Om lösningar till glatta ekvationer

Analys 360 En Webbaserad Analyskurs Differentialtopologi Om lösningar till glatta ekvationer Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com

Om lösningar till glatta ekvationer 1 (15) 1 Introduktion I det här kapitlet ska vi studera glatta avbildningar f : M N mellan två glatta mångfalder. Differentialtopologin handlar om egenskaper hos mångfalder som är oförändrade under sådana avbildningar (mer precist under bijektiva sådana, s.k. diffeomorfismer). Efter att först ha introducerat några grundläggande begrepp ska vi titta på lösningar till ekvationer på formen f(x) = y. Hur lösningsmängden ser ut beror naturligtvis på dimensionerna på de mångfalder som funktionen går mellan, men inte bara det. Om dimensionen av N är mindre än den av M, ska vi se att mängden f 1 (y) i princip kan bli en godtycklig sluten delmängd av M, men också att den normalt inte blir det, utan blir en undermångfald till N. För att substantiera påståendet normalt här, måste vi referera till en sats, Morse-Sards sats, som bildar grund för många påståenden inom differentialtopologin. Därefter diskuterar vi lösningar till ekvationer f(x) = y då M och N är mångfalder av samma dimension. Normalt har vi då ändligt många lösningar (om M är kompakt), och vi ska diskutera olika sätt att räkna dessa lösningar så att resultatet inte beror på y. Genom att skapa ett sådant mått som även blir stabilt för kontinuerliga ändringar av f får vi ett verktyg att studera lösningarna till en speciellt ekvation. Med hjälp av detta kan vi enkelt bevisa algebrans fundamentalsats samt diverse lätt förvånande påståenden om avbildningar mellan sfärer. 2 Immersioner, submersioner och diffeomorfismer Vårt första problem blir att reda ut vad vi ska mena med en differentierbar funktion på en glatt mångfald M. Antag att f : M R är en given funktion. Nära en punkt p M finns då en karta (φ, U) sådan att p U och vi får en funktion f φ = f φ 1 : φ(u) R. Vi säger att f är differentierbar i p om f φ är det (vilket vi kan göra eftersom φ(u) R k ). Vid första påseende kan det verka som att detta inte är en vettig definition eftersom den innehåller en referens till en karta som inte är specificerad. Men om f φ är differentierbar för en karta (φ, U) som innehåller p så är den differentierbar för alla andra kartor som innehåller p också. Detta därför att f φi = f φj φ ij, och φ ij = φ j φ 1 i antas differentierbar. På samma sätt definieras vad som menas med att en funktion R n M är differentierbar, nämligen att f φ = φ f är differentierbar. Och från det får vi slutligen följande definition: Definition En kontinuerlig avbildning f : M N mellan två differentierbara mångfalder sägs vara differentierbar i en punkt p M om det för några kartor (φ, U) och (ψ, V ) sådana att p U och f(p) V gäller att funktionen ψ f φ 1 är en differentierbar funktion i punkten φ(p). Om M är en m-dimensionell mångfald så använder man gärna följande uttryckssätt: en karta (U, φ) med φ(p) = (x 1,..., x m ) definierar m koordinatfunktioner x 1 (p),..., x m (p) på U. Ofta identifieras p med sina koordinater (x 1,..., x m ). En funktion f : M N till

Om lösningar till glatta ekvationer 2 (15) en glatt mångfald N av dimension n identifieras lokalt med funktionen ψ f φ 1 : U V som i koordinatform kan skrivas (y 1,..., y n ) = (f 1 (x 1,..., x m ),..., f n (x 1,..., x m )). En av de saker som skiljer differentialtopologi, som baserar sig på differentierbara funktioner, från vanlig topologi, som baserar sig på kontinuerliga funktioner, är att en differentierbar funktion lokalt, alltså i en omgivning av en punkt, ofta har ett enkelt utseende, vilket beskrivs i nästa sats. Satsen är en mer eller mindre direkt konsekvens av inversa funktionssatsen 1. Sats 1 Om f : M N är en glatt funktion vars differential har konstant rang r överallt, så finns för varje punkt x M ett koordinatsystem nära x i M och ett koordinatsystem nära y = f(x) i N, så att f i dessa har formen f(x 1,..., x n ) = (x 1,..., x r, 0,..., 0). Anmärkning Generellt är funktionen x rang df(x) en nedåt halvkontinuerlig funktion, d.v.s om rang df(a) = r, så finns en omgivning U till a sådan att rang df(x) r i U. Detta därför att funktionalmatrisen f (a) har en r r-undermatris vars determinant är 0, och då måste det gälla i en omgivning till a också. Två fall är av speciellt intresse. Definition En avbildning f : M N, där m n, sägs vara en immersion om dess differential df är injektiv i varje punkt på M. Villkoret betyder att rangen av df(x) är lika med m i varje punkt, vilket betyder att i ett lämpligt koordinatsystem får f formen av den kanoniska injektionen R m (x 1,..., x m ) (x 1,..., x m, 0,..., 0) R n. Definition En avbildning f : M N, där m n, sägs vara en submersion om dess differential df är surjektiv i varje punkt på M. I det här fallet betyder villkoret att rangen av df(x) är lika med n i varje punkt, så i ett lämpligt koordinatsystem får f lokalt formen av den kanoniska projektionen Slutligen har vi följande definition. R m (x 1,..., x m ) (x 1,..., x n ) R n. Definition En avbildning f : M N som är både en immersion och en surjektion kallas en lokal diffeomorfism. Den är en diffeomorfism och den dessutom är bijektiv. En lokal diffeomorfism ser lokalt ut som identitetsavbildningen. Vi säger att två mångfalder M och N är diffeomorfa om det finns en diffeomorfism mellan dem. Diffeomorfa mångfalder betraktas som olika realiseringar av en och samma underliggande, abstrakt, mångfald och inom differentialtopologin studerar man egenskaper hos mångfalder som inte ändras under diffeomorfismer. Vi avslutar detta avsnitt med att karakterisera avbildningar S 1 S 1. Det är bekvämt att identifiera R 2 med C och skriva π : R S 1 för π(x) = e ix. Då är π en lokal diffeomorfism, men inte bijektiv.

