Möbiusavbildningar Lars-Åke Lindahl 1 Inledning Definition 11 avbildningen en Möbiusavbildning Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0 Då kallas Tz = az + b cz + d (Om ad bc = 0 är täljaren en multipel av nämnaren, dvs Tz är konstant, och det fallet vill vi inte ha med i definitionen) Om c = 0 är Möbiusavbildningen T definierad för alla komplexa tal z, och om c = 0 är den definierad för alla komplexa tal utom z = d/c Det är emellertid naturligt att utvidga definitionen av T så att Möbiusavbildningen blir definierad och kontinuerlig i hela det utvidgade komplexa talplanet Ĉ = C { } För c = 0 är lim z Tz = lim z (az + b)/d =, så vi sätter T( ) = i det fallet För c = 0 är däremot az + b lim Tz = lim z z cz + d = a c och az + b lim Tz = lim z d/c z d/c cz + d =, så vi utvidgar T genom att sätta T( ) = a/c och T( d/c) = På så sätt är Möbiusavbildningen T definierad i det utvidgade komplexa talplanet i samtliga fall Avbildningen T : Ĉ Ĉ är bijektiv; inversen fås genom att lösa ekvationen vilket ger w = Tz, dw + b z = T 1 cw a, w = d/c, om w = a/c, w =, om w = a/c om w = (vilket även stämmer i fallet c = 0 förutsatt att a/0 och d/0 tolkas som ) Inversen T 1 är således också en Möbiusavbildning Om S och T är två Möbiusavbildningar, säg Tz = az + b cz + d och Sz = kz + l mz + n,
2 Möbiusavbildningar så är sammansättningen S(Tz) = ktz + l mtz + n = k az+b cz+d + l m az+b cz+d + n förstås också en Möbiusavbildning En Möbiusavbildning är entydigt bestämd så snart man känner dess värden i tre punkter För att visa detta betraktar vi först följande specialfall: Lemma 12 Antag att Möbiusavbildningen T har mer än två fixpunkter i Ĉ (z 0 kallas en fixpunkt om Tz 0 = z 0 ) Då är T lika med den identiska avbildningen I ( Iz = z för alla z) Bevis z 0 C är en fixpunkt till Tz = az + b cz + d om och endast om cz 2 0 + (d a)z 0 b = 0 Detta är en andragradsekvation i z 0 med högst två lösningar i C såvida inte alla koefficienterna i ekvationen är noll, dvs såvida inte c = b = 0 och a = d, vilket betyder att Tz = z för alla z Återstår att betrakta möjligheten att är en fixpunkt I så fall måste c = 0, och vi har att göra med en avbildning på formen Tz = az + b (Vi kan naturligtvis utan inskränkning anta att d = 1) z 0 C är fixpunkt till denna avbildning om och endast om (a 1)z 0 + b = 0 Om det förutom finns mer än en fixpunkt, så är därför a = 1 och b = 0, dvs T = I Sats 13 Antag att Möbiusavbildningarna S och T är lika i tre punkter i det utvidgade komplexa talplanet Då är S = T Bevis Om Sz i = Tz i, i = 1, 2, 3, så är T 1 Sz i = z i, dvs den sammansatta Möbiusavbildningen T 1 S har (minst) tre fixpunkter och måste därför vara lika med den identiska avbildningen, vilket medför att T = S Övningar 1 Bestäm samtliga fixpunkter till Möbiusavbildningarna a) w = z 1 b) w = iz + 2 c) w = z + 2 z + 1 2 Bestäm inversen till avbildningarna a) w = z 1 b) w = 2z i z + 1 iz + 2 2 Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar Vi skall studera Möbiusavbildningarnas avbildningsegenskaper Det är då ofta praktiskt att uppfatta w = Tz som en avbildning från ett komplext z-plan till ett w-plan Låt oss först notera några viktiga specialfall För a = d = 1, c = 0 fås Möbiusavbildningen w = z + b, som kallas en translation Bilden av en figur i z-planet fås genom att translatera den med vektorn b Uppenbarligen avbildar translationer räta linjer på räta linjer och cirklar på cirklar
