4 Fler deriveringsregler

4 Fler deriveringsregler 4. Dagens Teori Derivatan av potensfunktioner. Potensfunktioner med heltalsexponenter, som du redan kan derivera, kallas polynomfunktioner, som till exempel: f(x) = 2x4 x3 + 2x + 8 Derivatan blir: f 0 (x) = 8x3 3x2 + 2 Men hur är det när exponenterna inte är heltal eller är negativa, som till exempel g(x) = x 3 + x2 Gäller den regel vi lärt oss för heltalsexponenter? h 0 (x) = n xn h(x) = xn Svaret är ja! Det betyder att 2 2 g 0 (x) = x 3 2x 3 = 3 3 2 3 x 3 x För den som kan sina potenslagar är den avslutande omskrivningen inte konstig. 4.2 Lösta problem Övning 4. Bestäm derivatan till f(x) = x

2 Fler deriveringsregler Eftersom funktionen kan skrivas f(x) = x 2 Svar: Övning 4.2 Bestäm derivatan till f (x) = 2 x 2 = förstår vi att derivatan blir 2 x 2x 2 f(x) = x = 2 x med hjälp av derivatans definition Vi börjar med att ställa upp diffrenskvoten f(x + h) f(x) x + h x = = ( x + h x)( x + h + x) h h h( x + h + x) Vi har förlängt med konjugatet. Nu är det dags att låta h 0 x + h x h( x + h + x) = h h( x + h + x) = x + h + x lim h 0 x + h + x = = x + x 2 x Svar: 2 x Vi förstår att vi kan ta oss fram med hjälp av derivatans definition, Men att det ibland kan bli besvärligare än i tidigare uppgifter. Övning 4.3 Derivera funktionen f(x) = 3 x 2 + 4 x 3 = Vi skriver först funktionen utan rottecken Nu är det dags att derivera f(x) = x 2 3 + x 3 4 Svar: f (x) = 2x 3 3 + 3x 4 4 = 2 3x 3 f (x) = 2 3 3 x + 3 4 4 x + 3 4x 4 =

4.2 Lösta problem 3 Övning 4.4 Då man inte vill ha rötter i nämnaren kan man ofta förlänga bråket med lämpligt uttryck och vips finns det bara rötter i täljaren. Fixa bort roten i nämnaren 3 3 Vi förlänger med 3 och får 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 3 3 3 Övning 4.5 Fixa bort rottecknen i nämnaren a + b a b Nu förlänger vi med konjugatet till uttrycket i nämnaren ( a + b)( a + b) ( a b)( a + b) ( a + b)( a + b) a b = a + 2 ab + b a b Övning 4.6 En tangent till funktionen f(x) = x har k-värdet k = 2. I vilken punkt tangerar tangenten funktionens kurva? Vi startar med att derivera funktionen f (x) = 2 x Genom att lösa ekvationen f (x) = 2 får vi svaret 2 x = 2 = x x = Då f() = är den eftersökta punkten (, ) Svar: (, ) Studera figuren:

4 Fler deriveringsregler 2.5 0.5 0.5.5 2 2.5 3 Figur 4.: Övning 4.7 Bestäm h ( 2 ) då h(x) = x + x 2 Vi skriver om funktionen på en form som är enklare att derivera: Nu deriverar vi Nu kan vi bestämma h( 2 ) Svar: h ( 2 ) = 20 h(x) = x + x 2 h (x) = x 2 2x 3 = x 2 2 x 3 h ( 2 ) = 2 2 3 = 2 2 4 2 8 = 4 2 8 = 20 50 00 50-4 -2 2 4-50 -00 Figur 4.2: Övning 4.8 Här ser du två grafer, i figurerna 4.2 och 4.3. Den ena visar derivatan av den andra. Vilken är vilken? Den övre är derivata till den undre. Hur kan man se det? De punkter på funktionens kurva som har tangenter som har k = 0 innebär att f (x) för dessa punkter ska vara 0, eller hur?