Om lösningar till glatta ekvationer 3 (15) Lemma 1 (Konsten att reda ut garnhärvor) Varje glatt avbildning g : S 1 S 1 kan lyftas till en avbildning G : R R sådan att e ig(x) = g(e ix ). Bevis. Låt φ = g π : R S 1. Välj x 0 så att π(x 0 ) = π(0). Sätt G(x) = x 0 + 1 i x0 0 φ (t)dt φ(t). Eftersom φ = 1 så är φ /φ rent imaginärt och G reellvärd. För h(x) = φ(x)e ig(x) gäller att h = (φ φig )e ig = 0, så h är konstant, vilket medför att φ(x) = Ce ig(x) = e ig(x) eftersom φ(0) = e ix 0 = e ig(0). Alltså är g π = φ = e ig = π G. Anmärkning Vi kan notera att det finns ett minsta positivt heltal q sådant att G(x+2π) = G(x) + 2πq. 3 Avskärningsfunktioner och Whitneys nollställessats Efter att nu ha definierat vad som menas med glatta avbildningar mellan mångfalder bör vi försäkra oss om att det verkligen finns några meningsfulla sådana. Vi ska göra det genom att visa att vi kan konstruera funktioner på mångfalder genom att sätta ihop konstruktioner vi gör i olika koordinatomgivningar. Första steget i detta blir att konstruera s.k. avskärningsfunktioner till delmängder av R n. Vi börjar då med att konstatera att funktionen { 0 då t 0 χ(t) = e 1/t2 då t > 0 är en glatt funktion. Detta följer av att en godtycklig derivata har formen q(1/t)χ(t), t > 0 för något polynom q och då t 0 + gäller att detta går mot noll. Det följer att funktionen är deriverbar i origo hur många gånger som helst. Vidare är det klart att 0 χ 1. Den är dessutom strängt positiv då t > 0 (vilket kanske inte framgår av figuren). Definiera nu för ɛ > 0 funktionen χ ɛ (t) = χ(t) χ(t) + χ(ɛ t). Den är då C, uppfyller 0 χ ɛ 1 och är sådan att χ ɛ (t) = 0 precis då t 0, medan χ ɛ (t) = 1 då t ɛ. Med hjälp av denna funktion kan vi approximera indikatorfunktionen för olika (mätbara mängder). Vi nöjer oss med att betrakta fallet med klot x a r och definierar funktionen φ : R n R genom φ(x) = 1 χ ɛ ( x a r). r a r

Om lösningar till glatta ekvationer 4 (15) Den är en glatt funktion på R n, sådan att 0 φ(x) 1, och φ(x) = { 1 då x a r 0 då x a r + ɛ. Med hjälp av sådana avskärningfunktioner kan vi bevisa följande sats. Sats 2 (Whitneys nollställessats) Varje sluten delmängd av R n är nollställesmängd till en glatt, reellvärd funktion. Bevis. Låt A vara en sluten delmängd av R n och U = A c dess öppna komplement, vilken vi kan anta är icke-tom. En öppen mängd kan skrivas som en uppräknelig union av öppna klot, d.v.s vi har att U = i N B ri (a i ), B r (a) = {x; x a < r}. Låt ψ i 0 vara en differentierbar funktion sådan att när ψ i (x) 0 så gäller att x B ri (a i ). Definiera sedan ψ : R n R genom ψ(x) = ɛ i ψ i (x) i=1 där de positiva talen ɛ i väljs så att derivatorna av ɛ i ψ i av ordning i har ett absolutbelopp som är 2 i. Eftersom varje ψ i och dess derivator endast är skilda från noll på en kompakt mängd x a i r i, så går det att hitta en sådan svit av ɛ i. Det följer att summan är likformigt konvergent på hela R n, liksom summorna av de deriverade termer. Detta följer eftersom dessa är dominerade av C i 2 i. Det följer att ψ är en glatt funktion sådan att ψ(x) = 0 för alla x A, eftersom detta gäller för alla ψ i, och att ψ(x) 0 om x / A, eftersom det i varje punkt gäller att ψ i 0 för något i. Anmärkning Detta är egentligen ett deprimerande resultat, eftersom det betyder att mängden f 1 (y) till en glatt funktion f : M N kan vara vilken sluten delmängd som helst till M. Från topologin vet vi att varje sluten mängd kan fås som nollställesmängd till en kontinuerlig funktion, så betyder detta att det inte kommer mer struktur med glatta funktioner än med kontinuerliga funktioner? Vi ska snart se att det normalt kommer mer struktur med glatta funktioner Med hjälp av avskärningsfunktioner kan vi utvidga en funktion som är definierad endast i en koordinatomgivning på en mångfald till en funktion som är definierad på hela mångfalden. Sedan kan vi konstruera globalt definierade funktioner genom att använda en partition av enheten. Sats 3 Till varje öppen övertäckning av en glatt mångfald finns en underordnad glatt partition av enheten. Bevis. Vi kan utan inskränkning anta att varje U i är innehållet i någon koordinatomgivning och att varje punkt ligger i högst ändligt många U 2 i. Med hjälp av Whitneys sats kan vi då hitta funktioner φ i som definierar en summa som är positiv på hela M. Genom att dividera med summan, som konvergerar överallt eftersom endast ändligt många termer är 0 i varje punkt, får vi en partition av enheten.