2 Bilden av cirklar och linjer under Möbiusavbildningar 3 För b = c = 0, d = 1, a = 0 får vi Möbiusavbildningen w = az Om a = 1, dvs a = e iθ, är avbildningen en rotation vinkeln θ kring origo Om istället a är ett reellt positivt tal, så är w = az en likställighetsavbildning med 0 som centrum en linjär förstoring om a > 1 och en linjär förminskning om a < 1 Ett godtyckligt komplext nollskilt tal a kan skrivas på formen a = a e iθ, varför avbildningen w = az = a e iθ z allmänt är en rotation kring origo följd av en likställighetsavbildning Det är uppenbart att avbildningen Tz = az avbildar varje cirkel med origo som centrum på en cirkel med origo som centrum och varje rät linje genom origo på en rät linje genom origo Låt Γ vara en godtycklig cirkel med centrum i punkten z 0 Eftersom az = a(z z 0 ) + az 0 kan T uppfattas som sammansatt av först translationen Sz = z z 0, sedan T själv och slutligen translation Uz = z + az 0 Translationen S flyttar cirkeln Γ till en cirkel med origo som medelpunkt, och denna avbildas av T på en ny cirkel kring origo, vilken slutligen av U translateras till en cirkel med az 0 som medelpunkt Det följer att avbildningen Tz = az avbildar godtyckliga cirklar på cirklar, och på motsvarande sätt inses att godtyckliga räta linjer avbildas på räta linjer b θ z kz Figur 1 I figuren illustreras hur en cirkel avbildas på en cirkel av respektive en translation Tz = z + b, en rotation Tz = e iθ z och en likställighetsavbildning Tz = kz Det sista specialfall som vi skall betrakta är Möbiusavbildningen Tz = 1/z som kallas en inversion Allteftersom z är < 1, = 1 och > 1 är Tz > 1, = 1 och < 1, så det är uppenbart att inversionen avbildar enhetscirkeln på sig själv, området innanför enhetscirkeln på området utanför och vice versa Vi skall nu se hur inversionen avbildar en godtycklig cirkel resp rät linje Vi börjar då med att skriva cirkelns respektive linjens ekvation på "komplex" form Cirkeln med centrum i z 0 och radie r har ekvationen vilket ekvivalent kan skrivas dvs z z 0 = r, r 2 = (z z 0 )(z z 0 ) = z 2 z 0 z z 0 z + z 0 2, (1) z 2 z 0 z z 0 z + k = 0, där det reella talet k (= z 0 2 r 2 ) skall vara < z 0 2 Om vi nu multiplicerar ekvationen med en nollskild reell konstant a kan vi ekvivalent skriva (1) på formen a z 2 az 0 z az 0 z + ak = 0 Sätt slutligen b = az 0 och c = ak Om vi noterar att villkoret k < z 0 2 är ekvivalent med att ac = a 2 k < b 2, så har vi visat cirkeldelen av följande sats
4 Möbiusavbildningar Sats 21 Ekvationen (2) a z 2 + bz + bz + c = 0, där a och c är reella tal, b är ett komplext tal och ac < b 2, betyder (i) en cirkel om a = 0; (ii) en rät linje om a = 0 Omvänt har varje cirkel och varje rät linje en ekvation av ovanstående typ Det återstår att betrakta den räta linjens ekvation, som ju allmänt kan skrivas på formen 2Ax + 2By + C = 0, där koefficienterna är reella och minst en av A och B är skild från noll Med z = x + iy, dvs x = (z + z)/2, y = (z z)/2i insatt i linjens ekvation får vi (A ib)z + (A + ib)z + C = 0 Om vi nu sätter a = 0, b = (A ib) och c = C, så får vi den sökta ekvationen Villkoret ac < b 2 blir i det här fallet ekvivalent med att b = 0 Betrakta nu bilden av cirkeln resp den räta linjen (2) under inversionen w = 1/z Insättning av z = 1/w i ekvationen ger eller efter multiplikation med w 2 = ww, a/ w 2 + b/w + b/w + c = 0, (3) c w 2 + bw + bw + a = 0 Om (2) är en cirkel som inte går genom origo, så är c = 0, och då är också (3) ekvationen för en cirkel, dvs bilden under inversionen av cirkeln (2) är i detta fall också en cirkel Om (2) är en cirkel genom origo, så är c = 0 och (3) är i detta fall ekvationen för en rät linje Om (2) är ekvationen för en rät linje genom origo, dvs a = c = 0, b = 0, så är (3) också ekvationen för en rät linje genom origo Om slutligen (2) är ekvationen för en rät linje, som inte går genom origo, dvs a = 0, b = 0, c = 0, så är (3) ekvationen för en cirkel, som går genom origo Vi har därmed visat följande lemma Lemma 22 Under inversionen w = 1/z avbildas cirklar på cirklar eller räta linjer, och räta linjer på räta linjer eller cirklar Exempel 23 Inversionen w = 1/z avbildar uppenbarligen reella axeln i z-planet på reella axeln i w-planet Vi skall undersöka vad bilden av cirkeln Γ: z i = 1 blir För den skull räcker det att bestämma bilden av tre punkter på cirkeln, tex punkterna 0, 1 + i 1 och 2i Dessa avbildas i tur och ordning på punkterna, 2 i 2 och i Det följer 2 att bilden av cirkeln Γ är lika med den räta linjen genom dessa tre punkter, dvs linjen Im w = 1 2 z w i 1 i 1 Figur 2 Bilder av cirklar under inversionen w = 1/z
3 Dubbelförhållande 5 Låt oss använda "cirkel" inom citationstecken som samlingsnamn för cirkel eller rät linje Satsen ovan kan då formuleras som att inversionen avbildar varje "cirkel" på en "cirkel" Samma sak gäller som vi tidigare sett för translationer, rotationer och likställighetsavbildningar Vi skall strax visa att motsvarigheten gäller för alla Möbiusavbildningar Först noterar vi följande hjälpsats Lemma 24 Varje Möbiusavbildning kan skrivas som en sammansättning av translationer, rotationer, likställighetsavbildningar och inversioner Bevis Tz = az + b cz + d = a bc ad 1 + c c 2 z + d/c Detta visar att Möbiusavbildningen Tz i tur och ordning är sammansatt av translationen u = z + d/c, inversionen v = 1/u, rotations- och likställighetsavbildningen w = bc ad v c 2 samt translationen w + a/c Nu kommer det här avsnittets huvudresultat Sats 25 Varje Möbiusavbildning avbildar "cirklar" på "cirklar" Bevis Följer omedelbart av lemmat plus vad vi visat om de speciella avbildningarna translation, rotation, likställighetsavbildning och inversion Varje "cirkel" är rand till två öppna sammanhängande områden en rät linje till två halvplan och en "riktig" cirkel till en cirkelskiva och området utanför cirkeln Eftersom Möbiusavbildningar är kontinuerliga och bijektiva, och kontinuerliga avbildningar avbildar sammanhängande områden på sammanhängande områden, följer det lätt att en Möbiusavbildning T avbildar ett område Ω som har en "cirkel" Γ som rand på ett av de två områden som har bild"cirkeln" T(Γ) som rand Exempelvis avbildar inversionen w = 1/z den öppna enhetsskivan z < 1 på det yttre av enhetscirkeln, dvs w > 1, och i exempel 23 fann vi att cirkeln z i = 1 avbildas på den räta linjen Im w = 1 För att bestämma bilden av cirkelskivan z i < 1 2 räcker det därför att undersöka bilden av en enda punkt i cirkelskivan, tex bilden av medelpunkten i Eftersom i avbildas på i, som ligger under linjen Im w = 1 2, avbildas cirkelskivan z i < 1 på halvplanet Im w < 1 