man maximera en funktion så bör man studera dess derivata. Enligt fundamentalsatsen del är g (x) d dx x (t t ) dt x x Derivatan är för x och x ; x är dessutom ändpunkt på definitionsmängden. Tabell: x g (x) g(x) ր ց g(x) antar sitt största värde för x. Rättningsnorm: Metod : svaret p, vattentät motivering 3p, delpoäng för motiveringar med luckor. Metod : Derivatan: p, derivataanalysen: p.