Om lösningar till glatta ekvationer 5 (15) Följdsats Om A, B är två disjunkta, slutna delmängder av en glatt mångfald M så finns en glatt funktion φ : M [0, 1] sådan att φ = 0 på A och φ = 1 på B. Bevis. Komplementen till A och B är öppna mänger och {A c, B c } bildar en övertäckning av M. Den har då en underordnad partition av enheten. Om vi låter φ vara summan av de element i denna som har sitt stöd i B c får vi resultatet. Exempel 1 En tillämpning av hur man kan använda paritioner av enheten för att definiera funktioner globalt på en mångfald är att visa att vi godtyckligt nära en given, kontinuerlig, funktion alltid kan hitta en som är glatt. Det räcker då att visa att vi kan hitta en sådan funktion i varje koordinatomgivning, därför att om f : M N är en given funktion och {φ i } är en partition av enheten som är underordnad en atlas i M, så gäller att f i = φ i f har sitt stöd i en koordinatomgivning. Genom att välja atlasen i M tillräckligt fin kan vi anta att f i tar sina värden i en koordinatomgivning på N. Vi kan därför anta att f : Ω R m för någon öppen, begränsad, delmängd Ω R n. Givet ɛ > 0 tar vi nu en övertäckning {U i } av Ω sådan att f(x) f(y) < ɛ då x, y U i och en underordnad partion av enheten {φ i }. I varje omgivning tar vi en punkt x i och sätter g(x) = i φ i(x)f(x i ). och då gäller att f(x) g(x) < ɛ då x Ω. Denna observation är viktig längre fram i detta kapitel. Anmärkning Att man kan använda avskärningsfunktioner och partitioner av enheten för att konstruera glatta funktioner är något som skiljer dem från analytiska funktioner. 4 Mångfalder på ekvationsform Det faktum att varje sluten mängd kan fås som nollställesmängd till en glatt funktion är lite missvisande. Normalt sett finns det mer struktur i en sådan. Antag att f : R n R m är glatt och att df(x) har maximal rang r i varje punkt på mängden f(x) = 0. Då kan vi enligt implicita funktionssatsen lokalt lösa ut r variabler som glatta funktioner av de övriga n r variablerna. Eftersom detta går i varje punkt på nollställesmängden, definierar ekvationen f(x) = 0 en glatt n r-dimensionell undermångfald till R n. Exempel 2 Om g 1, g 2 är glatta funktioner, så definierar de två ekvationer g 1 (x, y, z) = 0, g 2 (x, y, z) = 0 en reguljär kurva om det i varje punkt på lösningsmängden gäller att differentialerna dg 1, dg 2 är linjärt oberoende. Vi inför nu lite terminologi. Definition En punkt x i definitionsområdet för den glatta funktionen f : M N sägs vara en reguljär punkt om df(x) har maximal rang. Ett y N sägs vara ett reguljärt värde till f om det gäller att varje punkt x sådan att f(x) = y är reguljär. Punkter (eller värden) som inte är reguljära sägs vara kritiska eller, alternativt, singulära. Anmärkning Om f är reellvärd så är x en reguljär punkt precis då df(x) 0. Det betyder att en kritisk punkt är detsamma som en stationär punkt. Vidare kan vi notera att om y inte är ett värde till f (alltså y / f(m)), så är y ett reguljärt värde till f. Semantiskt kanske detta är fel, men det visar sig bekvämt att ha den klassificeringen.

Om lösningar till glatta ekvationer 6 (15) Vi såg ovan att om y är ett reguljärt värde till f, så gäller att mängden f 1 (y) är en undermångfald till N. Frågan är bara om detta att ett värde är reguljärt är att betrakta som ett undantagsfall. Svaret ges i följande sats som används mycket inom differentialtopologin. Sats 4 (Morse-Sard s sats) Om f : M N är en glatt funktion mellan två glatta mångfalder, så är nästan 3 varje värde till f ett reguljärt värde. Vi bevisar inte denna sats här, utan hänvisar till artikeln Morse-Sards sats och transversalitet. Så normaltillståndet är att nollställesmängden blir en mångfald. Exempel 3 (Folium of Descartes) För funktionen f(x, y) = x 3 + y 3 3xy gäller att df(x, y) = 3(x 2 y)dx+3(y 2 x)dy, från vilket vi ser att dess stationära punkter är (0, 0) och (1, 1). Det betyder att c är ett reguljärt värde till f precis om nivåkurvan f(x, y) = c inte innehåller någon av dessa punkter, alltså för c 0, 1. Då c = 0 kan vi parametrisera nivåkurvan genom att sätta y = tx. Det leder till ekvationen x 3 (1 + t 3 ) = 3tx 2, och alltså x = 3t 1 + t 3, y = 3t2 1 + t 3. Den definierar en ögle-kurva som skär sig själv i origo, vilken är den stationära punkt som gör c = 0 till ett kritiskt värde. För c = 1 ser man att kurvan består dels av den isolerade punkten (1, 1), dels av den räta linjen x + y + 1 = 0. Detta följer av omskrivningen x 3 + y 3 3xy + 1 = 1 4 (x + y + 1)((2x y 1)2 + 3(y 1) 2 ). Däremot gäller inte för övriga c att det är möjligt att parametrisera kurvan med hjälp av rationella funktioner.