Naturligtvis avbildas området utanför 2 cirkeln på det andra halvplanet Övningar 3 Bestäm medelpunkt och radie för cirkeln z 2 (1 i)z (1 + i)z 2 = 0 4 Bestäm bilden under Möbiusavbildningen w = z i av z + i a) imaginära axeln Re z = 0 b) halvplanet Re z > 0 c) reella axeln Im z = 0 d) halvplanet Im z > 0 e) enhetscirkeln z = 1 3 Dubbelförhållande Givet två "cirklar", Γ 1 och Γ 2, så finns det Möbiusavbildningar som avbildar Γ 1 på Γ 2 Vi skall visa detta samt hur man enkelt konstruerar sådana avbildningar Ett mycket användbart hjälpmedel definieras först
6 Möbiusavbildningar Definition 31 sätter vi Om z 1, z 2, z 3 är tre skilda punkter i Ĉ, och z är en godtycklig punkt så (z, z 1, z 2, z 3 ) = z z 1 z z 3 z2 z 3 z 2 z 1 Här skall högerledet tolkas på naturligt sätt om någon av punkterna är oändlighetspunkten, nämligen z 2 z 3, om z 1 = z z 3 z z 1 (z, z 1, z 2, z 3 ) =, om z 2 = z z 3 z z 1 z 2 z 1, om z 3 = (z, z 1, z 2, z 3 ) kallas dubbelförhållandet eller krysskvoten av de fyra punkterna Som funktion av z är förstås Sz = (z, z 1, z 2, z 3 ) en Möbiusavbildning Det följer omedelbart ur definitionen att Sz 1 = 0, Sz 2 = 1, Sz 3 = Vidare är krysskvoten S enligt sats 13 den unika Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna z 1, z 2, z 3 på punkterna 0, 1 resp Vi använder detta för att visa följande sats Sats 32 Givet en trippel z 1, z 2, z 3 av skilda punkter i Ĉ och en annan trippel w 1, w 2, w 3 av skilda punkter i Ĉ, så finns det en unik Möbiusavbildning T som uppfyller Tz i = w i, i = 1, 2, 3 Avbildningen w = Tz fås genom att lösa ekvationen (w, w 1, w 2, w 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) Bevis Enligt sats 13 finns det högst en sådan avbildning Vi skall visa att det finns exakt en avbildning genom att konstruera den Sätt Sz = (z, z 1, z 2, z 3 ), Uw = (w, w 1, w 2, w 3 ) och Uw = Sz Då vi löser den sista ekvationen får vi w = U 1 Sz Den sammansatta avbildningen T = U 1 S är en Möbiusavbildning och har de sökta egenskaperna, ty U 1 Sz 1 = U 1 0 = w 1, U 1 Sz 2 = U 1 1 = w 2, U 1 Sz 3 = U 1 = w 3 Exempel 33 Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1, 1 och i på i tur och ordning, 0 och 1 Lösning: Vi skall lösa ekvationen (w,, 0, 1) = (z, 1, 1, i),
4 Konjugerade punkter 7 dvs w w 1 0 1 0 = z 1 z i 1 i 1 1 1 w 1 = 1 + i z 1 2 z i w = i z + 1 z 1 Tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet bestämmer en unik "cirkel" (Om punkterna inte ligger i rät linje är det en riktig cirkel, om punkterna ligger i rät linje eller om den ena punkten är oändlighetspunkten är "cirkeln" en rät linje) Av satsen ovan samt resultatet att "cirklar" avbildas på "cirklar" följer därför att det givet två "cirklar" finns Möbiusavbildningar som avbildar den ena på den andra Exempel 34 w = 1 Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln Lösning: Reella axeln är bestämd av t ex punkterna 0, 1 och, och enhetscirkeln av t ex punkterna 1, i och 1 Vi får därför en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på enhetscirkeln genom att bestämma den (unika) Möbiusavbildning som avbildar de tre givna punkterna på reella axeln på de tre punkterna på enhetscirkeln: Efter förenkling fås (w, 1, i, 1) = (z, 0, 1, ) w 1 w + 1 i + 1 i 1 = z w = i z i + z Dubbelförhållandet har många trevliga egenskaper en är att det är invariant under Möbiusavbildningar: Sats 35 Låt z 1, z 2, z 3 vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet och låt T vara en godtycklig Möbiusavbildning Då är (Tz, Tz 1, Tz 2, Tz 3 ) = (z, z 1, z 2, z 3 ) för alla z Bevis Satsen kan naturligtvis verifieras genom att ansätta en godtycklig Möbiusavbildning T och sedan göra en rättfram uträkning Enklare och elegantare är det emellertid att resonera på följande vis Sätt Uz = (Tz, Tz 1, Tz 2, Tz 3 ) och Vz = (z, z 1, z 2, z 3 ) Både U och V är Möbiusavbildningar, och per definition är Uz 1 = Vz 1 = 0, Uz 2 = Vz 2 = 1 och Uz 3 = Vz 3 =, dvs U och V är lika för tre skilda punkter, och därför är avbildningarna identiska Övningar 5 Bestäm den Möbiusavbildning som avbildar 1 på 1, i på i och 0 på 6 Visa att z ligger på "cirkeln" genom de tre skilda punkterna z 1, z 2, z 3 om och endast om dubbelförhållandet (z, z 1, z 2, z 3 ) är reellt
8 Möbiusavbildningar 4 Konjugerade punkter Vi vet alla vad som menas med spegling i en rät linje Eftersom räta linjer är specialfall av det allmännare begreppet "cirklar", bör det finnas en utvidgning av speglingsbegreppet till spegling i en cirkel Den närmaste uppgiften är att göra denna utvidgning och på ett sådant sätt att begreppet blir invariant under Möbiusavbildningar I så fall finns det bara en möjlighet: För att konstruera "spegelbilden" z0 av en punkt z 0 med avseende på cirkeln Γ bestämmer vi först en Möbiusavbildning T som avbildar cirkeln på en rät linje L, betraktar sedan bilden w 0 = Tz 0 och konstruerar dess spegelbild w 0 med avseende på linjen L, samt avbildar tillbaka med T 1 och definierar z0 som T 1 w 0 Vi har emellertid en del verifikationer att göra för att inse att definitionen är entydig och börjar med följande lemma Lemma 41 En Möbiusavbildning T avbildar reella axeln R på sig själv om och endast om (*) Tz = Tz gäller för alla z Ĉ Bevis Antag först att villkoret (*) är uppfyllt Då är speciellt Tx = Tx för alla reella x, dvs Tx är reellt för alla reella x, och detta visar att T avbildar reella axeln på sig själv Låt omvänt T vara en Möbiusavbildning som avbildar reella axeln på sig själv, och låt speciellt x 1, x 2, x 3 vara de punkter på reella axeln (inklusive ) som avbildas på 0, 1 och Möbiusavbildningen är då Tz = (z, x 1, x 2, x 3 ) = az + b cz + d där koefficienterna a, b, c och d är rationella uttryck i x 1, x 2 och x 3, och därför är reella tal Det följer att Tz = az + b ( ) az + b cz + d = = Tz cz + d Lemma 42 Låt Γ vara en godtycklig "cirkel", och låt S och T vara två Möbiusavbildningar som avbildar Γ på reella axeln Då är S 1 Sz = T 1 Tz för alla z Ĉ Bevis Den sammansatta Möbiusavbildningen ST 1 avbildar reella axeln på sig själv, varför ST 1 w = ST 1 w gäller för alla w enligt föregående lemma Sätt in w = Tz; vi får då ST 1 Tz = ST 1 Tz = Sz T 1 Tz = S 1 Sz Därmed är beviset klart Vi kan nu ge vår definition Istället för spegling kallar vi operationen konjugering