4.2 Lösta problem 5 200 50 00 50-4 -2 2 4-50 Figur 4.3: Övning 4.9 Bestäm grafiskt (se figur 4.4), det vill säga ungefär, följande värden f(0) f (2.) f(2) f ( 0.8) f(0) = 6 f (2.) = 0 f(2) = 4 f ( 0.8) = 0 Övning 4.0 Åter till figur 4.4. I vilka punkter A, B, C är f (x) > 0 f (x) < 0 f (x) = 0 A : f (x) > 0 C : f (x) < 0 B : f (x) = 0 Övning 4. Bestäm derivatan till f(x) = x 4 + x2 Vi skriver om funktionen till Nu är det enkelt att derivera f(x) = x 4 + x 2 f (x) = 4x 5 + 2x Tycker man inte om negativa exponenter kan man skriva om derivatan till f (x) = 2x 4 x 5

6 Fler deriveringsregler Figur 4.4: Uppgift 9 och 0 Övning 4.2 Beräkna a) f(0) b) f(x) = 0 c) f (0), d) f (x) = 0 till funktionen f(x) = x 2 x 6 Enklast att beräkna är f(0) f(0) = 0 2 0 6 = 6 För att bestämma f(x) = 0 måste vi lösa en ekvation, här en andragradsekvation: x 2 x 6 = 0 För att bestämma f (0) måste vi derivera f(x): x = 2 ± 4 + 24 4 x = 2 ± 5 2 x = 3 x 2 = 2 f (x) = 2x Detta ger f (0) = 2 0 =

4.2 Lösta problem 7 Så över till sista delen f (x) = 0, som leder till den enkla ekvationen Svar: a) 6 b) x = 3, x 2 = 2 c) d) x = 2 Övning 4.3 Beräkna derivatan till 2x = 0 x = 2 f(x) = 2 x x Först skriver vi om funktionen Nu är det lämpligt att derivera x 2 2 x 3 2 f(x) = 2x 2 x 2 f (x) = 2x 2 2 Förklara för dig själv, sista steget, att x 3 = x x x 3 2 2 Övning 4.4 Vilket är störst f () eller f (2) då = = x + 2 x 3 = x + 2x x = f(x) = 3 x Vi kan inte besvara denna fråga utan att derivera som är f (x) = x 2 3 3 f(x) = x 3 = 3x 2 3 med eller utan hjälp av dosan ser vi att f () > f (2) = 3 3 x 2 Övning 4.5 I f(x) = x 2 + x II g(x) = x 2 III h(x) = x 2 Para ihop funktionerna med rätt kurva.

8 Fler deriveringsregler Figur 4.5: Svar: I) B, II) A, III) C Räta linjen på olika former Här ska vi bara påpeka att förutom k-form, den som vi är mest vana vid y = k y + m finns också allmän form: ax + by + c = 0 där a och b är konstanter, som inte någon står för vare sig linjens lutning eller var den skär y-axeln. Dessutom finns enpunktformen: y y = k(x x ) där (x, y ) är en känd punkt på linjen. Till sist har vi denna där a och b är konstanter vars betydelse vi återkommer till: y a + x b = Alla dessa sätt att teckna en linjär funktion är förstås ekvivalenta. Ett bra tips är att föra över en given linjär funktion till den form som man är mest van vid. Under Lösta uppgifter tar vi upp några exempel. 4.3 Mer Dagens teori Logartimer Vi har i uppgift att bestämma produkten 423 75. Med hjälp av en logaritmtabell kan vi slå upp talet 423. Vi hittar sifferföljden 6263. På samma sätt slår vi upp 75 och hittar 8756. De två funna talen ska nu användas för bestämma x i 0 x = 423. Vi förstår att x = 2, som ger 0 2 = 00, är för litet och x = 3 som ger 0 3 = 000 är för stort. Vi förstår att 2 < x < 3. Genom att använda sifferföljden vi fick från tabellen kan vi skriva 0 2.6263. Detta tal är då nära 423. På samma sätt får vi att 0 2.8756. Vi har alltså med tabellens hjälp fått 423 75 0 2.6263 0 2.8756 När vi har en gemensam bas kan vi, som bekant från potenslagarna, addera exponenterna och får 0 2.6262 0 2.8756 = 0 2.6262+2.8756 = 0 5.509