Om lösningar till glatta ekvationer 7 (15) Det nivåkurveplotten ovan visar är att då c > 0 (rött) har vi sammanhängande kurvor som går runt (1, 1), medan då 1 < c < 0 (grönt) så har nivåkurvan två komponenter, en sluten del som går runt (1, 1) samt en del som ansluter väl till den räta linjen x+y+1 = 0, som uppenbarligen är en asymptot till alla dessa nivåkurvor. För c < 1 får vi med de nivårkurvor (blå) som ligger på andra sidan om asymptoten. Låt oss också titta närmare på de kritiska punkterna. Andraderivatan ges av ( ) 2x 1 f (x, y) = 3. 1 2y I origo har den egenvärdena ±1, så det är en sadelpunkt, medan i (1, 1) är de båda egenvärdena positiva, så det är ett lokalt minimum. Poängen med exemplet är att nivåkurvorna ändrar typ när vi passerar igenom krtitiska värden till funktionen f, vilket analyseras i mer detalj i den s.k. Morse-teorin 4. En annan viktig observation är att om M är en mångfald utan rand och f : M R en glatt funktion med reguljärt värde y, så är f 1 ((, y]) en mångfald med rand f 1 (y). Detta följer av att f 1 ((, y)) är öppen i M. Om f(a) = y så är f en submersion nära a och kan alltså efter ett koordinatbyte skrivas f(x 1,..., x l ) = x 1 nära x = a, vilket visar påståendet. Vi avslutar med ett lite mer komplicerat exempel. Exempel 4 En n n-matris är ett kvadratisk uppställning av n 2 tal, så mängden M(n) av sådana matriser kan identifieras med R n2. En delmängd av dessa är de ortogonala matriserna T som uppfyller T t T = I. Vi ska visa att dessa utgör en undermångfald O(n) till R n2. För detta betraktar vi funktionen f : M(n) A A t A S(n), där S(n) är mängden av symmetriska matriser, vilken vi kan identifiera med R N N = n(n + 1)/2. Dess differential i en punkt A beräknas genom där så f(a + H) f(a) = (A + H) t (A + H) A t A = H t A + A t H + H t H, df(a)[h] = H t A + A t H. För att visa att O(n) är en undermångfald ska vi visa att identitetsmatrisen I är ett reguljärt värde till f, dvs att avbildningen H df(t )[H] är surjektiv då f(t ) = I. Låt därför C vara en given, symmetrisk, matris. Då gäller att df(t )[ 1 2 T C] = 1 2 (Ct T T + T t T C) = C, så ekvationen df(t )[H] = C är alltid lösbar då C är symmetrisk och T O(n). Det följer att O(n) är en mångfald av dimension dim O(n) = n 2 n(n + 1) 2 = n(n 1). 2 Vi kan notera att O(n) består av två sammanhängande komponenter, definierade av huruvida det T = ±1.

Om lösningar till glatta ekvationer 8 (15) 5 Om 1D-mångfalder och Brouwers fixpunktssats I den kommande diskussionen kommer vi att behöva använda oss av att vi faktiskt vet allt om mångfalder av dimension ett, alltså reguljära kurvor. En sammanhängande sådan måste nämligen vara homeomorf med antingen enhetcirkeln eller ett intervall, vilket kan vara öppet, halvöppet eller slutet. Speciellt måste en kompakt, sammanhängande, 1Dmångfald vara antingen en sluten kurva eller en kurva med två ändpunkter. En kurva med två ändpunkter kallar vi här en båge. Den för oss viktiga observationen är att antalet ändpunkter för en kompakt kurva, inte nödvändigtvis sammanhängande, alltid är jämnt! I figuren till höger illustreras hur en 1D undermångfald kan se ut till en cylinder. Observera här att de två randbitarna till cylindern skär en kurva i samma antal punkter om vi räknar modulo 2. Med andra ord, antingen skär båda cylinderns randbitar kurva ett jämnt antal gånger eller så skär båda randbitarna ett udda antal gånger. De enda kurvbitarna som bidrar här är de som går från den ena rand-delen till den andra. En viktig konsekvens av detta är följande till synes oskyldiga observation. Lemma 2 Låt X vara en kompakt mångfald med rand X. Då finns ingen avbildning f : X X sådan att 5 f(x) = x då x X. Bevis. Antag att det finns en sådan avbildning f och låt y X vara ett reguljärt värde till f. Då är naturligtvis y reguljär för restriktionen av f till X också. Men denna är identiteten enligt antagandet, så f 1 (y) är en glatt 1-mångfald vars rand består av den enda punkten y. Denna motsägelse visar lemmat. Denna sats kan användas för att ge ett enkelt bevis för en berömd sats av Brouwer som generaliserar den grundläggande satsen om mellanliggande värden. Den gäller för godtyckliga kontinuerliga funktioner, men vi nöjer oss med ett starkare påstående här. Sats 5 (Brouwers fixpunktssats) Varje glatt avbildning av enhetsklottet B n i R n på sig själv har en fixpunkt. Bevis. Antag att f : B n B n är glatt och saknar fixpunkter. Definiera då funktionen g(x) som skärningen mellan randen S n 1 och kordastrålen från f(x) till x. Det är då klart att g(x) = x då x ligger på randen, så om vi kan visa att den är glatt, så har vi konstruerat en glatt funktion på B n som avbildar randen på randen, och en sådan finns inte enligt föregående lemma. Denna motsägelse visar f(x) satsen. x För att se att g blir glatt, notera att g(x) = f(x) + t(x f(x)), t 1, g(x) och t bestäms av villkoret g(x) = 1, alltså av andragradsekvationen t 2 (x f(x)) 2 + 2tf(x) (x f(x)) + f(x) 2 = 1. Vi ser att om x f(x) för alla x, så är t, och därmed g, en glatt funktion.