4 Konjugerade punkter 9 Definition 43 Låt Γ vara en "cirkel" och låt z vara en godtycklig punkt Punkten z kallas konjugerad till z med avseende på Γ om z = T 1 Tz, där T är en godtycklig Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln z T 1 z Tz Γ T Tz Figur 3 Illustration till Definition 43 T(Γ) Definitionen är på grund av lemma 42 entydig, dvs z Möbiusavbildning som avbildar Γ på reella axeln Observera att definitionen kan skrivas beror inte på valet av Tz = Tz Om vi skall bestämma den konjugerade punkten z till z, så kan vi naturligtvis använda samma Möbiusavbildning T och vi får då Det följer att Tz = Tz = Tz = Tz z = z, dvs konjugering är en symmetrisk egenskap om punkten z 2 är konjugerad till punkten z 1 med avseende på en "cirkel", så är också z 1 konjugerad till punkten z 2 med avseende på samma "cirkel" Om Γ är reella axeln, så kan vi som Möbiusavbildning T välja den identiska avbildningen, varför definitionen ger z = z Konjugering med avseende på reella axeln överenstämmer således med vanlig komplex konjugering, dvs med spegling Exempel 44 (Konjugering med avseende på en rät linje) En rät linje L är bestämd av två komplexa tal a och b samt oändlighetspunkten Låt oss avbilda L på reella axeln med den avbildning T som sänder a till 0, b till 1 och till Motsvarande avbildning är w = Tz = (z, a, b, ) = z a b a Om z och z är konjugerade, dvs Tz = Tz, så är därför z a b a = z a b a
10 Möbiusavbildningar Genom att ta absolutbeloppet resp argumentet av båda sidor ser vi att z a = z a och arg (z a) arg (b a) = arg (z a) arg (b a) = (arg (z a) arg (b a)) Ovanstående gäller för alla punkter a på linjen L Det följer därför av den första relationen att z och z har samma avstånd till linjen och av den andra att de ligger på olika sidor om linjen Punkterna z och z är med andra ord varandras spegelpunkter i linjen L z a b L z Γ z a z Figur 4 Konjugering med avseende på en linje resp en cirkel Exempel 45 (Konjugering med avseende på en cirkel) Låt Γ vara cirkeln z a = R, som vi avbildar på reella axeln genom att sända punkterna a + R, a + ir och a R i tur och ordning på 0, 1 och med Möbiusavbildningen w = Tz = (z, a + R, a + ir, a R) = i z a R z a + R Konjugeringsdefinitionen Tz = Tz resulterar i ekvationen (**) i z a R z a + R = i z a R z a + R, vilken efter förenkling blir (z a)(z a) = R 2 för alla z utom a och oändlighetspunkten Ytterligare omskrivning ger z a = R2 z a = R 2 (z a) z a 2 Härav kan vi utläsa att de konjugerade punkterna z och z (förlängda radie) från cirkelns medelpunkt samt att ligger på samma stråle z a z a = R 2 Dessa båda villkor bestämmer naturligtvis den konjugerade punkten entydigt Om speciellt z ligger på cirkelns periferi så att z a = R, så blir z = z Om slutligen z = a, så är högerledet av (**) lika med i, och det följer att z = Vi har med andra ord a = och = a, dvs cirkelns medelpunkt och oändlighetspunkten är ett par av konjugerade punkter Konjugering är invariant under Möbiusavbildningar Vi har nämligen följande sats
4 Konjugerade punkter 11 Sats 46 Antag att Möbiusavbildningen T avbildar "cirkeln" Γ på "cirkeln" Γ, och låt z och z vara konjugerade med avseende på Γ Då är bildpunkterna Tz och Tz konjugerade med avseende på bild"cirkeln" Γ Bevis Låt S avbilda Γ på reella axeln Då avbildar ST 1 Γ på reella axeln Per definition är Sz = Sz, och härav följer (ST 1 )(Tz ) = (ST 1 )(Tz), vilket bevisar att Tz och Tz är konjugerade Sats 47 Låt z 0, z 0 och z 1 vara tre skilda punkter i det utvidgade komplexa talplanet Då finns det en unik "cirkel" Γ genom punkten z 1 så att punkterna z 0 och z 0 är konjugerade med avseende på Γ Bevis Betrakta först specialfallet z 0 = 0, z 0 = och z 1 = 1 Punkterna 0 och är konjugerade med avseende på en "cirkel" om och endast om "cirkeln" är