4.3 Mer Dagens teori 9 Nu går vi in i tabellen igen och försöker, bakifrån, leta upp sifferföljden 509 inuti tabellen. Tyvärr finns inte detta tal i tabellen. Närmast vi kan komma är 50. För sifferföljden 50 får vi en ny sifferföljd 37. Eftersom heltalssiffran i 5.508 är 5, ska vi har 6 heltalssiffror i resultatet och får vi lägga till 3 nollor till resultatet. Vi får produkten 37000. När vi beräknar 423 75 med något av våra moderna elektronikverktyg får vi 37673. Vårt resultat är alltså inte speciellt imponerande men det visar hur man använde logaritmer från 600-talet och framåt tills datorer och miniräknare nästan 400 år senare kunde åstadkomma betydligt bättre resultat på betydligt kortare tid. Ett exempel till. Beräkna Vi får 76 672 897 t log t 76 2.2455 672 2.8274 897 2.9528 8.0257 I tabellen hittar vi närmast nu 0253 06 som ger resultatet 06000000 att jämföra med det korrekta 06089984. Med den tabell jag använt kommer man att få 3 korrekta värdesiffror. Trots att användningen av logaritmer på detta sätt sedan länge är utdött lever begreppet logaritmer vidare inom matematiken. Vi har ekvationen 0 x = 2345 som vi vill lösa. Vilket tal ska jag upphöja 0 till för att få resultatet 2345? Man skriver direkt x = lg 2345. För att få ett numerisk värde måste man använda en miniräknare (mycket bättre än tabellen). Vi får x = lg 2345 4.095. Du bestämmer hur många decimaler du ska ta med men 0 4.095 är redan det tillräckligt bra (kanske). På dosan använder du LOG. Vi har av detta lära oss att lg a b = lg a + lg b. Detta är första logaritmlagen. Här har vi dem alla Logaritmlagarna I) lg a b = lg a + lg b II) III) lg a b = lg a lg b lg a b = b lg a IV) lg a = lg a Du kommer väl ihåg att a b kallas potens, att a kallas bas och b exponent. När vi talar om lg gäller hela tiden basen 0. Ibland skriver man log 0 istället för lg. Man kan tänka sig vilket positivt tal som helst som bas. Följande tre baser är vanligast 0 lg log 0 e ln log e 2 log 2 De fyra lagarna ovan gäller oavsett bas. Här några uppgifter för huvudräkning

0 Fler deriveringsregler Övning 4.6 a) lg 000 b) lg 0 c) lg d) lg 0.00 e) log 5 25 f) log 3 8 g) log 2 256 h) lg( 0) a) 3 b) c) 0 d) 3 e) 2 f) 4 g) 8 h) ej definierat Övning 4.7 Lös ekvationerna a) lg x = lg 3 + lg 6 b) lg 0 = lg 2 + lg x c) lg 00 = lg x 2 d) log 3 x = log 3 27 log 3 3 e) log 2 x 3 = log 2 64 f) x = log 3 27 + log 2 8 + lg 000 a) x = 8 b) x = 5 c) x = 0 d) x = 2 e) x = 4 f) x = 9 På hemsidan finns ett stort antal logaritmekvationer Derivatan av exponentialfunktionen. Vi minns att f(x) = 3 x är ett exempel på en exponentialfunktion. Kännetecknet är att x förekommer som exponent. Det är fritt fram för vilken positiv bas som helst. I exemplet har vi använt basen 3. Så här ser grafen ut: 25 20 5 0 5-2 - 2 3 Figur 4.6: Gemensamt för alla exponentialfunktioner är att de växer snabbt då basen är >. Man talar om exponentiell tillväxt och menar då något som ökar snabbt. (Även om detta inte alltid är helt korrekt. Jag menar att med basen.0, (%), är ju tillväxten inte särskilt snabb). Vi förstår att denna funktion liksom andra vi studerat hittills har en tangent i varje punkt på kurvan. Med andra ord det borde finnas en derivata till f(x) = 3 x. Använder vi derivatans definition för att ta reda på den får vi f f(x + h) f(x) 3 x+h 3 x (x) = lim = lim h 0 h h 0 h