Om lösningar till glatta ekvationer 9 (15) Enligt legenden är ursprunget till denna sats att hitta i Brouwer s observation av en kopp kaffe. Om man rör om för att lösa upp socker ser det ut som att det alltid finns en punkt som inte rör sig. Han drog då slutsatsen att det i varje ögonblick finns en punkt på ytan som inte rör sig. Fixpunkten är inte nödvändigtvis den punkt som ser ut att inte röra sig, eftersom turbulensens centrum rör sig lite. Vilken som är fixpunkt kan dessutom ändra sig under omrörningen. En annan beskrivning av dessa kommer också från Brouwer. Tag två identiska papper och skrynkla ihop det en av dessa och tryck sedan ihop det så att det blir helt platt (t.ex. med hjälp av ett strykjärn). Lägg det på det andra papperet. Då finns det en punkt på det hopskrynklade papperet som ligger ovanför motsvarande punkt på det andra papperet. Låt oss nu återvända till cylindern ovan och skärningen mellan kurvan och randen. Antag nu att cylindern är orienterad och att randbitarna fått den ärvda orienteringen. Vi ger då en skärningspunkt mellan kurvan och randen värdet +1 om kurvans tangent och randens orientering i den punkten i denna ordning definierar orienteringen på cylindern; om det inte är fallet får punkten värdet 1. Vi ser då att en båge som börjar och slutar på samma randbit måste ha en skärningspunkt som får värdet +1 och en som får värdet 1, eftersom tangenten i ena ändpunkter pekar in i cylindern och i den andra ut från den. En båge som börjar i ena randbiten och slutar i den andra kommer däremot att ha samma värde i de två ändpunkterna: visserligen pekar en tangent in och en ut från cylindern, men orienteringarna av randbitarna är också olika. 6 Avbildningsgrader av en funktion För att komma längre i våra undersökningar av ekvationer ska vi studera antalet lösningar till en ekvation f(x) = y där f : X Y är en glatt funktion mellan två glatta mångfalder av samma dimension. Vi vet då från ovan att om y är ett reguljärt värde till f så är f 1 (y) en mångfald av dimension noll och har alltså ändligt många punkter i varje kompakt. Enligt Morse-Sards sats gäller detta för nästan alla värden på y, så det är möjligt att räkna antalet punkter i f 1 (y) K för varje kompakt delmängd K. För att förenkla diskussionen antar vi i fortsättningen att X är kompakt, så att antalet lösningar är ändigt. Detta antal beror naturligtvis på värdet y. Om f är en reellvärd funktion av en variabel så är antalet punkter #f 1 (c) lika med skärningen mellan grafen y = f(x) och den horisontella linjen y = c. Detta antal ändras endast då vi passerar genom ett kritiskt värde c till f och när vi passerar en lokal extrempunkt på f hoppar antalet skärningar upp eller ner med två. Men vi kan notera två saker: a) Om vi endast bryr oss om huruvida antalet lösningar är udda eller jämnt, så blir resultatet oberoende av y när vi passerar det kritiska värdet b) Antag att det finns två ytterligare lösningar till ekvationen f(x) = c + ɛ jämfört med ekvationen f(x) = c ɛ, där ɛ > 0 är litet. För den ena av dessa gäller att att tangenten har en negativ riktningskoefficient och för