en riktig cirkel med 0 som medelpunkt, och det finns förstås en unik sådan som passerar genom punkten 1, nämligen enhetscirkeln C: z = 1 Betrakta nu det allmänna fallet och låt T vara den unika Möbiusavbildning som avbildar z 0, z 0 och z 1 på 0, och 1 Punkterna z 0 och z 0 är enligt föregående sats konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ genom z 1 om och endast om bildpunkterna 0 och är konjugerade med avseende på bildcirkeln T(Γ) genom 1 Det följer av avsnittet ovan att T(Γ) = C, dvs det finns en unik sådan "cirkel", nämligen Γ = T 1 (C) Det följer av föregående sats att bilden av en "cirkel" under en Möbiusavbildning T är entydigt bestämd av Tz 0, Tz 0 och Tz 1, där z 0 och z 0 är ett par av konjugerade punkter och z 1 är en punkt på cirkeln Detta är en egenskap som är mycket användbar för att konstruera Möbiusavbildningar med önskvärda avbildningsegenskaper Exempel 48 Vi skall bestämma samtliga Möbiusavbildningar som avbildar enhetsskivan z < 1 på det övre halvplanet Im w > 0 så att z = 0 avbildas på w = i 1 a i i Figur 5 Lösning: Cirkeln z = 1 måste avbildas på reella axeln Vi observerar vidare att den till cirkelns medelpunkt 0 konjugerade punkten måste avbildas på den till i konjugerade punkten med avseende på reella axeln, dvs på spegelpunkten i Slutligen måste punkten 1 på cirkeln avbildas på en punkt a på reella axeln (inklusive oändlighetspunkten) Detta ger oss alla möjliga avbildningar Med hjälp av dubbelförhållanden får vi: (z, 0, 1, ) = (w, i, a, i) z = w i w + i a + i a i, vilket efter förenkling kan skrivas w = i a + i + (a i)z a + i (a i)z
12 Möbiusavbildningar (Speciellt fås avbildningen w = i 1 z 1 + z för a = 0 och avbildningen w = i 1 + z 1 z för a = ) Exempel 49 Bestäm alla Möbiusavbildningar som avbildar enhetsskivan z < 1 på enhetsskivan w < 1 Lösning: Avbildningen är entydigt bestämd om vi vet vilka punkter som avbildas på 0, 1 och Låt b vara den punkt som avbildas på 0 Eftersom är konjugerad till 0, måste b avbildas på, och enligt exempel 45 är b = 1/b Låt slutligen c vara den punkt på cirkeln som avbildas på 1 Vi har då w = (w, 0, 1, ) = (z, b, c, b ) = z b z 1/b c 1/b c b Låt oss studera den sistnämnda faktorn Vi har, eftersom c = 1, varför Det följer att 1 bc c b = c b c 2 c b 1 bc c b = eiθ w = e iθ z b 1 bz, = c b c b = 1, = z b 1 bz 1 bc c b där b < 1 och θ är reellt, är det allmänna utseendet på en Möbiusavbildning som avbildar enhetsskivan på sig själv (Det stämmer även i fallet b = 0 då härledningen blir något annorlunda (enklare) på grund av att b = i det fallet) Övningar 7 Bestäm den konjugerade punkten till i med avseende på a) linjen Re z = Im z b) cirkeln z = 2 c) cirkeln z = 1 d) cirkeln z 1 = 1 8 Bestäm en Möbiusavbildning som avbildar z < 2 på sig själv så att i avbildas på 0, och 2i avbildas på sig själv 9 Möbiusavbildningen T avbildar cirkeln z = 2 på reella axeln och i på sig själv Vilken punkt avbildas på i? 10 De två punkterna z 0 och z0 är konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ "Cirkeln" C går genom dessa punkter och skär Γ i punkten z 1 (och ytterligare en punkt) En Möbiusavbildning T avbildar z 0 på 0, z0 på och z 1 på 1 Vad är bilderna av Γ och C under Möbiusavbildningen T? 11 Möbiusavbildningen T avbildar i på 0, 1 på 1 och i på Vad är bilden av sträckan från i till i på imaginära axeln?