4.3 Mer Dagens teori Vidare 3 x 3 h 3 x lim h 0 h = lim h 0 3 x (3 h ) h Eftersom 3 x inte är direkt inblandad när h 0, så kan vi skriva (om inte helt självklart) 3 x lim h 0 (3 h ) h Sedan är det stopp! Det vi lärt oss om gränsvärden räcker inte för att knäcka detta. Vi ser att, när h = 0 får vi 0 0. Vi går till en bok för högre studier i matematik och hittar Använder vi detta resultat får vi (a h ) lim = ln a h 0 h 3 x (3 h ) lim = ln 3 3 x h 0 h Det återstår nu endast ett problem. Vad står ln för? Vi kommer ihåg att lösningen till ekvationen 0 x = 23 skrivs x = lg 23. Detta är en logaritmekvation där vi använder basen 0. Basen 0 är (åtminstone i Sverige) knuten till symbolen lg och det finns en knapp på dosan märkt log som motsvarar lg. Vilken bas man använder när man räknar med logaritmer är egentligen valfritt! Det känns naturligt att använda basen 0 eftersom vi använder oss av basen 0 när vi skriver våra tal. En annan bas är e. Talet e är en konstant precis som π och dessutom lika viktig i matematiken. Jag ska nu försöka förklara varifrån talet e kommer. Betrakta uttrycket ( lim + ) x x x Det handlar alltså om ett gränsvärde där x Plottar vi funktionen ( f(x) = + ) x x får vi följande graf, se 4.7. 2.6 2.4 2.2.8 0 20 30 40 50 Figur 4.7: Vi kan gissa eller tro att kurvan närmar sig en gräns när x. Jag påstår att denna gräns är just talet e. Här har du talet e med de 200 första decimalerna:

2 Fler deriveringsregler 2.7828828459045235360287473526624977572470936999595749 66967627724076630353547594573827852566427427466399320 03059928743596629043572900334295260595630738323286279 434907632338298807539525090 Normalt brukar man komma ihåg att e 2.72. På dosan finns en knapp märkt e x. Slår vi e får man fram talet e med några av de decimaler som ges ovan. Vi tänker nu använda e som bas när vi räknar med logaritmer och konstaterar att: lg är för 0, vad ln är för e. Sök upp knappen ln på din räknare. Det finns ju oändligt många tal, varför har man fastnat för talet e? Vi återkommer till det. Först ska vi lösa några enkla ekvationer. Förhoppningsvis kommer du ihåg hur man löser till exempel denna ekvation: lg x = 2 0 lg x = 0 2 x = 00 Om den ekvationen är OK för dig är inte denna svårare: ln x = 2 e ln x = e 2 x = e 2 x 7.38906 Vi konstaterar at vår kattregel gäller även här (liksom för alla baser). så även för de andra logaritmlagarna. e ln = Detta är viktigt. Man kan nu skriva om vilket uttryck som helst a b till ett med basen e. Jag påstår att a b = e b ln a För att förklara detta använder vi bara två logartimlagar: och så kattregeln. Alltså Så om vi har en funktion så kan vi skriva den som ln a b = b ln a e b ln a = e ln ab = a b f(x) = 3 x f(x) = e x ln 3 eller hur? Bestämmer vi oss för att alltid skriva om en exponentialfunktion oavsett bas till en bas med e (vilket verkar enkelt) så får vi en fastare grund att stå på. Minns ni att vi för en halv timma sedan började med att försöka finna derivatan till f(x) = 3 x