Om lösningar till glatta ekvationer 10 (15) den andra att denna är positiv. Om vi associerar tecknet 1 till en lösning där riktningskoefficienten är negativ och tecknet +1 till en där denna är positiv, så gäller att summan av dessa tecken inte ändrar sig när vi passerar det kritiska värdet. Allmänt vet vi att om y är ett reguljärt värde till f sådant att f 1 (y) = {x 1,..., x N }, så följer ur inversa funktionssatsen att f är en lokal difffeomorfism i en omgivning till var och en av punkterna x k. Det betyder att det finns en omgivning V till y och omgivningar U k till x k sådana att f 1 (V ) = k U k, d.v.s. i en omgivning av ett reguljärt värde är antalet lösningar konstant. Notera att en lokal diffeomorfism kan vara orienteringsbevarande eller orienteringsomkastande, och vilket det är bestäms av tecknet på det df(x k ). Motiverad av observationen ovan för 1D-funktioner gör vi nu följande allmänna definition. Definition Låt f : X Y vara en glatt avbildning mellan två glatta mångfalder X och Y av samma dimension, där X är kompakt, och låt y vara ett reguljärt värde till f. Vi kan då definiera den binära avbildningsgraden för punkten y genom deg 2 (f, y) = #f 1 (y) mod 2. Om X och Y dessutom är orienterbara definierar vi avbildningsgraden med tecken för y, kortare: avbildningsgraden för y, genom deg(f, y) = sign det df(x). x f 1 (y) Exempel 5 För funktionen z z q på S 1 gäller att deg(z q ) = q. Vi har nu följande grundläggande lemma. Lemma 3 Låt F : X Y vara en glatt avbildning mellan glatta mångfalder X, Y där X är kompakt med rand och dim X = dim Y + 1. Låt f : X Y vara restriktionen av F till randen. Då gäller för alla reguljära värden till f att deg 2 (f, y) = 0. Om dessutom X och Y är orienterade gäller dessutom att deg(f, y) = 0. Bevis. Antag först att y är ett reguljärt värde till F, så att F 1 (y) är en en ändlig union av cirklar och bågar, där ändpunkterna till bågarna alla ligger på X och det är dessa ändpunkter som är lösningar till ekvationen f(x) = y. Antalet sådana ändpunkter är jämnt, vilket visar påståendet för deg 2. Antag nu att X och Y är orienterade och låt γ vara en båge med ändpunkter a, b X. Påståendet för avbildningsgraden följer om vi kan visa att sign df(a) + sign df(b) = 0. För att visa det måste vi titta närmare på hur orienteringarna på olika mångfalder är relaterade. Orienteringarna för M och Y bestämmer en orientering för γ som följer. Låt x γ och låt (v 1,..., v n+1 ) vara en positivt orienterad bas för T x M, där v 1 är tangent till γ. Då gäller att v 1 bestämmer orienteringen för T x γ precis då df (x) avbildar (v 2,..., v n+1 ) på en positivt orientad bas för T x Y.

Om lösningar till glatta ekvationer 11 (15) Låt v 1 (x) bestämma den positivt orienterade enhetsvektorn till γ i x. Då gäller att v 1 är en glatt funktion och vektorn pekar utåt i en av randpunkterna (säg b) och inåt i den andra. Det följer då att sign df(a) = 1 och sign df(b) = +1, vilket visar påståendet. Mer allmänt, antag att y är ett reguljärt värde för f men inte för F. Eftersom antalet lösningar är konstant någon omgivning V av y, så kan vi ersätta y med ett reguljärt värde utan att ändra värdet på någon av de två funktionerna. Sats 6 (Homotopi-lemmat) Antag att F : X [0, 1] Y är en glatt funktion där X, Y har samma dimension och X är kompakt. Låt vidare f j (x) = F (x, j), j = 0, 1 och antag att y är ett reguljärt värde för både f 0 och f 1. Då gäller att deg 2 (f 0, y) = deg 2 (f 1, y). Om dessutom X, Y är orienterade gäller att deg(f 0, y) = deg(f 1, y). Bevis. Eftersom X [0, 1] har som rand de två bitarna X {0} och X {1} så är antalet lösningar på randen lika med summan av antalet lösningar på var och en av dessa. Enligt lemmat gäller då att #f0 1 (y) + #f1 1 (y) = 0 mod 2, vilket också betyder att deg 2 (f 0, y) = deg 2 (f 1, y). Om X, Y är orienterade, orienterar vi X [0, 1] som en produktmångfald och ha då en randbit bestående av X {1} som har samma orientering som X och en bestående av X {0} med den omvända orienteringen, från vilket det följer att deg(f 1, y) deg(f 0, y) = deg(f X, y) = 0. Man inför nu följande begrepp. Definition Låt f, g : X Y vara två glatta funktioner mellan två glatta mångfalder. Om det då finns en glatt funktion F : X [0, 1] Y sådan att f(x) = F (x, 0) och g(x) = F (x, 1), så sägs f och g vara homotopa funktioner. Innebörden av homotopi-lemmat är nu att om f och g är homotopa och y är ett reguljärt värde för båda, så gäller att f och g har samma avbildningsgrad, binär såväl som den med tecken. Förutsatt att övriga förutsättningar är uppfyllda. Exempel 6 Vi vet att en glatt funktion g : S 1 S 1 kan skrivas g(e ix ) = e ig(x) där G(x + 2π) = G(x) + 2πq. Om vi definierar G t (x) = tqx + (1 t)g(x) så ser vi att e igt definierar en homotopi mellan g och avbildningen z z q. Speciellt ser vi att q = deg(g). Vidare säger vi att två diffeomorfismer f, g sägs vara isotopa om det finns en homotopi mellan dem sådan att alla avbildningar F (., t), t (0, 1), också är diffeomorfismer. Om vi nu har ett kritiskt värde till f, så kan vi göra en homotop deformation av f så att detta värde inte längre är kritiskt 6, och om vi definierar graden för f i det kritiska värde som graden av den deformerade funktionen i det kritiska värdet, så ser vi från diskussionen ovan att vi får avbildningsgraderna väldefinierade även i kritiska värden y. Dessutom kan vi definiera dessa funktioner även för kontinuerliga funktioner, genom att vi gör en homotop approximation med en glatt funktion.