5 Konformitet 13 5 Konformitet Betrakta Möbiusavbildningen Tz = az + b cz + d Eftersom T är analytisk och bijektiv i C \ { d/c} följer det att T (z) = 0 Genom direkt uträkning får vi också T ad bc (z) = = 0 (cz + d) 2 En Möbiusavbildning är därför speciellt en konform avbildning, dvs om γ 1 och γ 2 är två kurvor som skär varandra i en punkt z 0 ( = d/c) under vinkeln θ, så skär bildkurvorna T(γ 1 ) och T(γ 2 ) varandra under samma vinkel θ Vidare behålls orienteringen Exempel 51 Betrakta avbildningen w = Tz = 1 + z 1 z, som avbildar 1 på 0, 0 på 1 och 1 på Det följer att T avbildar reella axeln på reella axeln och sträckan [ 1, 1] på positiva reella axeln Enhetscirkeln måste avbildas på en "cirkel" i w-planet Eftersom enhetscirkeln skär reella axeln under rät vinkel i punkten 1 måste bild"cirkeln" skära bilden av reella axeln, dvs reella axeln under rät vinkel i punkten T( 1) = 0 Vidare måste bild"cirkeln" vara en rät linje, eftersom bildcirkeln innehåller punkten T(1) = Den enda räta linje, som skär reella axeln under rät vinkel i origo är den imaginära axeln, så slutsatsen är att enhetscirkeln avbildas på den imaginära axeln 1 1 Figur 6 1 Vi kan också direkt avläsa bilden av halvcirkeln {z : z = 1, Im z 0}, dvs av den del av enhetscirkeln som ligger i det slutna övre halvplanet Vinkeln mellan den reella axeln och denna halvcirkel vid skärningspunkten 1 är +90, så det följer att vinkeln mellan bildkurvorna också är +90 Eftersom 1 avbildas på 0 och 1 på blir slutsatsen att halvcirkeln avbildas på den del av den imaginära axeln som ligger i det övre halvplanet Exempel 52 Betrakta de båda cirklarna z = 1 och z 1 2 = 1 2 1 i 1 1 i Figur 7
14 Möbiusavbildningar Cirklarna har en enda skärningspunkt (tangeringspunkt), nämligen punkten 1 Genom att använda en Möbiusavbildning som avbildar denna punkt på (se figur 7), måste båda cirklarna avbildas på räta linjer med endast som gemensam punkt, dvs de två bildlinjerna måste vara parallella Låt oss tex avbilda 1 på, i på 0 och 1 på 1, vilket innebär att avbildningen är w = Tz = (1 i) z i z 1 Då är bilden av enhetscirkeln lika med reella axeln, och bilden av den andra cirkeln är följaktligen parallell med reella axeln Eftersom T(0) = 1 + i, går denna parallella linje genom punkten 1 + i och är således linjen Im z = 1 Vad är då bilden av det halvmåneliknande området Ω mellan de två cirklarna? Jo då den yttre enhetscirkeln C beskrivs i positiv riktning, dvs i den orientering som ges av punkterna 1, i och 1 ligger området till vänster om cirkeln Eftersom Möbiusavbildningen är konform, dvs bevarar orienteringen, måste bildområdet T(Ω) ligga till vänster om T(C), när denna beskrivs i ordningen T(1), T(i), T( 1), dvs i ordningen, 0, 1, vilket är lika med den reella axelns naturliga orientering Slutsatsen blir att bildområdet T(Ω) är lika med bandet mellan de två linjerna Övningar 12 De två punkterna z 0 och z0 är konjugerade med avseende på "cirkeln" Γ Visa att varje "cirkel" C genom z 0 och z0 är ortogonal mot Γ, dvs skär Γ under rät vinkel [Ledning: Utnyttja övning 10 samt att Möbiusavbildningar bevarar vinklar] Svar till övningar 1 a) i och i b) 1 + i och c) 2 a) z = 1 + w b) z = i + 2w 1 w 2 iw 3 Medelpunkt 1 + i och radie 2 4 a) Reella axeln Im w = 0 b) halvplanet Im w < 0 c) cirkeln w = 1 d) cirkelskivan w < 1 e) imaginära axeln Re w = 0 5 w = 1/z 6 Tz = (z, z 1, z 2, z 3 ) avbildar z 1, z 2, z 3 på 0, 1, och "cirkeln" genom de tre punkterna på reella axeln, vilket är samma som att säga att Tz är reellt om och endast om z ligger på "cirkeln" 7 a) 1 b) 4i c) i d) 1 2 + i 2 z i 8 w = 4i z 4i 9 4i 10 T(Γ) är lika med enhetscirkeln (ty 0 och är konjugerade map T(Γ)), och T(C) är reella axeln 11 Den del av imaginära axeln som ligger i övre halvplanet