4.3 Mer Dagens teori 3 Vi kom fram till, genom derivatans definition och genom att låna ett gränsvärde från den högre matematiken, att f (x) = ln 3 3 x Man verkar inte kunna presentera derivatan till denna funktion utan att blanda in ln. Fakta: har derivatan f(x) = e x f (x) = e x Lätt att komma ihåg eller hur? Det är detta faktum som gör e så märkvärdigt. Att derivatans värde är lika med funktionens. där k är en konstant har derivatan f(x) = e kx f (x) = k e kx Lite svårare men fortfarande möjligt att memorera. Vad betyder detta? Ja att: f(x) = 3 x = e ln 3x = e x ln 3 Vi deriverar sedan med hjälp av regeln ovan och får Detta uttryck kan ju skrivas om till f (x) = ln 3 e x ln 3 f (x) = ln 3 e x ln 3 = ln 3 e ln 3x = ln 3 3 x Det var ju där vi började! Återstår att vänja sig vid att använda e och ln.

4 Fler deriveringsregler 4.4 Lösta problem Övning 4.8 Översätt den linjära funktionen given på allmän form till k-form, där a och b är obestämda konstanter. Vi utgår alltså från ax + by + c = 0 och vill komma fram till y = k x + m. Det betyder att vi kommer att få k och m uttryckta i a och b. Vi ska alltså lösa ut y ur formeln ax + by + c = 0 by = ax c y = ax c b y = a b x + c b Detta betyder att k = a b och m = c b. Normalt lär man sig inte detta utantill, utan är beredd att räkna fram det varje gång det behövs. Övning 4.9 Vi har den linjära funktionen y 5 + x 3 = I vilka punkter skär denna linje koordinataxlarna? När funktionen skär x-axeln är y = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen 0 5 + x 3 = som har lösningen x = 3. Linjen skär alltså x-axeln i (3, 0) När funktionen skär y-axeln är x = 0. Vi sätter in det i funktionen och får ekvationen y 5 + 0 3 = som har lösningen y = 5. Linjen skär alltså y-axeln i punkten (0, 5). Det finns tydligen ett klart samband mellan de två nämnarna i funktionen och de punkter i vilka linjen skär axlarna. Övning 4.20 Vilket resultat, ungefär, bör man få då man beräknar detta uttryck med dosans hjälp: ( + ) 000 000 Ungefär 2.7692, ett tal ganska nära e, eller hur! Övning 4.2 Lös ekvationen ln x + ln 2 = ln 0

4.4 Lösta problem 5 ln x + ln 2 = ln 0 ln x = ln 0 ln 2 ln x = ln 0 2 ln x = ln 5 e ln x = e ln 5 x = 5 Förutom e ln = har vi använt ln ln = ln. Vi konstaterar att tekniken att lösa en ekvation med ln inte skiljer sig speciellt från det med lg. Övning 4.22 Förenkla så långt möjligt 2 3 ln ea ln e a 3 2 3 ln ea ln e a 2a a 3 = ln e 3 3 ln e = 2a 3 a 3 = 2a 3 + a 3 = a Om lg 0 = så måste ju ln e =. Övning 4.23 Bestäm derivaten till f(x) = 0e x f (x) = 0e x Övning 4.24 Bestäm derivatan till f(x) = e 0x f (x) = 0e 0x Övning 4.25 Vilken funktion a) f(x) = e x b) f(x) = e 0 x c) f(x) = e x hör ihop med vilken graf i figur 4.8