Om lösningar till glatta ekvationer 12 (15) Men inte bara det: dessa blir konstanta funktioner på varje sammanhängande komponent av Y. När Y är sammanhängande kan vi därför ta bort y från beteckningen och gör följande definition. Definition Funktionen deg(f) kallas för f:s avbildningsgrad, medan deg 2 (f) kallas dess binära avbildningsgrad. Några egenskaper hos dessa avbildningsgrader som gör dem användbara är att a) Om avbildningsgraden är 0 så finns det minst en lösning till ekvationen, d.v.s. funktionen måste vara surjektiv. b) Från detta följer att om f : X Y, där X är kompakt men Y inte är det, så gäller att deg 2 (f) = 0 (eftersom f då inte kan vara surjektiv). c) En konstant funktion har alltid graden noll medan en diffeomorfism alltid har binär grad ett och (orienterad) grad +1 eller 1 beroende av om den bevarar eller kastar om orienteringen. Speciellt kan en orienteringsomkastande diffeomorfism på en kompakt mångfald inte vara homotop med identitetsavbildningen. Vi avslutar detta avsnitt med den allmänna formuleringen av Brouwers fixpunktssats. Sats 7 (Brouwers fixpunktssats) Om B är en kompakt och konvex delmängd av R n så gäller att varje kontinuerlig avbildning f : B B har en fixpunkt. Bevis. Påståendet är ekvivalent med att visa att funktionen g(x) = f(x) x har binär avbildningsgrad ett. Vi vet att satsen är sann om B är ett klot och f glatt, och eftersom en kontinuerlig funktion kan homotopt deformeras till en glatt funktion så gäller satsen för godtyckliga kontinuerliga funktioner på ett klot. För en allmän kompakt, konvex mängd kan vi anta att origo ligger i det inre av B. Definiera nu φ : R n R n så att φ(x) = q(x)x där q(tx) = q(x) då t > 0 och q(x) = x 1 då x B. Då definierar φ en homeomorfism av B med enhetsklotet, så φ f φ 1 måste ha en fixpunkt i enhetsklotet enligt vad vi redan visat. 7 Några tillämpningar av avbildningsgrad I det här avsnittet ska vi titta på några enklare konsekvenser av diskussionen i föregående avsnitt som rör avbildningar på sfärer. Vi börjar med att konstatera att reflektionen x (x 1,..., x i,..., x n+1 ) på S n är en diffeomorfism som kastar om orienteringen och därför har avbildningsgraden 1. Den antipodala avbildningen x x på S n är sammansättningen av n+1 sådana reflektioner, och har därför avbildningsgraden ( 1) n+1. Det betyder att om dimensionen n är jämn är den antipodala avbildningen inte homotop med identiteten. Anmärkning Speciellt följer att det projektiva rummet P n inte är orienterbart för jämna n. Den antipodala avbildningen är ju identiteten på ett projektivt rum.

Om lösningar till glatta ekvationer 13 (15) Som en tillämpning av denna observationen har vi följande sats av Brouwer: på S n finns ett vektorfält utan nollställen om och endast om n är udda. För att se det, antag att v saknar nollställen. Vi kan då normalisera det, så att v(x) = 1 för alla x, vilket alltså definierar en funktion S n S n. Definiera nu F : S n [0, π] (x, θ) x cos θ + v(x) sin θ S n. Då gäller att F (x, 0) = x, F (x, π) = x, så den antipodala avbildningen är homotop med identiteten. Vilket endast är möjligt då n är udda. Å andra sidan, när n = 2k 1 har vi exemplet v(x) = (x 2, x 1, x 4, x 3,..., x 2k, x 2k 1 ) som ett exempel på ett vektorfält på S n som aldrig är noll. En direkt tillämpning på detta är följande välkända och viktiga sats. Sats 8 (Algebrans fundamentalsats) Varje icke-konstant komplext polynom har ett nollställe. Bevis. Genom p t (z) = tp(z)+(1 t)z n definieras en homotopi mellan ett givet polynom p av grad n och z n. Tag en cirkelskiva W med radie r så stor att alla p t har sina nollställen i dess inre och definiera φ t : W S 1 genom φ t = p t / p t. Då följer att deg(φ 1 ) = deg(φ 0 ) = n. Men om p saknade nollställen i W skulle vi kunna utvidga φ till hela W och alltså ha deg(φ) = 0. Med n 0 får vi en motsägelse. Men beviset ger oss egentligen mer. Sats 9 Låt W vara en glatt, kompakt, delmängd av C vars rand inte har några nollställen till polynomet p. Då ges det totala antalet nollställen till p i W (inklusive multiplicitet) av avbildningsgraden av p/ p : W S 1. Bevis. Låt z 0,..., z n vara rötterna till p i W. Låt D i vara en liten, sluten, skiva runt z i, alla disjunkta med varandra och med randen och betrakta W = W \ D i. Då gäller att W = W ( n 0 D i), med olika orientering av W och D i. Då graden av p/ p på W är noll, följer att n deg(p/ p ) = deg(p/ p D i ). 0 Skriv nu p(z) = (z z i ) l q(z) med q(z i ) 0. Vi vet då att q saknar nollställen i D i och vi låter skivans radie vara r så definierar g : S 1 D i, g(z) = z i + rz en orienteringsbevarande diffeomorfism, och alltså gäller att deg(p/ p ) = deg(p g/ p g ). Definiera nu en homotopi h t : S 1 S 1 genom h t (z) = zl q(z i + trz) q(z i + trz). Då är h 0 (z) = cz l och h 1 = (p g)/ p g, varför deg(p/ p ) = deg(h 0 ) = l.