6 Fler deriveringsregler Figur 4.8: a) f(x) = e x b) f(x) = e x c) f(x) = e 0 När koefficienten är 0 är förstås funktionen konstant =. Övning 4.26 Derivera funktionen f(x) = 4 x + 3 x Vi skriver om funktionen enligt receptet ovan (även om man är ovan): Nu är det enkelt att derivera f(x) = e x ln 4 + e x ln 3 f (x) = ln 4 e x ln 4 + ln 3 e x ln 3 om man så vill kan man återställa baserna och få f (x) = ln 4 4 x + ln 3 3 x Visserligen försvinner e, som vi är ovana vid just nu, men ln består. Övning 4.27 Kurvan y = C e kx går genom punkten (0, 0). Lutningen i den punkten är 5. Bestäm talen C och k. Först och främst förstår vi att 0 = C e k 0 Vi har helt enkelt satt in x och y efter punkten (0, 0). Detta ger 0 = C e 0 eller C = 0. När vi har C = 0 kan vi skriva funktionen f(x) = 0 e kx Nu tar vi hand om den givna lutningen. För detta måste vi derivera funktionen ovan f (x) = k 0e kx

4.4 Lösta problem 7 Man har fått veta att f (0) = 3, eller hur (tänk efter). Detta ger Eftersom f (0) = 5 får vi Till slut har vi kommit fram till funktionen: f (0) = k 0e k 0 k 0e k 0 = 5 k 0e 0 = 5 k 0 = 5 k = 2 f(x) = 0e x 2 Övning 4.28 Omforma den linjära funktionen 3x + y 2 3 = 0 till k-form. Det är bara att räkna på, det vill säga att lösa ut y ur formeln 3x + y 2 3 = 0 y = 3x + 3 2 y = 6x + 6 Lätt som en plätt, eller hur! Svar: y = 6x + 6 Övning 4.29 En linje skär koordinataxlarna i punkterna (0, 2) och (3, 0). Bestäm linjens ekvation (den linjära funktionen). Utnyttjar vi kunskapen från Lösta problem nummer 2 får vi direkt som kan hyfsas till y 2 + x 3 = y = 2 3 x 2 Övning 4.30 Lös ekvationen ln x 2 + ln x = 3 Svar: x = e ln x 2 + ln x = 3 2 ln x + ln x = 3 3 ln x = 3 ln x = e ln x = e x = e

8 Fler deriveringsregler Övning 4.3 Man får reda på att f(2) = 3 e 2 och att f(3) = 3 e 3. Bestäm f(x). Funktionen f(x) = 3e x är förstås närliggande, men det finns faktiskt oändligt många funktioner som går genom dessa två punkter. Tänk efter. Övning 4.32 Skriv om funktionen f(x) = 000.04 x till funktionen g(x) med basen e och bestäm både f(0) och g(0) Vi kan tyda denna funktion som en där man startar med 000 kr och erhåller 4% ränta varje år. f(x) talar om hur mycket man har efter x år. f(0) = 000.04 0 480 Omskriven till basen e får vi Vi får nu Omskrivningen verkar korrekt. x ln.04 g(x) = 000 e g(0) 480 Övning 4.33 Derivera funktionen f(x) = 3e 2x f (x) = 3 2e 2x Övning 4.34 Bestäm f (2) då f(x) = 2e 3x + e x Först deriverar vi Vi kan nu bestämma f (x) = 6e 3x + e x f (2) = 6e 6 + e 2 Matematiken stannar normalt här. Handlar det om fysik eller andra tillämpningar av matematiken kanske man svarar f (x) 2428

4.4 Lösta problem 9 Övning 4.35 Derivera f(x) = ( e x e x) ( e x + e x) Vi måste börja med att utveckla parenteserna (tänk på konjugatregeln): ( e x e x) ( e x + e x) = e 2x e 2x Vi får då funktionen vars derivata är f(x) = e 2x e 2x f (x) = 2e 2x ( 2)e 2x = 2(e 2x + e 2x )