Om lösningar till glatta ekvationer 14 (15) Lemma 4 (Borsuk) Om f : S 1 S 1 är en kontinuerlig, udda avbildning, så gäller att deg 2 (f) = 1. Bevis. Skriv f(x) = e ig(x) där G : R R. Eftersom f(π) = f(0) gäller då att G(π) = G(0)+π(2q+1) Men eftersom avbildningen är udda följer då att G(2π) = G(π)+π(2q+1), och alltså att G(2π) = G(0) + 2π(2q + 1). Det betyder att f är homotop med z z 2q+1, för vilken den binära graden är ett. Ur denna sats får vi direkt Sats 10 Det finns ingen kontinuerlig avbildning f : S 2 S 1 sådan att f( p) = f(p) för något p S 2. Bevis. Antag att f är en sådan avbildning och låt g vara restriktionen av den till en storcirkel, så att g : S 1 S 1 är en kontinuerlig och udda avbildning med deg 2 (g) = 1. Men restriktionerna av f till parallellcirklar mellan denna storcirkel och en av dess poler ger oss kontinuerliga funktioner g t : S 1 S 1, 0 < t < 1. Vi har därför en homotopi mellan f och en konstant funktion S 1 f(n) där N är polen. Figuren till höger illustrerar hur g t definieras: punkten p på cirkeln avbildas först på punkten (1 t)p som projiceras på S 2 med hjälp av stereografisk projektion från sydpolen. Sedan applicerar vi f på resultatet. Vi ser att när t = 1 blir (1 t)p sfärens medelpunkt för alla p S 1 och alltså den stereografiska projektionen nordpolen. Men deg 2 (g 0 ) = 1 som vi sett, och deg 2 (g 1 ) = 0 eftersom den är en konstant funktion. Denna motsägelse visar att det inte finnas någon sådan funktion f. Följdsats (Borsuk-Ulam) Till varje kontinurlig funktion f : S 2 R 2 finns minst en punkt p S 2 sådan att f( p) = f(p). Bevis. Om det funnes en funktion för vilken ingen sådan punkt finns skulle vi kunna definierar funktionen f(p) f( p) g(p) = f(p) f( p), vilken då blir en kontinuerlig funktion S 2 S 1. Men den skulle vara udda, vilket är en motsägelse. Denna följdsats, som har har en naturlig motsvarighet i högre dimensioner, har en rad intressanta konsekvenser. Låt oss dock först konstatera att den gäller för n = 1 också, d.v.s. om f : S 1 R är en kontinuerlig funktion så finns minst en punkt p S 1 sådan att f( p) = f(p). Om vi nämligen sätter g(x) = f(x) f( x) och tar en punk p så gäller antingen att g(p) = 0, och då är vi klara, eller så gäller att g(p) och g( p) ligger på olika sidor om 0. Men enligt satsen om mellanliggande värden gäller då att det finns minst en punkt q mellan p och p sådan att g(q) = 0. En direkt konsekvens av denna senare observation är att det alltid finns två antipodala punkter på ekvatorn som har samma temperatur (om vi antar att temperaturen varierar

Om lösningar till glatta ekvationer 15 (15) kontinuerligt längs ekvatorn). Vad Borsuk-Ulams sats säger är att det alltid finns två antipodala punkter på jordklotet där både temperatur och lufttryck är samma. En annan konsekvens av Borsuk-Ulams sats är vad vi kan kalla Hamburgersatsen: om en hamburgare består endast av två brödbitar med en burgare emellan, så är det möjligt att med ett plant snitt dela alla tre i delar med samma volym. För att se detta, observera först att till varje v S 2 kan vi välja ett plan π v som skär burgaren i två lika stora delar, där v betecknar enhetsnormalen till planet. Definiera nu två funktioner f i, en för var brödskiva, genom f i (v) = volymen av skiva i framför π v volymen av skiva i bakom π v, i = 1, 2, där framför betyder på den sida normalen pekar mot. Om vi då byter v mot v ändras inte planet, men framför blir bakom och tvärtom, så f i ( v) = f i (v). Om vi sätter f(v) = (f 1 (v), f 2 (v)), så ger Borsuk-Ulams sats att det finns en riktning p sådan att f( p) = f(p). Men eftersom vi per konstruktion har att f( p) = f(p) är detta endast möjligt om f(p) = 0, vilket betyder att alla tre delarna delas upp i två delar som har samma volym. Fler tillämpningar och en generalisering av Borsuk-Ulams sats till allmänna dimensioner diskuteras i artikeln Om vridningstal och några av dess tillämpningar, Noteringar 1. Se artikelnom inversa och implicita funktioner 2. Vi antar alltid att en glatt mångfald är parakompakt. 3. Nästan varje betyder att undantagen utgör en Lebesgue-nollmängd 4. Om detta kan man läsa i artikeln Morseteori och topologin av en mångfald. 5. En sådan avbildning kallas en retraktion av X på X. 6. Tag F (x, t) = f(x) + t(y y ) för y nära y i en koordinatomgivning.